Friedrich-Schiller-Gymnasium http://fsg.zum.de/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.21.2 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Friedrich-Schiller-Gymnasium Friedrich-Schiller-Gymnasium Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Widget Widget Diskussion Group Group talk Layer Layer Diskussion Campaign Campaign talk TimedText TimedText talk 0 199 1638 1636 2015-12-11T09:16:56Z A Reiner 10005 wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot \sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> <br /> Anwendungsbeispiel:<br /> <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 )} - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'= {{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over{x^4}}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> a79d786e40834dfa9b84370c35bbc61f6a6ff0e3 1636 1633 2015-12-11T09:13:15Z A Reiner 10005 wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> <br /> Anwendungsbeispiel:<br /> <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 )} - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'= {{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over{x^4}}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> ac677d7326d60421ac7341cf26e2187a33c01404 1633 1286 2015-12-11T09:05:09Z Jokerking3427 10016 wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> <br /> Anwendungsbeispiel:<br /> <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 1cff7fa7062903d5fc3be06a216d6e63567383d9 1286 620 2013-11-15T11:05:07Z F.Bittermann 3 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> <br /> Anwendungsbeispiel:<br /> <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 620 619 2012-03-22T20:13:43Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> <br /> Anwendungsbeispiel:<br /> <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 619 588 2012-03-22T20:11:40Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> Anwendungsbeispiel: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 588 587 2012-03-09T15:38:27Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> Anwendungsbeispiel: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} = {{15 \cdot x +4 \over x} - { 10 \cdot x - 4 \over x}} = {{ 5 \cdot x \over x }} = {5} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 587 586 2012-03-09T15:27:06Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> Anwendungsbeispiel: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x)\cdot x^2 }-{( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2) \cdot 2 \cdot x } \over {x^4}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x^3 ) - {( 10 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3)} \over { x^4}} </math> <math> f'= {{ 5\cdot x^4} \over {x^4}} </math> <math> f'={{ 5 \cdot x^4} \cdot {1 \over {x^4}} = {5} </math> Quotienten lösen mit Hilfe der Produktregel: Trick: Quotienten in ein Produkt umschreiben und dann die Produktregel anwenden <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> als Produkt: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \cdot {x^-2}} </math> <math> f'= {{(15 \cdot x^2 + 4 \cdot x) \cdot x^-2 + {( 5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2)} \cdot (-2 \cdot x^-3)}} </math> <math> f'= {{x \cdot( 15 \cdot x +4 ) \over x^2} + {5 \cdot x + 2 \cdot (-2) \over x^2 } \cdot {x^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 586 585 2012-03-09T14:52:54Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> Anwendungsbeispiel: <math> f(x)= {{5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2} \over {x^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 585 584 2012-03-08T21:24:18Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 584 582 2012-03-08T21:22:58Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 582 581 2012-03-07T14:36:35Z Mn.Lochmann 8 /* Summenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 581 580 2012-03-07T14:35:27Z Mn.Lochmann 8 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over (v(x))^2} </math> Kurzform: <br /> <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 580 579 2012-03-07T14:34:26Z Mn.Lochmann 8 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}</math><br /> <math>f'(x)= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 579 578 2012-03-07T14:32:13Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 578 577 2012-03-07T14:31:36Z Mn.Lochmann 8 /* Faktorregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=ax^n</math><br /> <math>f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1}</math><br /> <br /> Bespiel:<br /> <br /> <math>f(x)=2x^3+4x^2+5x</math><br /> <math>f'(x)=6x^2+8x+5</math><br /> == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 577 576 2012-03-07T14:28:43Z Mn.Lochmann 8 /* Potenzregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+x^2-x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+2x-1</math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 576 575 2012-03-07T14:25:32Z Mn.Lochmann 8 /* Potenzregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^3+2x^2-5x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+4x-5</math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 575 574 2012-03-07T14:25:14Z Mn.Lochmann 8 /* Potenzregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=x^3+2x^2-5x</math><br /> <math>f'(x)=3x^2+4x-5</math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 574 573 2012-03-07T14:20:36Z Mn.Lochmann 8 /* Potenzregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=x^n</math><br /> <math>f'(x)=n \cdot x^{n-1} </math><br /> === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 573 562 2012-03-07T14:16:55Z Mn.Lochmann 8 /* Produktregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math><br /> <math>f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 562 561 2012-03-07T07:37:58Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel der Produktregel <math>u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurzform: <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> Kurzform: <math> f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 561 556 2012-03-07T07:36:48Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === <span style="color: red">''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]''</span> Allgemeine Formel der Produktregel <math>u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurz <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> <span style="color: red">''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]''</span> === Quotientenregel === <span style="color: red">''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]''</span> <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> <math> Kurzform: f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 556 555 2012-03-06T17:13:38Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === ''Vorsicht: Was ist die Ausgangsfunktion? [Btm]'' Allgemeine Formel der Produktregel <math>u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurz <math>f'=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> ''Kann man das noch weiter umschreiben? [Btm]'' === Quotientenregel === ''Vorsicht: typischer Formulierungsfehler! [Btm]'' <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> <math> Kurzform: f'= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 555 544 2012-03-06T17:08:12Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === <math>\begin{align} f(x)&=u(x)+v(x) \\ f'(x)&=u'(x) + v'(x) \end{align}</math> === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel <math>u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurz <math>f'(x)=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> <math> Kurzform: f'(x)= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 544 543 2012-03-06T08:05:28Z Rn.Bolz 14 /* Produktregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === [[Datei:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/e/b/8/eb8e7da7c480129c2d56f9a4502a515e.png]] === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel <math>u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)</math><br /> <br /> Kurz <math>f'(x)=u'v+uv'</math><br /> <br /> <br /> Rechenbeispiel:<br /> <math>f(x)=(5x^2) \cdot x^{1 \over 2}</math><br /> <math>f'(x)=(10x) \cdot (x^{1 \over 2})+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math><br /> <math>f'(x)=10x \cdot sqrt{x}+(5x^2) \cdot {1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}</math> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> <math> Kurzform: f'(x)= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 543 540 2012-03-06T08:02:35Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === [[Datei:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/e/b/8/eb8e7da7c480129c2d56f9a4502a515e.png]] === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x)\over v(x)}= {{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)} \over {v^2}} </math> <math> Kurzform: f'(x)= {{u' \cdot v- u \cdot v' } \over {v^2}} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 540 538 2012-03-06T08:00:32Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === [[Datei:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/e/b/8/eb8e7da7c480129c2d56f9a4502a515e.png]] === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x)\cdot v(x)-{u(x)\cdot v'(x)} \over v^2 </math> Im Nenner steht die Ableitung von u(x) welche mit v(x) multiplizert wird und von u(x) welches mit der Ableitung von v(x) multipliziert wird, subtrahiert. === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f'(x)=u'(v) \cdot v'(x)</math><br /> <br /> Die Ableitung einer verketteten Funktion ist die Ableitung <br /> der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion. <br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 538 537 2012-03-06T07:53:53Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === [[Datei:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/e/b/8/eb8e7da7c480129c2d56f9a4502a515e.png]] === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x)\cdot v(x)-{u(x)\cdot v'(x)} \over v^2 </math> Im Nenner steht die Ableitung von u(x) welche mit v(x) multiplizert wird und von u(x) welches mit der Ableitung von v(x) multipliziert wird, subtrahiert. === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f(x)=u(v(x))</math><br /> <math>f'(x)=u'\cdotv\cdotv'</math> <br /> Beispiel 1:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 537 536 2012-03-06T07:52:10Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === [[Datei:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/e/b/8/eb8e7da7c480129c2d56f9a4502a515e.png]] === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x)\cdot v(x)-{u(x)\cdot v'(x)} \over v^2 </math> Im Nenner steht die Ableitung von u(x) welche mit v(x) multiplizert wird und von u(x) welches mit der Ableitung von v(x) multipliziert wird, subtrahiert. === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 536 535 2012-03-06T07:50:57Z Pk.gassmann 17 /* Summenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === [[Datei:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/e/b/8/eb8e7da7c480129c2d56f9a4502a515e.png]] === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x) mal v(x)-{u(x)/times v'(x)} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 535 534 2012-03-06T07:45:23Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x) mal v(x)-{u(x)/times v'(x)} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> Beispiel:<br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3(2x-x^2)^2\cdot(2-2x)</math><br /> 534 532 2012-03-06T07:45:17Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x) mal v(x)-{u(x)/times v'(x)} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2\cdot(2x-2)</math><br /> 532 531 2012-03-06T07:44:04Z Pk.gassmann 17 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x)/cdot v(x)-{u(x)/cdot v'(x)} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2\cdot(2x-2)</math><br /> 531 530 2012-03-06T07:43:18Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)}= u'(x)/cdot v(x)-{u(x)/cdot v'(x)} </math> sarah, ihr seid schlecht === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2\cdot(2x-2)</math><br /> 530 529 2012-03-06T07:43:09Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)} </math> sarah, ihr seid schlecht === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>u=v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>v=2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2\cdot(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2\cdot(2x-2)</math><br /> 529 528 2012-03-06T07:42:17Z Pk.gassmann 17 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)} </math> sarah, ihr seid schlecht === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2·(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2·(2x-2)</math><br /> 528 527 2012-03-06T07:40:36Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2·(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2·(2x-2)</math><br /> 527 526 2012-03-06T07:38:39Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /> <br /> äußere Funktion: <math>v^3</math> <br /> innere Funktion: <math>2x-2x^2</math><br /> <br /> <math>f'(x)=3v^2*(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2*(2x-2)</math><br /> 526 525 2012-03-06T07:38:01Z Sh.Sievers 12 /* Quotientenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === <math> f(x)= {u(x) \over v(x)} </math> === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /><br /> äußere Funktion: <math>v^3</math><br /> innere Funktion: <math>2x-2x^2</math><br /><br /> <math>f'(x)=3v^2*(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2*(2x-2)</math><br /> 525 524 2012-03-06T07:35:41Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <math>f'(x)=u(v(x))</math><br /> <br /> <math>f(x)=(2x-x^2)^3</math><br /><br /> äußere Funktion: <math>v^3</math><br /> innere Funktion: <math>2x-2x^2</math><br /><br /> <math>f'(x)=3v^2*(2-2x)</math><br /> <math>=3(2x-x^2)^2*(2x-2)</math><br /> 524 523 2012-03-06T07:33:20Z Rn.Bolz 14 /* Produktregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === Allgemeine Formel der Produktregel<br /> <math>u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math><br /> === Quotientenregel === === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <math>f'(x)=u'v+uv'</math> 523 522 2012-03-06T07:25:26Z Mn.Lochmann 8 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === === Quotientenregel === === Kettenregel === Allgemeine Formel der Kettenregel:<br /> <math>f'(x)=u'v+uv'</math> 522 2012-03-05T09:00:41Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktr…“ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Bekannte Ableitungsregeln aus Klasse 10 == === Potenzregel === === Summenregel === === Faktorregel === == Neue Ableitungsregeln == === Produktregel === === Quotientenregel === === Kettenregel === 0 265 969 968 2013-01-24T06:41:10Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen zwei Punkten === <br /> {{Definition|1= Im Vektorraum können Punkte, Geraden und Flächen veranschaulicht werden und ihre Abstände zueinander bestimmt werden. Unter dem Abstand versteht man die Länge der kürzesten Verbindungstrecke zwischen zwei Objekten. }} <br /> Hat man zwei Punkte im Raum, so lässt sich ihr Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_01_neu.jpg]]<br /> <br /> Spannt man einen Quader zwischen die Punkte, so enstpricht der Abstand der Länge der Raumdiagonalen.<br /> Es gilt:<br /> <math>d_F^2 = a^2+b^2</math><br /> <br /> <math>d_R^2 = d_F^2+c^2</math><br /> <br /> =><math>d_R^2 = a^2+b^2+c^2</math><br /> <br /> <math>d_R = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math><br /> <br /> Daher gilt: <math>A(a1/a2/a3)und B(b1/b2/b3)</math><br /> <br /> Um den Abstand zu berechnen muss zuerst der Vetor <math>\vec{AB} </math> gebildet werden:<br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} b1-a1 \\ b2-a2 \\ b3-a3 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> dieser entspricht der Raumdiagonalen.<br /> <br /> Die Lage des Vektors ist demnach:<br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right| } = \sqrt {(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2} </math><br /> <span style="color: red">''Vorsicht, Fehler! [Btm]''</span> <br /> Beispiel: <br /> <math>A(5/8/3) und B(8/10/9)</math><br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} </math> <br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right| } = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt {49} = 7</math><br /> <br /> A: Der Abstand beträgt 7 Längeneinheiten. 968 941 2013-01-24T06:40:34Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen zwei Punkten === <br /> {{Definition|1= Im Vektorraum können Punkte, Geraden und Flächen veranschaulicht werden und ihre Abstände zueinander bestimmt werden. Unter dem Abstand versteht man die Länge der kürzesten Verbindungstrecke zwischen zwei Objekten. }} <br /> Hat man zwei Punkte im Raum, so lässt sich ihr Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_01_neu.jpg]]<br /> <br /> Spannt man einen Quader zwischen die Punkte, so enstpricht der Abstand der Länge der Raumdiagonalen.<br /> Es gilt:<br /> <math>d_F^2 = a^2+b^2</math><br /> <br /> <math>d_R^2 = d_F^2+c^2</math><br /> <br /> =><math>d_R^2 = a^2+b^2+c^2</math><br /> <br /> <math>d_R = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math><br /> <br /> Daher gilt: <math>A(a1/a2/a3)und B(b1/b2/b3)</math><br /> <br /> Um den Abstand zu berechnen muss zuerst der Vetor <math>\vec{AB} </math> gebildet werden:<br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} b1-a1 \\ b2-a2 \\ b3-a3 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> dieser entspricht der Raumdiagonalen.<br /> <br /> Die Lage des Vektors ist demnach:<br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right| } = \sqrt {(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2} </math><br /> <br /> <span style="color: color">''Vorsicht, Fehler! [Btm]''</span> Beispiel: <br /> <math>A(5/8/3) und B(8/10/9)</math><br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} </math> <br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right| } = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt {49} = 7</math><br /> <br /> A: Der Abstand beträgt 7 Längeneinheiten. 941 932 2013-01-11T11:32:17Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen zwei Punkten */ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen zwei Punkten === <br /> {{Definition|1= Im Vektorraum können Punkte, Geraden und Flächen veranschaulicht werden und ihre Abstände zueinander bestimmt werden. Unter dem Abstand versteht man die Länge der kürzesten Verbindungstrecke zwischen zwei Objekten. }} <br /> Hat man zwei Punkte im Raum, so lässt sich ihr Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_01_neu.jpg]]<br /> <br /> Spannt man einen Quader zwischen die Punkte, so enstpricht der Abstand der Länge der Raumdiagonalen.<br /> Es gilt:<br /> <math>d_F^2 = a^2+b^2</math><br /> <br /> <math>d_R^2 = d_F^2+c^2</math><br /> <br /> =><math>d_R^2 = a^2+b^2+c^2</math><br /> <br /> <math>d_R = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math><br /> <br /> Daher gilt: <math>A(a1/a2/a3)und B(b1/b2/b3)</math><br /> <br /> Um den Abstand zu berechnen muss zuerst der Vetor <math>\vec{AB} </math> gebildet werden:<br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} b1-a1 \\ b2-a2 \\ b3-a3 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> dieser entspricht der Raumdiagonalen.<br /> <br /> Die Lage des Vektors ist demnach:<br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right| } = \sqrt {(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2} </math><br /> <br /> Beispiel: <br /> <math>A(5/8/3) und B(8/10/9)</math><br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} </math> <br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right| } = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt {49} = 7</math><br /> <br /> A: Der Abstand beträgt 7 Längeneinheiten. 932 930 2013-01-07T14:58:15Z Rn.Bolz 14 wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen zwei Punkten === <br /> {{Definition|1= Im Vektorraum können Punkte, Geraden und Flächen veranschaulicht werden und ihre Abstände zueinander bestimmt werden. Unter dem Abstand versteht man die Länge der kürzesten Verbindungstrecke zwischen zwei Objekten. }} <br /> Hat man zwei Punkte im Raum, so lässt sich ihr Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_01_neu.jpg]]<br /> <br /> Spannt man einen Quader zwischen die Punkte, so enstpricht der Abstand der Länge der Raumdiagonalen.<br /> Es gilt:<br /> <math>d_F^2 = a^2+b^2</math><br /> <br /> <math>d_R^2 = d_F^2+c^2</math><br /> <br /> =><math>d_R^2 = a^2+b^2+c^2</math><br /> <br /> <math>d_R = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math><br /> <br /> Daher gilt: <math>A(a1/a2/a3)und B(b1/b2/b3)</math><br /> <br /> Um den Abstand zu berechnen muss zuerst der Vetor <math>\vec{AB} </math> gebildet werden:<br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} b1-a1 \\ b2-a2 \\ b3-a3 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> dieser entspricht der Raumdiagonalen.<br /> <br /> Die Lage des Vektors ist demnach:<br /> <br /> <math>\left| AB \sqrt\right| = \sqrt {(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2} </math><br /> <br /> Beispiel: <br /> <math>A(5/8/3) und B(8/10/9)</math><br /> <br /> <math>\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} </math> <br /> <br /> <math>\left| AB \right| = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt {49} = 7</math><br /> <br /> A: Der Abstand beträgt 7 Längeneinheiten. 930 929 2013-01-07T10:07:40Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde geleert. wikitext text/x-wiki 929 2013-01-07T10:05:31Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „[[Datei:Beispiel.jpg]]“ wikitext text/x-wiki [[Datei:Beispiel.jpg]] 0 269 972 971 2013-01-24T09:52:23Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene */ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g : \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b}{\left|{\sqrt{n} \right| \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math> \frac{\| 2x_1+3x_2+6x_3-3 |}{\sqrt{2^2+3^2+(6)^2}</math> <math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 2x_1+3x_2+6x_3-3 \right|}{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>d(P;E):</math><math>\frac{| 2*5+3*1+6*3-3| }{\7}=\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 971 970 2013-01-24T09:45:08Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene */ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g : \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math> \frac{\| 2x_1+3x_2+6x_3-3 |}{\sqrt{2^2+3^2+(6)^2}</math> <math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 2x_1+3x_2+6x_3-3 \right|}{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>d(P;E):</math><math>\frac{| 2*5+3*1+6*3-3| }{\7}=\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 970 940 2013-01-24T09:38:49Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene */ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g : \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math> \frac{\| 2x_1-3x_2+6x_3-3 |}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(6)^2}</math> <math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 2x_1-3x_2+6x_3-3 \right|}{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>d(P;E):</math><math>\frac{| 2*5+3*1+6*3-3| }{\7}=\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 940 939 2013-01-11T11:28:25Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene */ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g : \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2+x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math> \frac{\| 2x_1-3x_2+6x_3-3 |}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(6)^2}</math> <math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 2x_1-3x_2+6x_3-3 \right|}{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>d(P;E):</math><math>\frac{| 2*5+3*1+6*3-3| }{\7}=\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 939 938 2013-01-11T11:13:59Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen Punkt und Gerade */ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g : \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2+x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math> \frac{\| 2x_1-3x_2+6x_3-3 |}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(6)^2}</math> <math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 2x_1-3x_2+6x_3-3 \right|}{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{| 2*5+3*1+6*3-3| }{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 938 937 2013-01-11T11:12:49Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen Punkt und Gerade */ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g : \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H : 3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2+x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math> \frac{\| 2x_1-3x_2+6x_3-3 |}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(6)^2}</math> <math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 2x_1-3x_2+6x_3-3 \right|}{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{| 2*5+3*1+6*3-3| }{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 937 936 2013-01-07T15:17:41Z Rn.Bolz 14 wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H=3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H=3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2+x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math> \frac{\| 2x_1-3x_2+6x_3-3 |}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(6)^2}</math> <math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 2x_1-3x_2+6x_3-3 \right|}{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{| 2*5+3*1+6*3-3| }{\7}</math><math>= 0</math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 936 935 2013-01-07T15:05:55Z Rn.Bolz 14 wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H=3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H=3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2+x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math>\left| \frac{\ 2x_1-3x_2+6x_3-3}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(6)^2} \right|=0 </math><br /> <br /> <math>\left| \frac{\ 2x_1-3x_2+6x_3-3}{7} \right| </math><br /> <br /> <math>d(P;E):\left| \frac{\ 2*5+3*1+6*3-3}{7} \right| </math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 935 2013-01-07T15:05:26Z Rn.Bolz 14 Die Seite wurde neu angelegt: „=== Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt we…“ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen Punkt und Gerade === <br /> '''1: Abstand mit Hilfe der Hilfsebene'''<br /> <br /> Der Abstand zwischen Punkt A und Gerade g kann bestimmt werden, indem man eine sogenannte Hilfsebene senkrecht zur Geraden durch den Punkt A bildet.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_06_neu.jpg]]<br /> <br /> Um die Hilfsebene zu bilden, wird der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g als Normalenvektor <math>\vec{n}</math>verwendet. Außerdem wird der Punkt A zur Bildung der Ebene für die Punktprobe eingesetzt. Im zweiten Schritt bestimmt man den Schnittpunkt D (Durchstoßpunkt)zwischen der Hilfsebene und der Geraden.<br /> Als letztes entspricht der Abstand zwischen den Punkten A und D dem gesuchten Abstand zwischen Punkt und Gerade.<br /> '''Bemerkung:''' Dies gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Geraden in dem man die eine Gerade auf einen Stützvektor reduziert und die Hilfsebene senkrecht zum Stützvektor anlegt. <br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> Geg: Punkt A; g; <math>\vec{x} = \vec{p}+r \vec{u}</math><br /> <br /> 1.) Hilfsebene <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <math>\vec{u}=\vec{n} ; PP \Rightarrow A \Rightarrow b</math><br /> <br /> 2.)Hilfsebene <math>\ H \cap g</math><br /> Schnittpunkt berechnen <math>\rightarrow </math> D<br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> <math>A (1|2|5)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen Punkt und Gerade<br /> <br /> 1.) '''Hilfsebene'''<br /> <br /> <math>H: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> <math>u_g \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{n}</math> der Ebene<br /> <br /> <math>H=3x_1-4x_2+x_3=b</math><br /> <br /> PP mit <math>A(1|2|5)\rightarrow b</math><br /> <br /> <math>3*1-4*2+5=b</math><br /> <br /> <math>b=0</math><br /> <br /> <math>H=3x_1-4x_2+x_3=0</math><br /> <br /> 2.) '''Schnittpunkt D''' <br /> <br /> <math>H</math> mit <math>g</math> Schneiden <math>\rightarrow g</math> in <math>H</math><br /> <br /> <math>x_1 = 2+3r</math><br /> <math>x_2 = 9-4r</math><br /> <math>x_3 = 4+r</math><br /> <br /> <math>3(2+3r)-4(9-4r)+4+r=0</math><br /> <br /> <math>6+9r-36+16r+4+r=0</math><br /> <br /> <math>26r-26=0</math><br /> <br /> <math>r=1</math><br /> <br /> in <math>g</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1 = 2+3*1=5</math><br /> <math>x_2 = 9-4*1=5</math><br /> <math>x_3 = 4+1=5</math><br /> <br /> Daraus ergibt sich der Schnittpunkt <math>D=(5|5|5)</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> <math>A(1|2|5)</math><br /> <br /> <math>D(5|5|5)</math><br /> <br /> <math>\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5 </math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Beim Abstand zwischen parallelen Geraden nimmt man von einer Geraden nur einen Punkt (Stützvektor) und bestimmt auf dieselbe Weise den Abstand.<br /> <br /> '''2: Methode des laufenden Punktes'''<br /> <br /> Mit der Methode des laufenden Punktes kann man den Abstand zwischen Punkt und Gerade oder zwischen zwei Geraden ebenfalls bestimmen. Diese Methode ist viel kürzer, da man hierbei den GTR verwenden kann. Man behandelt die Gerade als „laufenden Punkt“, das heißt man gibt ihn als Punkt in Abhängigkeit des Parameters an. Nun wird der Abstand des laufenden Punktes zu dem anderen festen Punkt bestimmt. Diese Wurzelfunktion (Zielfunktion) die sich dann im GTR zeichnen lässt, veranschaulicht alle Abstände zum festen Punkt. Daher ist die y-Koordinate des Tiefpunktes der kleinste Abstand. Die Stelle des Tiefpunktes (x-Wert) entspricht dem Parameter der Geraden. Setzt man ihn in die Gerade ein, erhält man den Punkt auf ihr, der den kleinsten Abstand zu dem festen Punkt hat.<br /> <br /> Veranschaulichung anhand des letzten Beispiels:<br /> <br /> geg: <math>g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /> <math>A(1|2|5)</math> <br /> <br /> Alle Punkte auf g (laufender Punkt) lauten: <math>P_r (2+3r/9-4r/4+r)</math> <br /> Der Vektor <math>\vec{AP_r}= \begin{pmatrix} 2+3r \\ 9-4r \\ 4+r \end{pmatrix} </math> <br /> Die Länge des <math>\vec{\left| AP_r \right|}= d(r)= \sqrt{(1+3r)^2+(7-4r)^2+(-1+r)^2}</math> <br /> <br /> In diesem Fall ist <math>d(r)</math> unsere Zielfunktion und nun sucht man mithilfe des GTR den Tiefpunkt der Funktion. Der GTR zeigt nämlich alle Abstände an und der Tiefpunkt ist der kürzeste.<br /> <br /> TP mit dem GTR ausrechnen und somit ist der <math>TP (1|5)</math>.<br /> <br /> A: Der kürzeste Abstand ist '''5'''. <br /> <br /> === Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene === '''Methode 1 mit Hilfe der Lotgeraden:'''<br /> <br /> Hat man einen Punkt A und eine Ebene E im Raum, so lässt sich der Abstand mit Hilfe einer Lotgeraden bestimmten.<br /> <br /> [[Datei:Rn.Bolz_Tool_07_neu.jpg]]<br /> <br /> Schneidet man dann die Lotgerade mit der Ebene, erhält man den Durchstoßpunkt <math>D</math> (Lotfußpunkt). Der Abstand zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>D</math> ist der Gesuchte Abstand.<br /> <br /> '''Kurz:'''<br /> <br /> geg: Punkt A; E: <math>a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden; <br /> g: <math>\vec{x} =\vec{p}+r\vec{u} </math><br /> <br />A ist der Stützvektor und <math>\vec{n_E}=\vec{u_g}</math><br /> <br /> Das heißt, <math>\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{n}</math><br /> <br /> 2.) Schnittpunkt bestimmen<br /> <br /> <math>g</math> in <math>E \rightarrow</math> Durchstoßpunkt <math>D</math><br /> <br /> 3.) <math>\vec{\left| AD \right| }</math> = gesuchter Abstand<br /> <br /> '''Beispiel:''' <br /> <br /> geg: <math>P(6|2|-1)</math><br /> <br /> <math>E: 2x_1+4x_2-4x_3=12</math><br /> <br /> 1.) Lotgerade bilden: <br /> <br /> <math>\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}</math><br /> <br /> 2.) Durchstoßpunkt D <math>\rightarrow g</math> in <math>E</math> einsetzen<br /> <br /> <math>x_1= 6+2r</math><br /> <math>x_2= 2+4r</math><br /> <math>x_3= -1-4r</math><br /> <br /> <math>2(6+2r)+4(2+4r)-4(-1-4r)=12</math><br /> <br /> <math>12+4r+8+16r+4+16r=12</math><br /> <br /> <math>36r+24= 12 |-24</math><br /> <br /> <math>36r = -12 |:36</math><br /> <br /> <math>r = -\frac{\12}{\36} = -\frac{\1}{\3} </math><br /> <br /> <math>-\frac{\1}{\3}</math> in <math>g</math> einsetzen:<br /> <br /> <math>x_1= 6-\frac{\2}{\3}= \frac{\16}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_2= 2-\frac{\4}{\3}= \frac{\2}{\3}</math><br /> <br /> <math>x_3= -1+\frac{\4}{\3}= \frac{\1}{\3}</math><br /> <br /> <math>D(\frac{\16}{\3}|\frac{\2}{\3}|\frac{\1}{\3})</math><br /> <br /> 3.)<math>\vec{AD} = \begin{pmatrix} -\frac{\2}{\3} \\ -\frac{\4}{\3} \\ \frac{\4}{\3}\end{pmatrix} </math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{(-\frac{\2}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2+(\frac{\4}{\3})^2}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\4}{\9}+\frac{\16}{\9}+\frac{\16}{\9}}</math><br /> <br /> <math>\vec{\left| AD \right|}= \sqrt{\frac{\36}{\9}} = \sqrt{4} = 2 </math><br /> <br /> A: Der Abstand zwischen dem Punkt <math>A</math> und der Ebene <math>E</math> ist 2.<br /> <br /> '''Methode 2 mit Hilfe der Hesse'sche Normalenform:'''<br /> <br /> Basierend auf der Hesse’schen Normalenform HNF lässt sich der Abstand eines Punktes und einer Ebene berechnen mit:<br /> <br /> <math>d= \left| \frac{\ a_1x_1+a_2+x_2+a_3x_3-b}{\left|\vec{n} \right|} \right| </math><br /> <br /> wobei <math>E: a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b</math><br /> <br /> Setzt man den Punkt <math>A</math> in den Zähler, erhält man den gesuchten Abstand <math>d</math>.<br /> <br /> '''Beispiel:'''<br /> <br /> geg: <math>E: 2x_1+3x_2+6x_3=3</math><br /> <br /> <math>P(5|1|3|)</math><br /> <br /> ges: Abstand zwischen <math>P</math> und <math>E</math><br /> <br /> HNF von E: <math>\left| \frac{\ 2x_1-3x_2+6x_3-3}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(6)^2} \right|=0 </math><br /> <br /> <math>\left| \frac{\ 2x_1-3x_2+6x_3-3}{7} \right| </math><br /> <br /> <math>d(P;E):\left| \frac{\ 2*5+3*1+6*3-3}{7} \right| </math><br /> <br /> <math>\frac{\left| 28 \right|}{\7} = \frac{28}{\7} = 4</math><br /> <br /> '''Bemerkung:''' Dieses Verfahren wendet man auch beim Abstand zwischen parallelen Geraden – Ebenen oder Ebenen – Ebenen an, indem die Gerade oder die eine Ebene auf einen Punkt reduziert wird. Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen. 0 272 1277 945 2013-05-22T11:11:29Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki '''Bernoulli Experiment:'''<br /> Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es immer zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Die Wahrscheinlichkeiten für beide Ausgänge ergeben addiert Eins.<br /> '''Beispiel 1:'''<br /> Man wirft eine nicht manipulierte Münze.<br /> Es gibt zwei mögliche Versuchsausgänge: Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ist jeweils <math>\frac{1}{2}</math>. Addiert man die beiden Wahrscheinlichkeiten, so erhält man Eins.<br /> <math>P(Kopf)+P(Zahl)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1</math> <br /> '''Beispiel 2:'''<br /> Man wirft eine manipulierte Münze.<br /> Es gibt wieder zwei mögliche Versuchsausgänge: Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt nun jedoch <math>\frac{1}{3}</math>. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl beträgt hingegen <math>\frac{2}{3}</math>. Addiert man die beiden Wahrscheinlichkeiten, so erhält man ebenfalls Eins.<br /> <math>P(Kopf)+P(Zahl)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1</math> <br /> '''Bernoulli Kette:'''<br /> Als Bernoulli Kette bezeichnet man die Wiederholung eines Bernoulli Experimentes unter gleich bleibenden Voraussetzungen. Diese Wiederholung kann beliebig oft sein.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man wirft eine Münze zehnmal hintereinander. Es handelt sich nun um eine Bernoulli Kette mit zehn Wiederholungen.<br /><br /> ''Quelle: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/bernoulli-experiment-kette.html'' 945 2013-01-13T23:56:32Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „'''Bernoulli Experiment:'''<br /> Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es immer zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Die Wahrscheinlichke…“ wikitext text/x-wiki '''Bernoulli Experiment:'''<br /> Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es immer zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Die Wahrscheinlichkeiten für beide Ausgänge ergeben addiert Eins.<br /> '''Beispiel 1:'''<br /> Man wirft eine nicht manipulierte Münze.<br /> Es gibt zwei mögliche Versuchsausgänge: Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ist jeweils <math>\frac{1}{2}</math>. Addiert man die beiden Wahrscheinlichkeiten, so erhält man Eins.<br /> <math>P(Kopf)+P(Zahl)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1</math> <br /> '''Beispiel 2:'''<br /> Man wirft eine manipulierte Münze.<br /> Es gibt wieder zwei mögliche Versuchsausgänge: Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt nun jedoch <math>\frac{1}{3}</math>. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl beträgt hingegen <math>\frac{2}{3}</math>. Addiert man die beiden Wahrscheinlichkeiten, so erhält man ebenfalls Eins.<br /> <math>P(Kopf)+P(Zahl)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1</math> <br /> '''Bernoulli Kette:'''<br /> Als Bernoulli Kette bezeichnet man die Wiederholung eines Bernoulli Experimentes unter gleich bleibenden Voraussetzungen. Diese Wiederholung kann beliebig oft sein.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man wirft eine Münze zehnmal hintereinander. Es handelt sich nun um eine Bernoulli Kette mit zehn Wiederholungen. 0 522 1889 1879 2018-12-18T16:45:50Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Sättigungsmanko.<br /><br /> Der Graph der Funktion eines beschränkten Wachstums nähert sich einer Schranke an. Der Abstand zwischen Graph und Schranke wird Sättigungsmanko genannt.<br /> Ist das Wachstum nach oben beschränkt, so nähert sich der Graph von unten an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei positiv und wird umso geringer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br /> Ist das Wachstum nach unten beschränkt, so nähert sich der Graph von oben an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei negativ und wird umso größer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br /> ==Funktionsterm== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{S-a}</math> ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ==a berechnen== Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br /> <math> \begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}</math><br /><br /> Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.<br /> <math> \begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align} </math><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &=y_0 \\ 50-45 &=5 \end{align}</math><br /> Der Anfangsbestand ist also 5.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}</math><br /> Berechnen Sie <math>{a}</math><br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &= -(52,15-60) \cdot e^{0,4 \cdot 5} \\ a & \approx 58 \end{align} </math> </popup> }} ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.<br /> <math> \begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math> <br /> Also lautet die Ableitungsfunktion<br /> <math>{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math><br /> Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=9}</math> an!<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(9) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot 9} \\ f'(9) & \approx 4,55 \end{align} </math> </popup> }} ==Übungsaufgabe== Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion<br /> <math>{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> beschrieben werden.<br /> a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!<br /> b)Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres? <popup name="Lösung a)"> <math> \begin{align} a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\ a &=-(91,2-100) \cdot e^{0,15 \cdot 16} \\ a & \approx 97 \end{align} </math><br /><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &= y_0 \\ 100-97 &= 3 \end{align} </math><br /><br /> Der Anfangsbestand ist ungefähr 3. </popup> <popup name="Lösung b)"> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(5) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot 5} \\ f'(5) & \approx 6,873 \end{align} </math><br /><br /> Am Ende des 5. Jahres beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit ungefähr 6,873 km²/Jahr. </popup> c313479c1025817b2ff88610cb6ca815892d0903 1879 1825 2018-12-01T11:19:50Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an.<br /><br /> Ist das Wachstum nach oben beschränkt, so nähert sich der Graph von unten an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei positiv und wird umso geringer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br /> Ist das Wachstum nach unten beschränkt, so nähert sich der Graph von oben an die Schranke an. Die Steigung des Graphen ist dabei negativ und wird umso größer, je weiter sich der Graph der Schranke annähert.<br /> ==Funktionsterm== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{S-a}</math> ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ==<math>{a}</math> berechnen== Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br /> <math> \begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}</math><br /><br /> Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.<br /> <math> \begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align} </math><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &=y_0 \\ 50-45 &=5 \end{align}</math><br /> Der Anfangsbestand ist also 5.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}</math><br /> Berechnen Sie <math>{a}</math><br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &= -(52,15-60) \cdot e^{0,4 \cdot 5} \\ a & \approx 58 \end{align} </math> </popup> }} ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.<br /> <math> \begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math> <br /> Also lautet die Ableitungsfunktion<br /> <math>{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math><br /> Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=9}</math> an!<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(9) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot 9} \\ f'(9) & \approx 4,55 \end{align} </math> </popup> }} ==Übungsaufgabe== Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion<br /> <math>{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> beschrieben werden.<br /> a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt!<br /> b)Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres? <popup name="Lösung a)"> <math> \begin{align} a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\ a &=-(91,2-100) \cdot e^{0,15 \cdot 16} \\ a & \approx 97 \end{align} </math><br /><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &= y_0 \\ 100-97 &= 3 \end{align} </math><br /><br /> Der Anfangsbestand ist ungefähr 3. </popup> <popup name="Lösung b)"> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(5) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot 5} \\ f'(5) & \approx 6,873 \end{align} </math><br /><br /> Am Ende des 5. Jahres beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit ungefähr 6,873 km²/Jahr. </popup> 40787648fc024b8a90b3d90e42a5b3c7ad647cb4 1825 1822 2018-10-24T18:02:06Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsterm== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{S-a}</math> ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ==<math>{a}</math> berechnen== Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br /> <math> \begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \quad |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} \quad | \div e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a \quad | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}</math><br /><br /> Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.<br /> <math> \begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align} </math><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &=y_0 \\ 50-45 &=5 \end{align}</math><br /> Der Anfangsbestand ist also 5.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}</math><br /> Berechnen Sie <math>{a}</math><br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &= -(52,15-60) \cdot e^{0,4 \cdot 5} \\ a & \approx 58 \end{align} </math> </popup> }} ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.<br /> <math> \begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math> <br /> Also lautet die Ableitungsfunktion<br /> <math>{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math><br /> Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=9}</math> an!<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(9) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot 9} \\ f'(9) & \approx 4,55 \end{align} </math> </popup> }} ==Übungsaufgabe== Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion<br /> <math>{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> beschrieben werden.<br /><br /> a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\ a &=-(91,2-100) \cdot e^{0,15 \cdot 16} \\ a & \approx 97 \end{align} </math><br /><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &= y_0 \\ 100-97 &= 3 \end{align} </math><br /><br /> Der Anfangsbestand ist ungefähr 3. </popup> b) Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(5) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot 5} \\ f'(5) & \approx 6,873 \end{align} </math><br /><br /> Am Ende des 5. Jahres beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit ungefähr 6,873 km²/Jahr. </popup> fb2c000032444e7acf68c68d3238123026032507 1822 1821 2018-10-21T10:50:55Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsterm== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{S-a}</math> ergeben den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ==<math>{a}</math> berechnen== Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br /> <math> \begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} |: e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}</math><br /><br /> Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.<br /> <math> \begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align} </math><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &=y_0 \\ 50-45 &=5 \end{align}</math><br /> Der Anfangsbestand ist also 5.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{52,15 = 60-a \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}</math><br /> Berechnen Sie <math>{a}</math><br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &= -(52,15-60) \cdot e^{0,4 \cdot 5} \\ a & \approx 58 \end{align} </math> </popup> }} ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.<br /> <math> \begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math> <br /> Also lautet die Ableitungsfunktion<br /> <math>{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math><br /> Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=9}</math> an!<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(9) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot 9} \\ f'(9) & \approx 4,55 \end{align} </math> </popup> }} ==Übungsaufgabe== Auf dem Grund eines Sees mit einer Fläche von 100 km² breitet sich eine neue Algenart aus. Sie ist auf die Fläche des Sees begrenzt. Ihr Wachstum kann mit der Funktion<br /> <math>{100-a \cdot e^{-0,15 \cdot x}}</math><br /> beschrieben werden.<br /> a)Berechnen Sie den Anfangsbestand, wenn die Algenart nach 16 Jahren 91,2 km² des Sees bedeckt! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=-(y-S) \cdot e^{k \cdot x} \\ a &=-(91,2-100) \cdot e^{0,15 \cdot 16} \\ a & \approx 97 \end{align} </math><br /><br /><br /> <math> \begin{align} S-a &= y_0 \\ 100-97 &= 3 \end{align} </math><br /><br /> Der Anfangsbestand ist ungefähr 3. </popup> b) Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des 5. Jahres?<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(5) &= 0,15 \cdot 97 \cdot e^{-0,15 \cdot 5} \\ f'(5) & \approx 6,873 \end{align} </math><br /><br /> Am Ende des 5. Jahres beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit ungefähr 6,873 km²/Jahr. </popup> 9d50e46c5118ca6a14345f009079605097f0a6ad 1821 1810 2018-10-04T14:05:29Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsterm== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ==Anfangsbestand berechnen== Um den Anfangsbestand zu berechnen, muss der restliche Funktionsterm auf <math>{a}</math> umgeformt werden.<br /> <math> \begin{align} y &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} |-S \\ y-S &= -a \cdot e^{-k \cdot x} |: e^{-k \cdot S} \\ \frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= -a | \cdot -1 \\ -\frac{y-S}{e^{-k \cdot x}} &= a \\ -(y-S) \cdot e^{k \cdot x} &= a \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{49,5=50-a \cdot e^{-0,75 \cdot 6}}</math><br /><br /> Um den Anfangsbestand zu berechnen müssen die Werte in die umgeformte Gleichung eingesetzt werden.<br /> <math> \begin{align} a &=-(49,5-50) \cdot e^{0,75 \cdot 6} \\ a & \approx 45 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Gleichung <br /> <math>{52,15 = 60-58 \cdot e^{-0,4 \cdot 5}}</math><br /> Berechnen Sie <math>{a}</math><br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &= -(52,15-60) \cdot e^{0,4 \cdot 5} \\ a & \approx 58 \end{align} </math> </popup> }} ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss die Ableitung gebildet werden.<br /> <math> \begin{align} f(x) &= S-a \cdot e^{-k \cdot x} \\ f'(x) &= k(S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x})) \\ f'(X) &= k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x} \end{align} </math> ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)=100-99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math> <br /> Also lautet die Ableitungsfunktion<br /> <math>{f'(x)= 1,2 \cdot 99 \cdot e^{-1,2 \cdot x}}</math><br /> Damit lässt sich die Wachststumsgeschwindigkeit der Ausgangsgleichung an jeder beliebigen Stelle berechnen.<br /><br /> {{Aufgabe|Gegeben ist die Funktionsgleichung <br /> <math>{f(x)= 122-117 \cdot e^{-0,15 cdot x}}</math><br /> Geben Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=9}</math> an!<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot x} \\ f'(9) &=0,15 \cdot 117 \cdot e^{-0,15 \cdot 9} \\ f'(9) & \approx 4,55 \end{align} </math> </popup> }} 742014034816b65eb663f75de8457cd0a53cd77a 1810 1808 2018-09-23T17:50:13Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> Wie das exponentielle Wachstum kann auch das beschränkte Wachstum mit und ohne <math>{e}</math> gebildet werden. ==Funktionsterm ohne e== Der allgemeine Funktionsterm des beschränkten Wachstums ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=S-a \cdot b^{-x}}</math><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{a}</math> ergibt addiert (nachunten begrenzt) beziehungsweise subtrahiert (nach oben begrenzt) mit/von <math>{S}</math> den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>. Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> <math>{b}</math> ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den <math>{a}</math> in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.<br /> ===Beispiel=== Ein Heißgetränk hat eine Temperatur von 50 °C und kühlt auf die Umgebungstemperatur von 20 °C ab ==Funktionsterm mit e== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ===Differenzialgleichung=== Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitund des Funktionsterms lautet: <br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /> Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben <math>{f'(x)}</math> auch <math>{f(x)}</math> in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}</math><br /> Jetzt fehlt nur noch die Schranke <math>{S}</math>:<br /> <math>{f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}</math><br /> Der markierte Teil ist identisch mit <math>{f(x)}</math> und kann daher ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}</math><br /> ==Beispiel== [[Datei:BeWachstum3.png|rahmenlos|rechts]] Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion<br /> <math>{15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}</math> <br /> (x in Jahren) beschrieben werden. <br /><br /><br /> ==Aufgaben== {{Aufgabe|Bei Beobachtungsbeginn bedeckt eine Algenart 5 Quadratkilometer des Grundes eines Sees. Die Algen breiten sich innerhalb des 90 Quadratmeter großen Sees aus. Die von den Algen bedeckte Fläche kann mit der Funktion<br /><br /> <math>{90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> (x in Monaten) beschrieben werden. 1) Geben Sie den Funktionsterm als Differenzialsgleichung an! <popup name="Lösung"> <math>{f'(x)=0,1(90-f(x))}</math> </popup> 2) Welche Fläche bedecken die Algen nach zweieinhalb Jahren? <popup name="Lösung"> <math>{f(30)=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot 30}}</math><br /> <math>{f(30) \approx 85,77}</math><br /> Nach zweieinhalb Jahren haben die Algen ungefähr 85,77 Quadratmeter des Seegrundes bedeckt. </popup> 3) Wann bedecken die Algen eine Fläche von 75 Quadratkilometern? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 75 &=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}|-90 \\ -15 &=-85 \cdot e^{-01 \cdot x}|:-85 \\ \tfrac{15}{85} &=e^{-0,1 \cdot x}|ln \\ ln(\tfrac{15}{85}) &=-0,1 \cdot x| \cdot -10 \\ -10 \cdot ln(\tfrac{15}{85}) &=x \\ 17,35 & \approx x \end{align} </math><br /> Nach ungefähr 17,35 Monaten bedecken die Algen 75 Quadratkilometer des Seegrundes. </popup> }} c42a1d14982af175c212e9bc50e62d87cad088ee 1808 1804 2018-09-23T14:59:13Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> Wie das exponentielle Wachstum kann auch das beschränkte Wachstum mit und ohne <math>{e}</math> gebildet werden. ==Funktionsterm ohne e== Der allgemeine Funktionsterm des beschränkten Wachstums ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=S-a \cdot b{-x}}</math><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{a}</math> ergibt addiert (nachunten begrenzt) beziehungsweise subtrahiert (nach oben begrenzt) mit <math>{S}</math> den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> <math>{b}</math> ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den der Bestand in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.<br /> ===Beispiel=== Ein Heißgetränk hat eine Temperatur von 50 °C und kühlt auf die Umgebungstemperatur von 20 °C ab ==Funktionsterm mit e== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke, der sich der Graph annähert, die aber nicht überschritten werden kann.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ===Differenzialgleichung=== Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitund des Funktionsterms lautet: <br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /> Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben <math>{f'(x)}</math> auch <math>{f(x)}</math> in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}</math><br /> Jetzt fehlt nur noch die Schranke <math>{S}</math>:<br /> <math>{f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}</math><br /> Der markierte Teil ist identisch mit <math>{f(x)}</math> und kann daher ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}</math><br /> ==Beispiel== [[Datei:BeWachstum3.png|rahmenlos|rechts]] Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion<br /> <math>{15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}</math> <br /> (x in Jahren) beschrieben werden. <br /><br /><br /> ==Aufgaben== {{Aufgabe|Bei Beobachtungsbeginn bedeckt eine Algenart 5 Quadratkilometer des Grundes eines Sees. Die Algen breiten sich innerhalb des 90 Quadratmeter großen Sees aus. Die von den Algen bedeckte Fläche kann mit der Funktion<br /><br /> <math>{90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> (x in Monaten) beschrieben werden. 1) Geben Sie den Funktionsterm als Differenzialsgleichung an! <popup name="Lösung"> <math>{f'(x)=0,1(90-f(x))}</math> </popup> 2) Welche Fläche bedecken die Algen nach zweieinhalb Jahren? <popup name="Lösung"> <math>{f(30)=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot 30}}</math><br /> <math>{f(30) \approx 85,77}</math><br /> Nach zweieinhalb Jahren haben die Algen ungefähr 85,77 Quadratmeter des Seegrundes bedeckt. </popup> 3) Wann bedecken die Algen eine Fläche von 75 Quadratkilometern? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 75 &=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}|-90 \\ -15 &=-85 \cdot e^{-01 \cdot x}|:-85 \\ \tfrac{15}{85} &=e^{-0,1 \cdot x}|ln \\ ln(\tfrac{15}{85}) &=-0,1 \cdot x| \cdot -10 \\ -10 \cdot ln(\tfrac{15}{85}) &=x \\ 17,35 & \approx x \end{align} </math><br /> Nach ungefähr 17,35 Monaten bedecken die Algen 75 Quadratkilometer des Seegrundes. </popup> }} e5d8bc7e3a2beed73082ff8a780328fa8073dfbf 1804 1800 2018-09-05T17:42:16Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann. <br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ===Differenzialgleichung=== Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitund des Funktionsterms lautet: <br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /> Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben <math>{f'(x)}</math> auch <math>{f(x)}</math> in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}</math><br /> Jetzt fehlt nur noch die Schranke <math>{S}</math>:<br /> <math>{f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}</math><br /> Der markierte Teil ist identisch mit <math>{f(x)}</math> und kann daher ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}</math><br /> ==Beispiel== [[Datei:BeWachstum3.png|rahmenlos|rechts]] Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion<br /> <math>{15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}</math> <br /> (x in Jahren) beschrieben werden. <br /><br /><br /> ==Aufgaben== {{Aufgabe|Bei Beobachtungsbeginn bedeckt eine Algenart 5 Quadratkilometer des Grundes eines Sees. Die Algen breiten sich innerhalb des 90 Quadratmeter großen Sees aus. Die von den Algen bedeckte Fläche kann mit der Funktion<br /><br /> <math>{90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> (x in Monaten) beschrieben werden. 1) Geben Sie den Funktionsterm als Differenzialsgleichung an! <popup name="Lösung"> <math>{f'(x)=0,1(90-f(x))}</math> </popup> 2) Welche Fläche bedecken die Algen nach zweieinhalb Jahren? <popup name="Lösung"> <math>{f(30)=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot 30}}</math><br /> <math>{f(30) \approx 85,77}</math><br /> Nach zweieinhalb Jahren haben die Algen ungefähr 85,77 Quadratmeter des Seegrundes bedeckt. </popup> 3) Wann bedecken die Algen eine Fläche von 75 Quadratkilometern? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 75 &=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}|-90 \\ -15 &=-85 \cdot e^{-01 \cdot x}|:-85 \\ \tfrac{15}{85} &=e^{-0,1 \cdot x}|ln \\ ln(\tfrac{15}{85}) &=-0,1 \cdot x| \cdot -10 \\ -10 \cdot ln(\tfrac{15}{85}) &=x \\ 17,35 & \approx x \end{align} </math><br /> Nach ungefähr 17,35 Monaten bedecken die Algen 75 Quadratkilometer des Seegrundes. </popup> }} 66eaeb468d9a6ebbd92619c4ae8040459e47f212 1800 1799 2018-09-04T14:46:25Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann. <br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ===Differenzialgleichung=== Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitund des Funktionsterms lautet: <br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /> Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben <math>{f'(x)}</math> auch <math>{f(x)}</math> in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}</math><br /> Jetzt fehlt nur noch die Schranke <math>{S}</math>:<br /> <math>{f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}</math><br /> Der markierte Teil ist identisch mit <math>{f(x)}</math> und kann daher ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}</math><br /> ==Beispiel== [[Datei:BeWachstum3.png|rahmenlos|rechts]] Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion<br /> <math>{15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}</math> <br /> (x in Jahren) beschrieben werden. <br /><br /><br /> ==Aufgaben== {{Aufgabe|Bei Beobachtungsbeginn bedeckt eine Algenart 5 Quadratkilometer des Grundes eines Sees. Die Algen breiten sich innerhalb des 90 Quadratmeter großen Sees aus. Die von den Algen bedeckte Fläche kann mit der Funktion<br /> <math>{90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}}</math><br /> (x in Monaten) beschrieben werden. 1) Geben Sie den Funktionsterm als Differenzialsgleichung an! <popup name="Lösung"> <math>{f'(x)=0,1(90-f(x))}</math> </popup> 2) Welche Fläche bedecken die Algen nach zweieinhalb Jahren? <popup name="Lösung"> <math>{f(30)=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot 30}}</math><br /> <math>{f(30) \approx 85,77}</math><br /> Nach zweieinhalb Jahren haben die Algen ungefähr 85,77 Quadratmeter des Seegrundes bedeckt. </popup> 3) Wann bedecken die Algen eine Fläche von 75 Quadratkilometern? <popup name="Lösung"> <math>{75=90-85 \cdot e^{-0,1 \cdot x}|-90}</math><br /> <math>{-15=-85 \cdot e^{-01 \cdot x}|:-85}</math><br /> <math>{\tfrac{15}{85}=e^{-0,1 \cdot x}|ln}</math><br /> <math>{ln(\tfrac{15}{85}=-0,1 \cdot x| \cdot -10}</math><br /> <math>{-10 \cdot ln(\tfrac{15}{85}=x}</math><br /> <math>{17,35 \approx x}</math><br /> Nach ungefähr 17,35 Monaten bedecken die Algen 75 Quadratkilometer des Seegrundes. </popup> }} 49052188a6e4e5dd253d0b262c96022bae677fd5 1799 1791 2018-09-04T13:45:59Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann. <br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante.<br > <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> [[Datei:BeWachstum1.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Be Wachstum2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> ===Differenzialgleichung=== Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitund des Funktionsterms lautet: <br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /> Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben <math>{f'(x)}</math> auch <math>{f(x)}</math> in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}</math><br /> Jetzt fehlt nur noch die Schranke <math>{S}</math>:<br /> <math>{f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}</math><br /> Der markierte Teil ist identisch mit <math>{f(x)}</math> und kann daher ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}</math><br /> ==Beispiel== [[Datei:BeWachstum3.png|rahmenlos|rechts]] Nach dem Einpflanzen wächst ein Baum recht schnell, jedoch wächst er langsamer je größer er wird, sodass sich seine Höhe einer natürlichen Grenze annähert. Diese Höhe (in Metern) kann mit der Funktion<br /> <math>{15-15 \cdot e^{-0,5 \cdot x}}</math> <br /> (x in Jahren) beschrieben werden. 42d1b0e93e80dc5fd288a639e5a60fc3c85c6990 1791 1790 2018-09-04T13:07:45Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann. <br /> <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante. ===Differenzialgleichung=== Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitund des Funktionsterms lautet: <br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /> Um daraus eine Differenzialgleichung zu machen, muss neben <math>{f'(x)}</math> auch <math>{f(x)}</math> in der Funktion enthalten sein. Dafür muss diese zuerst umgeformt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(a \cdot e^{-k \cdot x})}</math><br /> Jetzt fehlt nur noch die Schranke <math>{S}</math>:<br /> <math>{f'(x)=k(S-({\color{red}S-a \cdot e^{-k \cdot x}}))}</math><br /> Der markierte Teil ist identisch mit <math>{f(x)}</math> und kann daher ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k(S-{\color{red}f(x)})}</math><br /> 9a15b60b3161d8c48afe6d10e856e082452ebac1 1790 1789 2018-09-04T10:14:18Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsgleichun== ===Funktionsterm=== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann. <br /> <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> . Zudem bestimmt das Vorzeichen vor dem <math>{a}</math>, ob das Wachstum nach oben oder nach unten begrenzt ist.<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstumskonstante. ===Differenzialgleichung=== Als Differenzialgleichung geschrieben lautet der Funktionsterm des beschränkten Wachstums<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-f(x))}</math>.<br /><br /> Erklärung:<br /> Die Differenzialgleichung ausgeschrieben lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot (S-(S-a \cdot e^{-k \cdot x}))}</math><br /> Vereinfacht:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /> 834e46baa467165d6180ab521f472e287a4a04a6 1789 2018-09-03T14:35:37Z BBuschmann 10022 Die Seite wurde neu angelegt: „Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (po…“ wikitext text/x-wiki Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Graph einer Schranke an, ohne diese zu berühren oder zu schneiden. Dabei kann sich der Graph sowohl von unten (positives Wachstum) als auch von oben (negatives Wachstum) an die Schranke annähren.<br /> ==Funktionsgleichun== ===Funktionsterm=== <math>{f(x)=S-a \cdot e^{-k \cdot x}}</math><br /><br /> <math>{S}</math> steht für die Schranke die nicht überschritten werden kann. <br /> <math>{a}</math> steht für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt. 0ad568380698994abc4bc70393e18f09394c84fe 0 357 1265 1247 2013-03-19T15:25:59Z Dennis 84 /* Vektor Addition */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. Sie werden durch ihre Menge und Einheit angegeben. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit <math>\vec v</math> in m/s; km/h * Impuls <math>\vec p</math> in N * Beschleunigung <math>\vec a</math> in m/s² ====Vektor Addition==== 1. Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png|rahmenlos|left|Vektoren, die entlang einer Linie wirken]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 2. Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG|rahmenlos|right|Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken]] Die Resultierende zweier Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken ermittelt man, in dem man die beiden Vektoren parallel so verschiebt, dass ein Parallelogramm entsteht. Die Resultierende ist nun die Diagonale des Parallelogramms, die am Anfang des ersten Vektors beginnt und am Ende des zweiten Vektors endet. siehe Bild: Die Resultierende V₃ ergibt sich aus der Addition der Vektoren V₁ und V₂. 1247 1245 2013-03-18T09:54:14Z F.Bittermann 3 /* Vektor Addition */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. Sie werden durch ihre Menge und Einheit angegeben. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit <math>\vec v</math> in m/s; km/h * Impuls <math>\vec p</math> in N * Beschleunigung <math>\vec a</math> in m/s² ====Vektor Addition==== 1. Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png|rahmenlos|left|Vektoren, die entlang einer Linie wirken]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 2. Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG|rahmenlos|right|Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. <span style="color: red">Die Regel der Vektoraddition genau erklären!</span> 1245 1239 2013-03-12T15:17:17Z J.Stirm 80 /* Vektoren */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. Sie werden durch ihre Menge und Einheit angegeben. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit <math>\vec v</math> in m/s; km/h * Impuls <math>\vec p</math> in N * Beschleunigung <math>\vec a</math> in m/s² ====Vektor Addition==== 1. Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png|rahmenlos|left|Vektoren, die entlang einer Linie wirken]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 2. Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG|rahmenlos|right|Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. 1239 1236 2013-03-05T13:40:29Z J.Stirm 80 /* Vektoren */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. Sie werden durch ihre Menge und Einheit angegeben. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * [[Datei:Geschwindigkeit.JPG]] in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== 1. Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png|rahmenlos|left|Vektoren, die entlang einer Linie wirken]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 2. Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG|rahmenlos|right|Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. 1236 1235 2013-03-05T13:30:44Z J.Stirm 80 /* Skalare */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. Sie werden durch ihre Menge und Einheit angegeben. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit v in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== 1. Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png|rahmenlos|left|Vektoren, die entlang einer Linie wirken]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 2. Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG|rahmenlos|right|Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. 1235 1233 2013-03-05T13:29:49Z J.Stirm 80 wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. Sie werden durch ihre Menge und Einheit angegeben. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit v in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== 1. Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png|rahmenlos|left|Vektoren, die entlang einer Linie wirken]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 2. Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG|rahmenlos|right|Vektoren, die in verschiedene Richtungen wirken]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. 1233 1230 2013-03-05T12:33:59Z Dennodenno 82 /* Skalare */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit v in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== #Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. #Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. 1230 1229 2013-02-26T15:23:42Z J.Stirm 80 /* Vektor Addition */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit v in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== #Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. #Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. 1229 1225 2013-02-26T15:22:27Z J.Stirm 80 /* Vektor Addition */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit v in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== #Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. #Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken: [[Datei:Vektoren1.JPG]] Vektoren die in verschiedene Richtungen wirken kann man nicht einfach addieren, sondern muss man aufzeichnen und die Enden mit einer Diagonale verbinden. 1225 1224 2013-02-23T11:25:27Z J.Stirm 80 /* Vektoren */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe die nicht vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird, sondern zusätzlich zu der Größenangabe noch eine Richtungsangabe hat. Diese Richtungsangabe kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit v in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== #Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 1224 1222 2013-02-23T11:12:01Z J.Stirm 80 /* Vektoren */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== Ein Vektor ist eine physikalische Größe, die vollständig durch Angabe ihrer Größe beschrieben wird. Vektoren kennzeichnet man durch einen Pfeil über dem Formelzeichen. Beispiele: * Geschwindigkeit v in M/s; Km/h * Impuls p in N * Beschleunigung A in m/s² ====Vektor Addition==== #Vektoren die entlang einer Linie wirken: [[Datei:J.Stirm_Vektoren_Addition.png]] Vektoren die entlang einer Linie wirken und nicht in Verschiedene Richtungen kann man addieren bzw. subtrahieren. 1222 1221 2013-02-19T19:11:47Z F.Jahncke 74 /* Skalare */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung. (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== 1221 1219 2013-02-19T15:25:24Z F.Jahncke 74 /* Skalare */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben werden. z.B. Energie (E in J/s) Volumen (V in cm³) Masse (m in kg) Leistung (P in W) Temperatur (T in °C) ===Vektoren=== 1219 1218 2013-02-19T15:21:47Z F.Jahncke 74 /* Skalare */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== Skalare sind physikalische Größen, deren Angabe nur durch ihre Größe beschrieben wird. ===Vektoren=== 1218 1217 2013-02-19T15:15:09Z F.Jahncke 74 /* Skalare und Vektoren */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== ===Vektoren=== 1217 1216 2013-02-19T15:14:48Z F.Jahncke 74 /* Skalare und Vektoren */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Vektoren=== ===Skalare=== 1216 1202 2013-02-19T15:13:50Z F.Jahncke 74 /* Skalare und Vektoren */ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == ===Skalare=== 1202 2013-02-19T11:52:29Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== Skalare und Vektoren ==“ wikitext text/x-wiki == Skalare und Vektoren == 0 503 1812 1811 2018-09-30T15:17:57Z KlarDk 10023 wikitext text/x-wiki <h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bernoulli-Kette''' liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird. Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine '''Binomialverteilung''' vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen: <br/> [[File:FormelBernoulli.png|Formel von Bernoulli]] <h2> Kumulierte Binomialverteilung:</h2> Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung. <br/> Allgemein gilt: <br/> [[File:KumulierteBNV1.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV2.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV3.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 a.) |- | Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. <br/> Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. <br/> • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug angetreten wird, beträgt p=0,9. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass ein Flug storniert wird, beträgt 1-p=0,1. N ist die Anzahl der Sitzplätze, in dem Fall n=100. Die Anzahl der Passagiere, die einen Flug buchen wird mit k bezeichnet. In dem Fall sind es 84; also k=84. Mit diesen Angaben und der Bernoulli Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. <br/> P(X=84)=0,9⁸⁴*0,1¹⁶≈0,019 <br/> Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden, liegt bei 1,9%. </popup><br /> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 b.) |- | • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Mit der oben genannten Formel für P(x≥k) kann man diese Aufgabe lösen. Dies wäre allerdings sehr aufwändig zu rechnen, daher benutzen wir eine kürzere und einfachere Formel. <br/> '''P(X≥k)=1-P(x≤k-1)''' Setzt man die Werte ein, so ergibt sich folgender Rechenweg: <br/> '''P(X≥90)=1-P(x≤89)''' Mit dem WTR lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für x≤89 Treffer berechnen. Dazu wird das „MENU“ aufgerufen, die „4“ gedrückt (Verteilungsfakt.) und den Menüpunkt „Kumul. Binom.-Vert.“ Gedrückt. Unter dem Punkt „Variable“ werden die entsprechenden Werte eingesetzt und anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnet. <br/> Die Wahrscheinlichkeit für x≤89 beträgt: ca. 41% Nun kann dieser Wert in unsere Formel eingesetzt werden. <br/> '''P(X≥90)=1-0,41=0,59=59%''' ''Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 90 Plätze besetzt werden, beträgt 59%.'' </popup><br /> <h2> Zufallsvariable </h2> Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt. Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X. <br/> <h2> Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung </h2> Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist. <br/> Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen: <br/> [[File:EWW.png|Formel]] <br/> [[File:EWW-Zusatz.png|Formel]] <br/> <div style="text-indent:10px;">→Hier kann sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Rechenoperator verändern.</div> <br/> Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel: [[File:EWW-kurz.png|Formel]] <br/> '''n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit''' <br/> <div style="text-indent:10px;">→Die Wahrscheinlichkeit bleibt hier gleich, da p einheitlich ist</div> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |} <popup name="Lösung"> Zufallsvariable X: gibt die Fehler pro Seite an <br/> Formel zur Berechnung des Erwartungswerts: '''μ=n*p''' <br/> Einsetzen: '''μ=0*0,17+1*0,3+2*0,27+3*0,16+4*0,26=2,36''' <br/> '' →Durchschnittlich enthält eine Seite 2 Fehler.'' </popup><br /> <h2> Standardabweichung von X </h2> Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert. <br/> Formel zur Berechnung der Standardabweichung: <br/> [[File:SA-Formel.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. <br/> • Wie viele Treffer können im Schnitt erwartet werden? <br/> • Geben Sie die Standardabweichung vom Erwartungswert E(X) an. |} <popup name="Lösung"> '''1. Teilaufgabe:''' <br/> μ=n*p <br/> =7*60/100=4,2 <br/> Es können im Schnitt 4,2 Treffer erwartet werden. '''2. Teilaufgabe:''' <br/> σ=√(n*p*(1-p))<br/> = √(7*0,6*(0,4) )= √42/5 <br/> Die Standardabweichung beträgt √42/5 ≈1,3 </popup><br /> <h2> Problemlösen mit der Binomialverteilung </h2> Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> '''<h3> 1. Fall: Parameter n ist gesucht </h3>''' Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens '''1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat: <br/>''' [[File:RGSchwäche1.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche2.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche3.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche4.png|Formel]] <br/> '''Einsetzen in Bernoulli-Formel:''' [[File:RG-Bernoulli.png|Formel]] <br/> Es gilt: [[File:RG-Bernoullire.png|Formel]] <br/> Da auch [[File:ZF1.png|Formel]] ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig: <br/> [[File:BN1.png|Formel]] <br/> [[File:BN2.png|Formel]] <br/> [[File:BN3.png|Formel]] <br/> '''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' '''2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben:''' [[File:CN1.png|Formel]] <br/> [[File:CNO2.png|Formel]] <br/> [[File:CN3.png|Formel]] <br/> [[File:CN4.png|Formel]] <br/> Mit dem WTR kann nun eine Tabelle erstellt werden, um die Mindestanzahl an Personen zu erhalten. <br/> Gemäß der Tabelle liegt der Wert für P(X≤4) für n=80 unter 0,15. <br/> '''Dementsprechend muss die Gruppe aus mindestens 80 Männern bestehen.''' <h3> 2. Fall: Parameter k ist gesucht </h3> Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 98% der Schrauben normgerechte Längen haben. <br/> Ein Händler kontrolliert eine Schraubenlieferung mit einer Stichprobe vom Umfang 200 und findet k Schrauben mit nicht normgerechter Länge. <br/> Die Lieferung soll zurückgewiesen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens k nicht normgerechte Schrauben in der Stichprobe höchstens 5% beträgt. <br/> <div style="text-indent:30px;">Ab welcher Anzahl k sollte er die Lieferung zurückweisen?</div> Gegegeben: n=200, p=0,98 und q= 0,02: <br/> Gleichung aufstellen:<br/> [[File:PrK01.png|Formel]] <br/> Hier bietet es sich an, eine Tabelle mit dem WTR zu erstellen. <br/> Hierzu wird im WTR MENU-4-Kumul. Binom. Vert. aufgerufen. Anscchließend "1:Liste" klicken und Werte für k eingeben. <br/> Um hier einen möglichst genauen Wert zu bekommen, ist die Berechnung des Erwartungswerts E hilfreich. <br/> Mit der Formel '''''E(X)= n*p''''' kann man diesen berechnen. Werden die entsprechenden Werte für n und p eingesetzt (200*0,98), erhält man <br/> einen Wert von 196. <br/> Die Werte für k werden so gewählt, dass sie um diesen Wert liegen. Wir wählen als untere Grenze 190 und als obere Grenze 200. <br/> Schaut man nun in die Tabelle, so kann man feststellen, dass der Wert für k≤192= 0,049 beträgt. für k≤193 wäre der Wert 0,1. <br/> Da die Wahrscheinlichkeit, dass die Schrauben nicht normgerecht sind, aber höchstens 5% betragen darf, muss der Wert k≤192 gewählt werden. <br/> '''Der Hersteller muss die Lieferung also ab 192 Schrauben zurückweisen.''' <br/> <h3> 3. Fall: Parameter p ist gesucht </h3> Eine Glühlampe, die zufällig der Produktion entnommen wird, leuchtet einwandfrei mit der unbekannten Wahrscheinlichkeit p. Jemand entnimmt zufällig 40 Glühlampen. <br/> Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% sollen mindestens 38 Glühlampen dieser Stichprobe einwandfrei sein. <br/> Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p mindestens sein ? Gegeben sind folgende Werte: <br/> n= 40, k≥38 sowie die Wahrscheinlichkeit, von mind. 90% Folgende Formel lässt sich anhand dieser Angaben aufstellen: [[File:ParameterP01.png|Formel]] <br/> Da man dies aber so im TR nicht berechnen kann, muss die Formel umgeschrieben werden: [[File:ParameterP02.png|Formel]] <br/> Im nächsten Schritt empfiehlt es sich, wieder eine Tabelle zu erstellen, um die entsprechenden Werte für p ablesen zu können. <h2> Quellennachweise für Aufgaben </h2> http://www.nibis.de/~lbs-gym/Aufgaben/Flugbuchungen.pdf <br/> www.mathe-aufgaben.com/Erwartungswert einer Zufallsvariablen <br/> Mathe-Buch: Lambacher-Schweizer/Kursstufe (S.270/Bsp.1) <br/> www.mathe-aufgaben.com/Die 4 Grundaufgaben bei der Binomialverteilung <br/> 386f5bb25244501423448d893001c5c898fca8f4 1811 1773 2018-09-30T15:16:36Z KlarDk 10023 wikitext text/x-wiki <h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bernoulli-Kette''' liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird. Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine '''Binomialverteilung''' vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen: <br/> [[File:FormelBernoulli.png|Formel von Bernoulli]] <h2> Kumulierte Binomialverteilung:</h2> Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung. <br/> Allgemein gilt: <br/> [[File:KumulierteBNV1.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV2.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV3.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 a.) |- | Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. <br/> Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. <br/> • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug angetreten wird, beträgt p=0,9. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass ein Flug storniert wird, beträgt 1-p=0,1. N ist die Anzahl der Sitzplätze, in dem Fall n=100. Die Anzahl der Passagiere, die einen Flug buchen wird mit k bezeichnet. In dem Fall sind es 84; also k=84. Mit diesen Angaben und der Bernoulli Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. <br/> P(X=84)=0,9⁸⁴*0,1¹⁶≈0,019 <br/> Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden, liegt bei 1,9%. </popup><br /> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 b.) |- | • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Mit der oben genannten Formel für P(x≥k) kann man diese Aufgabe lösen. Dies wäre allerdings sehr aufwändig zu rechnen, daher benutzen wir eine kürzere und einfachere Formel. <br/> '''P(X≥k)=1-P(x≤k-1)''' Setzt man die Werte ein, so ergibt sich folgender Rechenweg: <br/> '''P(X≥90)=1-P(x≤89)''' Mit dem WTR lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für x≤89 Treffer berechnen. Dazu wird das „MENU“ aufgerufen, die „4“ gedrückt (Verteilungsfakt.) und den Menüpunkt „Kumul. Binom.-Vert.“ Gedrückt. Unter dem Punkt „Variable“ werden die entsprechenden Werte eingesetzt und anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnet. <br/> Die Wahrscheinlichkeit für x≤89 beträgt: ca. 41% Nun kann dieser Wert in unsere Formel eingesetzt werden. <br/> '''P(X≥90)=1-0,41=0,59=59%''' ''Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 90 Plätze besetzt werden, beträgt 59%.'' </popup><br /> <h2> Zufallsvariable </h2> Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt. Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X. <br/> <h2> Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung </h2> Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist. <br/> Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen: <br/> [[File:EWW.png|Formel]] <br/> [[File:EWW-Zusatz.png|Formel]] <br/> <div style="text-indent:10px;">→Hier kann sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Rechenoperator verändern.</div> <br/> Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel: [[File:EWW-kurz.png|Formel]] <br/> '''n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit''' <br/> <div style="text-indent:10px;">→Die Wahrscheinlichkeit bleibt hier gleich, da p einheitlich ist</div> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |} <popup name="Lösung"> Zufallsvariable X: gibt die Fehler pro Seite an <br/> Formel zur Berechnung des Erwartungswerts: '''μ=n*p''' <br/> Einsetzen: '''μ=0*0,17+1*0,3+2*0,27+3*0,16+4*0,26=2,36''' <br/> '' →Durchschnittlich enthält eine Seite 2 Fehler.'' </popup><br /> <h2> Standardabweichung von X </h2> Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert. <br/> Formel zur Berechnung der Standardabweichung: <br/> [[File:SA-Formel.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. <br/> • Wie viele Treffer können im Schnitt erwartet werden? <br/> • Geben Sie die Standardabweichung vom Erwartungswert E(X) an. |} <popup name="Lösung"> '''1. Teilaufgabe:''' <br/> μ=n*p <br/> =7*60/100=4,2 <br/> Es können im Schnitt 4,2 Treffer erwartet werden. '''2. Teilaufgabe:''' <br/> σ=√(n*p*(1-p))<br/> = √(7*0,6*(0,4) )= √42/5 <br/> Die Standardabweichung beträgt √42/5 ≈1,3 </popup><br /> <h2> Problemlösen mit der Binomialverteilung </h2> Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> '''<h3> 1. Fall: Parameter n ist gesucht </h3>''' Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens '''1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat: <br/>''' [[File:RGSchwäche1.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche2.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche3.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche4.png|Formel]] <br/> '''Einsetzen in Bernoulli-Formel:''' [[File:RG-Bernoulli.png|Formel]] <br/> Es gilt: [[File:RG-Bernoullire.png|Formel]] <br/> Da auch [[File:ZF1.png|Formel]] ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig: <br/> [[File:BN1.png|Formel]] <br/> [[File:BN2.png|Formel]] <br/> [[File:BN3.png|Formel]] <br/> '''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' '''2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben:''' [[File:CN1.png|Formel]] <br/> [[File:CNO2.png|Formel]] <br/> [[File:CN3.png|Formel]] <br/> [[File:CN4.png|Formel]] <br/> Mit dem WTR kann nun eine Tabelle erstellt werden, um die Mindestanzahl an Personen zu erhalten. <br/> Gemäß der Tabelle liegt der Wert für P(X≤4) für n=80 unter 0,15. <br/> '''Dementsprechend muss die Gruppe aus mindestens 80 Männern bestehen.''' <h3> 2. Fall: Parameter k ist gesucht </h3> Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 98% der Schrauben normgerechte Längen haben. <br/> Ein Händler kontrolliert eine Schraubenlieferung mit einer Stichprobe vom Umfang 200 und findet k Schrauben mit nicht normgerechter Länge. <br/> Die Lieferung soll zurückgewiesen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens k nicht normgerechte Schrauben in der Stichprobe höchstens 5% beträgt. <br/> <div style="text-indent:30px;">Ab welcher Anzahl k sollte er die Lieferung zurückweisen?</div> Gegegeben: n=200, p=0,98 und q= 0,02: <br/> Gleichung aufstellen:<br/> [[File:PrK01.png|Formel]] <br/> Hier bietet es sich an, eine Tabelle mit dem WTR zu erstellen. <br/> Hierzu wird im WTR MENU-4-Kumul. Binom. Vert. aufgerufen. Anscchließend "1:Liste" klicken und Werte für k eingeben. <br/> Um hier einen möglichst genauen Wert zu bekommen, ist die Berechnung des Erwartungswerts E hilfreich. <br/> Mit der Formel '''E(X)= n*p'''''Kursiver Text'' kann man diesen berechnen. Werden die entsprechenden Werte für n und p eingesetzt (200*0,98), erhält man <br/> einen Wert von 196. <br/> Die Werte für k werden so gewählt, dass sie um diesen Wert liegen. Wir wählen als untere Grenze 190 und als obere Grenze 200. <br/> Schaut man nun in die Tabelle, so kann man feststellen, dass der Wert für k≤192= 0,049 beträgt. für k≤193 wäre der Wert 0,1. <br/> Da die Wahrscheinlichkeit, dass die Schrauben nicht normgerecht sind, aber höchstens 5% betragen darf, muss der Wert k≤192 gewählt werden. <br/> '''Der Hersteller muss die Lieferung also ab 192 Schrauben zurückweisen.''' <br/> <h3> 3. Fall: Parameter p ist gesucht </h3> Eine Glühlampe, die zufällig der Produktion entnommen wird, leuchtet einwandfrei mit der unbekannten Wahrscheinlichkeit p. Jemand entnimmt zufällig 40 Glühlampen. <br/> Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% sollen mindestens 38 Glühlampen dieser Stichprobe einwandfrei sein. <br/> Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p mindestens sein ? Gegeben sind folgende Werte: <br/> n= 40, k≥38 sowie die Wahrscheinlichkeit, von mind. 90% Folgende Formel lässt sich anhand dieser Angaben aufstellen: [[File:ParameterP01.png|Formel]] <br/> Da man dies aber so im TR nicht berechnen kann, muss die Formel umgeschrieben werden: [[File:ParameterP02.png|Formel]] <br/> Im nächsten Schritt empfiehlt es sich, wieder eine Tabelle zu erstellen, um die entsprechenden Werte für p ablesen zu können. <h2> Quellennachweise für Aufgaben </h2> http://www.nibis.de/~lbs-gym/Aufgaben/Flugbuchungen.pdf <br/> www.mathe-aufgaben.com/Erwartungswert einer Zufallsvariablen <br/> Mathe-Buch: Lambacher-Schweizer/Kursstufe (S.270/Bsp.1) <br/> www.mathe-aufgaben.com/Die 4 Grundaufgaben bei der Binomialverteilung <br/> bd83838f164b32ead3978097f69988826dd4b9f0 1773 1770 2018-08-11T08:28:42Z KlarDk 10023 wikitext text/x-wiki <h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bernoulli-Kette''' liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird. Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine '''Binomialverteilung''' vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen: <br/> [[File:FormelBernoulli.png|Formel von Bernoulli]] <h2> Kumulierte Binomialverteilung:</h2> Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung. <br/> Allgemein gilt: <br/> [[File:KumulierteBNV1.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV2.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV3.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 a.) |- | Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. <br/> Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. <br/> • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug angetreten wird, beträgt p=0,9. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass ein Flug storniert wird, beträgt 1-p=0,1. N ist die Anzahl der Sitzplätze, in dem Fall n=100. Die Anzahl der Passagiere, die einen Flug buchen wird mit k bezeichnet. In dem Fall sind es 84; also k=84. Mit diesen Angaben und der Bernoulli Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. <br/> P(X=84)=0,9⁸⁴*0,1¹⁶≈0,019 <br/> Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden, liegt bei 1,9%. </popup><br /> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 b.) |- | • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Mit der oben genannten Formel für P(x≥k) kann man diese Aufgabe lösen. Dies wäre allerdings sehr aufwändig zu rechnen, daher benutzen wir eine kürzere und einfachere Formel. <br/> '''P(X≥k)=1-P(x≤k-1)''' Setzt man die Werte ein, so ergibt sich folgender Rechenweg: <br/> '''P(X≥90)=1-P(x≤89)''' Mit dem WTR lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für x≤89 Treffer berechnen. Dazu wird das „MENU“ aufgerufen, die „4“ gedrückt (Verteilungsfakt.) und den Menüpunkt „Kumul. Binom.-Vert.“ Gedrückt. Unter dem Punkt „Variable“ werden die entsprechenden Werte eingesetzt und anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnet. <br/> Die Wahrscheinlichkeit für x≤89 beträgt: ca. 41% Nun kann dieser Wert in unsere Formel eingesetzt werden. <br/> '''P(X≥90)=1-0,41=0,59=59%''' ''Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 90 Plätze besetzt werden, beträgt 59%.'' </popup><br /> <h2> Zufallsvariable </h2> Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt. Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X. <br/> <h2> Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung </h2> Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist. <br/> Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen: <br/> [[File:EWW.png|Formel]] <br/> [[File:EWW-Zusatz.png|Formel]] <br/> <div style="text-indent:10px;">→Hier kann sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Rechenoperator verändern.</div> <br/> Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel: [[File:EWW-kurz.png|Formel]] <br/> '''n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit''' <br/> <div style="text-indent:10px;">→Die Wahrscheinlichkeit bleibt hier gleich, da p einheitlich ist</div> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |} <popup name="Lösung"> Zufallsvariable X: gibt die Fehler pro Seite an <br/> Formel zur Berechnung des Erwartungswerts: '''μ=n*p''' <br/> Einsetzen: '''μ=0*0,17+1*0,3+2*0,27+3*0,16+4*0,26=2,36''' <br/> '' →Durchschnittlich enthält eine Seite 2 Fehler.'' </popup><br /> <h2> Standardabweichung von X </h2> Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert. <br/> Formel zur Berechnung der Standardabweichung: <br/> [[File:SA-Formel.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. <br/> • Wie viele Treffer können im Schnitt erwartet werden? <br/> • Geben Sie die Standardabweichung vom Erwartungswert E(X) an. |} <popup name="Lösung"> '''1. Teilaufgabe:''' <br/> μ=n*p <br/> =7*60/100=4,2 <br/> Es können im Schnitt 4,2 Treffer erwartet werden. '''2. Teilaufgabe:''' <br/> σ=√(n*p*(1-p))<br/> = √(7*0,6*(0,4) )= √42/5 <br/> Die Standardabweichung beträgt √42/5 ≈1,3 </popup><br /> <h2> Problemlösen mit der Binomialverteilung </h2> Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> '''<h3> 1. Fall: Parameter n ist gesucht </h3>''' Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens '''1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat: <br/>''' [[File:RGSchwäche1.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche2.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche3.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche4.png|Formel]] <br/> '''Einsetzen in Bernoulli-Formel:''' [[File:RG-Bernoulli.png|Formel]] <br/> Es gilt: [[File:RG-Bernoullire.png|Formel]] <br/> Da auch [[File:ZF1.png|Formel]] ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig: <br/> [[File:BN1.png|Formel]] <br/> [[File:BN2.png|Formel]] <br/> [[File:BN3.png|Formel]] <br/> '''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' '''2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben:''' [[File:CN1.png|Formel]] <br/> [[File:CNO2.png|Formel]] <br/> [[File:CN3.png|Formel]] <br/> [[File:CN4.png|Formel]] <br/> Mit dem WTR kann nun eine Tabelle erstellt werden, um die Mindestanzahl an Personen zu erhalten. <br/> Gemäß der Tabelle liegt der Wert für P(X≤4) für n=80 unter 0,15. <br/> '''Dementsprechend muss die Gruppe aus mindestens 80 Männern bestehen.''' <h3> 2. Fall: Parameter k ist gesucht </h3> Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 98% der Schrauben normgerechte Längen haben. <br/> Ein Händler kontrolliert eine Schraubenlieferung mit einer Stichprobe vom Umfang 200 und findet k Schrauben mit nicht normgerechter Länge. <br/> Die Lieferung soll zurückgewiesen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens k nicht normgerechte Schrauben in der Stichprobe höchstens 5% beträgt. <br/> <div style="text-indent:30px;">Ab welcher Anzahl k sollte er die Lieferung zurückweisen?</div> Gegegeben: n=200, p=0,98 und q= 0,02: <br/> Gleichung aufstellen:<br/> [[File:PrK01.png|Formel]] <br/> Hier bietet es sich an, eine Tabelle mit dem WTR zu erstellen. <h3> 3. Fall: Parameter p ist gesucht </h3> Eine Glühlampe, die zufällig der Produktion entnommen wird, leuchtet einwandfrei mit der unbekannten Wahrscheinlichkeit p. Jemand entnimmt zufällig 40 Glühlampen. <br/> Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% sollen mindestens 38 Glühlampen dieser Stichprobe einwandfrei sein. <br/> Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p mindestens sein ? Gegeben sind folgende Werte: <br/> n= 40, k≥38 sowie die Wahrscheinlichkeit, von mind. 90% Folgende Formel lässt sich anhand dieser Angaben aufstellen: [[File:ParameterP01.png|Formel]] <br/> Da man dies aber so im TR nicht berechnen kann, muss die Formel umgeschrieben werden: [[File:ParameterP02.png|Formel]] <br/> Im nächsten Schritt empfiehlt es sich, wieder eine Tabelle zu erstellen, um die entsprechenden Werte für p ablesen zu können. <h2> Quellennachweise für Aufgaben </h2> http://www.nibis.de/~lbs-gym/Aufgaben/Flugbuchungen.pdf <br/> www.mathe-aufgaben.com/Erwartungswert einer Zufallsvariablen <br/> Mathe-Buch: Lambacher-Schweizer/Kursstufe (S.270/Bsp.1) <br/> www.mathe-aufgaben.com/Die 4 Grundaufgaben bei der Binomialverteilung <br/> 70698624d6a5c1d2af6dfec08c53693ddc3c5a19 1770 1768 2018-08-10T17:42:20Z KlarDk 10023 wikitext text/x-wiki <h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bernoulli-Kette''' liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird. Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine '''Binomialverteilung''' vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen: <br/> [[File:FormelBernoulli.png|Formel von Bernoulli]] <h2> Kumulierte Binomialverteilung:</h2> Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung. <br/> Allgemein gilt: <br/> [[File:KumulierteBNV1.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV2.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV3.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 a.) |- | Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. <br/> Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. <br/> • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug angetreten wird, beträgt p=0,9. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass ein Flug storniert wird, beträgt 1-p=0,1. N ist die Anzahl der Sitzplätze, in dem Fall n=100. Die Anzahl der Passagiere, die einen Flug buchen wird mit k bezeichnet. In dem Fall sind es 84; also k=84. Mit diesen Angaben und der Bernoulli Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. <br/> P(X=84)=0,9⁸⁴*0,1¹⁶≈0,019 <br/> Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden, liegt bei 1,9%. </popup><br /> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 b.) |- | • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Mit der oben genannten Formel für P(x≥k) kann man diese Aufgabe lösen. Dies wäre allerdings sehr aufwändig zu rechnen, daher benutzen wir eine kürzere und einfachere Formel. <br/> '''P(X≥k)=1-P(x≤k-1)''' Setzt man die Werte ein, so ergibt sich folgender Rechenweg: <br/> '''P(X≥90)=1-P(x≤89)''' Mit dem WTR lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für x≤89 Treffer berechnen. Dazu wird das „MENU“ aufgerufen, die „4“ gedrückt (Verteilungsfakt.) und den Menüpunkt „Kumul. Binom.-Vert.“ Gedrückt. Unter dem Punkt „Variable“ werden die entsprechenden Werte eingesetzt und anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnet. <br/> Die Wahrscheinlichkeit für x≤89 beträgt: ca. 41% Nun kann dieser Wert in unsere Formel eingesetzt werden. <br/> '''P(X≥90)=1-0,41=0,59=59%''' ''Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 90 Plätze besetzt werden, beträgt 59%.'' </popup><br /> <h2> Zufallsvariable </h2> Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt. Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X. <br/> <h2> Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung </h2> Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist. <br/> Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen: <br/> [[File:EWW.png|Formel]] <br/> [[File:EWW-Zusatz.png|Formel]] <br/> <div style="text-indent:10px;">→Hier kann sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Rechenoperator verändern.</div> <br/> Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel: [[File:EWW-kurz.png|Formel]] <br/> '''n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit''' <br/> <div style="text-indent:10px;">→Die Wahrscheinlichkeit bleibt hier gleich, da p einheitlich ist</div> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |} <popup name="Lösung"> Zufallsvariable X: gibt die Fehler pro Seite an <br/> Formel zur Berechnung des Erwartungswerts: '''μ=n*p''' <br/> Einsetzen: '''μ=0*0,17+1*0,3+2*0,27+3*0,16+4*0,26=2,36''' <br/> '' →Durchschnittlich enthält eine Seite 2 Fehler.'' </popup><br /> <h2> Standardabweichung von X </h2> Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert. <br/> Formel zur Berechnung der Standardabweichung: <br/> [[File:SA-Formel.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. <br/> • Wie viele Treffer können im Schnitt erwartet werden? <br/> • Geben Sie die Standardabweichung vom Erwartungswert E(X) an. |} <popup name="Lösung"> '''1. Teilaufgabe:''' <br/> μ=n*p <br/> =7*60/100=4,2 <br/> Es können im Schnitt 4,2 Treffer erwartet werden. '''2. Teilaufgabe:''' <br/> σ=√(n*p*(1-p))<br/> = √(7*0,6*(0,4) )= √42/5 <br/> Die Standardabweichung beträgt √42/5 ≈1,3 </popup><br /> <h2> Problemlösen mit der Binomialverteilung </h2> Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> '''<h3> 1. Fall: Parameter n ist gesucht </h3>''' Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens '''1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat: <br/>''' [[File:RGSchwäche1.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche2.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche3.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche4.png|Formel]] <br/> '''Einsetzen in Bernoulli-Formel:''' [[File:RG-Bernoulli.png|Formel]] <br/> Es gilt: [[File:RG-Bernoullire.png|Formel]] <br/> Da auch [[File:ZF1.png|Formel]] ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig: <br/> [[File:BN1.png|Formel]] <br/> [[File:BN2.png|Formel]] <br/> [[File:BN3.png|Formel]] <br/> '''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' '''2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben:''' [[File:CN1.png|Formel]] <br/> [[File:CNO2.png|Formel]] <br/> [[File:CN3.png|Formel]] <br/> [[File:CN4.png|Formel]] <br/> Mit dem WTR kann nun eine Tabelle erstellt werden, um die Mindestanzahl an Personen zu erhalten. <br/> Gemäß der Tabelle liegt der Wert für P(X≤4) für n=80 unter 0,15. <br/> '''Dementsprechend muss die Gruppe aus mindestens 80 Männern bestehen.''' <h3> 2. Fall: Parameter k ist gesucht </h3> Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 98% der Schrauben normgerechte Längen haben. <br/> Ein Händler kontrolliert eine Schraubenlieferung mit einer Stichprobe vom Umfang 200 und findet k Schrauben mit nicht normgerechter Länge. <br/> Die Lieferung soll zurückgewiesen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens k nicht normgerechte Schrauben in der Stichprobe höchstens 5% beträgt. <br/> <div style="text-indent:30px;">Ab welcher Anzahl k sollte er die Lieferung zurückweisen?</div> Gegegeben: n=200, p=0,98 und q= 0,02: <br/> Gleichung aufstellen:<br/> [[File:PrK01.png|Formel]] <br/> f00c864eef72fa8e237cc4b5342fd84edc4a6f93 1768 1767 2018-08-10T15:01:18Z KlarDk 10023 wikitext text/x-wiki <h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bernoulli-Kette''' liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird. Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine '''Binomialverteilung''' vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen: <br/> [[File:FormelBernoulli.png|Formel von Bernoulli]] <h2> Kumulierte Binomialverteilung:</h2> Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung. <br/> Allgemein gilt: <br/> [[File:KumulierteBNV1.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV2.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV3.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 a.) |- | Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. <br/> Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. <br/> • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug angetreten wird, beträgt p=0,9. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass ein Flug storniert wird, beträgt 1-p=0,1. N ist die Anzahl der Sitzplätze, in dem Fall n=100. Die Anzahl der Passagiere, die einen Flug buchen wird mit k bezeichnet. In dem Fall sind es 84; also k=84. Mit diesen Angaben und der Bernoulli Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. <br/> P(X=84)=0,9⁸⁴*0,1¹⁶≈0,019 <br/> Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden, liegt bei 1,9%. </popup><br /> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 b.) |- | • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Mit der oben genannten Formel für P(x≥k) kann man diese Aufgabe lösen. Dies wäre allerdings sehr aufwändig zu rechnen, daher benutzen wir eine kürzere und einfachere Formel. <br/> '''P(X≥k)=1-P(x≤k-1)''' Setzt man die Werte ein, so ergibt sich folgender Rechenweg: <br/> '''P(X≥90)=1-P(x≤89)''' Mit dem WTR lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für x≤89 Treffer berechnen. Dazu wird das „MENU“ aufgerufen, die „4“ gedrückt (Verteilungsfakt.) und den Menüpunkt „Kumul. Binom.-Vert.“ Gedrückt. Unter dem Punkt „Variable“ werden die entsprechenden Werte eingesetzt und anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnet. <br/> Die Wahrscheinlichkeit für x≤89 beträgt: ca. 41% Nun kann dieser Wert in unsere Formel eingesetzt werden. <br/> '''P(X≥90)=1-0,41=0,59=59%''' ''Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 90 Plätze besetzt werden, beträgt 59%.'' </popup><br /> <h2> Zufallsvariable </h2> Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt. Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X. <br/> <h2> Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung </h2> Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist. <br/> Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen: <br/> [[File:EWW.png|Formel]] <br/> [[File:EWW-Zusatz.png|Formel]] <br/> <div style="text-indent:10px;">→Hier kann sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Rechenoperator verändern.</div> <br/> Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel: [[File:EWW-kurz.png|Formel]] <br/> '''n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit''' <br/> <div style="text-indent:10px;">→Die Wahrscheinlichkeit bleibt hier gleich, da p einheitlich ist</div> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |} <popup name="Lösung"> Zufallsvariable X: gibt die Fehler pro Seite an <br/> Formel zur Berechnung des Erwartungswerts: '''μ=n*p''' <br/> Einsetzen: '''μ=0*0,17+1*0,3+2*0,27+3*0,16+4*0,26=2,36''' <br/> '' →Durchschnittlich enthält eine Seite 2 Fehler.'' </popup><br /> <h2> Standardabweichung von X </h2> Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert. <br/> Formel zur Berechnung der Standardabweichung: <br/> [[File:SA-Formel.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. <br/> • Wie viele Treffer können im Schnitt erwartet werden? <br/> • Geben Sie die Standardabweichung vom Erwartungswert E(X) an. |} <popup name="Lösung"> '''1. Teilaufgabe:''' <br/> μ=n*p <br/> =7*60/100=4,2 <br/> Es können im Schnitt 4,2 Treffer erwartet werden. '''2. Teilaufgabe:''' <br/> σ=√(n*p*(1-p))<br/> = √(7*0,6*(0,4) )= √42/5 <br/> Die Standardabweichung beträgt √42/5 ≈1,3 </popup><br /> <h2> Problemlösen mit der Binomialverteilung </h2> Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> '''1. Fall: Parameter n ist gesucht''' Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens '''1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat: <br/>''' [[File:RGSchwäche1.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche2.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche3.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche4.png|Formel]] <br/> '''Einsetzen in Bernoulli-Formel:''' [[File:RG-Bernoulli.png|Formel]] <br/> Es gilt: [[File:RG-Bernoullire.png|Formel]] <br/> Da auch [[File:ZF1.png|Formel]] ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig: <br/> [[File:BN1.png|Formel]] <br/> [[File:BN2.png|Formel]] <br/> [[File:BN3.png|Formel]] <br/> '''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' 2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben: [[File:CN1.png|Formel]] <br/> [[File:CNO2.png|Formel]] <br/> [[File:CN3.png|Formel]] <br/> [[File:CN4.png|Formel]] <br/> 69d296475a06ca340fb34a284890aad39dcaf6f0 1767 1756 2018-08-10T14:03:06Z KlarDk 10023 wikitext text/x-wiki <h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bernoulli-Kette''' liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird. Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine '''Binomialverteilung''' vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen: <br/> [[File:FormelBernoulli.png|Formel von Bernoulli]] '''Kumulierte Binomialverteilung:''' Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung. <br/> Allgemein gilt: <br/> [[File:KumulierteBNV1.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV2.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV3.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 a.) |- | Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. <br/> Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. <br/> • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug angetreten wird, beträgt p=0,9. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass ein Flug storniert wird, beträgt 1-p=0,1. N ist die Anzahl der Sitzplätze, in dem Fall n=100. Die Anzahl der Passagiere, die einen Flug buchen wird mit k bezeichnet. In dem Fall sind es 84; also k=84. Mit diesen Angaben und der Bernoulli Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. <br/> P(X=84)=0,9⁸⁴*0,1¹⁶≈0,019 <br/> Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden, liegt bei 1,9%. </popup><br /> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 b.) |- | • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Mit der oben genannten Formel für P(x≥k) kann man diese Aufgabe lösen. Dies wäre allerdings sehr aufwändig zu rechnen, daher benutzen wir eine kürzere und einfachere Formel. <br/> '''P(X≥k)=1-P(x≤k-1)''' Setzt man die Werte ein, so ergibt sich folgender Rechenweg: <br/> '''P(X≥90)=1-P(x≤89)''' Mit dem WTR lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für x≤89 Treffer berechnen. Dazu wird das „MENU“ aufgerufen, die „4“ gedrückt (Verteilungsfakt.) und den Menüpunkt „Kumul. Binom.-Vert.“ Gedrückt. Unter dem Punkt „Variable“ werden die entsprechenden Werte eingesetzt und anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnet. <br/> Die Wahrscheinlichkeit für x≤89 beträgt: ca. 41% Nun kann dieser Wert in unsere Formel eingesetzt werden. <br/> '''P(X≥90)=1-0,41=0,59=59%''' ''Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 90 Plätze besetzt werden, beträgt 59%.'' </popup><br /> <h2> Zufallsvariable </h2> Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt. Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X. <br/> <h2> Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung </h2> Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist. <br/> Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen: <br/> [[File:EWW.png|Formel]] <br/> [[File:EWW-Zusatz.png|Formel]] <br/> <div style="text-indent:10px;">→Hier kann sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Rechenoperator verändern.</div> <br/> Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel: [[File:EWW-kurz.png|Formel]] <br/> '''n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit''' <br/> <div style="text-indent:10px;">→Die Wahrscheinlichkeit bleibt hier gleich, da p einheitlich ist</div> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |} <popup name="Lösung"> Zufallsvariable X: gibt die Fehler pro Seite an <br/> Formel zur Berechnung des Erwartungswerts: '''μ=n*p''' <br/> Einsetzen: '''μ=0*0,17+1*0,3+2*0,27+3*0,16+4*0,26=2,36''' <br/> '' →Durchschnittlich enthält eine Seite 2 Fehler.'' </popup><br /> <h2> Standardabweichung von X </h2> Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert. <br/> Formel zur Berechnung der Standardabweichung: <br/> [[File:SA-Formel.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. <br/> • Wie viele Treffer können im Schnitt erwartet werden? <br/> • Geben Sie die Standardabweichung vom Erwartungswert E(X) an. |} <popup name="Lösung"> '''1. Teilaufgabe:''' <br/> μ=n*p <br/> =7*60/100=4,2 <br/> Es können im Schnitt 4,2 Treffer erwartet werden. '''2. Teilaufgabe:''' <br/> σ=√(n*p*(1-p))<br/> = √(7*0,6*(0,4) )= √42/5 <br/> Die Standardabweichung beträgt √42/5 ≈1,3 </popup><br /> <h2> Problemlösen mit der Binomialverteilung </h2> Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> '''1. Fall: Parameter n ist gesucht''' Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens '''1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat: <br/>''' [[File:RGSchwäche1.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche2.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche3.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche4.png|Formel]] <br/> '''Einsetzen in Bernoulli-Formel:''' [[File:RG-Bernoulli.png|Formel]] <br/> Es gilt: [[File:RG-Bernoullire.png|Formel]] <br/> Da auch [[File:ZF1.png|Formel]] ebenfalls 1 ergibt, bleibt übrig: <br/> [[File:BN1.png|Formel]] <br/> [[File:BN2.png|Formel]] <br/> [[File:BN3.png|Formel]] <br/> '''Antwort: Es müssen mindestens 20 Männer ausgewählt werden.''' 2. Mindestens fünf eine Rot-Grün-Schwäche haben: [[File:CN1.png|Formel]] <br/> [[File:CNO2.png|Formel]] <br/> [[File:CN3.png|Formel]] <br/> [[File:CN4.png|Formel]] <br/> c087fcba95850cdc3a71c73332b70823f6c84259 1756 2018-08-10T13:41:34Z KlarDk 10023 Die Seite wurde neu angelegt: „<h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bern…“ wikitext text/x-wiki <h1>Binomialverteilung</h1> Ein Zufallsexperiment, bei dem es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, wird '''Bernoulli-Experiment''' genannt. <br/> Eine '''Bernoulli-Kette''' liegt vor, wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig voneinander durchgeführt wird. Lässt sich X als eine Größe beschreiben, die die Trefferanzahl bei einem Bernoulli-Experiment mit der Länge n und der Wahrscheinlichkeit p angibt, so liegt eine '''Binomialverteilung''' vor. Anhand der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen: <br/> [[File:FormelBernoulli.png|Formel von Bernoulli]] '''Kumulierte Binomialverteilung:''' Wenn wir die Wahrscheinlichkeit benötigen, dass es mindestens oder höchstens k-Treffer geben soll, benutzt man die kumulierte Binomialverteilung. <br/> Allgemein gilt: <br/> [[File:KumulierteBNV1.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV2.png|Formel]] <br/> [[File:KumulierteBNV3.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 a.) |- | Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig storniert. <br/> Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich antreten wollen. <br/> • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug angetreten wird, beträgt p=0,9. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass ein Flug storniert wird, beträgt 1-p=0,1. N ist die Anzahl der Sitzplätze, in dem Fall n=100. Die Anzahl der Passagiere, die einen Flug buchen wird mit k bezeichnet. In dem Fall sind es 84; also k=84. Mit diesen Angaben und der Bernoulli Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen. <br/> P(X=84)=0,9⁸⁴*0,1¹⁶≈0,019 <br/> Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 84 Plätze genutzt werden, liegt bei 1,9%. </popup><br /> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe 1 b.) |- | • Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 90 Plätze tatsächlich genutzt werden. |} <popup name="Lösung"> Mit der oben genannten Formel für P(x≥k) kann man diese Aufgabe lösen. Dies wäre allerdings sehr aufwändig zu rechnen, daher benutzen wir eine kürzere und einfachere Formel. <br/> '''P(X≥k)=1-P(x≤k-1)''' Setzt man die Werte ein, so ergibt sich folgender Rechenweg: <br/> '''P(X≥90)=1-P(x≤89)''' Mit dem WTR lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für x≤89 Treffer berechnen. Dazu wird das „MENU“ aufgerufen, die „4“ gedrückt (Verteilungsfakt.) und den Menüpunkt „Kumul. Binom.-Vert.“ Gedrückt. Unter dem Punkt „Variable“ werden die entsprechenden Werte eingesetzt und anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnet. <br/> Die Wahrscheinlichkeit für x≤89 beträgt: ca. 41% Nun kann dieser Wert in unsere Formel eingesetzt werden. <br/> '''P(X≥90)=1-0,41=0,59=59%''' ''Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 90 Plätze besetzt werden, beträgt 59%.'' </popup><br /> <h2> Zufallsvariable </h2> Die Zufallsvariable ist eine zufällige Größe, die das Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt. Abgekürzt wird die Zufallsvariable mit X. <br/> <h2> Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung </h2> Der Erwartungswert gibt Auskunft über den durchschnittlichen Wert, die die Zufallsvariable in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment bei mehrfacher Durchführung annimmt, d.h. welches Ergebnis im Schnitt zu erwarten ist. <br/> Der Erwartungswert (tatsächlicher Wert der Messung/des Ergebnisses), lässt sich wie folgt berechnen: <br/> [[File:EWW.png|Formel]] <br/> [[File:EWW-Zusatz.png|Formel]] <br/> <div style="text-indent:10px;">→Hier kann sich die Wahrscheinlichkeit nach jedem Rechenoperator verändern.</div> <br/> Eine einfachere und kürzere Möglichkeit, den Erwartungswert zu berechnen, ist folgende Formel: [[File:EWW-kurz.png|Formel]] <br/> '''n= Anzahl Durchführungen, p= Wahrscheinlichkeit''' <br/> <div style="text-indent:10px;">→Die Wahrscheinlichkeit bleibt hier gleich, da p einheitlich ist</div> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | In einem Zeitungsartikel wurde eine Statistik über die Anzahl von Fehlern in Zeitungsartikeln erstellt. Danach sind auf 17% der Seiten keine Druckfehler, auf 30% der Seiten ist ein Druckfehler, auf 27% der Seiten sind zwei, auf 16% der Seiten drei und auf dem Rest mindestens vier Druckfehler. • Wie viele Druckfehler sind durchschnittlich mindestens auf einer Zeitungsseite zu erwarten? |} <popup name="Lösung"> Zufallsvariable X: gibt die Fehler pro Seite an <br/> Formel zur Berechnung des Erwartungswerts: '''μ=n*p''' <br/> Einsetzen: '''μ=0*0,17+1*0,3+2*0,27+3*0,16+4*0,26=2,36''' <br/> '' →Durchschnittlich enthält eine Seite 2 Fehler.'' </popup><br /> <h2> Standardabweichung von X </h2> Die Standardabweichung einer Zufallsvariable X gibt an, wie groß die Abweichung vom Erwartungswert μ oder E(X) ist. Sie kann keine negativen Werte annehmen, sondern entweder Null oder einen positiven Wert. <br/> Formel zur Berechnung der Standardabweichung: <br/> [[File:SA-Formel.png|Formel]] <br/> {| class="wikitable" |- ! Aufgabe |- | Ein Bernoulli-Experiment, das 7mal durchgeführt wird, erzielt mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 einen Treffer. X gibt die Zufallsvariable an, die die Anzahl der Treffer beschreibt. <br/> • Wie viele Treffer können im Schnitt erwartet werden? <br/> • Geben Sie die Standardabweichung vom Erwartungswert E(X) an. |} <popup name="Lösung"> '''1. Teilaufgabe:''' <br/> μ=n*p <br/> =7*60/100=4,2 <br/> Es können im Schnitt 4,2 Treffer erwartet werden. '''2. Teilaufgabe:''' <br/> σ=√(n*p*(1-p))<br/> = √(7*0,6*(0,4) )= √42/5 <br/> Die Standardabweichung beträgt √42/5 ≈1,3 </popup><br /> <h2> Problemlösen mit der Binomialverteilung </h2> Anhand von konkreten Beispielen soll das Prinzip näher erläutert werden. <br/> '''1. Fall: Parameter n ist gesucht''' Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche. <br/> Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens '''1. Einer eine Rot-Grün-Schwäche hat: <br/>''' [[File:RGSchwäche1.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche2.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche3.png|Formel]] <br/> [[File:RGSchwäche4.png|Formel]] <br/> '''Einsetzen in Bernoulli-Formel:''' 1c72f419a9cb389ebe84160cec2a3f9ba0756f86 0 379 1285 2013-08-06T17:10:16Z DönerTi 86 Die Seite wurde neu angelegt: „Bittermann'sches Syndrom Die allgemein bekannte Tatsache, dass Versuche generell nicht funktionieren.“ wikitext text/x-wiki Bittermann'sches Syndrom Die allgemein bekannte Tatsache, dass Versuche generell nicht funktionieren. 0 260 967 966 2013-01-24T06:37:53Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki <big><u>'''Winkelberechnung zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts'''</u></big> <u>'''Vektoren:'''</u> '''allgemein:''' <math> \mathbb{R}^3 \qquad \vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> '''am Beispiel:''' <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> <u>'''Berechnung des Skalars:'''</u> '''allgemein:''' <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> = (a₁ <math>\cdot</math> b₁ + a₂ <math>\cdot</math> b₂ + a₃ <math>\cdot</math> b₃) '''am Beispiel:''' <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> = <math> 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28 </math> <u>'''Formel zur Winkelberechnung:'''</u> <span style="color: red">''Welcher Winkel wird berechnet? Welche Bedingung muss erfüllt sein, um den "richtigen" Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen? [Btm]''</span> <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha </math> <math>cos \alpha = {\vec a \cdot \vec b \over \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|} \qquad </math> (in Formelsammlung angegeben) Errechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>anhand des Beispiels: <math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} </math> <math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{6^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 25 + 16} = \sqrt{77} </math> <u>'''Einsetzen der Zwischenergebnisse in die Formel:'''</u> <math> cos \alpha = { 28 \over \sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} </math> <u>'''Errechnen mit Hilfe des GTRs:'''</u> <math> cos \alpha = 0,85 </math> <math> \alpha = 31,8^\circ </math> <u>'''Ausnahme:'''</u> Die Ausnahme gilt, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt. In diesem Fall weiß man, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math> \alpha = 90^\circ </math> ist. (Die weiteren Schritte müssen nicht gemacht werden!) '''Beispiel:''' <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> = <math> (-3) \cdot 5 + 0 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) = 0 </math> <math> Skalarprodukt = 0 \rightarrow \alpha = 90^\circ </math> <big><u>'''Aufgabe:'''</u></big> Berechne den Winkel <math> \alpha </math> zwischen den Vektoren <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math> '''Berechnen des Skalarprodukts''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup><math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math> = <math> 7 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 20 </math></popup> '''Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup>Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math> <math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{7^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 4 + 36} = \sqrt{89} </math> <math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33} </math></popup> '''Einsetzen in die Formel''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup><math> cos \alpha = { 20 \over \sqrt{89} \cdot \sqrt{33}} </math></popup> '''Lösung''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup> '''GTR:''' <math> cos \alpha \approx 0.369</math> <math>\rightarrow \alpha \approx \underline{68.34^\circ} </math></popup> Quellen:<popup> http://www.youtube.com/watch?v=pRsIUubHtCM am 30.12.2012</popup> <small> von Philipp Ballmann </small> 966 921 2013-01-24T06:37:08Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki <big><u>'''Winkelberechnung zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts'''</u></big> <u>'''Vektoren:'''</u> '''allgemein:''' <math> \mathbb{R}^3 \qquad \vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> '''am Beispiel:''' <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> <u>'''Berechnung des Skalars:'''</u> '''allgemein:''' <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> = (a₁ <math>\cdot</math> b₁ + a₂ <math>\cdot</math> b₂ + a₃ <math>\cdot</math> b₃) '''am Beispiel:''' <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> = <math> 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28 </math> <u>'''Formel zur Winkelberechnung:'''</u> <span style="color: red">''Welcher Winkel wird berechnet? Welche Bedingung muss erfüllt sein, um den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können? [Btm]''</span> <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha </math> <math>cos \alpha = {\vec a \cdot \vec b \over \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|} \qquad </math> (in Formelsammlung angegeben) Errechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>anhand des Beispiels: <math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} </math> <math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{6^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 25 + 16} = \sqrt{77} </math> <u>'''Einsetzen der Zwischenergebnisse in die Formel:'''</u> <math> cos \alpha = { 28 \over \sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} </math> <u>'''Errechnen mit Hilfe des GTRs:'''</u> <math> cos \alpha = 0,85 </math> <math> \alpha = 31,8^\circ </math> <u>'''Ausnahme:'''</u> Die Ausnahme gilt, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt. In diesem Fall weiß man, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math> \alpha = 90^\circ </math> ist. (Die weiteren Schritte müssen nicht gemacht werden!) '''Beispiel:''' <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> = <math> (-3) \cdot 5 + 0 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) = 0 </math> <math> Skalarprodukt = 0 \rightarrow \alpha = 90^\circ </math> <big><u>'''Aufgabe:'''</u></big> Berechne den Winkel <math> \alpha </math> zwischen den Vektoren <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math> '''Berechnen des Skalarprodukts''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup><math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math> = <math> 7 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 20 </math></popup> '''Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup>Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math> <math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{7^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 4 + 36} = \sqrt{89} </math> <math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33} </math></popup> '''Einsetzen in die Formel''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup><math> cos \alpha = { 20 \over \sqrt{89} \cdot \sqrt{33}} </math></popup> '''Lösung''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup> '''GTR:''' <math> cos \alpha \approx 0.369</math> <math>\rightarrow \alpha \approx \underline{68.34^\circ} </math></popup> Quellen:<popup> http://www.youtube.com/watch?v=pRsIUubHtCM am 30.12.2012</popup> <small> von Philipp Ballmann </small> 921 2013-01-01T16:32:41Z Ph.Ballmann 53 Die Seite wurde neu angelegt: „<big><u>'''Winkelberechnung zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts'''</u></big> <u>'''Vektoren:'''</u> '''allgemein:''' <math> \mathbb{R}^3 \qquad \vec a<…“ wikitext text/x-wiki <big><u>'''Winkelberechnung zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts'''</u></big> <u>'''Vektoren:'''</u> '''allgemein:''' <math> \mathbb{R}^3 \qquad \vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> '''am Beispiel:''' <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> <u>'''Berechnung des Skalars:'''</u> '''allgemein:''' <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> = (a₁ <math>\cdot</math> b₁ + a₂ <math>\cdot</math> b₂ + a₃ <math>\cdot</math> b₃) '''am Beispiel:''' <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> = <math> 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28 </math> <u>'''Formel zur Winkelberechnung:'''</u> <math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha </math> <math>cos \alpha = {\vec a \cdot \vec b \over \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|} \qquad </math> (in Formelsammlung angegeben) Errechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>anhand des Beispiels: <math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} </math> <math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{6^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 25 + 16} = \sqrt{77} </math> <u>'''Einsetzen der Zwischenergebnisse in die Formel:'''</u> <math> cos \alpha = { 28 \over \sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} </math> <u>'''Errechnen mit Hilfe des GTRs:'''</u> <math> cos \alpha = 0,85 </math> <math> \alpha = 31,8^\circ </math> <u>'''Ausnahme:'''</u> Die Ausnahme gilt, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt. In diesem Fall weiß man, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren <math> \alpha = 90^\circ </math> ist. (Die weiteren Schritte müssen nicht gemacht werden!) '''Beispiel:''' <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> <math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}</math> = <math> (-3) \cdot 5 + 0 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) = 0 </math> <math> Skalarprodukt = 0 \rightarrow \alpha = 90^\circ </math> <big><u>'''Aufgabe:'''</u></big> Berechne den Winkel <math> \alpha </math> zwischen den Vektoren <math>\vec a</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math> '''Berechnen des Skalarprodukts''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup><math>\vec a</math> <math>\cdot</math> <math>\vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> <math>\cdot</math> <math>\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}</math> = <math> 7 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 20 </math></popup> '''Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math>''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup>Ausrechnen von <math> \left| \vec a \right| </math> und <math> \left| \vec b \right| </math> <math> \left| \vec a \right| </math> = <math> \sqrt{7^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 4 + 36} = \sqrt{89} </math> <math> \left| \vec b \right| </math> = <math> \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33} </math></popup> '''Einsetzen in die Formel''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup><math> cos \alpha = { 20 \over \sqrt{89} \cdot \sqrt{33}} </math></popup> '''Lösung''' (für die Lösung "anzeigen" klicken) <popup> '''GTR:''' <math> cos \alpha \approx 0.369</math> <math>\rightarrow \alpha \approx \underline{68.34^\circ} </math></popup> Quellen:<popup> http://www.youtube.com/watch?v=pRsIUubHtCM am 30.12.2012</popup> <small> von Philipp Ballmann </small> 0 484 1739 1738 2018-07-15T19:05:41Z Schwarz L. 10021 /* 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>I_a</math> = <math>I_1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung === Die Fläche unter der Funktion <math>f(x)</math> = <math>x^2</math> soll vom Ursprung ausgehend den Inhalt 12 Flächeneinheiten besitzen. <br \> <math>\int_0^m F(x)dx</math> = <math>\int_0^m x^2dx</math><br \> <math>=[\frac{1}{3}x^3</math><math>]_0^m</math> = <math>\frac{1}{3}m^3</math> = <math>12</math> <br \> <=> <math>36</math> = <math>m^3</math> <=> <math>^3\sqrt{36}</math> <=> <math>3,3</math> cf9c3b181713c0919bba71ebb040dcea4722eeb9 1738 1737 2018-07-15T19:01:12Z Schwarz L. 10021 /* 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>I_a</math> = <math>I_1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung === Die Fläche unter der Funktion <math>f(x)</math> = <math>x^2</math> soll vom Ursprung ausgehend den Inhalt 12 Flächeneinheiten besitzen. <br \> <math>\int_0^m F(x)dx</math> = <math>\int_0^m x^2dx</math><br \> <math>=[\frac{1}{3}x^3</math><math>]_0^m</math> = <math>\frac{1}{3}m^3</math> = <math>12</math> <br \> <=> <math>36</math> = <math>m^3</math> <=> <math>^3\sqrt{36}</math> 5a575cd407e30488bd139e9f9ca67d6aaf8f40cb 1737 1736 2018-07-15T18:48:29Z Schwarz L. 10021 /* 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>I_a</math> = <math>I_1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung === Die Fläche unter der Funktion <math>f(x)</math> = <math>x^2</math> soll vom Ursprung ausgehend den Inhalt 12 Flächeneinheiten besitzen. <br \> <math>\int_0^m F(x)dx</math> = <math>\int_0^m x^2dx</math><br \> <math>=[\frac{1}{3}x^3]_0^m</math> = <math>\fac{1</math> c08a18bcc52adf105803015e3e6880da5a539849 1736 1735 2018-07-15T18:44:34Z Schwarz L. 10021 /* 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>I_a</math> = <math>I_1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung === Die Fläche unter der Funktion <math>f(x)</math> = <math>x^2</math> soll vom Ursprung ausgehend den Inhalt 12 Flächeneinheiten besitzen. <br \> <math>\int_0^m F(x)dx</math> = <math>\int_0^m x^2dx</math><br \> 376bc899db71fcacba8a7810c60c9988e05fb212 1735 1734 2018-07-15T18:40:40Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>I_a</math> = <math>I_1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung === Die Fläche unter der Funktion <math>f(x)</math> = <math>x^2</math> soll vom Ursprung ausgehend den Inhalt 12 Flächeneinheiten besitzen. <br \> f2d787a0bef298aa7d7e4a3a71948c0342901e62 1734 1733 2018-07-15T18:38:19Z Schwarz L. 10021 /* 4. Nullstelle einer Integralfunktion */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>Ia</math> = <math>I1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 6. Ein Beispiel für die Integralrechnung === Die Fläche unter der Funktion <math>f(x)</math> = <math>x^2</math> soll vom Ursprung ausgehend den Inhalt 12 Flächeneinheiten besitzen. <br \> b16e2b5bf86fba50de3419d5b6fcb80e066c2916 1733 1732 2018-07-15T18:32:27Z Schwarz L. 10021 /* 3. Ableitung einer Integralfunktion */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>Ia</math> = <math>I1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> cb332d4398e12fa6380a1b5f5fdbaaddc83bc9db 1732 1731 2018-07-15T18:31:38Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>Ia</math> = <math>I1(x)</math> = <math>F(x)+C</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> - <math>\frac{1}{4}</math> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> abfeee441132b75edd83b88f4d67c2259fb738cd 1731 1730 2018-07-15T18:27:24Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> 1.<br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> 2. <br \> <math>f(x)</math> = <math>x^3</math><br \> <math>\int{f(t)dt}</math> = <math>F(x)+C</math> also: <math>\int{t^3 dt}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> Nun sei a = 1. Wir wollen, dass <math>\frac{1}{4}x^4+C</math> an <math>x=a=1</math> den Wert 0 annimmt, also: <math>\frac{1}{4}a^4+C</math> <=> <math>0</math> <=> <math>C=\frac{-1}{4}</math> <=> <math>Ia</math> = <math>I1(x)</math> = <math>f(x)+C</math> = === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> d9a3cbca4fdeca134be64dfad038de3295b6489e 1730 1729 2018-07-15T17:58:11Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}x^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 25517c185c2e0daebf63468e634c853770159643 1729 1728 2018-07-15T17:54:57Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} Gegeben ist eine Funktion f(x) = 2x Gesucht ist die Stammfunktion d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet 2x ergibt. <br \> <math>x^2</math> da <math>\frac{2x^2}{2}</math> = <math>x^2</math> # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 8ea440a09609aa06f17ad16185fe5dcf0958ff1e 1728 1727 2018-07-15T17:48:59Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> Wie bilde ich eine Stammfunktion? <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 629cd85bf5563f25ae636acd1914bc7ca2f7a339 1727 1726 2018-07-15T17:48:00Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> b843689b847143c5f03b360c9ad32e9d33c6a271 1726 1725 2018-07-15T17:44:22Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | <math>x^2</math> || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | <math>x^3</math>|| <math>\frac{x^4}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}x^4</math> |- | <math>7x^4</math> || <math>\frac{7x^5}{5}</math> = <math>\frac{7}{5}x^5</math> |- | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |- | <math>e^7x</math> || <math>\frac{e^7x}{7}</math> |- | <math>\frac{1}{x^3}</math> = <math>x^{-3}</math> || <math>\frac{x^{-2}}{-2}</math> = <math>\frac{-1}{2x^2}</math> |- |- |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> ac8237129dd3cfa58b40f63b3bd4725f5676c99c 1725 1724 2018-07-15T17:20:56Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | x² || <math>\frac{x^3}{3}</math> = <math>\frac{1}{3}x^3</math> |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> d6d1d357e2e3d978d7798f4e0f2ae2e9c882c198 1724 1723 2018-07-15T17:14:31Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | x² || <math>\frac{1}{3} |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 69d2de27664bfb3a25ea15a97bb9960d3d4e3c24 1723 1722 2018-07-15T17:11:37Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | x² || \frac<code>1</code>2< |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> ae25fe06cac3a3073b6312c2a3d8c68ce2b82a76 1722 1721 2018-07-15T17:02:20Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | x² || \frac{x^3}{3}=\frac{1}{3}x³ |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 343fa91b1a22c7a9ea558884d282ecfb9ab4daca 1721 1720 2018-07-15T17:01:02Z Schwarz L. 10021 /* 5. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) <br \> {| class="wikitable" |- ! f(x) (Funktion) !! F(x) (Stammfunktion) |- | x² || \frac{x³}{3}=\frac{1}{3}x³ |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |} # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 095311bb315734db5baca899839bea400125f853 1720 1719 2018-07-15T16:48:32Z Schwarz L. 10021 /* 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion <br \> - f'(x) ist die Ableitung von f(x) <br \> - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) <b \> === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> a07a867d705ad3cce0c9f89003c7e9d49797ef42 1719 1718 2018-07-15T16:47:42Z Schwarz L. 10021 /* 2. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 4. Wichtige Zusammnehänge zwischen f(x) f'(x) und F(x) === - f(x) ist eine gegebene Funktion - f'(x) ist die Ableitung von f(x) - F(x) ist die Stammfunktion von f(x) === 5. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 03cf57e528e715e83e0027ba8336b1f4f899a050 1718 1717 2018-07-15T16:43:40Z Schwarz L. 10021 /* 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist genau die Stammfunktion, die F(a)=0 erfüllt. Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 2b23f354a38ff6be0459bd4dc289a851475a99f9 1717 1716 2018-07-15T16:38:25Z Schwarz L. 10021 /* 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Das Integral ist nur ein Zahlenwert. Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen der Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 0350afe7bafde8ffd75a62ef2086ea2471cccea6 1716 1715 2018-07-15T16:36:48Z Schwarz L. 10021 /* 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>{I_a}(x)= \int_a^b f(x)dx</math><br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 8fc4b2ef7500a3ff2a8c761add7d1e2e0057c1b2 1715 1714 2018-07-15T16:34:55Z Schwarz L. 10021 /* 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion? === Der Unterschied zwischen einer Integralfunktion und einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, bei der immer die obere Grenze eine Variable ist. Diese unbestimmte Grenze "x" wird in die Funktion eingesetzt und integriert. <br \> Im Gegensatz zur Integralfunktion hat das bestimmte Integral zwei feste Grenzen "a" und "b". <br \> <math>\int_a^b f(x)dx </math><br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> d337d9465bce493a7ea00d63cef5003fbffbefac 1714 1713 2018-07-15T16:27:33Z Schwarz L. 10021 /* 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind. <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion === Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 54aa2c413265625737a6c40b659f8f06f2b06920 1713 1712 2018-07-15T16:27:04Z Schwarz L. 10021 /* 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate. === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion === Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 0ed1af33a6c74ddd852e9244b7d11dd2e70d8664 1712 1711 2018-07-15T16:26:00Z Schwarz L. 10021 /* 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === 1) Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung des Integrals von Flächen deren Begrenzungslinien Funktionen sind <br \> 2) Berechnung von Bestand bei bekannter Änderungsrate <br \> === 3. Was ist der Unterschied zwischen Integral und Integralfunktion - Stammfunktion === Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 8dd74b67ca71384798b5d44af8079e797d102af1 1711 1710 2018-07-15T16:21:05Z Schwarz L. 10021 /* 1. Was ist eine Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> === 2. Wozu benötigt man die Integralfunktion/-rechnung? === Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 8f816198de5e4ee37c2477300c35da772407f2ed 1710 1707 2018-07-15T16:16:42Z Schwarz L. 10021 /* 1. Was ist eine Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> f(x) ist der Integrand und steht für die zu integrierende Gleichung.<br \> a ist die untere <br \> x die obere Integrationsgrenze (Grenze des Intervalls) <br \> dx ist die Integrationsvariable <br \> Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 14a1ae25ef699748f5162edb93b93fc128da1360 1707 1706 2018-06-07T10:58:22Z F.Bittermann 3 /* 2. Wie erhält man die Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>=\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>=[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>=(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> e3a07723d822181cea65c0cf784d4c8480652c65 1706 1705 2018-06-07T10:56:32Z F.Bittermann 3 /* 1. Was ist eine Integralfunktion? */ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den (orientierten) Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 040cbf07a546c5c0a40b694eadf5e303934a6c1e 1705 1704 2018-06-05T17:01:44Z Niklas M. 10019 wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.<br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.<br \> Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.<br \> <br \> Beweis:<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a <br \> Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:<br \> <br \> <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math><br \> <br \> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math><br \> <br \> <math>1=x</math><br \> <br \> 82b003f7a0e6fed0c728ee1da22bc99464e0ac57 1704 2018-06-05T16:52:07Z Niklas M. 10019 Die Seite wurde neu angelegt: „=== 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stamm…“ wikitext text/x-wiki === 1. Was ist eine Integralfunktion? === Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.<br \> Die Integralfunktion sieht so aus: <math>{I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx</math><br \> Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion, <br \> wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert. <br \> Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den Flächeninhalt zwischen den Funktion <math> f </math> und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt. <br \> Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen. <br \> Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:<br \> <math>f(x)= x^2 </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(x)dx </math><br \> <br \> <math>\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt </math><br \> <br \> <br \> === 2. Wie erhält man die Integralfunktion? === <br \> Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math> und eine feste untere Grenze "a" # Funktion <math>f(x)</math> integrieren (die Stammfunktion bilden) # Integral aufstellen <math>\int_a^x f(t)dt</math> # Stammfunktion in das Integral einsetzen # Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen # Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren # Man erhält die Integralfunktion <br \> Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1: <br \> <br \> <math>f(t) = t^2</math><br \> <br \> <math>\int_1^x f(t)dt</math><br \> <br \> <math>\int_1^x (t^2)dt</math><br \> <br \> <math>[\frac{1}{3}t^3</math><math>]_1^x</math><br \> <br \> <math>(</math><math>\frac{1}{3}t^3</math><math>)</math> – <math>(</math><math>\frac{1}{3}*1^3</math><math>)</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <br \> === 3. Ableitung einer Integralfunktion === <br \> Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist. <br \> Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren. <br \> Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion. <br \> Das ist die Ausgangsfunktion.<br \> <br \> <br \> <math>{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt </math><br \> <br \> <math>{I_a}(x) = F(x)-F(a)</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x) = F'(x)-0</math><br \> <br \> <math>{I_a}'(x)=f(x)</math><br \> <br \> <br \> Beispiel mit <math>f(t)=t^2</math> <br \> <br \> <math>f(t)=t^2</math><br \> <br \> <math>F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'</math><br \> <br \> <math>{I_1}'(x)= x^2-0</math><br \> <br \> === 4. Nullstelle einer Integralfunktion === <br \> Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze. <br \> Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \> Man muss nur die unbestimmte Grenze gleich der bestimmten Grenze setzen. <br \> Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.<br \> <br \> # Eine Funktion <math>f(x)</math> und das Intervall <math>\int_a^x</math> ist gegeben # Stammfunktion bilden # Einsetzen # Ergebnis gleich Null setzen # Ergebnis = a Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>: <math>f(x)=x^2</math> <math>F(x)=\frac{1}{3}x^3</math> <math>\int_1^x=f(t)dt</math> <math>\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}</math> <math>0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}</math> <math>\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3</math> <math>1=x^3 | \sqrt[3]{}</math> <math>1=x</math> 0d52d26bbfe3f88c1019c3ab5a4a1cb804c7b987 0 231 877 876 2012-12-03T18:07:15Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=u(v(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int u(v(x))\,dx \over{v'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>u(v(x))=()^2 -> \int u (v(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>v(x)=2x-5 -> v'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] === Herleitung und Beweiß des "+C" === Die Funktion <math>F(x)</math> ist die Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>. <br \> Nun hat die Funktion <math>f(x)</math> nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele. Beispielsweise gilt auch <math>F(x)=K(x)+c</math>. <br \> <math>c</math> ist eine Konstante für die eine beliebige Zahl eingesetzt werden kann.<br \> Beweis:<br \> Wenn für die Stammfunktion <math>F(x)</math> gilt, dass <math>F'(x)=f(x)</math>, so muss auch für <math>K</math> <math>K'(x)=f(x)</math> gelten.<br \> Es muss also gelten, dass <math>F'(x)-K'(x)=0</math>, da nach der Summenregel vom Ableiten gilt, dass ein Summand beim Ableiten wegfällt. Das "<math>+C</math>" fällt also weg und so haben <math>K</math> und <math>F</math>, für gleiches <math>x</math>, auch den selben Betrag.<br \> <math>F-K</math> ist eine konstante Funktion, da sich <math>F</math> und <math>K</math> nur durch <math>c</math> unterscheiden.<br \> Es gilt:<br \> <math>F(x)-K(x)=c</math>, nach <math>F(x)</math> umgeformt: <math>F(x)=K(x)+c</math> <br \> <br \> Also hat jede Funktion <math>f</math> unendlich viele Stammfunktionen. 876 787 2012-12-03T18:00:21Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=u(v(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int u(v(x))\,dx \over{v'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>u(v(x))=()^2 -> \int u (v(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>v(x)=2x-5 -> v'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] === Herleitung und Beweiß des "+C" === Die Funktion <math>F(x)</math> ist die Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>. <br \> Nun hat die Funktion <math>f(x)</math> nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele. Beispielsweise gilt auch <math>F(x)=K(x)+c</math>. <br \> <math>c</math> ist eine Konstante für die eine beliebige Zahl eingesetzt werden kann.<br \> Beweis:<br \> Wenn für die Stammfunktion <math>F(x)</math> gilt, dass <math>F´(x)=f(x)</math>, so muss auch für <math>K(x)</math> <math>K´(x)=f(x)</math> gelten.<br \> Es muss also gelten, dass <math>F´(x)-K´(x)=0</math>, da nach der Summenregel vom Ableiten gilt, dass ein Summand beim Ableiten wegfällt. Das "<math>+C</math>" fällt also weg und so haben <math>K</math> und <math>F</math>, für gleiches <math>x</math>, auch den selben Betrag.<br \> 787 786 2012-11-06T07:55:23Z F.Bittermann 3 /* Graph der Stammfunktion */ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=u(v(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int u(v(x))\,dx \over{v'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>u(v(x))=()^2 -> \int u (v(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>v(x)=2x-5 -> v'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] 786 785 2012-11-06T07:54:42Z F.Bittermann 3 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=u(v(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int u(v(x))\,dx \over{v'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>u(v(x))=()^2 -> \int u (v(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>v(x)=2x-5 -> v'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] [[Datei:Beispiel.jpg]] 785 784 2012-11-06T07:53:47Z F.Bittermann 3 /* Kettenregel */ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=u(v(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int u(v(x))\,dx \over{v'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] [[Datei:Beispiel.jpg]] 784 783 2012-11-06T07:45:04Z F.Bittermann 3 /* Graph der Stammfunktion */ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] [[Datei:Beispiel.jpg]] 783 782 2012-11-06T07:44:36Z F.Bittermann 3 /* Graph der Stammfunktion */ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] [[Datei:Beispiel.jpg]] 782 781 2012-11-06T07:09:31Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot \left( -\cos (x)\right)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] 781 779 2012-11-06T07:02:27Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int u (x)\,dx +\int v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int f (x)\,dx ={\int v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Faktorregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int f (x)\,dx =3\cdot -\cos (x)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] 779 778 2012-11-06T06:53:31Z Akers.Bt 32 /* Graph der Stammfunktion */ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} f (x)\,dx ={\int_{a}^{b} v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int_{a}^{b} v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Produktregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int_{a}^{b} f (x)\,dx =3\cdot -\cos (x)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> [[Datei:Stammfunktionen1.jpg]] 778 777 2012-11-05T19:35:09Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} f (x)\,dx ={\int_{a}^{b} v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int_{a}^{b} v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Produktregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int_{a}^{b} f (x)\,dx =3\cdot -\cos (x)+c</math><br \> === Graph der Stammfunktion === <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> (Vergleich Ausgangsfunktion mit erster Ableitung)<br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> (Vergleich erste Ableitung mit zweiter Ableitung)<br \> 3. Gilt bei der Funktion <math>f(x)</math> in einem festgelegten Intervall <math>f(x)>0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Gilt <math>f(x)<0</math>, so ist der Graph der Stammfunktion in diesem Intervall streng monoton fallend.<br \> 777 776 2012-11-05T19:25:33Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} f (x)\,dx ={\int_{a}^{b} v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int_{a}^{b} v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Produktregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int_{a}^{b} f (x)\,dx =3\cdot -\cos (x)+c</math><br \> ==== Graph der Stammfunktion ==== <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> 2.An der Stelle (b), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Extremstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion eine Wendestelle haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f'(b)=F''(x)=0</math><br \> Außerdem muss der Graph der Stammfunktion an Stelle b eine Wendestelle haben, es bei einem Hoch-oder Tiefpunkt immer einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative oder umgekehrt gibt.<br \> 776 775 2012-11-05T19:06:50Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== <br \> <br \> Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} f (x)\,dx ={\int_{a}^{b} v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int_{a}^{b} v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}+c</math> ==== Produktregel ==== <br \> <br \> Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int_{a}^{b} f (x)\,dx =3\cdot -\cos (x)+c</math><br \> Für Produkte aus zwei Funktionen:<br \> <math>f(x)=u(x)\cdot v(x)</math><br \> ==== Graph der Stammfunktion ==== <br \> <br \> Anhand bestimmter Stellen des Graphen der Funktion <math>f(x)</math> kann man, den Graphen der Stammfunktion <math>F(x)</math> skizzieren. <br \> Dabei gilt:<br \> 1. An der Stelle (a), wo der Graph von <math>f(x)</math> eine Nullstelle hat, muss der Graph der Stammfunktion einen Extrempunkt mit waagerechter Tangente haben.<br \> <math>-></math>es gilt: <math>f(a)=F'(a)=0</math><br \> 775 774 2012-11-05T18:56:40Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} f (x)\,dx ={\int_{a}^{b} v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int_{a}^{b} v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}</math> ==== Produktregel ==== Für Produkte aus einem bestimmten Faktor und einer Funktion:<br \> Der Faktor bleibt stehen und die Funktion wird Integriert.(Analog zum Ableiten)<br \> Beispiel:<br \> <math>f(x)=3\cdot \sin (x) </math><br \> <math>F(x)=3\cdot \int_{a}^{b} f (x)\,dx =3\cdot -\cos (x)</math><br \> Für Produkte aus zwei Funktionen:<br \> <math>f(x)=u(x)\cdot v(x)</math><br \> 774 773 2012-11-05T18:48:12Z Akers.Bt 32 wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen manche den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> ==== Kettenregel ==== Möchte man eine Verkettung von Funktionen Integrieren, um an die Stammfunktion zu gelangen, so muss man die Kettenregel vom Integrieren benutzen. Diese ähnelt der Kettenregel beim Ableiten, ist jedoch nicht die selbe: Die folgende Regel gilt nur bei linearer Verkettung, das heißt, dass es sich bei der "inneren" Funktion um eine lineare Funktion handeln muss! Allgemeine Form: <br \> <math>f(x)=v(u(x))</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} f (x)\,dx ={\int_{a}^{b} v(u(x))\,dx \over{u'(x)}}</math><br \> In Worten: Um bei einer Verkettung von Funktionen an die Stammfunktion zu kommen muss man das Integral der äußeren Funktion durch die Ableitung der inneren Funktion teilen. Beispiel:<br \> <math>f(x)=(2x-5)^2</math><br \> <math>v(u(x))=()^2 -> \int_{a}^{b} v (u(x))\,dx ={1 \over3}()^3</math><br \> <math>u(x)=2x-5 -> u'(x)=2</math><br \> also:<math>F(x)={{1 \over3}(2x-5)^3 \over2}</math> 773 772 2012-11-04T19:01:02Z Akers.Bt 32 /* Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion */ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen die meisten den bereits bekannten [[Ableitungsregeln]] sehr ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> 772 2012-11-04T18:58:30Z Akers.Bt 32 Die Seite wurde neu angelegt: „=== Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differe…“ wikitext text/x-wiki === Definition der Stammfunktion === Die Funktion <math>F(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> heißt Stammfunktion. <math>F(x)</math> ist die differenzierbare Funktion der reellen Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>\left[a;b\right]</math>, sodass gilt:<br \> <math>F'(x)</math><math>=</math><math>f(x)</math><br \> Jede Funktion <math>f(x)</math> hat unendlich viele Stammfunktionen. <br \> Auf die Stammfunktion kommt man, indem man die Ausgangsfunktion integriert, also:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} f (x)\,dx </math> === Stammfunktionen zu einfachen Funktionen === {| class="wikitable sortable" !<math>f(x)</math>!!<math>F(x)</math> |- | <math>0</math> || <math>c</math> |- | <math>1</math> || <math>x+c</math> |- | <math>x</math> || <math>{1 \over2}x^2+c</math> |- | <math>x^2</math> || <math>{1 \over3}x^3+c</math> |- | <math>\sqrt{x} </math><math>=</math><math>x^{1 \over2}</math> || <math>{2 \over3}x^{3 \over2}+c</math> |- | <math>\sin (x) </math> || <math>-\cos (x)+c </math> |- | <math>\cos (x) </math> || <math>\sin (x)+c </math> |- |} === Integrationsregeln zum Berechnen der Stammfunktion === Um an die Stammfunktion zu kommen muss man die Funktion <math>f(x)</math> integrieren. Dabei muss man bestimmte Regeln beachten von denen die meisten den bereits bekannten Ableitungsregeln sehr ähnlich sind. ==== Potenzregel ==== Möchte man eine Potenzfunktion wie zum Beispiel <math>f(x)</math><math>=</math><math>x^2</math> integrieren um an die Stammfunktion zu kommen, so gilt:<br \> <math>F(x)</math><math>=</math><math>\int_{a}^{b} x^n\,dx </math><math>=</math><math>{1 \over{n+1}}x^{n+1}+c</math><br \> <br \> Beispiel: <math>f(x)=x^2</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} x^2\,dx ={1 \over{2+1}}x^{2+1}+C</math><math>=</math><math>{1 \over3}x^3+c</math><br \> ==== Summenregel ==== Möchte man eine Summe von zwei Funktionen integrieren so gilt die selbe Regel, wie beim Ableiten:<br \> Summenregel beim Ableiten:<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <math>f'(x)=u'(x) + v'(x)</math><br \> Genau wie beim Ableiten werden beim Integrieren die Summanden einzeln integriert und dann stehen gelassen oder vereinfacht.<br \> <math>f(x)=u(x)+v(x)</math><br \> <br \> <math>F(x)=\int_{a}^{b} u (x)\,dx +\int_{a}^{b} v (x)\,dx </math> 0 212 719 713 2012-06-19T06:59:52Z SaxFabio 36 wikitext text/x-wiki Es gibt verschiedene Möglichkeiten Ebenen durch eine Gleichung darzustellen. Koordinatengleichung: Eine Gleichung der Form <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 +a_3 x_3 -b =0</math> beschreibt eine Ebene im Raum <math>a_1;a_2;a_3 \in \mathbb{R} </math> - Koeffizienten => Setzen wir für <math>x_1; x_2; x_3 </math> Zahlen <math>\in \mathbb{ R} </math>ein, dass die Gleichung erfüllt ist, so erhalten wir Punkte dieser Ebene. <br /> Beispiel: Dreieck im Würfel: <math> E: x_1+x_2+x_3-4=0 </math> Liegt A(4/0/0) in E?<br /> => 4+0+0-4=0 richtig A liegt auf der Ebene E <br /> <br /> Liegt M(2/2/2) in E?<br /> => <math> 2+2+2-4=-2 \not= 0 </math> <br /> M liegt nicht auf E 713 709 2012-06-19T06:47:33Z SaxFabio 36 wikitext text/x-wiki Es gibt verschiedene Möglichkeiten Ebenen durch eine Gleichung darzustellen. Koordinatengleichung: Eine Gleichung der Form <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 +a_3 x_3 -b =0</math> beschreibt eine Ebene im Raum <math>a_1;a_2;a_3 \in \mathbb{R} </math> - Koeffizienten => Setzen wir für <math>x_1; x_2; x_3 </math> Zahlen <math>\in \mathbb{ R} </math>ein, dass die Gleichung erfüllt ist, so erhalten wir Punkte dieser Ebene. <br /> Beispiel: Dreieck im Würfel: <math> E: x_1+x_2+x_3-4=0 </math> Liegt A(4/0/0) in E?<br /> => 4+0+0-4=0 richtig A liegt auf der Ebene E <br /> <br /> Liegt M(2/2/2) in E?<br /> => <math> 2+2+2-4=-2</math> ungleich 0 <br /> M liegt nicht auf E 709 2012-06-19T06:39:43Z SaxFabio 36 Die Seite wurde neu angelegt: „Es gibt verschiedene Möglichkeiten Ebenen durch eine Gleichung darzustellen. Koordinatengleichung: Eine Gleichung der Form <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 +a_3 x_3 …“ wikitext text/x-wiki Es gibt verschiedene Möglichkeiten Ebenen durch eine Gleichung darzustellen. Koordinatengleichung: Eine Gleichung der Form <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 +a_3 x_3 -b =0</math> beschreibt eine Ebene im Raum <math>a_1;a_2;a_3 \in \mathbb{R} </math> - Koeffizienten => Setzen wir für <math>x_1; x_2; x_3 </math> Zahlen <math>\in \mathbb{ R} </math>ein, dass die Gleichung erfüllt ist, so erhalten wir Punkte dieser Ebene. <br /> Beispiel: Dreieck im Würfel: <math> E: x_1+x_2+x_3-4=0 </math> Liegt A(4/0/0) in E?<br /> => 4+0+0-4=0 richtig A liegt auf der Ebene E <br /> <br /> Liegt M(2/2/2) in E?<br /> => <math> 2+2+2-4=-2/=0 </math> M liegt nicht auf E<br /> 0 281 962 961 2013-01-21T08:00:51Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki * [[Klasse 9]] 961 959 2013-01-21T07:59:55Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Klasse 9 == Rabbit-Proof Fence == === Film review === === Summary === 959 958 2013-01-21T07:24:26Z RoemleinJh 55 wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === === Summary === 958 2013-01-21T07:23:24Z RoemleinJh 55 Die Seite wurde neu angelegt: „== Rabbit-Proof Fence == === Film review ===“ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === 0 275 1278 950 2013-05-22T11:13:11Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki Ereignisbäume werden angefertigt um die Wahrscheinlichkeit eines Experimentes zu veranschaulichen. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu erfahren muss man die Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad vom Anfang bis zum gesuchten Ereignis addieren. Ein Ereignisbaum kann wie in den folgenden Beispielen aussehen.<br /> '''Beispiel 1:'''<br /> In einem Gefäß befinden sich 3 Kugeln, einer roten, einer schwarzen und einer grünen. Man zieht zwei Mal eine Kugle ohne zu sehen welche Farbe diese hat. Wurde eine Kugel heraus genommen, so wird sie wieder zurück gelegt.<br /> [[Datei:BAUMMITZURÜCKLEGEN.jpg]]<br /> '''einige Wahrscheinlichkeiten:'''<br /> Gleichfarbige (RR+SS+GG): <math>\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}</math><br /> nur Rote (RR): <math>\frac{1}{9}</math><br /> eine Rote und eine Grüne (RG+GR): <math>\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}</math><br /> mindestens ein Schwarz(RS+SR+SS+SG+GS): <math>\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}</math> <br /> '''Beispiel 2:'''<br /> In einem Gefäß befinden sich 3 Kugeln, einer roten, einer schwarzen und einer grünen. Man zieht zwei Mal eine Kugle ohne zu sehen welche Farbe diese hat. Wurde eine Kugel heraus genommen, so bleibt sie draußen.<br /> [[Datei:BAUMOHNEZURÜCKLEGEN.jpg]]<br /> '''einige Wahrscheinlichkeiten:'''<br /> eine Rote und eine Grüne(RG+GR): <math>\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}</math><br /> mind. eine Schwarze(RS+SR+SG+GS): <math>\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}</math><br /><br /> ''Quelle: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/stochastik-wahrscheinlichkeitsrechnung-einleitung-mathematik.html'' 950 2013-01-14T00:36:38Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „Ereignisbäume werden angefertigt um die Wahrscheinlichkeit eines Experimentes zu veranschaulichen. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu erfahren muss m…“ wikitext text/x-wiki Ereignisbäume werden angefertigt um die Wahrscheinlichkeit eines Experimentes zu veranschaulichen. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu erfahren muss man die Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad vom Anfang bis zum gesuchten Ereignis addieren. Ein Ereignisbaum kann wie in den folgenden Beispielen aussehen.<br /> '''Beispiel 1:'''<br /> In einem Gefäß befinden sich 3 Kugeln, einer roten, einer schwarzen und einer grünen. Man zieht zwei Mal eine Kugle ohne zu sehen welche Farbe diese hat. Wurde eine Kugel heraus genommen, so wird sie wieder zurück gelegt.<br /> [[Datei:BAUMMITZURÜCKLEGEN.jpg]]<br /> '''einige Wahrscheinlichkeiten:'''<br /> Gleichfarbige (RR+SS+GG): <math>\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}</math><br /> nur Rote (RR): <math>\frac{1}{9}</math><br /> eine Rote und eine Grüne (RG+GR): <math>\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}</math><br /> mindestens ein Schwarz(RS+SR+SS+SG+GS): <math>\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}</math> <br /> '''Beispiel 2:'''<br /> In einem Gefäß befinden sich 3 Kugeln, einer roten, einer schwarzen und einer grünen. Man zieht zwei Mal eine Kugle ohne zu sehen welche Farbe diese hat. Wurde eine Kugel heraus genommen, so bleibt sie draußen.<br /> [[Datei:BAUMOHNEZURÜCKLEGEN.jpg]]<br /> '''einige Wahrscheinlichkeiten:'''<br /> eine Rote und eine Grüne(RG+GR): <math>\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}</math><br /> mind. eine Schwarze(RS+SR+SG+GS): <math>\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}</math><br /> 0 517 1890 1880 2018-12-18T16:46:17Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand.<br /><br /> Das bedeutet, dass die Änderungsrate entsprechend dem Bestand steigt, also umso größer wird, je größer der Bestand wird.<br /> Der Graph einer exponentiellen Wachstumsfunktion hat die Eigenschaft, sofern er nicht verschoben oder gespiegelt ist, die x-Achse niemals zu schneiden, sondern sich dieser im negativen Bereich nur anzunähern.<br /> <!-- Ein Wachstum kann nicht auf einer Achse verschoben sein!!! --> <!-- Was ist DAS Kriterium für exponentielles WAchstum? Hier muss der Standardsatz her! Wie auch beim linearen WAchstum. -> Die Änderungsrate ist ... --> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> erfüllt in dieser Schreibweise die Aufgabe des Wachstumsfaktors.<br /> <!-- FALSCH. Die Wachstumskonstantze ist k - siehe nächste Zeile. --> <math>{k}</math> ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der Scheibweise ohne <math>{e}</math> in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis von Bedeutung ist. ==Verschiedene Schreibweisen== <!-- Es gibt keine alte und neue Schreibweise. Es gibt eine Schreibweise als Exponentialfunktion, und eine als Exponentialfunktion mit der Basis e. --> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit <math>{e}</math> als Basis, oder ohne <math>{e}</math>.<br /> Die allgemeine Form für die Schreibweise ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Eine Wachstumsfunktion in der Schreibweise ohne <math>{e}</math> lässt sich leichter aufstellen, da man den Wachstumsfaktor <math>{b}</math> aus einer gegebenen prozentualen Zunahme bilden kann. Dafür muss man die prozentuale Zunahme zu 1 addieren.<br /> Ist die prozentuale Zunahme beispielsweise 25%, so beträgt <math>{b}</math> folglich 1,25. <!-- Was ist hier der Vorteil? Hinweis auf Wachstumsrate um x Prozent, was sich in b zeigt -> Formel angeben. --> Die Schreibweise ohne <math>{e}</math> kann relativ einfach in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der Schreibweise ohne <math>{e}</math> fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der Schreibweise mit <math>{e}</math> nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(b^x) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um eine Wachstumsgleichung, die in der Schreibweise ohne <math>{e}</math> steht, in die Schreibweise mit <math>{e}</math> umzuwandeln, muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren.<br /> Man kann also auch einfach die Formel <br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{ln(b) \cdot x}}</math><br /> anwenden.<br /><br /> Der Vorteil der Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis ist, dass man exponentielle Wachstumsfunktion in dieser Schreibweise ableiten kann. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Schreibweise ohne e:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Schreibweise mit e:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|1= Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup> ==Anfangsbestand berechnen== Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /> Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /> <math> \begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align} </math><br /> ===Beispiel=== Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /> <math> \begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|1= Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> ! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align} </math> </popup> ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align} </math><br /><br /> Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen. ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align} </math> {{Aufgabe|1= Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /> }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align} </math> </popup> ==Übungsaufgabe== {{Aufgabe|1= Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /> a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung mit e an!<br /> b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?<br /> c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?<br /> d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?<br /> }} <popup name="Lösung a)"> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align} </math> </popup> <popup name="Lösung b)"> <math> \begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align} </math><br /><br /> Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben. </popup> <popup name="Lösung c)"> <math> \begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align} </math><br /> <br /> Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto. </popup> <popup name="Lösung d)"> <math> \begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align} </math><br /><br /> Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto. </popup> 267cf9a397ab7b386f65cdafa36dafcce5ffbda8 1880 1873 2018-12-01T11:20:00Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand.<br /><br /> Das bedeutet, dass die Änderungsrate entsprechend dem Besatnd steigt, also umso größer wird, je größer der Bestand wird.<br /> Der Graph einer exponentiellen Wachstumsfunktion hat die Eigenschaft, sofern er nicht verschoben oder gespiegelt ist, die x-Achse niemals zu schneiden, sondern sich dieser im negativen Bereich nur anzunähern.<br /> <!-- Ein Wachstum kann nicht auf einer Achse verschoben sein!!! --> <!-- Was ist DAS Kriterium für exponentielles WAchstum? Hier muss der Standardsatz her! Wie auch beim linearen WAchstum. -> Die Änderungsrate ist ... --> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> erfüllt in dieser Schreibweise die Aufgabe des Wachstumsfaktors.<br /> <!-- FALSCH. Die Wachstumskonstantze ist k - siehe nächste Zeile. --> <math>{k}</math> ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der Scheibweise ohne <math>{e}</math> in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis von Bedeutung ist. ==Verschiedene Schreibweisen== <!-- Es gibt keine alte und neue Schreibweise. Es gibt eine Schreibweise als Exponentialfunktion, und eine als Exponentialfunktion mit der Basis e. --> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit <math>{e}</math> als Basis, oder ohne <math>{e}</math>.<br /> Die allgemeine Form für die Schreibweise ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Eine Wachstumsfunktion in der Schreibweise ohne <math>{e}</math> lässt sich leichter aufstellen, da man den Wachstumsfaktor <math>{b}</math> aus einer gegebenen prozentualen Zunahme bilden kann. Dafür muss man die prozentuale Zunahme zu 1 addieren.<br /> Ist die prozentuale Zunahme beispielsweise 25%, so beträgt <math>{b}</math> folglich 1,25. <!-- Was ist hier der Vorteil? Hinweis auf Wachstumsrate um x Prozent, was sich in b zeigt -> Formel angeben. --> Die Schreibweise ohne <math>{e}</math> kann relativ einfach in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der Schreibweise ohne <math>{e}</math> fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der Schreibweise mit <math>{e}</math> nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(b^x) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um eine Wachstumsgleichung, die in der Schreibweise ohne <math>{e}</math> steht, in die Schreibweise mit <math>{e}</math> umzuwandeln, muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren.<br /> Man kann also auch einfach die Formel <br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{ln(b) \cdot x}}</math><br /> anwenden.<br /><br /> Der Vorteil der Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis ist, dass man exponentielle Wachstumsfunktion in dieser Schreibweise ableiten kann. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Schreibweise ohne e:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Schreibweise mit e:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|1= Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup> ==Anfangsbestand berechnen== Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /> Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /> <math> \begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align} </math><br /> ===Beispiel=== Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /> <math> \begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|1= Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> ! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align} </math> </popup> ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align} </math><br /><br /> Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen. ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align} </math> {{Aufgabe|1= Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /> }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align} </math> </popup> ==Übungsaufgabe== {{Aufgabe|1= Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /> a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung mit e an!<br /> b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?<br /> c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?<br /> d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?<br /> }} <popup name="Lösung a)"> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align} </math> </popup> <popup name="Lösung b)"> <math> \begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align} </math><br /><br /> Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben. </popup> <popup name="Lösung c)"> <math> \begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align} </math><br /> <br /> Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto. </popup> <popup name="Lösung d)"> <math> \begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align} </math><br /><br /> Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto. </popup> 10424d8b49107770dcb86ff3157ffbcdfeebdb89 1873 1872 2018-11-24T20:55:26Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate propertional zum Bestand.<br /><br /> Das bedeutet, dass die Änderungsrate entsprechend dem Besatnd steigt, also umso größer wird, je größer der Bestand wird.<br /> Der Graph einer exponentiellen Wachstumsfunktion hat die Eigenschaft, sofern er nicht verschoben oder gespiegelt ist, die x-Achse niemals zu schneiden, sondern sich dieser im negativen Bereich nur anzunähern.<br /> <!-- Ein Wachstum kann nicht auf einer Achse verschoben sein!!! --> <!-- Was ist DAS Kriterium für exponentielles WAchstum? Hier muss der Standardsatz her! Wie auch beim linearen WAchstum. -> Die Änderungsrate ist ... --> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> erfüllt in dieser Schreibweise die Aufgabe des Wachstumsfaktors.<br /> <!-- FALSCH. Die Wachstumskonstantze ist k - siehe nächste Zeile. --> <math>{k}</math> ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der Scheibweise ohne <math>{e}</math> in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis von Bedeutung ist. ==Verschiedene Schreibweisen== <!-- Es gibt keine alte und neue Schreibweise. Es gibt eine Schreibweise als Exponentialfunktion, und eine als Exponentialfunktion mit der Basis e. --> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit <math>{e}</math> als Basis, oder ohne <math>{e}</math>.<br /> Die allgemeine Form für die Schreibweise ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Eine Wachstumsfunktion in der Schreibweise ohne <math>{e}</math> lässt sich leichter aufstellen, da man den Wachstumsfaktor <math>{b}</math> aus einer gegebenen prozentualen Zunahme bilden kann. Dafür muss man die prozentuale Zunahme zu 1 addieren.<br /> Ist die prozentuale Zunahme beispielsweise 25%, so beträgt <math>{b}</math> folglich 1,25. <!-- Was ist hier der Vorteil? Hinweis auf Wachstumsrate um x Prozent, was sich in b zeigt -> Formel angeben. --> Die Schreibweise ohne <math>{e}</math> kann relativ einfach in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der Schreibweise ohne <math>{e}</math> fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der Schreibweise mit <math>{e}</math> nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(b^x) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um eine Wachstumsgleichung, die in der Schreibweise ohne <math>{e}</math> steht, in die Schreibweise mit <math>{e}</math> umzuwandeln, muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren.<br /> Man kann also auch einfach die Formel <br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{ln(b) \cdot x}}</math><br /> anwenden.<br /><br /> Der Vorteil der Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis ist, dass man exponentielle Wachstumsfunktion in dieser Schreibweise ableiten kann. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Alte Schreibweise:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Neue Schreibweise:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|1= Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup> ==Anfangsbestand berechnen== Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /> Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /> <math> \begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align} </math><br /> ===Beispiel=== Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /> <math> \begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|1= Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> ! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align} </math> </popup> ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align} </math><br /><br /> Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen. ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align} </math> {{Aufgabe|1= Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /> }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align} </math> </popup> ==Übungsaufgabe== {{Aufgabe|1= Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /> a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!<br /> b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?<br /> c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?<br /> d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?<br /> }} <popup name="Lösung a)"> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align} </math> </popup> <popup name="Lösung b)"> <math> \begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align} </math><br /><br /> Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben. </popup> <popup name="Lösung c)"> <math> \begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align} </math><br /> <br /> Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto. </popup> <popup name="Lösung d)"> <math> \begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align} </math><br /><br /> Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto. </popup> f413fcec668d54f956ed78e077d192e9d6f3a518 1872 1845 2018-11-24T19:37:05Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate propertional zum Bestand.<br /><br /> Das bedeutet, dass die Änderungsrate entsprechend dem Besatnd steigt, also umso größer wird, je größer der Bestand wird.<br /> Der Graph einer exponentiellen Wachstumsfunktion hat die Eigenschaft, sofern er nicht verschoben oder gespiegelt ist, die x-Achse niemals zu schneiden, sondern sich dieser im negativen Bereich nur anzunähern.<br /> <!-- Ein Wachstum kann nicht auf einer Achse verschoben sein!!! --> <!-- Was ist DAS Kriterium für exponentielles WAchstum? Hier muss der Standardsatz her! Wie auch beim linearen WAchstum. -> Die Änderungsrate ist ... --> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> erfüllt in dieser Schreibweise die Aufgabe des Wachstumsfaktors.<br /> <!-- FALSCH. Die Wachstumskonstantze ist k - siehe nächste Zeile. --> <math>{k}</math> ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der Scheibweise ohne <math>{e}</math> in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis von Bedeutung ist. ==Umwandlung der Scheibweise ohne <math>{e}</math> in die Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis== <!-- Es gibt keine alte und neue Schreibweise. Es gibt eine Schreibweise als Exponentialfunktion, und eine als Exponentialfunktion mit der Basis e. --> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit <math>{e}</math> als Basis, oder ohne <math>{e}</math>.<br /><br /> Die allgemeine Form lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Eine Wachstumsfunktion in der Schreibweise ohne <math>{e}</math> lässt sich leichter aufstellen, da man den Wachstumsfaktor <math>{b}</math> aus einer gegebenen prozentualen Zunahme bilden kann. Dafür muss man die prozentuale Zunahme mit 1 addieren.<br /> Ist die prozentuale Zunahme beispielsweise 25%, so beträgt <math>{b}</math> folglich 1,25. <!-- Was ist hier der Vorteil? Hinweis auf Wachstumsrate um x Prozent, was sich in b zeigt -> Formel angeben. --> Diese kann in eine Exponentialfunktion mit <math>{e}</math> umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(b^x) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Alte Schreibweise:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Neue Schreibweise:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|1= Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup> ==Anfangsbestand berechnen== Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /> Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /> <math> \begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align} </math><br /> ===Beispiel=== Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /> <math> \begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|1= Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> ! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align} </math> </popup> ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align} </math><br /><br /> Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen. ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align} </math> {{Aufgabe|1= Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /> }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align} </math> </popup> ==Übungsaufgabe== {{Aufgabe|1= Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /> a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!<br /> b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?<br /> c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?<br /> d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?<br /> }} <popup name="Lösung a)"> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align} </math> </popup> <popup name="Lösung b)"> <math> \begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align} </math><br /><br /> Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben. </popup> <popup name="Lösung c)"> <math> \begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align} </math><br /> <br /> Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto. </popup> <popup name="Lösung d)"> <math> \begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align} </math><br /><br /> Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto. </popup> cda0964db125438a2f029c878de229c844a6514b 1845 1824 2018-11-03T18:44:35Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> <!-- Ein Wachstum kann nicht auf einer Achse verschoben sein!!! --> <!-- Was ist DAS Kriterium für exponentielles WAchstum? Hier muss der Standardsatz her! Wie auch beim linearen WAchstum. -> Die Änderungsrate ist ... --> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.<br /> <!-- FALSCH. Die Wachstumskonstantze ist k - siehe nächste Zeile. --> <math>{k}</math> ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist. ==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue== <!-- Es gibt keine alte und neue Schreibweise. Es gibt eine Schreibweise als Exponentialfunktion, und eine als Exponentialfunktion mit der Basis e. --> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math>{e}</math>.<br /><br /> Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> <!-- Was ist hier der Vorteil? Hinweis auf Wachstumsrate um x Prozent, was sich in b zeigt -> Formel angeben. --> Diese kann in eine Exponentialfunktion mit <math>{e}</math> umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(b^x) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Alte Schreibweise:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Neue Schreibweise:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|1= Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup> ==Anfangsbestand berechnen== Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /> Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /> <math> \begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align} </math><br /> ===Beispiel=== Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /> <math> \begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|1= Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> ! }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align} </math> </popup> ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align} </math><br /><br /> Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen. ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align} </math> {{Aufgabe|1= Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /> }} <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align} </math> </popup> ==Übungsaufgabe== {{Aufgabe|1= Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /> a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!<br /> b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?<br /> c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?<br /> d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?<br /> }} <popup name="Lösung a)"> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align} </math> </popup> <popup name="Lösung b)"> <math> \begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align} </math><br /><br /> Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben. </popup> <popup name="Lösung c)"> <math> \begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align} </math><br /> <br /> Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto. </popup> <popup name="Lösung d)"> <math> \begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align} </math><br /><br /> Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto. </popup> 86fca46322a02a13063999bd0c49e0c71d7b8a8e 1824 1820 2018-10-24T17:59:16Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.<br /> <math>{k}</math> ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist. ==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue== Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math>{e}</math>.<br /><br /> Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Diese kann in eine Exponentialfunktion mit <math>{e}</math> umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Alte Schreibweise:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Neue Schreibweise:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup>}} ==Anfangsbestand berechnen== Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /> Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /> <math> \begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align} </math><br /> ===Beispiel=== Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /> <math> \begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> ! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align} </math> </popup>}} ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align} </math><br /><br /> Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen. ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align} </math> {{Aufgabe|Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align} </math> </popup>}} ==Übungsaufgabe== Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /> a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align} </math> </popup> b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align} </math><br /><br /> Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben. </popup> c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align} </math><br /> <br /> Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto. </popup> d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align} </math><br /><br /> Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto. d393011a1d491f580d288d2ac0e59370c06da15f 1820 1819 2018-10-03T14:11:16Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math>{e}</math>.<br /> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.<br /> <math>{k}</math> ist die sogenannte wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist. ==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue== Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Diese kann in eine Exponentialfunktion mit <math>{e}</math> umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Alte Schreibweise:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Neue Schreibweise:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup>}} ==Anfangsbestand berechnen== Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br /> Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br /> <math> \begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} |:e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align} </math><br /> ===Beispiel=== Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br /> <math> \begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align} </math><br /><br /> {{Aufgabe|Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> ! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align} </math> </popup>}} ==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen== Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br /> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align} </math><br /><br /> Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen. ===Beispiel=== Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br /> Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br /> <math> \begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align} </math> {{Aufgabe|Gegeben ist die Funktion<br /> <math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align} </math> </popup>}} ==Übungsaufgabe== Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br /> a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align} </math> </popup> b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align} </math><br /><br /> Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben. </popup> c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align} </math><br /> <br /> Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto. </popup> d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} |:100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} |logarithmieren \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x |: 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align} </math><br /><br /> Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto. 38eefb769616b19931b11025859b8f5183937080 1819 1813 2018-10-03T11:12:14Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math>{e}</math>.<br /> ==Funktionsterm== Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br /> Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.<br /> <math>{k}</math> ist die sogenannte wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist. ==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue== Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Diese kann in eine Exponentialfunktion mit <math>{e}</math> umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren. ===Beispiel=== [[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br /> Alte Schreibweise:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br /> Neue Schreibweise:<br /> 1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br /> <math> \begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align} </math><br /><br /> [[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]] 2. Funktionsgleichung aufstellen:<br /> <math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math> {{Aufgabe|Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br /> Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align} </math> </popup>}} ==Funktionsterm mit e== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differenzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}</math> ===Beispiel=== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> </popup> 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. </popup> 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}</math><br /><br /> Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. </popup> }} c213475fdece91425d28663021813a19c97a1753 1813 1809 2018-09-30T18:02:28Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math{e}</math>.<br /> ==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue== Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> Diese kann in eine Exponentialfunktion mit <math>{e}</math> umgewandelt werden. Mit <math>{e}</math> lautet die allgemeine Formel:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br /> Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /> <math> \begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align} </math> <br /><br /> Der allgemeine Funktionsterm des exponentiellen Wachstums ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> <math>{a}</math> steht hierbei für den Anfangsbestand.<br /> <math>{b}</math> ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den der Bestand in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.<br /> ===Beispiel=== [[Datei:Exponentielles Wachstum.png|rahmenlos|rechts]] Auf einem Bankkonto befinden sich 200 €. Der Zinssatz beträgt 10% (pro Jahr).<br /> Der Kontostand kann mit der Funktion<br /> <math>{f(x)=200 \cdot 1,1^{x}}</math> (<math>{x}</math> in Jahren)<br /> angegeben werden.<br /> {{Aufgabe|2 kg eines radioaktiven Materials haben eine Halbwertszeit von einem Jahr.<br /> 1) Geben Sie die dazugehörige Funktionsgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(x)= 2 \cdot 0,5^{x}}</math> (<math>{x}</math>in Jahren </popup> 2) Wieviel des Materials ist nach 4 Jahren noch übrig?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(4)= 2 \cdot 0,5^4}</math><br /> <math>{f(4)= 0,125}</math><br /> Nach 4 Jahren sind noch 125 g des Materials übrig. </popup> 3) Wann sind noch 22 g des Materials übrig?<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 0,022 &= 2 \cdot 0,5^{x} |:2 \\ 0,011 &= 0,5^{x} |log \\ log_{0,5} 0,011 &= x \\ 6,5 & \approx x \end{align} </math><br /> Nach ungefähr 6,5 Jahren sinf noch 22 g des Materials übrig. </popup> }} ==Funktionsterm mit e== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differenzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}</math> ===Beispiel=== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> </popup> 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. </popup> 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}</math><br /><br /> Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. </popup> }} 01bfa3f8e7719829457ea4e4156cf3af5b10c5c0 1809 1807 2018-09-23T15:00:14Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit <math>{e}</math> oder mit einem anderen Wachstumsfaktor als Basis.<br /> ==Funktionsterm ohne e== Der allgemeine Funktionsterm des exponentiellen Wachstums ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> <math>{a}</math> steht hierbei für den Anfangsbestand.<br /> <math>{b}</math> ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den der Bestand in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.<br /> ===Beispiel=== [[Datei:Exponentielles Wachstum.png|rahmenlos|rechts]] Auf einem Bankkonto befinden sich 200 €. Der Zinssatz beträgt 10% (pro Jahr).<br /> Der Kontostand kann mit der Funktion<br /> <math>{f(x)=200 \cdot 1,1^{x}}</math> (<math>{x}</math> in Jahren)<br /> angegeben werden.<br /> {{Aufgabe|2 kg eines radioaktiven Materials haben eine Halbwertszeit von einem Jahr.<br /> 1) Geben Sie die dazugehörige Funktionsgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(x)= 2 \cdot 0,5^{x}}</math> (<math>{x}</math>in Jahren </popup> 2) Wieviel des Materials ist nach 4 Jahren noch übrig?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(4)= 2 \cdot 0,5^4}</math><br /> <math>{f(4)= 0,125}</math><br /> Nach 4 Jahren sind noch 125 g des Materials übrig. </popup> 3) Wann sind noch 22 g des Materials übrig?<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 0,022 &= 2 \cdot 0,5^{x} |:2 \\ 0,011 &= 0,5^{x} |log \\ log_{0,5} 0,011 &= x \\ 6,5 & \approx x \end{align} </math><br /> Nach ungefähr 6,5 Jahren sinf noch 22 g des Materials übrig. </popup> }} ==Funktionsterm mit e== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differenzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}</math> ===Beispiel=== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> </popup> 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. </popup> 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}</math><br /><br /> Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. </popup> }} 031663865e51607415e36ddf2e131dc5703202fa 1807 1802 2018-09-22T18:41:13Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit <math>{e}</math> oder mit einem anderen Wachstumsfaktor als Basis.<br /> ==Funktionsterm ohne e== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstums ohne <math>{e}</math> lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br /> <math>{a}</math> steht hierbei für den Anfangsbestand.<br /> <math>{b}</math> ist der Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor.<br /> ===Beispiel=== [[Datei:Exponentielles Wachstum.png|rahmenlos|rechts]] Auf einem Bankkonto befinden sich 200 €. Der Zinssatz beträgt 10% (pro Jahr).<br /> Der Kontostand kann mit der Funktion<br /> <math>{f(x)=200 \cdot 1,1^{x}}</math> (<math>{x}</math>in Jahren)<br /> angegeben werden.<br /> {{Aufgabe|2 kg eines radioaktiven Materials haben eine Halbwertszeit von einem Jahr.<br /> 1) Geben Sie die dazugehörige Funktionsgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(x)= 2 \cdot 0,5^{x}}</math> (<math>{x}</math>in Jahren </popup> 2) Wieviel des Materials ist nach 4 Jahren noch übrig?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(4)= 2 \cdot 0,5^4}</math><br /> <math>{f(4)= 0,125}</math><br /> Nach 4 Jahren sind noch 125 g des Materials übrig. </popup> 3) Wann sind noch 22 g des Materials übrig?<br /> <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 0,022 &= 2 \cdot 0,5^{x} |:2 \\ 0,011 &= 0,5^{x} |log \\ log_{0,5} 0,011 &= x \\ 6,5 & \approx x \end{align} </math><br /> Nach ungefähr 6,5 Jahren sinf noch 22 g des Materials übrig. </popup> }} ==Funktionsterm mit e== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differenzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}</math> ===Beispiel=== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> ===Aufgaben=== {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> </popup> 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. </popup> 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}</math><br /><br /> Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. </popup> }} 654af1a999712ebb0bef5bb378b748e50068f8a8 1802 1796 2018-09-05T17:34:22Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differenzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}</math> ==Beispiel== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> ==Aufgaben== {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> </popup> 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. </popup> 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|/2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|/0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}</math><br /><br /> Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. </popup> }} b4a78811d765da5eb02c893b40ce7637dff77c19 1796 1788 2018-09-04T13:29:57Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differentialgleichung=== Die dazugehörige Differentialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math> ==Beispiel== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> ==Aufgaben== {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differentialgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> </popup> 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. </popup> 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? <popup name="Lösung"> <math>{3=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|/2}</math><br /> <math>{3/2=e^{0,1 \cdot x}|ln}</math> <br /> <math>{ln(3/2)=0,1 \cdot x|/0,1}</math> <br /> <math>{\tfrac{ln(3/2)}{0,1}=x}</math> <br /> <math>{4,06 \approx x}</math><br /><br /> Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. </popup> }}<br /> e70245b7643e3f1c968f094f2d0bbe86cd52ece1 1788 1787 2018-09-02T17:19:41Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differentialgleichung=== Die dazugehörige Differentialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math> ==Beispiel== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> ==Aufgaben== {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differentialgleichung an!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> </popup> 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. </popup> 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? <popup name="Lösung"> <math>{3=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|/2}</math><br /> <math>{3/2=e^{0,1 \cdot x}|ln}</math> <br /> <math>{ln(3/2)=0,1 \cdot x|/0,1}</math> <br /> <math>{\tfrac{ln(3/2)}{0,1}=x}</math> <br /> <math>{4,06 \approx x}</math><br /><br /> Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. </popup> }}<br /> 71614e9f69777a89796856a2153f0fbf09fed00e 1787 1783 2018-08-31T16:44:43Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). ===Differienzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /> Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math> ==Beispiel== [[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]] Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden. b1c52c44c2820aa7da2c08b81b525ee5630be619 1783 1775 2018-08-30T13:46:38Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br /> <math>{f(t)=a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br /><br /> Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{t=0}</math> .<br /> <math>{t}</math> wird anstelle des <math>{x}</math> verwendet.<br /> <math>{k}</math> steht für den Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor. Dieser bestimmt einerseits, wie stark oder schwach das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]] [[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Die unterschiedlichen Zerfallsfaktoren haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge. <br /><br /> [[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br /> Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man einen negativen Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor). ===Differienzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br /> Bis auf den Wachstumsfaktor <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math> 77b047d38e1f44d0e65d695673daa824cd0011e0 1775 1774 2018-08-30T11:53:48Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{t=0}</math> .<br /> <math>{k}</math> steht für den Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor. Dieser bestimmt einerseits, wie stark oder schwach das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /> <math>{t}</math> wird anstelle des <math>{x}</math> verwendet.<br /><br /> Der sich daraus ergebende Funktionsterm lautet:<br /> <math>{f(t)=a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br /> ===Differienzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math><br /><br /> Erklärung:<br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br /> Bis auf den Wachstumsfaktor <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math> d8ec82a426bf9e2e1a280f1f6defab700d15f2ea 1774 2018-08-29T17:31:29Z BBuschmann 10022 Die Seite wurde neu angelegt: „Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funkti…“ wikitext text/x-wiki Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt.<br /> ==Funktionsgleichung== ===Funktionsterm=== Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{t=0}</math>.<br /> <math>{k}</math> steht für den Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor. Dieser bestimmt einerseits, wie stark oder schwach das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /> <math>{t}</math> wird anstelle des <math>{x}</math> verwendet.<br /><br /> Der sich daraus ergebende Funktionsterm lautet:<br /> <math>{f(t)=a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br /> ===Differienzialgleichung=== Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math><br /><br /> Herleitung:<br /><br /> Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br /> Bis auf den Wachstumsfaktor <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der Teil ersetzt werden:<br /> <math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math> 244023f953f67ea9486a30dfd7afc3c6810f55fc 0 482 1701 1700 2018-03-01T23:12:55Z Jannik Wurster 10018 /* Schritt 5 */ wikitext text/x-wiki = Extremwertprobleme = Extremwertprobleme sind Aufgaben, bei denen etwas (zum Beispiel eine Fläche) unter bestimmten Bedingungen minimiert oder maximiert werden soll, also den größten oder kleinsten Wert gefunden werden soll, bei dem dennoch alle Nebenbedingungen zutreffen. == Beispielaufgabe == Tim will einen möglichst großen, aber rechteckigen Hasenstall bauen. Dazu will er im Baumarkt eine Umzäunung der Länge 2m kaufen. Wie muss er den Stall aufbauen? Anhand dieser Beispielaufgabe wird im Folgenden die Lösung von Extremwertproblemen behandelt. == Schritt 1 == '''Zielfunktion finden und aufstellen.'''<br /> Die Zielfunktion ist der mathematische Term, der das beschreibt, was man letztlich minimieren/maximieren will. Um einen möglichst großen Stall zu erhalten, muss die Fläche A so groß wie möglich sein, also: A = a * b<br /> a ist dabei die eine Seite des Rechtecks, b die andere Seite. == Schritt 2 == '''Alle weiteren Informationen herausarbeiten und in Nebenbedingungen formulieren.'''<br /> Nebenbedingungen sind die Bedingungen, die in jedem Fall gelten müssen. Dazu gehören auch Wertebereiche, die zwar nicht unbedingt aufgeschrieben, aber trotzdem im Hinterkopf behalten und später überprüft werden müssen. In diesem Beispiel: da die gesamte Umzäunung 2m Länge hat, entspricht dies dem Umfang: U = 2 = a + a + b + b = 2 * (a + b) 2 = 2 * (a + b) Außerdem sollte klar sein, dass weder a noch b negativ oder 0 sein können, aber auch nicht länger als 2m sind: 0 < a < 2 und 0 < b < 2 == Schritt 3 == '''Umformen und Einsetzen.'''<br /> 2 = 2 * (a + b) <br /> 1 = a + b <br /> a = 1 – b Einsetzen in A: A = (1 – b) * b = b – b² Da die Fläche A ist nun nur noch abhängig von b. Man kann also auch schreiben: A(b) = b – b² == Schritt 4 == '''Gesuchtes Extremum finden.'''<br /> Da in der Aufgabe nach einer möglichst großen Fläche gefragt ist, wird als das Maximum bestimmt. A(b) = b – b² Maximum mit der Ableitung A'(b) herausfinden. -> Maximum bei b = 0.5 == Schritt 5 == '''Weitere Nebenbedingungen überprüfen, zweite Größe berechnen und Aufgabe sinnvoll beantworten. Wichtig dabei: Einheiten beachten!'''<br /> 2 = 2 * (a + b)<br /> 2 = 2 * (a + 0.5) <br /> 1 = a + 0.5 <br /> 0.5 = a Sowohl a und b entsprechen dem Wertebereich von 0 < a < 2 und 0 < b < 2. Somit muss der Hasenstall muss eine Breite von 0.5m und eine Länge von 0.5m haben. == Aufgaben mit Lösungen und Rechenweg == Eine Getränkefirma will eine neue Getränkedose designen. Sie will dafür pro Dose 0.3 m² Blech benutzen. Der Einfachheit halber wird angenommen, die Dose sei ein Zylinder. Wie muss die Dose gebaut sein, dass möglichst viel Inhalt hineinpasst? (Hilfsmittel: Taschenrechner) <popup name="Lösung"> Zielfunktion: Das Volumen V = Grundfläche * Höhe.<br /> Die Grundfläche ist dabei ein Kreis: Grundfläche A = π * r²<br /> -> V = π * r² * h Nebenbedingung: Die Wand + Boden + Deckel sind 0.3 m² groß:<br /> <math>0.3 = A + A + h * U</math><br /> <math>0.3 = 2A + h * U</math><br /> <math>0.3 = 2 \pi r^2 + h * 2 \pi r</math><br /> <math>0.3 = 2 \pi r * (r + h)</math><br /> <math>\frac{0.3}{2\pi r} = r + h</math><br /> <math>\frac{0.3}{2\pi r} - r = h</math><br /> Einsetzen in V: <br /> <math>V(r) = \pi * r^2 * (\frac{0.3}{2\pi r} - r)</math><br /> <math>V(r) = \frac{0.3 * \pi * r^2}{2\pi r} - \pi r^3</math><br /> <math>V(r) = 0.15r - \pi r^3</math><br /> Desweiteren dürfen weder h noch r negativ sein. Maximum mit V'(r) finden:<br /> -> Maximum bei r = <math>\sqrt{ \frac{0.05}{\pi} } = \pm 0.126 </math> (Mit Taschenrechner)<br /> Allerdings ist nur die positive Lösung r = 0.126 zulässig.<br /> Höhe herausfinden (Mit Formel von oben): <br /> h = (0.3/2πr) - r <br /> h = 0.253 (Mit Taschenrechner)<br /> Die Dose muss also eine Höhe von 0.253 m haben und ihre kreisförmige Grundfläche einen Radius von 0.126 m. </popup> Ein Bauer will einen rechteckigen Hühnerstall an einer Mauer anbauen (Eine Seite des Rechtecks muss also nicht mehr gebaut werden). Er hat dafür 20m Maschendraht zur Verfügung. Wie muss er den Stall anlegen, sodass die Hühner möglichst viel Platz haben? (Ohne Hilfsmittel) <popup name="Lösung"> Die zu maximierende Zielfunktion ist der Flächeninhalt des Rechtecks: <br /> A = a * b.<br /> <br /> Die Nebenbedingung ist dabei: 20 = a + a + b (Nur einmal "b", da eine Seite ja bereits durch die Mauer ersetzt wird.)<br /> 20 = 2 * a + b<br /> 20 - 2a = b<br /> <br /> Einsetzen in die Zielfunktion: <br /> A(a) = a * (20 - 2a)<br /> A(a) = 20a - 2a²<br /> Maximum bestimmen mit A'(a)<br /> -> Maximum bei a = 5<br /> <br /> "b" berechnen: <br /> b = 20 - 2a<br /> b = 20 - 10<br /> b = 10<br /> <br /> Der Zaun muss so aufgestellt werden, dass zwei Seiten 5m lang sind und die eine, der Mauer gegenüberliegende, Seite 10m lang ist. </popup> e438ab501bdf42e0056cb68d2cca5df2d553e8ab 1700 1699 2018-03-01T23:11:53Z Jannik Wurster 10018 wikitext text/x-wiki = Extremwertprobleme = Extremwertprobleme sind Aufgaben, bei denen etwas (zum Beispiel eine Fläche) unter bestimmten Bedingungen minimiert oder maximiert werden soll, also den größten oder kleinsten Wert gefunden werden soll, bei dem dennoch alle Nebenbedingungen zutreffen. == Beispielaufgabe == Tim will einen möglichst großen, aber rechteckigen Hasenstall bauen. Dazu will er im Baumarkt eine Umzäunung der Länge 2m kaufen. Wie muss er den Stall aufbauen? Anhand dieser Beispielaufgabe wird im Folgenden die Lösung von Extremwertproblemen behandelt. == Schritt 1 == '''Zielfunktion finden und aufstellen.'''<br /> Die Zielfunktion ist der mathematische Term, der das beschreibt, was man letztlich minimieren/maximieren will. Um einen möglichst großen Stall zu erhalten, muss die Fläche A so groß wie möglich sein, also: A = a * b<br /> a ist dabei die eine Seite des Rechtecks, b die andere Seite. == Schritt 2 == '''Alle weiteren Informationen herausarbeiten und in Nebenbedingungen formulieren.'''<br /> Nebenbedingungen sind die Bedingungen, die in jedem Fall gelten müssen. Dazu gehören auch Wertebereiche, die zwar nicht unbedingt aufgeschrieben, aber trotzdem im Hinterkopf behalten und später überprüft werden müssen. In diesem Beispiel: da die gesamte Umzäunung 2m Länge hat, entspricht dies dem Umfang: U = 2 = a + a + b + b = 2 * (a + b) 2 = 2 * (a + b) Außerdem sollte klar sein, dass weder a noch b negativ oder 0 sein können, aber auch nicht länger als 2m sind: 0 < a < 2 und 0 < b < 2 == Schritt 3 == '''Umformen und Einsetzen.'''<br /> 2 = 2 * (a + b) <br /> 1 = a + b <br /> a = 1 – b Einsetzen in A: A = (1 – b) * b = b – b² Da die Fläche A ist nun nur noch abhängig von b. Man kann also auch schreiben: A(b) = b – b² == Schritt 4 == '''Gesuchtes Extremum finden.'''<br /> Da in der Aufgabe nach einer möglichst großen Fläche gefragt ist, wird als das Maximum bestimmt. A(b) = b – b² Maximum mit der Ableitung A'(b) herausfinden. -> Maximum bei b = 0.5 == Schritt 5 == '''Weitere Nebenbedingungen überprüfen, zweite Größe berechnen und Aufgabe sinnvoll beantworten. Wichtig dabei: Einheiten beachten!'''<br /> 2 = 2 * (a + b)<br /> 2 = 2 * (a + 0.5) <br /> W 1 = a + 0.5 <br /> 0.5 = a Sowohl a und b entsprechen dem Wertebereich von 0 < a < 2 und 0 < b < 2. Somit muss der Hasenstall muss eine Breite von 0.5m und eine Länge von 0.5m haben. == Aufgaben mit Lösungen und Rechenweg == Eine Getränkefirma will eine neue Getränkedose designen. Sie will dafür pro Dose 0.3 m² Blech benutzen. Der Einfachheit halber wird angenommen, die Dose sei ein Zylinder. Wie muss die Dose gebaut sein, dass möglichst viel Inhalt hineinpasst? (Hilfsmittel: Taschenrechner) <popup name="Lösung"> Zielfunktion: Das Volumen V = Grundfläche * Höhe.<br /> Die Grundfläche ist dabei ein Kreis: Grundfläche A = π * r²<br /> -> V = π * r² * h Nebenbedingung: Die Wand + Boden + Deckel sind 0.3 m² groß:<br /> <math>0.3 = A + A + h * U</math><br /> <math>0.3 = 2A + h * U</math><br /> <math>0.3 = 2 \pi r^2 + h * 2 \pi r</math><br /> <math>0.3 = 2 \pi r * (r + h)</math><br /> <math>\frac{0.3}{2\pi r} = r + h</math><br /> <math>\frac{0.3}{2\pi r} - r = h</math><br /> Einsetzen in V: <br /> <math>V(r) = \pi * r^2 * (\frac{0.3}{2\pi r} - r)</math><br /> <math>V(r) = \frac{0.3 * \pi * r^2}{2\pi r} - \pi r^3</math><br /> <math>V(r) = 0.15r - \pi r^3</math><br /> Desweiteren dürfen weder h noch r negativ sein. Maximum mit V'(r) finden:<br /> -> Maximum bei r = <math>\sqrt{ \frac{0.05}{\pi} } = \pm 0.126 </math> (Mit Taschenrechner)<br /> Allerdings ist nur die positive Lösung r = 0.126 zulässig.<br /> Höhe herausfinden (Mit Formel von oben): <br /> h = (0.3/2πr) - r <br /> h = 0.253 (Mit Taschenrechner)<br /> Die Dose muss also eine Höhe von 0.253 m haben und ihre kreisförmige Grundfläche einen Radius von 0.126 m. </popup> Ein Bauer will einen rechteckigen Hühnerstall an einer Mauer anbauen (Eine Seite des Rechtecks muss also nicht mehr gebaut werden). Er hat dafür 20m Maschendraht zur Verfügung. Wie muss er den Stall anlegen, sodass die Hühner möglichst viel Platz haben? (Ohne Hilfsmittel) <popup name="Lösung"> Die zu maximierende Zielfunktion ist der Flächeninhalt des Rechtecks: <br /> A = a * b.<br /> <br /> Die Nebenbedingung ist dabei: 20 = a + a + b (Nur einmal "b", da eine Seite ja bereits durch die Mauer ersetzt wird.)<br /> 20 = 2 * a + b<br /> 20 - 2a = b<br /> <br /> Einsetzen in die Zielfunktion: <br /> A(a) = a * (20 - 2a)<br /> A(a) = 20a - 2a²<br /> Maximum bestimmen mit A'(a)<br /> -> Maximum bei a = 5<br /> <br /> "b" berechnen: <br /> b = 20 - 2a<br /> b = 20 - 10<br /> b = 10<br /> <br /> Der Zaun muss so aufgestellt werden, dass zwei Seiten 5m lang sind und die eine, der Mauer gegenüberliegende, Seite 10m lang ist. </popup> 20e2c3cdfe519805ad700201322da3fb2c7a0907 1699 2018-03-01T17:39:45Z Jannik Wurster 10018 Die Seite wurde neu angelegt: „= Extremwertprobleme = Extremwertprobleme sind Aufgaben, bei denen etwas (zum Beispiel eine Fläche) unter bestimmten Bedingungen minimiert oder maximiert we…“ wikitext text/x-wiki = Extremwertprobleme = Extremwertprobleme sind Aufgaben, bei denen etwas (zum Beispiel eine Fläche) unter bestimmten Bedingungen minimiert oder maximiert werden soll, also den größten oder kleinsten Wert gefunden werden soll, bei dem dennoch alle Nebenbedingungen zutreffen. === Beispielaufgabe === Tim will einen möglichst großen, aber rechteckigen Hasenstall bauen. Dazu will er im Baumarkt eine Umzäunung der Länge 2m kaufen. Wie muss er den Stall aufbauen? Anhand dieser Beispielaufgabe wird im Folgenden die Lösung von Extremwertproblemen behandelt. == Schritt 1 == '''Zielfunktion finden und aufstellen.'''<br /> Die Zielfunktion ist der mathematische Term, der das beschreibt, was man letztlich minimieren/maximieren will. Um einen möglichst großen Stall zu erhalten, muss die Fläche A so groß wie möglich sein, also: A = a * b a ist dabei die eine Seite des Rechtecks, b die andere Seite. == Schritt 2 == '''Alle weiteren Informationen herausarbeiten und in Nebenbedingungen formulieren.'''<br /> Nebenbedingungen sind die Bedingungen, die in jedem Fall gelten müssen. Dazu gehören auch Wertebereiche, die zwar nicht unbedingt aufgeschrieben, aber trotzdem im Hinterkopf behalten und später überprüft werden müssen. In diesem Beispiel: da die gesamte Umzäunung 2m Länge hat, entspricht dies dem Umfang: U = 2 = a + a + b + b = 2 * (a + b) 2 = 2 * (a + b) Außerdem sollte klar sein, dass weder a noch b negativ oder 0 sein können, aber auch nicht länger als 2m sind: 0 < a < 2 und 0 < b < 2 == Schritt 3 == '''Umformen und Einsetzen.'''<br /> 2 = 2 * (a + b) <br /> 1 = a + b <br /> a = 1 – b Einsetzen in A: A = (1 – b) * b = b – b² Da die Fläche A ist nun nur noch abhängig von b. Man kann also auch schreiben: A(b) = b – b² == Schritt 4 == '''Gesuchtes Extremum finden.'''<br /> Da in der Aufgabe nach einer möglichst großen Fläche gefragt ist, wird als das Maximum bestimmt. A(b) = b – b² Maximum mit der Ableitung A'(b) herausfinden. -> Maximum bei b = 0.5 == Schritt 5 == '''Weitere Nebenbedingungen überprüfen, zweite Größe berechnen und Aufgabe sinnvoll beantworten.'''<br /> 2 = 2 * (a + b)<br /> 2 = 2 * (a + 0.5) |/2<br /> 1 = a + 0.5 |-0.5<br /> 0.5 = a Sowohl a und b entsprechen dem Wertebereich von 0 < a < 2 und 0 < b < 2. Somit muss der Hasenstall muss eine Breite von 0.5m und eine Länge von 0.5m haben. === Aufgaben mit Lösungen === Eine Getränkefirma will eine neue Getränkedose designen. Sie will dafür pro Dose 0.3 m² Blech benutzen. Der Einfachheit halber wird angenommen, die Dose sei ein Zylinder. Wie muss die Dose gebaut sein, dass möglichst viel Inhalt hineinpasst? <popup name="Lösung"> Zielfunktion: Das Volumen V = Grundfläche * Höhe.<br /> Die Grundfläche ist dabei ein Kreis: Grundfläche A = π * r²<br /> -> V = π * r² * h Nebenbedingung: Die Wand + Boden + Deckel sind 0.3 m² groß:<br /> 0.3 = A + A + h * U<br /> 0.3 = 2A + h * U<br /> 0.3 = 2πr² + h * 2πr 0.3 = 2πr * (r + h)<br /> 0.3/(2πr) = r + h<br /> (0.3/(2πr)) - r = h<br /> Einsetzen in V: <br /> V(r) = π * r² * ((0.3/(2πr)) - r)<br /> V(r) = (0.3πr²/2πr) - πr³<br /> V(r) = 0.15r - πr³<br /> Desweiteren dürfen weder h noch r negativ sein. Maximum mit V'(r) finden:<br /> -> Maximum bei r = <math>\sqrt{\frac{0.05}{π}\}</math> = 0.126 und -0.126(Mit Taschenrechner)<br /> Allerdings ist nur die positive Lösung r = 0.126 zulässig.<br /> Höhe herausfinden (Mit Formel von oben): <br /> h = (0.3/2πr) - r <br /> h = 0.253 (Mit Taschenrechner)<br /> Die Dose muss also eine Höhe von 0.253 m haben und ihre kreisförmige Grundfläche einen Radius von 0.126 m. </popup> ad219d034ff0d1d5530f54f419ad03eb4b8c2064 0 233 1607 956 2015-05-21T08:26:16Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{c}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (g(x)-f(x))\, dx + \int_{z}^{b} (f(x)-g(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR (TI-84 Plus) === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen eddb2c541cff18b4b42b1200de7f2d134b704f3c 956 955 2013-01-15T17:57:47Z Jnzimmermann 16 /* Fläche ober- und unterhalb der x-Achse */ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{c}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR (TI-84 Plus) === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 955 828 2013-01-15T17:56:19Z Jnzimmermann 16 /* Flächenberechnung mit dem GTR */ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR (TI-84 Plus) === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 828 827 2012-11-17T13:27:35Z Jnzimmermann 16 /* Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen */ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 827 805 2012-11-17T13:26:15Z Jnzimmermann 16 /* Fläche zwischen zwei Graphen */ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 805 804 2012-11-07T18:31:18Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 804 803 2012-11-07T18:24:40Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 803 802 2012-11-07T18:20:41Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ---- ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ---- ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ---- ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ---- ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. ---- === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 802 800 2012-11-07T18:14:47Z Jnzimmermann 16 /* Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen */ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:Fall6.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 800 799 2012-11-07T18:13:07Z Jnzimmermann 16 /* Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen */ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== [[Datei:fall6.jpg]] Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 799 797 2012-11-07T18:12:37Z Jnzimmermann 16 /* Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten */ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg|rahmenlos|rechts]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 797 796 2012-11-07T18:11:09Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== [[Datei:fall5.jpg]] Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 796 794 2012-11-07T18:09:52Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== [[Datei:Fall4.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 794 792 2012-11-07T18:04:22Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall_3.jpg|rahmenlos|rechts]] Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 792 790 2012-11-07T17:59:02Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall2.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 790 788 2012-11-07T17:55:34Z Jnzimmermann 16 wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== [[Datei:fall1.jpg|rahmenlos|rechts]] Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 788 2012-11-07T17:48:05Z Jnzimmermann 16 Die Seite wurde neu angelegt: „=== Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt s…“ wikitext text/x-wiki === Einleitung === Warum lässt sich ein Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen? Da das Integral den Grenzwert von Ober- und Untersumme angibt lässt sich der Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen. Dabei muss man beachten, dass man nicht immer einfach von der unteren Grenze <math>a</math> zur oberen Grenze <math>b</math> integrieren darf, wenn man den richtigen Flächeninhalt berechnen will. === Die verschiedenen Fälle der Flächenberechnung: === ==== Fläche oberhalb der x-Achse ==== Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse, so gilt die Formel <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ==== Fläche unterhalb der x-Achse ==== Liegt der Graph der Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math> unterhalb der <math>x</math>-Achse, so ist der Wert des Integrals negativ. Es gilt: <math>A= -\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> ''oder'' <math>A= \left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Da das Ergebnis negativ wäre schreibt man vor das Integral ein Minus. Flächeninhalte sind immer positiv. Mit dem Betrag wird das gleiche bewirkt. ==== Fläche ober- und unterhalb der x-Achse ==== Die Fläche liegt im Intervall <math>[a;b]</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der <math>x</math>-Achse (Der Graph <math>f</math> hat im Intervall <math>[a;b]</math> Nullstellen) Das Integral von <math>a</math> nach <math>b</math> muss in zwei Integrale unterteilt werden. Die Teilflächen müssen also getrennt berechnet werden. Die Nullstellen geben hierbei jeweils die Grenzen an. Es gilt: <math>A= \left|\int_{a}^{c} f(x)\, dx\right| +\left|\int_{a}^{b} f(x)\, dx\right| </math> Die negativen Werte für einen Teilbereich des Integrals werden mit dem Betrag positiv gemacht. Hierbei ist darauf zu achten, dass man für jeden Summanden einen extra Betrag setzt. Zum Schluss werden alle Werte addiert. ==== Fläche zwischen zwei Graphen ==== Die Fläche wird von den Graphen zweier Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt. Im Intervall <math>[a;b]</math> liegt sie über der <math>x</math>-Achse. Voraussetzung hierfür ist, dass <math>f(x)\ge g(x)</math> gilt. Es gilt: <math>A= \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{a}^{b} g(x)\, dx</math> Kurzform: <math>A= \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx </math> Wenn sich die Graphen von <math>f</math> und <math>g</math> nicht schneiden gilt für den Flächeninhalt <math>A</math> zwischen den Graphen: <math>A= \int_{a}^{b} (obere Funktion - untere Funktion)\, dx </math> Man bestimmt also zunächst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninghalt im Intervall <math>[a;b]</math> zwischen der Funktion <math>g</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Es wird also wie oben beschrieben der Flächeninhalt der oberen Funktion minus dem Flächeninhalt der unteren Funktion gerechnet. ==== Fläche zwischen zwei Graphen mit positiven und negativen Funktionswerten ==== Eine Fläche, die von zwei Graphen <math>f</math> und <math>g</math> begrenzt wird. Ein Graph nimmt sowohl positive wie auch negative Funktionswerte an. Hier geht man genauso vor wie beim Fall 4. Begründung: Der Flächeninhalt bleibt immer gleich groß, egal in welchem Quadrant/welchen Quadranten die Fläche liegt. Man darf die Graphen beliebig weit nach oben verschieben. ==== Flächenberechnung bei sich schneidenden Graphen ==== Zwei Graphen schneiden sich im Intervall <math>[a;b]</math> Teilweise gilt <math>f(x)\ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x)\ge f(x)</math> Die Intervalle müssen getrennt berechnet werden. Vorgehensweise: 1. Schnittpunkt <math>z</math> der Graphen bestimmen 2. Bestimmen, in welchem Intervall <math>f(x)\ge g(x)</math> und in welchem <math>g(x)\ge f(x)</math> gilt 3. Berechnung des Flächeninhalts Es gilt: <math>A= \int_{a}^{z} (f(x)-g(x))\, dx + \int_{z}^{b} (g(x)-f(x))\, dx</math> Man geht also ähnlich vor wie beim Fall 4 vor. Auch hier nimmt man zuerst den gesamten Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der oberen Funktion <math>f(x)</math> und der <math>x</math>-Achse. Von diesem Wert wird nun der Flächeninhalt im Intervall <math>[a;z]</math> zwischen der Funktion <math>g(x)</math> und der <math>x</math>-Achse subtrahiert. Im nächsten Schritt geht man genauso vor, nur dass nun <math>g(x)</math> die obere Funktion und <math>f(x)</math> die untere Funktion ist. === Flächenberechnung mit dem GTR === ''(Anleitung mit aktueller Softwareversion)'' Am Beispiel <math>f(x)=x^2-2x</math> Da die Funktion auch negative Werte animmt verwendet man den Betrag der Funktion <math>f(x)</math> '''Anleitung (mit Zeichnung)''' 1. <math>y</math>- Editor 2. MATH - NUM: 1 3. Funktion eingeben und zeichenen lassen 4. 2nd CALC: 7 5. Grenzen eingeben '''Alternativer Weg (ohne Zeichung):''' 1. MATH: 9 2. Grenzen eingeben 3. MATH - NUM: 1 4. Funktion eingeben und berechnen lassen 0 198 1652 1648 2015-12-11T09:46:27Z MeJvzm-fsg 10010 /* Beispiel Nr. 1 */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel Nr. 1 ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)</math> <br /> <math>=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! <br /> [[Datei:Ortskurven Beispiel 1.jpg|thumb|locus curve]] <br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 10:21, 11. Dez. 2015 (CET) M.Entenmann '''Beispiel Nr. 2''' '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 2341ebbfb022de7c5f6c7c0de69cb420ee3ec8d9 1648 1640 2015-12-11T09:42:08Z MeJvzm-fsg 10010 /* Beispiel Nr. 1 */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel Nr. 1 ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)</math> <br /> <math>=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! <br /> [[Datei:Ortskurvenbeispiel.jpg|miniatur|links]] <br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 10:21, 11. Dez. 2015 (CET) M.Entenmann '''Beispiel Nr. 2''' '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> f85e29a148135a25649f55d9c981cc2192ea0b30 1640 1639 2015-12-11T09:21:56Z MeJvzm-fsg 10010 /* Beispiel Nr. 1 */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel Nr. 1 ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)</math> <br /> <math>=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 10:21, 11. Dez. 2015 (CET) M.Entenmann '''Beispiel Nr. 2''' '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 39546a5e7615f15ed9d459d6c5355bb25c362bca 1639 1637 2015-12-11T09:19:34Z MeJvzm-fsg 10010 /* Beispiel */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel Nr. 1 ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)</math> <br /> <math>=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! '''Beispiel Nr. 2''' '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> ad5ba6a291e8624e0a8b675f9049375d6b266ed3 1637 1635 2015-12-11T09:16:08Z MeJvzm-fsg 10010 /* Beispiel */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t \left({t \over2}\right)=\left(-{t \over2}\right)^2+t\cdot\left(-{t \over2}\right)</math> <br /> <math>=\left(-{t \over2}\right)\cdot\left({t \over2}\right)+t\cdot\left({t \over2}\right)</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP \left(-{t \over2} ; -{t^2 \over4}\right)</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)\cdot(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> edf084ac3d4ca3d486d7f89f6188de22bc1f6719 1635 1634 2015-12-11T09:06:12Z MeJvzm-fsg 10010 /* Beispiel */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t({t \over2}=(-{t \over2})^2+t*(-{t \over2})</math> <br /> <math>=(-{t \over2})*({t \over2})+t*({t \over2})</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP(-{t \over2} / -{t^2 \over4})</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)*(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 3c0993e628a30550e901b2d0b610bf7c6a39eed2 1634 1632 2015-12-11T09:05:46Z MeJvzm-fsg 10010 /* Ortskurve bestimmen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t({t \over2}=(-{t \over2})^2+t*(-{t \over2})</math> <br /> <math>=(-{t \over2})*({t \over2})+t*({t \over2})</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP(-{t \over2} / -{t^2 \over4})</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y t einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)*(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> b0252327f74d00776de9c2b95b9a6e16758b2fab 1632 1626 2015-12-11T09:03:04Z MeJvzm-fsg 10010 /* Beispiel */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y t einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t({t \over2}=(-{t \over2})^2+t*(-{t \over2})</math> <br /> <math>=(-{t \over2})*({t \over2})+t*({t \over2})</math> <br /> <math>={t^2 \over4}-{t^2 \over2}</math> <br /> <math>-{t^2 \over4}</math> <math>TP(-{t \over2} / -{t^2 \over4})</math> <br /><br /> x-Koordinate nach t auflösen: <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /> <math>t=-2x</math> <br /><br /> t Auflösung in y t einsetzen: <br /> <math>y=-{t^2 \over4}</math> <br /> <math>y=-{(-2x)^2 \over4}</math> <br /> <math>=-{(-2x)*(-2x) \over4}</math> <br /> <math>=-{4x^2 \over4}</math> <br /> <math>=-x^2</math> --> Ortskurvenfunktion <br /><br /> Probe mit Hilfe des GTRs! '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAJqZZkAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACACamWZAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1YbY/TRhD+DL9i5A8VVCTZtdd2AgkIkFCRDqh0tKr6odXG3iTL2V7LXuflxI/v7K7tODm4ckBRI3L7Njuz88xrmD/b5xlsRVVLVSw8OiYeiCJRqSzWC6/Rq9HUe/b0/nwt1FosKw4rVeVcLzxmKGW68EKxDMkqJKNotpqOGAnS0ZT4yYiyeEXieBUGJPQA9rV8XKi3PBd1yRNxmWxEzi9UwrUVvNG6fDyZ7Ha7cSdqrKr1ZL1ejvd16gE+s6gXXjt5jOxOLu0CS+4TQid/vLlw7EeyqDUvEuGBUaGRT+/fm+9kkaod7GSqNwsvjlGNjZDrDeoUR1MPJoaoREBKkWi5FTVeHSytzjovPUvGC3N+z80g69XxIJVbmYpq4ZFxEE4Zo2H/F+FQlRSFbolpK3TSsZtvpdg5vmZmRTIPtFLZkhuW8PEj+MQn8MgM1A0+DlHkjojbI4EbfDcwN4SOhrnrzJEyR8McDQs82MpaLjOx8FY8qxFCWawqNF+/rvUhE/Y97cZRffoIdarlNRIHBAF2mOM+IY/MN8IvMweTUyXpQKqumjsK7UTGIftykf43KRp0Mv04uinTDz+jZnSLUKf3l+hJwwG0KMr+s98bEoPb1DyX6NbfJjBiP0TF+aQLlXkbHVBvDG3rPVrktYmXYAbhzLg9hRBjI4rRy0OgMxxiHzAagIbAQlzSKURmjCGI8YBBAFMwdDQAGxzhFP+w2DKLIERmZjfGmASKghiEAVAbUwwwksDGJcaoHyBFGEKIl4x46hsWQQQswlUwBYZvNCEZUyQM8CKuUbwPAYXAXKYx+BFEhh9lJtSjqXk6svQhIhBRwxCjGiPaRTPSTyEw2kQtXLIoG30CUZKn3VSrsrcFUmM+OqY9l59OsuK9ecaXIsNCcWksCbDlmYkIK2ilCg2dEX23t654uZFJfSm0xls1fOBbfsG12L9C6rqTbWkTVdS/Vkq/VFmTFzVAojLSv1lldDD3+1fjIhgcsOFBODiIBvP4k3IVnkBTC5Svqroj52n62lAcUwMi+a7IDi8qwa9KJU/VmE9szZmLJslkKnnxOzqrkWJwgb4EmXTVlaCIBN1DVJVeHmr0YNj/KSqF0DJbdA9u5c/8MRl+0MZ1wk28sdl4NvxgVTu0RyE5vdSaRmx7o/C96PVdVyaWW13N4nX9QmXHLavxS17qprL9AqbDyujxvFhnwnqFTbBYjJOrpdpfOncIHK/3hxJXxD1gubZIA2YDP8QCuW7HpRstjXlZT0UsDbEUpPMvmfbndOZbCjsu3Wip0GHd01pNaacmJZ0YWdscRryTSLHebkp7U0h90S20TK5aTamjf9vkS9H7zClL+p1YzidnPjW/ElUhstaF0ZKNamoXkQPvTkUic1y6gxYQboz1Gz7A7aZiXYnu3ZntxBxc9pQMvfPGtmX1qlL562L7Hj3h7AHzSffKeZ1UsjQOB0tM+1fi6FOprDlWjXR4z8Qcqp6Y6oDwaAMNRmOjNwpN/RPPyyeJKg9P4NUYXkitBfaoRYG8MLkgpQnBTOTYcYG2Tlc0uahk0hsgtd0cPrZp9TF9sNXIoA9q+QGz3pnRjtbF48+4JfCs3HDTA9LW+fhBVCeQWW5vVNoJbsVmpnmEXGIxHGEY5HyPsYv8ljUmRI3tM9qoOLbP7mVtQsHWw+QJvMFilzEwr4RmspL7AdIInrxGZ+En2hzjQ2OyvsKOtLZBrNtwtZNfZJqKon8uL9CtrHEwX5VOX8BSIZzL91dL1N8mioFLtJYxNtqXFUozbFqMV/hjZG+K0oP9Q1gAGYfwM+z/esAewghSN/cfump1auFVU1hv8Y6svqc5ya3mfLda1UIbA4yYRZ/R24x9d8SHqCUqR2dPobCt1RtZeMdCz4nFkFPnRdzv36ka3RE8/7vl2XK6gaXN8j1QhvxroOzS+l3BPMLV7uoKfz+6naMkm5BqCzntK1xEIhZGs8DaYETGbHb68eB6EOpWTVOiThoZt3uW6b4Cf+LgDz8Bv383+P3/Nfxn6MfYYfyX6J/nDFh46zZprF3SGA2yhvcFiWL9L/CeNoupdGnP9IEtNf9eaeQG9F+fZr81yZxitsSfWoIfIePn5XMg90dnXMZm1uHorUgm2LMaHO3eu0rXV021xY6wuMY+XBTn6k+GDYjt69v/o3r6D1BLBwhEOt6iWgYAAEATAABQSwECFAAUAAgACACamWZARczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAJqZZkBEOt6iWgYAAEATAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAA8gYAAAAA" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 1e4a57f119e0bda3d291f79913f41bb959207cbe 1626 1620 2015-12-04T09:51:44Z MeJvzm-fsg 10010 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y t einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft ==== Beispiel ==== <math>f_t(x)=x^2+tx</math> <br /> <math>f'_t(x)=2x+t</math> <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /><br /> Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen: <br /> <math>f'_t(x)= 2x+t=0</math> <br /> <math>2x=t</math> <br /> <math>x=-{t \over2}</math> <br /><br /> Kurvenverhalten: <br /> <math>f''_t(x)=2</math> <br /> größer als 0 -> Tiefpunkt <br /><br /> Ortskurve bestimmen: <br /> <math>f_t({t \over2}=(-{t \over2})^2+t*(-{t \over2})</math> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> dc16bab938913943d55a4d8008d152711e4bbaf5 1620 1593 2015-12-04T09:38:27Z MeJvzm-fsg 10010 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! = Ortskurven = === Allgemeine Herleitung einer Ortskurve === ==== Hoch- bzw Tiefpunkt bestimmen ==== -> Die 1. Ableitung 0 setzen -> Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen -> Ergebnis größer 0 -> Tiefpunkt; Ergebnis kleiner 0 -> Hochpunkt ==== Ortskurve bestimmen ==== -> x-Koordinate in die Funktion einsetzen -> Ergebnis bildet die y-Koordinate -> x-Koordinate nach t auflösen -> t Auflösung in y t einsetzen -> Lösung = Ortskurvenfunktion ==== Probe mit Hilfe des GTRs ==== -> In "Y=" für y_1,2,3 für t in der Funktion beliebige Zahlen einsetzen (z.B. 1,2 und 3) -> Ortskurvenfunktion in y₄ einsetzen -> Im "Graph" überprüfen, ob die Ortskurve alle Funktionen an derselben Stelle durchläuft '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> ab312b8ffd45c16cdef235ef33cb07653d8981b9 1593 1592 2014-02-21T10:03:40Z F.Bittermann 3 /* Funktionenscharen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <br /> <math> 4d > 0 \rightarrow TP </math> für beide Extrempunkte <br /> für <math> d = 0 </math> liegt kein Tiefpunkt vor! <math>f''( 0) = -2d</math><br /> <math> -2d < 0 \rightarrow HP </math> , für <math> d = 0 </math> liegt kein Hochpunkt vor! == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 8a005901b8c14f9c1de57b015e7c16dab8aa9b73 1592 1591 2014-02-21T09:13:15Z F.Bittermann 3 /* Funktionenscharen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> cabe17694e3a5e693901c93f3fe138b5c39d3411 1591 1590 2014-02-21T09:12:37Z F.Bittermann 3 /* Funktionenscharen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 & \\ 2x^3&=& 2dx &\\ x^3 &=& dx & x_1 = 0\\ x^2&=& d &\\ x_2&=& \sqrt d &\\ x_3&=& - \sqrt d & d \not< 0 \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> f0f8beccba8554be635b7a465d550cf73aaf1d30 1590 1589 2014-02-21T08:42:31Z F.Bittermann 3 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( \sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -\sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=\sqrt d \\ y&= f( \sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 573f057b3d0dd70f284eb7e01b97609db2c02e9e 1589 622 2014-02-21T08:40:37Z F.Bittermann 3 /* Funktionenscharen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin{matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> a100c4077068cd355d9ddc3adb49e485ce8fc7e4 622 621 2012-03-22T20:17:05Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 621 593 2012-03-22T20:16:33Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 593 592 2012-03-10T13:49:06Z Mn.Lochmann 8 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]''</span> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 592 589 2012-03-10T13:48:00Z Mn.Lochmann 8 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = - 0,5 d^2 \end{align} </math> <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]''</span> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 589 583 2012-03-10T13:42:14Z Mn.Lochmann 8 /* Funktionenscharen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math><br /> <math>f''(-\sqrt d)= 6 (-\sqrt d) ^2-2d=6d-2d=4d</math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span><br /> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]''</span> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 583 560 2012-03-07T14:43:45Z Mn.Lochmann 8 /* Funktionenscharen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x_1&=& \sqrt d \\ x_2&=& - \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]''</span> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 560 558 2012-03-07T07:35:15Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]''</span> <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <span style="color: red">''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]''</span> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> <span style="color: red">''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]''</span> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 558 557 2012-03-06T18:15:37Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden ''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]'' <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> ''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]'' <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> ''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]'' x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> <!-- Bitte unbedingt stehen lassen und nicht verändern - das ist die Grafik!!! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 557 550 2012-03-06T17:15:03Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden ''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]'' <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> ''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]'' <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> ''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]'' x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> 550 549 2012-03-06T16:37:52Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr; d kann nicht negativ werden ''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]'' <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> ''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]'' <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> ''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]'' x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> 549 548 2012-03-06T16:37:14Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> &rarr d kann nicht negativ werden ''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]'' <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> ''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]'' <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> ''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]'' x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> 548 547 2012-03-06T16:20:54Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> <math> \rightarrow </math> d kann nicht negativ werden ''Vorsicht - hier ist ein Fehler. Es gibt drei Lösungen, nicht nur eine! [Btm]'' <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> ''Vorsicht: Kann <math>d<0</math> nun doch gelten? [Btm]'' <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> ''Vorsicht - hier ist ein Fehler in der y-Koordinate, der sich bis unten durchzieht. Auch wenn das Ergebnis stimmt, ist die Rechnung falsch! [Btm]'' x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> 547 546 2012-03-06T16:06:25Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <br /> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> <math> \rightarrow </math> d kann nicht negativ werden <br /> <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind <math> E_1 ( 0 | 0 ) </math>, <math> E_2 ( sqrt d | - 0,5 d^2) </math>, <math> E_3 ( -sqrt d | - 0,5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: <math> \begin{align} x&=sqrt d \\ y&= f( sqrt d ) = 0,5 d^2 - d^2 \end{align} </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: <math>d= x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math>y= 0,5 x^4 - x^4 = -0,5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: <math>y= -0,5 x^4 </math> 546 542 2012-03-06T15:35:55Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> <math> \begin {matrix} f(x)&=& {1 \over 2} x^4-dx^2 \\ f'(x)&=& 2x^3-2dx \\ f''(x)&=& 6x^2-2d \end{matrix} </math> <math> \begin{matrix} 2x^3-2dx&=& 0 \\ 2x^3&=& 2dx \\ x^3 &=& dx \\ x^2&=& d \\ x&=& \sqrt d \end{matrix} </math> -> d kann nicht negativ sein <math> \begin{matrix} f''(x) &>& 0 \rightarrow TP \\ f''(x) &<& 0 \rightarrow HP \end{matrix} </math> <math>f''( \sqrt d) = 6 (\sqrt d)^2-2d = 6d-2d =4d </math> <math> d < 0 \rightarrow HP </math> <math> d > 0 \rightarrow TP </math> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 <math> ( 0 / 0 ) </math> E2 <math> ( sqrt d / - 0.5 d^2) </math> E3 <math> ( -sqrt d / - 0.5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: x = <math> sqrt d </math> f <math> ( sqrt d ) </math> = <math> 0.5 d^2 - d^2 </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: d = <math> x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math> 0.5 x^4 - x^4 = -0.5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: y = <math> -0.5 x^4 </math> 542 541 2012-03-06T08:01:42Z Ia.Tran 9 /* Funktionenscharen */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> f(x)= {1 \over 2x^4-dx^2 <br /> f'(x)= 2x^3-2dx <br /> f''(x)= 6x^2-2d <br /> <br /> 2x^3-2dx= 0 <br /> 2x^3= 2dx <br /> x^3 = dx <br /> x^2= d <br /> x= <math>d</math> -> d kann nicht negativ sein f''(x) > 0 TP f''(x) < 0 HP <br /> f''(<math>d</math>)= 6(<math>d</math>)^2-2d = 6d-2d =4d d < 0 -> HP d > 0 -> TP == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 <math> ( 0 / 0 ) </math> E2 <math> ( sqrt d / - 0.5 d^2) </math> E3 <math> ( -sqrt d / - 0.5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: x = <math> sqrt d </math> f <math> ( sqrt d ) </math> = <math> 0.5 d^2 - d^2 </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: d = <math> x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math> 0.5 x^4 - x^4 = -0.5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: y = <math> -0.5 x^4 </math> 541 539 2012-03-06T08:01:35Z Sn.Fähnle 6 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 <math> ( 0 / 0 ) </math> E2 <math> ( sqrt d / - 0.5 d^2) </math> E3 <math> ( -sqrt d / - 0.5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: x = <math> sqrt d </math> f <math> ( sqrt d ) </math> = <math> 0.5 d^2 - d^2 </math> x - Koordinate nach Parameter auflösen: d = <math> x^2 </math> Diesen Parameter in die y - Gleichung einsetzen: <math> 0.5 x^4 - x^4 = -0.5x^4 </math> Gleichung der Ortskurve der Extrempunkte: y = <math> -0.5 x^4 </math> 539 533 2012-03-06T07:55:45Z Sn.Fähnle 6 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 <math> ( 0 / 0 ) </math> E2 <math> ( sqrt d / - 0.5 d^2) </math> E3 <math> ( -sqrt d / - 0.5 d^2) </math> Koordinaten der Extrempunkte einzeln aufschreiben: x = <math> sqrt d </math> f <math> ( sqrt d ) </math> = <math> 0.5 d^2 - d^2 </math> 533 520 2012-03-06T07:44:42Z Sn.Fähnle 6 /* Ortskurven */ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> Ortskurven sind Kurven, auf denen Punkte mit gleichen Eigenschaften einer Kurvenschar liegen z.B alle Hochpunkte. '''Bestimmen von Ortskurven''' Die Koordinaten des Extrempunktes sind E1 <math> ( 0 / 0 ) </math> E2 <math> ( sqrt d / - 0.5 d^2) </math> E3 <math> ( -sqrt d / - 0.5 d^2) </math> 520 519 2012-03-05T08:52:43Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == '''Berechnung der Extrempunkte:''' <br /> == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> '''Bestimmung der Ortskurve der Hochpunkte:''' <br /> <!-- Hier ist das Schaubild der Funktion mit der Ortskurve eingefügt - so stehen lassen! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGawUUAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACABmsFFAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbM1YbY/TRhD+DL9i5A8VVCTZtdd2AgkIkFCRDqh0tKr6odXG3iTL2V7LXuflxI/v7K7tODm4ckBRI3L7Njuz88xrmD/b5xlsRVVLVSw8OiYeiCJRqSzWC6/Rq9HUe/b0/nwt1FosKw4rVeVcLzxmKGW68EKxDMkqJKNotpqOGAnS0ZT4yYiyeEXieBUGJPQA9rV8XKi3PBd1yRNxmWxEzi9UwrUVvNG6fDyZ7Ha7cSdqrKr1ZL1ejvd16gE+s6gXXjt5jOxOLu0CS+4TQid/vLlw7EeyqDUvEuGBUaGRT+/fm+9kkaod7GSqNwsvjlGNjZDrDeoUR1MPJoaoREBKkWi5FTVeHSytzjovPUvGC3N+z80g69XxIJVbmYpq4ZFxEE4Zo2H/F+FQlRSFbolpK3TSsZtvpdg5vmZmRTIPtFLZkhuW8PEj+MQn8MgM1A0+DlHkjojbI4EbfDcwN4SOhrnrzJEyR8McDQs82MpaLjOx8FY8qxFCWawqNF+/rvUhE/Y97cZRffoIdarlNRIHBAF2mOM+IY/MN8IvMweTUyXpQKqumjsK7UTGIftykf43KRp0Mv04uinTDz+jZnSLUKf3l+hJwwG0KMr+s98bEoPb1DyX6NbfJjBiP0TF+aQLlXkbHVBvDG3rPVrktYmXYAbhzLg9hRBjI4rRy0OgMxxiHzAagIbAQlzSKURmjCGI8YBBAFMwdDQAGxzhFP+w2DKLIERmZjfGmASKghiEAVAbUwwwksDGJcaoHyBFGEKIl4x46hsWQQQswlUwBYZvNCEZUyQM8CKuUbwPAYXAXKYx+BFEhh9lJtSjqXk6svQhIhBRwxCjGiPaRTPSTyEw2kQtXLIoG30CUZKn3VSrsrcFUmM+OqY9l59OsuK9ecaXIsNCcWksCbDlmYkIK2ilCg2dEX23t654uZFJfSm0xls1fOBbfsG12L9C6rqTbWkTVdS/Vkq/VFmTFzVAojLSv1lldDD3+1fjIhgcsOFBODiIBvP4k3IVnkBTC5Svqroj52n62lAcUwMi+a7IDi8qwa9KJU/VmE9szZmLJslkKnnxOzqrkWJwgb4EmXTVlaCIBN1DVJVeHmr0YNj/KSqF0DJbdA9u5c/8MRl+0MZ1wk28sdl4NvxgVTu0RyE5vdSaRmx7o/C96PVdVyaWW13N4nX9QmXHLavxS17qprL9AqbDyujxvFhnwnqFTbBYjJOrpdpfOncIHK/3hxJXxD1gubZIA2YDP8QCuW7HpRstjXlZT0UsDbEUpPMvmfbndOZbCjsu3Wip0GHd01pNaacmJZ0YWdscRryTSLHebkp7U0h90S20TK5aTamjf9vkS9H7zClL+p1YzidnPjW/ElUhstaF0ZKNamoXkQPvTkUic1y6gxYQboz1Gz7A7aZiXYnu3ZntxBxc9pQMvfPGtmX1qlL562L7Hj3h7AHzSffKeZ1UsjQOB0tM+1fi6FOprDlWjXR4z8Qcqp6Y6oDwaAMNRmOjNwpN/RPPyyeJKg9P4NUYXkitBfaoRYG8MLkgpQnBTOTYcYG2Tlc0uahk0hsgtd0cPrZp9TF9sNXIoA9q+QGz3pnRjtbF48+4JfCs3HDTA9LW+fhBVCeQWW5vVNoJbsVmpnmEXGIxHGEY5HyPsYv8ljUmRI3tM9qoOLbP7mVtQsHWw+QJvMFilzEwr4RmspL7AdIInrxGZ+En2hzjQ2OyvsKOtLZBrNtwtZNfZJqKon8uL9CtrHEwX5VOX8BSIZzL91dL1N8mioFLtJYxNtqXFUozbFqMV/hjZG+K0oP9Q1gAGYfwM+z/esAewghSN/cfump1auFVU1hv8Y6svqc5ya3mfLda1UIbA4yYRZ/R24x9d8SHqCUqR2dPobCt1RtZeMdCz4nFkFPnRdzv36ka3RE8/7vl2XK6gaXN8j1QhvxroOzS+l3BPMLV7uoKfz+6naMkm5BqCzntK1xEIhZGs8DaYETGbHb68eB6EOpWTVOiThoZt3uW6b4Cf+LgDz8Bv383+P3/Nfxn6MfYYfyX6J/nDFh46zZprF3SGA2yhvcFiWL9L/CeNoupdGnP9IEtNf9eaeQG9F+fZr81yZxitsSfWoIfIePn5XMg90dnXMZm1uHorUgm2LMaHO3eu0rXV021xY6wuMY+XBTn6k+GDYjt69v/o3r6D1BLBwhEOt6iWgYAAEATAABQSwECFAAUAAgACABmsFFARczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAGawUUBEOt6iWgYAAEATAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAA8gYAAAAA" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 519 514 2012-03-05T08:50:33Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2, d \in \mathbb{R} </math> }} == Funktionenscharen == == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> <!-- Hier ist das Schaubild der Funktion mit der Ortskurve eingefügt - so stehen lassen! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 514 513 2012-02-17T21:07:40Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2 </math> }} == Funktionenscharen == == Ortskurven == <!-- Text bitte vor der Skizze einfügen --> <!-- Hier ist das Schaubild der Funktion mit der Ortskurve eingefügt - so stehen lassen! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 513 2012-02-17T21:03:21Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher…“ wikitext text/x-wiki Die folgenden Kapitel werden anhand einer Aufgabe erklärt. {{Aufgabe|1=Gegeben ist eine Funktionenschar. Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte?<br/> <math>f_d (x)= {1 \over 2} x^4 -d x^2 </math> }} == Funktionenscharen == == Ortskurven == <!-- Hier ist das Schaubild der Funktion mit der Ortskurve eingefügt - so stehen lassen! --> <ggb_applet width="754" height="631" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> 0 186 631 554 2012-03-25T21:32:28Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix} 1.&3a+2b+1c=6\\ 3.&-4c=20\\ 2.&2b-3c=11 \end{^matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix} 1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\ 2.&&&2b&-&3c&=&11\\ 3.&&&&-&4c&=&20 \end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== {{Aufgabe|1=Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?}} <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === {{Aufgabe|1=Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2/1) und Q(1/3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.}} <br /> '''Lösung:'''<br /> Nebenbedingungen(entnehmbar aus der Aufgabenstellung): {| |style=" text-align:left" width="10%"|1. |style=" text-align:left" width="40%"|<math> f(2)=1 </math> |style=" text-align:left width="50%"|(P) |- | 2. | <math> f(1)=3 </math> | (Q) |- || 3. || <math> f'(2)=0 </math> | (Extrempunkt bei P) |- || 4. || <math> f''(1)=0 </math> | (Wendepunkt bei Q) |} Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung: <math> \begin{align} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c \\ f''(x)&=6ax+2b \end{align} </math> Jede aufgestellte Nebenbedingung definiert eine Variable der Funktion. <math> \begin{align} f(2)&=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d =1 \\ f(1)&=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d =3 \\ f'(2)&=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c =0 \\ f''(1)&=6a \cdot 1+2b =0 \end{align} </math> <br /> GTR &rarr; Matrix berechnen 4x5 Matrix: <math> \begin{matrix} 1: &8a&+&4b&+&2c&+&1d&=&1 \\ 2: &1a&+&1b&+&1c&+&1d&=&3 \\ 3: &12a&+&4b&+&1c&+&0d&=&0 \\ 4: &6a&+&2b&+&0c&+&0d&=&0 \end{matrix} </math> <span style="color: red">''Fehlt hier nicht noch das Ergebnis für die Aufgabe? [Btm]''</span> 554 553 2012-03-06T17:04:32Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix} 1.&3a+2b+1c=6\\ 3.&-4c=20\\ 2.&2b-3c=11 \end{^matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix} 1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\ 2.&&&2b&-&3c&=&11\\ 3.&&&&-&4c&=&20 \end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== {{Aufgabe|1=Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?}} <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === {{Aufgabe|1=Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2/1) und Q(1/3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.}} <br /> '''Lösung:'''<br /> Nebenbedingungen(entnehmbar aus der Aufgabenstellung): {| |style=" text-align:left" width="10%"|1. |style=" text-align:left" width="40%"|<math> f(2)=1 </math> |style=" text-align:left width="50%"|(P) |- | 2. | <math> f(1)=3 </math> | (Q) |- || 3. || <math> f'(2)=0 </math> | (Extrempunkt bei P) |- || 4. || <math> f''(1)=0 </math> | (Wendepunkt bei Q) |} Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung: <math> \begin{align} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c \\ f''(x)&=6ax+2b \end{align} </math> Jede aufgestellte Nebenbedingung definiert eine Variable der Funktion. <math> \begin{align} f(2)&=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d =1 \\ f(1)&=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d =3 \\ f'(2)&=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c =0 \\ f''(1)&=6a \cdot 1+2b =0 \end{align} </math> <br /> GTR &rarr; Matrix berechnen 4x5 Matrix: <math> \begin{matrix} 1: &8a&+&4b&+&2c&+&1d&=&1 \\ 2: &1a&+&1b&+&1c&+&1d&=&3 \\ 3: &12a&+&4b&+&1c&+&0d&=&0 \\ 4: &6a&+&2b&+&0c&+&0d&=&0 \end{matrix} </math> 553 552 2012-03-06T17:01:03Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{align} 1.&3a+2b+1c=6\\ 3.&-4c=20\\ 2.&2b-3c=11\ end{align}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== {{Aufgabe|1=Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?}} <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === {{Aufgabe|1=Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2/1) und Q(1/3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.}} <br /> '''Lösung:'''<br /> Nebenbedingungen(entnehmbar aus der Aufgabenstellung): {| |style=" text-align:left" width="10%"|1. |style=" text-align:left" width="40%"|<math> f(2)=1 </math> |style=" text-align:left width="50%"|(P) |- | 2. | <math> f(1)=3 </math> | (Q) |- || 3. || <math> f'(2)=0 </math> | (Extrempunkt bei P) |- || 4. || <math> f''(1)=0 </math> | (Wendepunkt bei Q) |} Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung: <math> \begin{align} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c \\ f''(x)&=6ax+2b \end{align} </math> Jede aufgestellte Nebenbedingung definiert eine Variable der Funktion. <math> \begin{align} f(2)&=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d =1 \\ f(1)&=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d =3 \\ f'(2)&=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c =0 \\ f''(1)&=6a \cdot 1+2b =0 \end{align} </math> <br /> GTR &rarr; Matrix berechnen 4x5 Matrix: <math> \begin{matrix} 1: &8a&+&4b&+&2c&+&1d&=&1 \\ 2: &1a&+&1b&+&1c&+&1d&=&3 \\ 3: &12a&+&4b&+&1c&+&0d&=&0 \\ 4: &6a&+&2b&+&0c&+&0d&=&0 \end{matrix} </math> 552 551 2012-03-06T16:59:17Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix}1.&3a+2b+1c=6\\3.&-4c=20\\2.&2b-3c=11\end{matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== {{Aufgabe|1=Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?}} <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === {{Aufgabe|1=Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2/1) und Q(1/3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.}} <br /> '''Lösung:'''<br /> Nebenbedingungen(entnehmbar aus der Aufgabenstellung): {| |style=" text-align:left" width="10%"|1. |style=" text-align:left" width="40%"|<math> f(2)=1 </math> |style=" text-align:left width="50%"|(P) |- | 2. | <math> f(1)=3 </math> | (Q) |- || 3. || <math> f'(2)=0 </math> | (Extrempunkt bei P) |- || 4. || <math> f''(1)=0 </math> | (Wendepunkt bei Q) |} Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung: <math> \begin{align} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c \\ f''(x)&=6ax+2b \end{align} </math> Jede aufgestellte Nebenbedingung definiert eine Variable der Funktion. <math> \begin{align} f(2)&=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d =1 \\ f(1)&=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d =3 \\ f'(2)&=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c =0 \\ f''(1)&=6a \cdot 1+2b =0 \end{align} </math> <br /> GTR &rarr; Matrix berechnen 4x5 Matrix: <math> \begin{matrix} 1: &8a&+&4b&+&2c&+&1d&=&1 \\ 2: &1a&+&1b&+&1c&+&1d&=&3 \\ 3: &12a&+&4b&+&1c&+&0d&=&0 \\ 4: &6a&+&2b&+&0c&+&0d&=&0 \end{matrix} </math> 551 545 2012-03-06T16:52:58Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix}1.&3a+2b+1c=6\\3.&-4c=20\\2.&2b-3c=11\end{matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2|1) und Q(1|3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.<br /> '''Lösung:'''<br /> Nebenbedingungen(entnehmbar aus der Aufgabenstellung): {| |style=" text-align:left" width="10%"|1. |style=" text-align:left" width="40%"|<math> f(2)=1 </math> |style=" text-align:left width="50%"|(P) |- | 2. | <math> f(1)=3 </math> | (Q) |- || 3. || <math> f'(2)=0 </math> | (Extrempunkt bei P) |- || 4. || <math> f''(1)=0 </math> | (Wendepunkt bei Q) |} Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung: <math> \begin{align} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c \\ f''(x)&=6ax+2b \end{align} </math> Jede aufgestellte Nebenbedingung definiert eine Variable der Funktion. <math> \begin{align} f(2)&=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d =1 \\ f(1)&=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d =3 \\ f'(2)&=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c =0 \\ f''(1)&=6a \cdot 1+2b =0 \end{align} </math> <br /> GTR &rarr; Matrix berechnen 4x5 Matrix: <math> \begin{matrix} 1: &8a&+&4b&+&2c&+&1d&=&1 \\ 2: &1a&+&1b&+&1c&+&1d&=&3 \\ 3: &12a&+&4b&+&1c&+&0d&=&0 \\ 4: &6a&+&2b&+&0c&+&0d&=&0 \end{matrix} </math> 545 518 2012-03-06T08:07:25Z Fo.Sax 5 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix}1.&3a+2b+1c=6\\3.&-4c=20\\2.&2b-3c=11\end{matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2|1) und Q(1|3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.<br /> '''Lösung:'''<br /> Nebenbedingungen(entnehmbar aus der Aufgabenstellung): 1. f(2)=1 (P) 2. f(1)=3 (Q) 3. f'(2)=0 (Extrempunkt bei P) 4. f''(1)=0 (Wendepunkt bei Q) Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung: f(x)=ax³+bx²+cx+d f'(x)=3ax²+2bx+c f''(x)=6ax+2b Jede aufgestellte Nebenbedingung definiert eine Variable der Funktion. <math>f(2)=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d =1 </math> <br /> <math>f(1)=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d =3 </math> <br /> <math>f'(2)=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c =0 </math> <br /> <math>f''(1)=6a \cdot 1+2b =0 </math> <br /> GTR -> Matrix berechnen 4x5 Matrix 1: 8a+4b+2c+1d=1 2: 1a+1b+1c+1d=3 3: 12a+4b+1c+0d=0 4: 6a+2b+0c+0d=0 518 517 2012-03-05T08:47:09Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix}1.&3a+2b+1c=6\\3.&-4c=20\\2.&2b-3c=11\end{matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2|1) und Q(1|3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.<br /> '''Lösung:'''<br /> 517 516 2012-03-05T08:46:04Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix}1.&3a+2b+1c=6\\3.&-4c=20\\2.&2b-3c=11\end{matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> '''Lösung:'''<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2|1) und Q(1|3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.<br /> '''Lösung:'''<br /> 516 499 2012-03-05T08:44:52Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix}1.&3a+2b+1c=6\\3.&-4c=20\\2.&2b-3c=11\end{matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiele == === Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten=== Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> === Steckbriefaufgabe === Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften:<br /> Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2|1) und Q(1|3).<br /> In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten. 499 489 2012-02-09T20:28:37Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: <math>\begin{matrix}1.&3a+2b+1c=6\\3.&-4c=20\\2.&2b-3c=11\end{matrix}</math> Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. <math>\begin{matrix}1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\2.&&&2b&-&3c&=&11\\3.&&&&-&4c&=&20\end{matrix}</math> Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 489 480 2012-02-09T13:43:31Z Karl Kirst 2 Nummerierung wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: # 3a+2b+c=6 # -4c=20 # 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. # 3 a+2 b +1 c=6 # 2 b -3 c=11 # -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 480 479 2012-02-07T22:39:17Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 479 478 2012-02-07T22:37:08Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 478 477 2012-02-07T22:35:26Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 477 476 2012-02-07T22:34:51Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 476 475 2012-02-07T22:32:55Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebenes Gleichungssystem: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| !style=" text-align:left" width="10%"|a !style=" text-align:left" width="10%"|b !style=" text-align:left; border-right: 1pt black solid" width="10%"|c !width="10%"|&nbsp; |- |style="border-top: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| -1 |style="border-top: 1pt black solid; border-right: 1pt black solid"| 1 |style="border-top: 1pt black solid"| 6 |- || 0 || -6 |style="border-right: 1pt black solid"| 3 || 21 |- || 0 || 0 |style="border-right: 1pt black solid"| -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd &rarr; Matrix &rarr; Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Quit 2nd &rarr; Matrix &rarr; Math &rarr; rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] 2nd &rarr; Matrix &rarr; [A] &rarr; Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 475 474 2012-02-07T13:56:13Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebene Linearfunktionen: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| border="1" !width="10%"|a !width="10%"|b !width="10%"|c !width="10%"|d |- || 1 || -1 || 1 || 6 |- || 0 || -6 || 3 || 21 |- || 0 || 0 || -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|4x5 Matrix:4 Zeilen,5 Spalten]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg]] 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg]] -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 474 473 2012-02-07T13:43:58Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebene Linearfunktionen: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| border="1" |a |b |c |d |- | 1 | -1 | 1 | 6 |- | 0 | -6 | 3 | 21 |- | 0 | 0 | -2 | -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|4x5 Matrix:4 Zeilen,5 Spalten]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg]] 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg]] -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 473 472 2012-02-07T08:00:10Z Sh.Sievers 12 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebene Linearfunktionen: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| border="1" ! width="15%" | a!! width="15%" | b!! width="15%" | c!! width="15%" | |- | 1 || -1 || 1 || 6 |- | 0 || -6 || 3 || 21 |- | 0 || 0 || -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg|4x5 Matrix:4 Zeilen,5 Spalten]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg]] 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg]] -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 472 466 2012-02-07T07:58:39Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebene Linearfunktionen: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| border="1" ! width="15%" | a!! width="15%" | b!! width="15%" | c!! width="15%" | |- | 1 || -1 || 1 || 6 |- | 0 || -6 || 3 || 21 |- | 0 || 0 || -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg]] 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg]] -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. <br /> "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. <br />"Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. <br /> "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?<br /> <br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |'''Preis für 5kg''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |63 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |66 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |67 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 466 465 2012-02-07T07:49:00Z Sh.Sievers 12 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebene Linearfunktionen: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| border="1" ! width="15%" | a!! width="15%" | b!! width="15%" | c!! width="15%" | |- | 1 || -1 || 1 || 6 |- | 0 || -6 || 3 || 21 |- | 0 || 0 || -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg]] Zahlen eingeben [[Datei:Bildschirm2.jpg]] 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( [[Datei:Bildschirm3.jpg]] -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter [[Datei:Bildschirm4.jpg]] Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 465 464 2012-02-07T07:48:18Z Se.Struth 11 /* Berechnung ohne GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebene Linearfunktionen: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. '''So sollte es am Ende aussehen:''' {| border="1" ! width="15%" | a!! width="15%" | b!! width="15%" | c!! width="15%" | |- | 1 || -1 || 1 || 6 |- | 0 || -6 || 3 || 21 |- | 0 || 0 || -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg]] Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 464 462 2012-02-07T07:46:21Z Se.Struth 11 /* Berechnung ohne GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == Gegebene Linearfunktionen: <math>\begin{matrix}a-b+c&=&6\\4a+2b+c&=&3\\9a+3b+c&=&6\end{matrix}</math> '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist ein Platzhalter für verschiedene Zahlen: {| border="1" ! width="15%" | a!! width="15%" | b!! width="15%" | c!! width="15%" | |- | 1 || -1 || 1 || 6 |- | 0 || -6 || 3 || 21 |- | 0 || 0 || -2 || -6 |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg]] Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 462 461 2012-02-07T07:42:07Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist ein Platzhalter für verschiedene Zahlen: {| border="1" ! width="20%" | a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg]] Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |}<br /> Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst. <br /> Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.<br /> Ein Kilogramm kolumbischen Kaffees kostet 12€.<br /> Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.<br /> 461 460 2012-02-07T07:35:12Z Sh.Sievers 12 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist ein Platzhalter für verschiedene Zahlen: {| border="1" ! width="20%" | a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bildschirm1.jpg]] Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |} 460 459 2012-02-07T07:34:45Z Fo.Sax 5 /* Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR) Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist ein Platzhalter für verschiedene Zahlen: {| border="1" ! width="20%" | a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bild 1]] Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |} 459 458 2012-02-07T07:24:48Z Sh.Sievers 12 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist ein Platzhalter für verschiedene Zahlen: {| border="1" ! width="20%" | a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: [[Datei:Bild 1]] Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |} 458 457 2012-02-07T07:14:29Z Fo.Sax 5 /* Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. <br /><br /> 1 - Wenn nur ''eine Lösung'' vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.<br /> 2 - Das lineare Gleichungssystem hat ''unendlich viele Lösungen'', wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.<br /> 3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es ''keine Lösung''. <br /><br /> Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten '''Stufenform (=Dreiecksform)''' angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist ein Platzhalter für verschiedene Zahlen: {| border="1" ! width="20%" | a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |} 457 456 2012-02-07T07:13:45Z Se.Struth 11 /* Berechnung ohne GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist ein Platzhalter für verschiedene Zahlen: {| border="1" ! width="20%" | a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |} 456 455 2012-02-07T07:11:23Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: {| class="wikitable sortable" !a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |'''Marke''' |'''Brasilien''' |'''Kolumbien''' |'''Mexiko''' |- |'''Mocca''' |1 |3 |1 |- |'''Barry''' |2 |1 |2 |- |'''The Dark One''' |3 |1 |1 |} 455 454 2012-02-07T07:09:06Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: {| class="wikitable sortable" !a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten:<br /> Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€.<br /> Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet eine Kilogramm von den einzelnen Ländern?<br /> {| border="1" |Marke |Brasilien |Kolumbien |Mexiko |- |Mocca |1 |3 |1 |- |Barry |2 |1 |2 |- |The Dark One |3 |1 |1 |} 454 453 2012-02-07T07:06:35Z Sh.Sievers 12 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: {| class="wikitable sortable" !a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: Zahlen eingeben 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen. == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 453 452 2012-02-07T07:00:16Z Sh.Sievers 12 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: {| class="wikitable sortable" !a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit: Zahlen eingeben -> 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Die letzte Spalte sind die Variablen a,b,c,d,... == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 452 451 2012-02-07T06:59:53Z Se.Struth 11 /* Berechnung ohne GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: {| class="wikitable sortable" !a!!b!!c!!y |- | x || x || x || x |- | 0 || x || x || x |- | 0 || 0 || x || x |} '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren. '''Beispiel:''' == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit Zahlen eingeben -> 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Die letzte Spalte sind die Variablen a,b,s,d,... == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 451 450 2012-02-07T06:53:48Z Sh.Sievers 12 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: x x x | x 0 x x | x 0 0 x | x '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/voneinander addieren/subtrahieren. '''Beispiel:''' {| class="wikitable sortable" !Überschrift 1!!Überschrift 2 |- | 1 || 2 |- | 3 || 4 |} == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: 2nd -> Matrix -> Edit Zahlen eingeben -> 2nd -> Quit 2nd -> Matrix -> Math -> rref( -> 2nd -> Matrix -> 1 -> Enter Die letzte Spalte sind die Variablen a,b,s,d,... == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 450 436 2012-02-07T06:50:28Z Fo.Sax 5 /* Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: x x x | x 0 x x | x 0 0 x | x '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/voneinander addieren/subtrahieren. '''Beispiel:''' {| class="wikitable sortable" !Überschrift 1!!Überschrift 2 |- | 1 || 2 |- | 3 || 4 |} == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 436 435 2012-02-02T10:53:42Z Sn.Fähnle 6 /* Berechnung ohne GTR */ table+ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == '''Ziel:''' Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen. x ist keine bestimmte Zahl: x x x | x 0 x x | x 0 0 x | x '''Erlaubt sind:''' 1. Multiplikation/Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist. 2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander. 3. Zwei Zeilen miteinander/voneinander addieren/subtrahieren. '''Beispiel:''' {| class="wikitable sortable" !Überschrift 1!!Überschrift 2 |- | 1 || 2 |- | 3 || 4 |} == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 435 434 2012-02-02T10:53:16Z Fo.Sax 5 /* Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet. Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation: Gegeben sind die Funktionen: 1: 3a+2b+c=6 2: -4c=20 3: 2b-3c=11 Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei. 1: 3 a+2 b +1 c=6 2: 2 b -3 c=11 3: -4 c=20 Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 434 433 2012-02-02T10:53:15Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 433 432 2012-02-02T10:52:42Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1<br /> 2x₁+ x₂-x₃=-1 432 431 2012-02-02T10:52:10Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1 2x₁+ x₂-x₃=-1 431 430 2012-02-02T10:50:38Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == x₁+2x₂+x₃=1 430 429 2012-02-02T10:48:12Z Ma.Fleuchaus 7 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR: Schritt 1: == Anwendungsbeispiel == 429 428 2012-02-02T10:45:49Z Ma.Fleuchaus 7 /* Anwendung mit Hilfe des GTR */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. == Anwendungsbeispiel == 428 427 2012-02-02T10:37:13Z Fo.Sax 5 /* Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mindestens drei Variablen. == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == == Anwendungsbeispiel == 427 422 2012-02-02T10:21:28Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == == Anwendungsbeispiel == 422 2012-02-01T20:03:36Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR ==“ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus? == == Berechnung ohne GTR == == Anwendung mit Hilfe des GTR == 0 242 913 912 2012-12-11T20:57:10Z F.Bittermann 3 /* Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v= {\Delta s \over \Delta t} </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v= {s \over t} \quad \qquad | \cdot t</math> <math>s = v \cdot t \qquad | :v </math> <math>t = {s \over v} </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. {| border="1" |Strecke: |s in m |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |- |Lauf 1: |t in s |0 | 0,38 | 0,98 | 1,29 | 1,78 | 2,3 | 2,61 | 3,18 | 3,98 |- |Lauf 2: | t in s | 0 | 0,74 | 1,56 | 2,22 | 3,06 | 3,99 | 4,46 | 5,0 | 6,64 |} Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? * Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. * Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. * Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). * Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! * Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 912 911 2012-12-11T20:51:56Z F.Bittermann 3 /* Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v= {\Delta s \over \Delta t} </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v= {s \over t} \quad \qquad | \cdot t</math> <math>s = v \cdot t \qquad | :v </math> <math>t = {s \over v} </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. {|border=1 pt black solid |Strecke: |s in m |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |- |Lauf 1: |t in s |0 | 0,38 | 0,98 | 1,29 | 1,78 | 2,3 | 2,61 | 3,18 | 3,98 |- |Lauf 2: | t in s | 0 | 0,74 | 1,56 | 2,22 | 3,06 | 3,99 | 4,46 | 5,0 | 6,64 |} Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? * Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. * Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. * Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). * Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! * Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 911 908 2012-12-11T20:50:47Z F.Bittermann 3 /* Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v= {\Delta s \over \Delta t} </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v= {s \over t} \quad \qquad | \cdot t</math> <math>s = v \cdot t \qquad | :v </math> <math>t = {s \over v} </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. {|border=0,5 |Strecke: |s in m |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |- |Lauf 1: |t in s |0 | 0,38 | 0,98 | 1,29 | 1,78 | 2,3 | 2,61 | 3,18 | 3,98 |- |Lauf 2: | t in s | 0 | 0,74 | 1,56 | 2,22 | 3,06 | 3,99 | 4,46 | 5,0 | 6,64 |} Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? * Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. * Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. * Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). * Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! * Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 908 907 2012-12-11T20:35:14Z F.Bittermann 3 /* Formeln einer gleichförmigen Bewegung */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v= {\Delta s \over \Delta t} </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v= {s \over t} \quad \qquad | \cdot t</math> <math>s = v \cdot t \qquad | :v </math> <math>t = {s \over v} </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? * Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. * Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. * Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). * Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! * Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 907 906 2012-12-11T20:28:32Z F.Bittermann 3 /* freier Fall */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? * Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. * Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. * Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). * Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! * Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 906 905 2012-12-11T20:26:10Z F.Bittermann 3 /* Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 905 900 2012-12-11T20:24:21Z F.Bittermann 3 /* Freier Fall */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 900 899 2012-12-11T11:51:27Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen :* Gleichmäßige Beschleunigung (Freier Fall als Sonderfall) :* == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 899 898 2012-12-11T11:45:14Z SackMi 43 /* Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen */ wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen * Gleichmäßige Beschleunigung * Freier Fall == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. {{Lösung versteckt| 1=V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s }} Eine Schnecke sieht sieht in eriner Entfernung von 90m eine Kneipe. Mit einer Geschwindigkeit von 0,5cm/s läuft sie los. Wie lange dauert die Reise? {{Lösung versteckt| 1= Geg: s=90m=9000cm v=0,5cm/s Ges: t Lös: t=s/v --> 9000cm/0,5cm/s = 18000s = 300min = 5h }} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 898 897 2012-12-11T11:43:25Z KraftTs 51 wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen * Gleichmäßige Beschleunigung * Freier Fall == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> {| class="wikitable " |+ TABLE CAPTION ! ! 2 ! 4 ! 6 ! 8 ! 10 ! 12 ! 14 ! 16 |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 1 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 2 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 3 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 897 896 2012-12-11T11:43:02Z KraftTs 51 wikitext text/x-wiki Geradlinige Bewegungen sind Bewegungen die unabhänig von ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Richtung beibehalten. Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Gleichförmige Bewegung(Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) * Beschleunigte Bewegungen *Gleichmäßige Beschleunigung *Freier Fall == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> {| class="wikitable " |+ TABLE CAPTION ! ! 2 ! 4 ! 6 ! 8 ! 10 ! 12 ! 14 ! 16 |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 1 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 2 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 3 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 896 895 2012-12-11T11:39:31Z Woistxardas 50 /* Formeln einer gleichförmigen Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung *Freier Fall == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um dieselbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> {| class="wikitable " |+ TABLE CAPTION ! ! 2 ! 4 ! 6 ! 8 ! 10 ! 12 ! 14 ! 16 |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 1 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 2 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 3 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 895 894 2012-12-11T11:34:36Z KraftTs 51 wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung *Freier Fall == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Aus den Werten ergibt sich im s/t Diagramm eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreiben kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeitintervall immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> {| class="wikitable " |+ TABLE CAPTION ! ! 2 ! 4 ! 6 ! 8 ! 10 ! 12 ! 14 ! 16 |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 1 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 2 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 3 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 894 893 2012-12-04T11:42:57Z SackMi 43 /* Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen */ table+ table+ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> {| class="wikitable " |+ TABLE CAPTION ! ! 2 ! 4 ! 6 ! 8 ! 10 ! 12 ! 14 ! 16 |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 1 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 2 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |- ! style="background: #FFDDDD;"|ITEM 3 | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element | Element |} == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 893 892 2012-12-04T11:41:05Z Schlabberlatz 49 /* Freier Fall */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === Beispiele für freier Fall: 3 Körper unterschiedlicher Masse werden von eine hohen Punkt fallen gelassen (Vakuum). Welcher Körper kommt zuerst unten an? -Es ist anzunehmen, dass die schwereren Körper schneller fallen. -Daraus folgern wir, dass Körper 1 schneller als 2 und 3 ist und demnach 2 schneller als 3. -Dies kann aber nicht stimmen, da bei Körper 1 der kleinere den größeren ausbremsen muss(Körper 1 ist deshalb langsamer als Körper 2). -Somit ist unsere erste Annahme '''falsch''' ! -Wir schließen daraus, dass alle Körper gleich schnell fallen müssen und somit ihre Fallgeschwindigkeit nichts mit der Masse zu tun hat. Denn sie werden ständig beschleunigt und somit steigt auch ihre Geschwindigkeit ständig an. 892 891 2012-12-04T11:39:59Z MaierAn 47 /* Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Ephe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 891 890 2012-12-04T11:39:06Z MaierAn 47 /* Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung (Geh weg Effe) === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 890 889 2012-12-04T11:38:09Z MaierAn 47 /* Diagramme einer gleichförmigen Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 889 887 2012-12-04T11:38:03Z SackMi 43 /* Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Strecke: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Lauf 1: t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 887 886 2012-12-04T11:36:53Z SackMi 43 /* Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. Alle zwei Meter wird eine Zeitmessung unternommen und die Werte aufgeschrieben. Lauf 1: s in m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 t in s 0 0,38 0.98 1,29 1,78 2,3 2,61 3,18 3,98 Lauf 2: t in s 0 0,74 1,56 2,22 3,06 3,99 4,46 5,0 6,64 Bestimme die Steigung der Graphen und damit die Geschwindigkeit. <!--Lösungen: V<small>lauf1</small>=4,5m/s V<small>lauf2</small>=2,5m/s--> == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 886 885 2012-12-04T11:36:08Z KraftTs 51 /* geradlinig gleichförmige Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == Geradlinige gleichförmige Bewegungen gibt es, wenn sich ein Körper mit einer konstanter Geschwindigkeit fort bewegt, deshalb gibt es im s/t Diagramm eine eine Gerade, welche man mit einer liniaren Funktion beschreien kann. === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 885 884 2012-12-04T11:36:02Z Woistxardas 50 /* Formeln einer gleichförmigen Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 884 883 2012-12-04T11:35:32Z Woistxardas 50 /* Formeln einer gleichförmigen Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: <math>v=s/t </math> Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. <math>v=s/t |*t</math> <math>s=v*t |/v</math> <math>t=s/v </math> === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 883 882 2012-12-04T11:28:16Z TabussoMo 44 /* Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: v=s/t Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. v=s/t |*t s=v*t |/v t=s/v === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math>s = {{1 \over 2} \cdot v \cdot t}</math> <math>a = {v \over t}</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 882 879 2012-12-04T11:27:55Z Woistxardas 50 /* Formeln einer gleichförmigen Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === Ein Fahrzeug mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt sich pro Zeiteinheit immer um die selbe Strecke fort. Deshalb gilt die allgemeine Formel: v=s/t Durch einfaches mathematisches Umstellen kann man sich so auch die Formeln für die Strecke und die Zeit bei konstanter Geschwindigkeit herleiten. v=s/t |*t s=v*t |/v t=s/v === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 879 878 2012-12-04T11:14:15Z MaierAn 47 /* Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung */ wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === in Bearbeitung === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 878 846 2012-12-04T10:11:23Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === === Freier Fall === 846 845 2012-11-21T20:24:35Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === === Anwendungsbeispiele gleichförmiger Bewegungen === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele beschleunigter Bewegungen === 845 844 2012-11-21T20:23:33Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === === Anwendungsbeispiele === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele === 844 840 2012-11-21T20:22:39Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln einer gleichförmigen Bewegung === === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Anwendungsbeispiele === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele === 840 839 2012-11-20T11:42:07Z SackMi 43 /* Anwendungsbeispiele */ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === == Geradlinige Bewegung == === Definition === Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * === Anwendungsbeispiele === Ein Fahrrad bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um eine Strecke von 16m. == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele === 839 838 2012-11-20T11:41:47Z SexyGabriel 45 /* Formeln für eine gleichförmigen Bewegung */ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === == Geradlinige Bewegung == === Definition === Man kann diese Bewegung in zwei Kategorien einteilen: * Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit * Beschleunigte Bewegungen darunter fällt: *gleichmäßig Beschleunigung * === Anwendungsbeispiele === == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele === 838 826 2012-11-20T11:41:42Z TabussoMo 44 /* Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung */ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln für eine gleichförmigen Bewegung === === Anwendungsbeispiele === == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === <math>s = {1 \over 2} \cdot a \cdot t^2 </math> <math> \vec a = \lim_{\triangle t\to 0} {\triangle \vec v \over \triangle t }</math> <math>v = a \cdot t</math> === Anwendungsbeispiele === 826 825 2012-11-15T14:18:23Z F.Bittermann 3 /* Formeln für eine gleichförmige Bewegung */ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln für eine gleichförmigen Bewegung === === Anwendungsbeispiele === == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Anwendungsbeispiele === 825 824 2012-11-15T14:17:50Z F.Bittermann 3 /* geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung */ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln für eine gleichförmige Bewegung === === Anwendungsbeispiele === == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == === Diagramme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Formeln einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung === === Anwendungsbeispiele === 824 822 2012-11-15T14:16:59Z F.Bittermann 3 /* geradlinig gleichförmige Bewegung */ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == === Diagramme einer gleichförmigen Bewegung === === Formeln für eine gleichförmige Bewegung === === Anwendungsbeispiele === == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == 822 821 2012-11-15T14:14:09Z F.Bittermann 3 /* geradlinig gleichförmige Bewegung */ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung == 821 2012-11-15T14:13:58Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== geradlinig gleichförmige Bewegung == == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung“ wikitext text/x-wiki == geradlinig gleichförmige Bewegung == == geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung 0 1 918 914 2012-12-28T07:46:10Z Karl Kirst 2 typo wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG-Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Klassen und Kurse == * [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Viele mathematische Besonderheiten stehen im Benutzerhandbuch, Kapitel [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de mathematische Formeln] Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 914 910 2012-12-28T07:41:56Z Karl Kirst 2 NOTOC wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Klassen und Kurse == * [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Viele mathematische Besonderheiten stehen im Benutzerhandbuch, Kapitel [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de mathematische Formeln] Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 910 909 2012-12-11T20:39:26Z F.Bittermann 3 /* Wo finde ich Anleitungen? */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Klassen und Kurse == * [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Viele mathematische Besonderheiten stehen im Benutzerhandbuch, Kapitel [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de mathematische Formeln] Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 909 875 2012-12-11T20:36:47Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Klassen und Kurse == * [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 875 874 2012-11-27T08:46:37Z F.Bittermann 3 /* Klassen und Kurse */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Klassen und Kurse == * [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 874 866 2012-11-27T08:46:11Z F.Bittermann 3 /* Kurse */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Klassen und Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 866 865 2012-11-21T21:28:34Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 865 864 2012-11-21T21:28:18Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]]<br /> |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 864 863 2012-11-21T21:28:02Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]]<\br> |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 863 862 2012-11-21T21:27:50Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]]<br> |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 862 861 2012-11-21T21:21:38Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 861 860 2012-11-21T21:21:23Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|x40px|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 860 859 2012-11-21T21:08:59Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 859 858 2012-11-21T21:08:20Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" [[File:Flag_of_the_United_Kingdom.svg]] |[[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 858 857 2012-11-21T21:08:01Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" [[File:Flag_of_the_United_Kingdom.svg/800px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png]] |[[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 857 856 2012-11-21T21:07:42Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" [[File:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Flag_of_the_United_Kingdom.svg/800px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png]] |[[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 856 855 2012-11-21T21:06:15Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" [[File:Felis silvestris - July 2007-1.jpg]] |[[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 855 854 2012-11-21T21:04:34Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" [[Datei:200px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg]] |[[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 854 853 2012-11-21T21:03:18Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" [[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png]] |[[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 853 852 2012-11-21T21:00:21Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 852 851 2012-11-21T20:54:15Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Flag_of_the_United_Kingdom.svg/320px-Flag_of_the_United_Kingdom.svg.png?uselang=de|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 851 850 2012-11-21T20:48:23Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Englisch.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Englisch|Englisch]] || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 850 849 2012-11-21T20:29:12Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" || || [[Englisch]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 849 843 2012-11-21T20:28:16Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" || Englisch |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 843 842 2012-11-21T20:18:12Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] und [http://wiki.zum.de/Interaktive_%C3%9Cbungen interaktive Übungen] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 842 841 2012-11-21T20:16:43Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 841 815 2012-11-21T20:16:22Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] || |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 815 814 2012-11-13T10:28:07Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Physik.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 814 813 2012-11-13T10:14:38Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 813 812 2012-11-13T10:14:16Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |- || |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 812 811 2012-11-13T10:12:17Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] <br /> |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Physik|Physik]] || [[Physik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 811 724 2012-11-13T10:10:49Z F.Bittermann 3 /* Fächer */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 724 609 2012-06-19T09:24:21Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 609 608 2012-03-14T22:07:45Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Kurs-_und_Klassenseiten Kurs und Klassenseiten] haben ihre eigenen Regeln. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 608 607 2012-03-14T22:01:24Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Anleitungen? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Dieser Link führt zu Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 607 606 2012-03-14T22:00:54Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> == Wo finde ich Benutzerhandbücher? == Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Dieser Link führt zu Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 606 605 2012-03-14T21:59:21Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Dieser Link führt zu Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 605 568 2012-03-14T21:59:05Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. Dieser Link führt zu Tipps, wie man Texte, Lösungen etc. [http://wiki.zum.de/Hilfe:Verstecken_und_Anzeigen verstecken und anzeigen] kann. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 568 566 2012-03-07T08:07:06Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. Hier sind viele [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule Vorlagen für die Schule] aufgeführt. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 566 564 2012-03-07T08:01:00Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. Hier sind viele Vorlagen für die Schule aufgeführt: [http://wiki.zum.de/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule] <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 564 563 2012-03-07T07:43:44Z F.Bittermann 3 /* Kurse */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Kurse Mathematik]] |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> <!-- *** In der Wiki-Family *** Bitte unten stehen lassen! *** --> [[wikis:Hauptseite]] [[zum-wiki:Hauptseite]] 563 494 2012-03-07T07:43:16Z F.Bittermann 3 /* Kurse */ wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == [[Mathematik]] |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. 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Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. 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Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. <!-- Die unten stehende Links sind vorwiegend Hilfen für die Administration eines Wikis auf Server-Ebene. Deshalb sollten sie am besten von der Hauptseite gelöscht werden. - Karl Kirst --> <!--== Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] --> 446 445 2012-02-02T19:07:47Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == <!-- Tabelle mit den Fächern und deren Logos --> {|border="0" cellspacing="5" |[[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]] || [[Mathematik]] |} |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 445 444 2012-02-02T18:37:41Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. 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Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == [[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|hochkant=0.2|verweis=Mathematik|Mathe]][[Mathematik]] |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 444 443 2012-02-02T18:30:31Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. 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Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == [[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|Mathe]][[ Mathematik]] |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Handbuch Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 443 439 2012-02-02T16:55:51Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == [[Datei:Logo_Mathe.jpg|rahmenlos|Mathe]][[ Mathematik]] |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 439 438 2012-02-02T15:44:05Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| width="100%" |colspan="2" style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. 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Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> |width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Fächer == [[Mathematik]] |} </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann |} </div> |} <br /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 438 437 2012-02-02T15:20:25Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| border="1" | style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. 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Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> | width="45%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=30%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" <!-- | valign="top" | --> == Fächer == [[Mathematik]] </div> <!-- rechte Spalte --> | width="45%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:0px; border:0px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> <!-- {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" --> <!-- | valign="top" | --> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> |} Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 437 424 2012-02-02T14:42:00Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| border="1" | style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. 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Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> | width="45%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=60%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" <!-- | valign="top" | --> == Fächer == [[Mathematik]] </div> <!-- rechte Spalte --> | width="45%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:0px; border:0px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> <!-- {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" --> <!-- | valign="top" | --> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> |} Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 424 423 2012-02-01T21:45:26Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| border="0" | style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> | width="45%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | |- == Fächer == [[Mathematik]] </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> |} Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 423 417 2012-02-01T21:44:59Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {| border="1" | style="vertical-align:top;" | == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! |- <!-- linke Spalte: zwei div-Container --> | width="45%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | |- == Fächer == [[Mathematik]] </div> <!-- rechte Spalte --> | width="50%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"> {|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em" | valign="top" | == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> |} Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 417 45 2012-02-01T19:51:26Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="width: 40%"> == Fächer == [[Mathematik]] </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="width: 40%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 45 44 2012-02-01T16:40:48Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="width: 40%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="width: 40%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 44 43 2012-02-01T16:38:00Z F.Bittermann 3 Änderungen von [[Special:Contributions/F.Bittermann|F.Bittermann]] ([[User talk:F.Bittermann|Diskussion]]) rückgängig gemacht und letzte Version von [[User:MediaWiki default|MediaWiki default]] wiederhergestellt wikitext text/x-wiki '''MediaWiki wurde erfolgreich installiert.''' Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 43 42 2012-02-01T16:35:58Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="width: 40%; vertical-align:top; horizontal-align:left; margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:1px solid #C00000; padding: 0em 1em 1em 0em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="width: 40%; vertical-align:top; margin:0; margin-right:8px; border:0px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F5F5F5; align:right"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 42 41 2012-02-01T16:35:21Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="width: 40%; vertical-align:top; horizontal-align:left; margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:1px solid #C00000; padding: 0em 1em 1em 0em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="width: 40%; vertical-align:top; margin:0; margin-right:8px; border:0px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F5F5F5; align:left;"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 41 40 2012-02-01T16:34:19Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align:top; horizontal-align:left; margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:1px solid #C00000; padding: 0em 1em 1em 0em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="width=42%; vertical-align:top; margin:0; margin-right:8px; border:0px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F5F5F5; align:left;"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 40 39 2012-02-01T16:32:35Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> | style="vertical-align:top; horizontal-align:left" | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:1px solid #C00000; padding: 0em 1em 1em 0em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> | width="42%" style="vertical-align:top" | <div style="margin:0; margin-right:8px; border:0px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F5F5F5; align:left;"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 39 38 2012-02-01T16:25:23Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="float:left; vertical-align: top; width: 45%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="float: right; vertical-align: top; width: 45%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> 17:25, 1. Feb. 2012 (CET) Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 38 37 2012-02-01T16:24:40Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="float:left; vertical-align: top; width: 45%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="float: right; vertical-align: top; width: 45%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 37 36 2012-02-01T16:23:25Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; float:left; width: 45%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; float: right; width: 45%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 36 35 2012-02-01T16:22:40Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; float:left; width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; float: right; width: 45%; padding: 0 2%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 35 34 2012-02-01T16:21:42Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; float:left; width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; width: 45%; padding: 0 2%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 34 33 2012-02-01T16:20:46Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; horizontal-align:left; width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; width: 45%"> == Kurse == Mathekurs Dold <br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 33 32 2012-02-01T16:20:17Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; horizontal-align:left; width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == Mathematik </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; width: 45%; padding: 0 2%"> == Kurse == Mathekurs Dold </br> Mathekurs Bittermann </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 32 31 2012-02-01T16:19:24Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; horizontal-align:left; width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; width: 45%; padding: 0 2%"> == Kurse == </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 31 30 2012-02-01T16:18:27Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; horizontal-align:left; width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; horizontal-align:left; width: 45%; padding: 0 2%"> == Kurse == </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 30 29 2012-02-01T16:17:42Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="vertical-align: top; float:left;width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="vertical-align: top; float:left;width: 45%; padding: 0 2%"> == Kurse == </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 29 28 2012-02-01T16:16:05Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. 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Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="float:left;width: 45%; padding: 0 2%"> == Fächer == </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="float:left;width: 45%; padding: 0 2%"> == Kurse == </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 28 27 2012-02-01T16:14:04Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="float:left;width: 45%"> == Fächer == </div> <!-- mittlere Spalte als Abstandhalter --> <div style="float:left;width: 5%"> "" </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="float:left;width: 45%"> == Kurse == </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 27 26 2012-02-01T16:13:45Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. 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Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="float:left;width: 45%"> == Fächer == </div> <!-- mittlere Spalte als Abstandhalter --> <div style="float:left;width: 5%"> </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="float:left;width: 45%"> == Kurse == </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 26 25 2012-02-01T16:12:51Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="float:left;width: 45%"> == Fächer == </div> <!-- mittlere Spalte als Abstandhalter --> <div style="float:left;width: 10%"> ;-) </div> <!-- rechte Spalte --> <div style="float:left;width: 45%"> == Fächer == </div> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 25 24 2012-02-01T16:11:38Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <div style="float:left;width: 45%"> == Fächer == </div> [[div>]] Leertext [[/div]] [[div>]] == Kurse == [[/div]] Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 24 23 2012-02-01T16:10:23Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> [[div style="float:left;width: 45%"]] == Fächer == [[/div]] [[div>]] Leertext [[/div]] [[div>]] == Kurse == [[/div]] Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 23 22 2012-02-01T16:09:20Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> [[div>]] == Fächer == [[/div]] [[div>]] == Fächer == [[/div]] [[div>]] == Kurse == [[/div]] Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 22 21 2012-02-01T16:08:04Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> [[<]] == Fächer == [[/<]] [[=]] == Fächer == [[/=]] [[>]] == Kurse == [[/>]] Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 21 20 2012-02-01T16:01:27Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> {column:width=45%} == Fächer == {column} {column:width=10%} {column} <!-- rechte Spalte --> {column:width=45%} {column} Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 20 19 2012-02-01T16:00:54Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> {column:width=45%} == Fächer == {colums} {column:width=10%} {colums} <!-- rechte Spalte --> {column:width=45%} {column} Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 19 18 2012-02-01T15:49:48Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <mainpage-leftcolumn-start /> == Fächer == <mainpage-endcolum /> <!-- rechte Spalte --> <mainpage-rightcolumn-start /> == Kurse == <mainpage-endcolum /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 18 17 2012-02-01T15:49:03Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! <!-- linke Spalte --> <mainpage-leftcolumn-start /> == Fächer == <mainpage-endcolum /> <!-- rechte Spalte --> <mainpage-rightcolumn-start /> == Fächer == <mainpage-endcolum /> Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 17 16 2012-02-01T15:35:06Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki dient als Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 16 15 2012-02-01T15:34:09Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki ist eine Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran! Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 15 14 2012-02-01T15:32:51Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. <br> Das FSG Wiki ist eine Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. Beteilige auch Du Dich daran und schreib und/oder korrigiere Artikel! '''MediaWiki wurde erfolgreich installiert.''' Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 14 13 2012-02-01T15:30:20Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach Marbach am Neckar ist das größte allgemein bildende Gymnasium in Baden-Württemberg. Das FSG Wiki ist eine Plattform, auf der Schüler individuell lernen und lehren können. Dabei werden die Inhalte vorrangig von ihnen selbst erstellt. '''MediaWiki wurde erfolgreich installiert.''' Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 13 12 2012-02-01T15:21:44Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im FSG Wiki == Das [http://www.fsg-marbach.de/ Friedrich-Schiller-Gymnasium] in Marbach Marbach am Neckar '''MediaWiki wurde erfolgreich installiert.''' Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 12 11 2012-02-01T15:15:46Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im Schulwiki des Friedrich-Schiller-Gymnasiums Marbach == '''MediaWiki wurde erfolgreich installiert.''' Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 11 1 2012-02-01T15:14:21Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Willkommen im Schulwiki des Friedrich-Schiller-Gymnasiums Marbach == '''MediaWiki wurde erfolgreich installiert.''' Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 1 2012-02-01T09:42:43Z MediaWiki default 0 wikitext text/x-wiki '''MediaWiki wurde erfolgreich installiert.''' Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. == Starthilfen == * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] * [http://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] * [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen] 0 225 1597 1206 2014-06-05T07:33:35Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki <imagemap> Bild:Mechanik Klasse 10.jpg|992px|Mindmap rect 517 68 734 97 [[geradlinige Bewegung]] rect 757 37 860 73 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichförmige Bewegung|gleichförmige Bewegung]] rect 757 78 868 128 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßig beschleunigte Bewegung]] rect 890 81 951 97 [[geradlinige Bewegung#freier Fall|freier Fall]] rect 528 249 704 296 [[Bewegung in zwei Dimensionen]] rect 727 229 871 249 [[Bewegung in zwei Dimensionen|Skalare und Vektoren]] rect 231 256 394 286 [[Kreisbewegung]] rect 198 170 337 218 [[Newtonsche Grundgesetze]] rect 40 158 175 179 [[Newtonsche Grundgesetze|erstes Newtonsches Grundgesetz]] rect 40 184 175 205 [[Newtonsche Grundgesetze|zweites Newtonsches Grundgesetz]] rect 40 210 175 230 [[Newtonsche Grundgesetze|drittes Newtonsches Grundgesetz]] rect 287 68 370 98 [[Energie]] </imagemap> Klicke direkt im Bild auf ein (grau unterlegtes) Hauptthema. [[Würfe]] 41d04669fcbdab699cbc2ad993dd23d2c19f6901 1206 1204 2013-02-19T12:04:02Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki <imagemap> Bild:Mechanik Klasse 10.jpg|992px|Mindmap rect 517 68 734 97 [[geradlinige Bewegung]] rect 757 37 860 73 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichförmige Bewegung|gleichförmige Bewegung]] rect 757 78 868 128 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßig beschleunigte Bewegung]] rect 890 81 951 97 [[geradlinige Bewegung#freier Fall|freier Fall]] rect 528 249 704 296 [[Bewegung in zwei Dimensionen]] rect 727 229 871 249 [[Bewegung in zwei Dimensionen|Skalare und Vektoren]] rect 231 256 394 286 [[Kreisbewegung]] rect 198 170 337 218 [[Newtonsche Grundgesetze]] rect 40 158 175 179 [[Newtonsche Grundgesetze|erstes Newtonsches Grundgesetz]] rect 40 184 175 205 [[Newtonsche Grundgesetze|zweites Newtonsches Grundgesetz]] rect 40 210 175 230 [[Newtonsche Grundgesetze|drittes Newtonsches Grundgesetz]] rect 287 68 370 98 [[Energie]] </imagemap> Klicke direkt im Bild auf ein (grau unterlegtes) Hauptthema. 1204 1203 2013-02-19T12:02:27Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki <imagemap> Bild:Mechanik Klasse 10.jpg|992px|Mindmap rect 517 68 734 97 [[geradlinige Bewegung]] rect 757 37 860 73 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichförmige Bewegung|gleichförmige Bewegung]] rect 757 78 868 128 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßig beschleunigte Bewegung]] rect 890 81 951 97 [[geradlinige Bewegung#freier Fall|freier Fall]] rect 528 249 704 296 [[Bewegung in zwei Dimensionen]] rect 727 229 871 249 [[Bewegung in zwei Dimensionen|Skalare und Vektoren]] rect 231 256 394 286 [[Kreisbewegung]] rect 198 170 337 218 [[Newtonsche Grundgesetze]] rect 40 158 175 179 [[Newtonsche Grundgesetze|erstes Newtonsches GG]] rect 40 184 175 205 [[Newtonsche Grundgesetze|zweites Newtonsches GG]] rect 40 210 175 230 [[Newtonsche Grundgesetze|drittes Newtonsches GG]] rect 287 68 370 98 [[Energie]] </imagemap> Klicke direkt im Bild auf ein (grau unterlegtes) Hauptthema. 1203 904 2013-02-19T11:58:32Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki <imagemap> Bild:Mechanik Klasse 10.jpg|992px|Mindmap rect 517 68 734 97 [[geradlinige Bewegung]] rect 757 37 860 73 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichförmige Bewegung|gleichförmige Bewegung]] rect 757 78 868 128 [[geradlinige Bewegung#geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung|gleichmäßig beschleunigte Bewegung]] rect 890 81 951 97 [[geradlinige Bewegung#freier Fall|freier Fall]] rect 528 249 704 296 [[Bewegung in zwei Dimensionen]] rect 727 229 871 249 [[Bewegung in zwei Dimensionen|Skalare und Vektoren]] rect 231 256 394 286 [[Kreisbewegung]] rect 198 170 337 218 [[Newtonsche Grundgesetze]] rect 287 68 370 98 [[Energie]] </imagemap> Klicke direkt im Bild auf ein (grau unterlegtes) Hauptthema. 904 903 2012-12-11T20:24:11Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki <imagemap> Bild:Mechanik Klasse 10.jpg|992px|Mindmap rect 517 68 734 97 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Just select the "discussion" - tab!'' ===Film review: "Rabbit-proof fence" by Janina Späth=== ,,Rabbit-proof fence“ is an emotional story, based on a true history with amazing actors, especially the three newcomer girls playing the leads in this film. In particular this film has shocking facts: In Western Australia in 1931, the government and Chief Protector of the Aborigines, A.O. Neville took the half-caste children from their Aboriginal mother and took them to a “training school”, the Moore River Camp. These camps should prepare them for the life in white society. Film focusses on three aboriginal girls, Molly aged 14 (played by Everlyn Sampi), her sister Daisy aged 8 (Tianna Sansbury) and the 10 years old cousin Gracie (played by Laura Monnahan). Separated from their natural mothers, they escape from the camp und run away. But In the end they get captured. They escape again and start a walk towards home. That was a journey of 1500 miles, across the outback. All the time a fence guides the girls along the right way. This fence was constructed in the early 20th century to keep the rabbits from the east out of the western Australia areas. This adventure shows the outback in a beautiful and mysterious way. This heartbreaking movie describes Australia as a beautiful and powerful country. The three young leads are all Aborigines and untrained actors showing an astonishing performance. The director Phillip Noyce wants to show a film which is fiction based on facts. The screenplay written by Christine Olsen is powerful. Rabbit-proof fence started in UK cinemas in 2002. At 94 minutes Rabbit-proof fence is tight and all the time the human story is kept in focus. The film is so lovely because the children never give up their hope and fight! It is amazing and remarkable how they act and with how many emotions the film works! Overall, it is an excellent film, with beautiful imagery and an unforgettable story! ===Film Review – „Rabbit Proof Fence“ by Anna Loh, 9c=== The film “rabbit proof fence” does not only consist of amazing cinematography and a stunning setting but also of great actors. The storyline, based on true incidents, is full of suspense. The film takes place in 1931 in western Australia. Politicians, amongst others Mr. A. O. Neville (Kenneth Branagh), decided to gather up all children of half aboriginal and half European descent in camps, where they were trained to be domestic servants or factory workers. The first scene shows the destiny of three girls, taken away by force from their family and loved ones and put into one of the camps, Moore River, far away from their beloved home. Not wanting to obey the strict rules at Moore River, Molly (Everlyn Sampi) manages to escape, taking her younger sister Daisy (Tianna Sansbury) and her cousin Gracie (Laura Monaghan) with her. As they decide to follow the rabbit proof fence, which measures a length of almost 1500 miles, they are confronted with extreme conditions. Another obstacle to pass is the tracker Moodoo (David Gulpilil) and the authorities, who try to catch them and bring them back to Moore River with help and support of others and the girls’ strong minds they manage to arrive home safely. Director Phillip Noyce and his crew deliver great pictures of the Australian landscape and give the audience an insight in the situation of 1931 in western Australia. His choice of the lead characters couldn’t have been better. The acting is done very convincingly with amazing detail. Although the three main characters have never acted in a movie before, they act very realistically, as if they were the real roles. Cinematographers give us great pictures from a variety of angles which gives the audience great view of each scene. Overall “Rabbit Proof Fence” was a dramatic and heartbreaking film, especially the first scene, showing how awful Aborigines were treated in 1931 and how terrible it can be to lose your loved ones. ===This film rewiev was created by Robin Ort, 9c=== "Rabbit-Proof Fence" a movie with exceptional powerful emotions showing three brave girls on a long walk home through the dry desert of Western Australia. The film is about one of the brutal conflicts between the native population called Aborigines and the white people in the first half of the 20th century. Since 1770, the white settlers arrived by ship, many terrible arguments are reasons for a difficult relationship with violence and suppression. In the end, many Aborigines lost their home, their family, their tribe, their traditions, their freedom and often their life. In the 20th century, mixed-race children, that means that they're offspring of an aboriginal mother and a light-skinned father, were taken into special camps, where they learn to be workers or domestic servants. The three main characters of the film are victims of this terrible circumstance. The script is based on a true story. This fact makes the film far more touching. The leads are Daisy, Gracie and Molly, three aboriginal children between 8 and 14 years and A. O. Neville, chief protector of the aboriginal population. The two sisters Molly and Daisy and their cousin Gracie live with their tribe in touch with nature. Having worked on the rabbit-proof fence, their fathers moved on. Separating Australia, the fence should keep the unwanted rabbit plague on one side and the animals of the farmers on the other side. The three mixed-race girls enjoy their life in freedom, but it will be changing soon. One day, A. O. Neville orders Constable Riggs, one of his men, to take the girls by force to a camp. In A. O. Neville's opinion, he helps the Aborigines by breeding out the dark skin. Even though the girls try to run away, Riggs catches them and they're brought to Moore River Native Settlement. There are nuns and guardians teaching them to live like white people and change their culture. Although the girls are very intimidated and quite puzzled, they can't stand the strict structure and start a successful attempt to escape. Molly decides to lead the two younger girls along the rabbit-proof fence. With Molly's strong, unbroken mind, they're able to walk 1500 miles through the desert back home, tracked by A.O. Neville's (Kenneth Branagh) men. "Rabbit-Proof Fence" gives the people information about a dark political century with many mistakes o the part of the Australian government. The leads' amazing acting is one reason for the success of the movie and many awards. Especially the performances of Everlyn Sampi, Tianna Sansbury and Laura Monaghan playing Molly, Daisy and Gracie are unbelievably awesome, given the fact that they didn't make any experiences with movies before. The director Phillip Noyce, who had success with some other projects before, focuses the content on powerful emotions and the terrible damage caused by A. O. Neville. The story and the acting are supported not only by a haunting soundtrack, but also by appropriate camera angles, field sizes and great lightning. The atmosphere is shown by dramatic sound effects and stunning images. Overall, director, actors and cinematographer made a fantastic film. A strong spirit and a lot of hope and courage fight against violence and unfairness. At the end of the movie there are a few words about the future of the girls and the consequences of the suppression and the destruction of the aboriginal culture. The damage hasn't been removed yet. === Summary === 1000 999 2013-02-01T10:44:43Z SpaethJa 63 /* Film review: Rabbit-proof fence by Janina Späth */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' ===Film review: "Rabbit-proof fence" by Janina Späth=== ,,Rabbit-proof fence“ is an emotional story, based on a true history with amazing actors, especially the three newcomer girls playing the leads in this film. In particular this film has shocking facts: In Western Australia in 1931,the government and Chief Protector of the Aborigines, A.O Neville took the half-caste children from their Aboriginal mother and took them to a “training school”, the Moore River Camp. These camps should prepare them for the life in white society. Film focusses on three aboriginal girls, Molly aged 14 (played by Everlyn Sampi), her sister Daisy aged 8 (Tianna Sansbury) and the 10 years old cousin Gracie (played by Laura Monnahan). Separated from their natural mothers, they escape from the camp und run away. But In the end they get captured. They escape again and start a walk towards home. That was a journey of 1500 , across the outback. All the time a fence guides the girls along the right way. This fence was constructed in the early 20th century to keep the rabbits from the east out of the western Australia areas. This adventure shows the outback in a beautiful and mysterious way. This heartbreaking movie describes Australia as a beautiful and powerful country. The three young leads are all Aborigines and untrained actors showing an astonishing performance. The director Phillip Noyce wants to show a film which is fiction based on facts. The screenplay written by Christine Olsen is powerful. Rabbit-proof fence started in UK cinemas in 2002.At 94minutes Rabbit-proof fence is tight and all the time the human story is kept in focus. The film is so lovely because the children never give up their hope and fight! It is amazing and remarkable how they act and with how many emotions the film works! Overall, it is an excellent film, with beautiful imagery and an unforgettable story! ===Film Review – „Rabbit Proof Fence“ by Anna Loh, 9c=== The film “rabbit proof fence” does not only consist of amazing cinematography and a stunning setting but also of great actors. The storyline, based on true incidents, is full of suspense. The film takes place in 1931 in western Australia. Politicians, amongst others Mr. A. O. Neville (Kenneth Branagh), decided to gather up all children of half aboriginal and half European descent in camps, where they were trained to be domestic servants or factory workers. The first scene shows the destiny of three girls, taken away by force from their family and loved ones and put into one of the camps, Moore River, far away from their beloved home. Not wanting to obey the strict rules at Moore River, Molly (Everlyn Sampi) manages to escape, taking her younger sister Daisy (Tianna Sansbury) and her cousin Gracie (Laura Monaghan) with her. As they decide to follow the rabbit proof fence, which measures a length of almost 1500 miles, they are confronted with extreme conditions. Another obstacle to pass is the tracker Moodoo (David Gulpilil) and the authorities, who try to catch them and bring them back to Moore River with help and support of others and the girls’ strong minds they manage to arrive home safely. Director Phillip Noyce and his crew deliver great pictures of the Australian landscape and give the audience an insight in the situation of 1931 in western Australia. His choice of the lead characters couldn’t have been better. The acting is done very convincingly with amazing detail. Although the three main characters have never acted in a movie before, they act very realistically, as if they were the real roles. Cinematographers give us great pictures from a variety of angles which gives the audience great view of each scene. Overall “Rabbit Proof Fence” was a dramatic and heartbreaking film, especially the first scene, showing how awful Aborigines were treated in 1931 and how terrible it can be to lose your loved ones. ===This film rewiev was created by Robin Ort, 9c=== "Rabbit-Proof Fence" a movie with exceptional powerful emotions showing three brave girls on a long walk home through the dry desert of Western Australia. The film is about one of the brutal conflicts between the native population called Aborigines and the white people in the first half of the 20th century. Since 1770, the white settlers arrived by ship, many terrible arguments are reasons for a difficult relationship with violence and suppression. In the end, many Aborigines lost their home, their family, their tribe, their traditions, their freedom and often their life. In the 20th century, mixed-race children, that means that they're offspring of an aboriginal mother and a light-skinned father, were taken into special camps, where they learn to be workers or domestic servants. The three main characters of the film are victims of this terrible circumstance. The script is based on a true story. This fact makes the film far more touching. The leads are Daisy, Gracie and Molly, three aboriginal children between 8 and 14 years and A. O. Neville, chief protector of the aboriginal population. The two sisters Molly and Daisy and their cousin Gracie live with their tribe in touch with nature. Having worked on the rabbit-proof fence, their fathers moved on. Separating Australia, the fence should keep the unwanted rabbit plague on one side and the animals of the farmers on the other side. The three mixed-race girls enjoy their life in freedom, but it will be changing soon. One day, A. O. Neville orders Constable Riggs, one of his men, to take the girls by force to a camp. In A. O. Neville's opinion, he helps the Aborigines by breeding out the dark skin. Even though the girls try to run away, Riggs catches them and they're brought to Moore River Native Settlement. There are nuns and guardians teaching them to live like white people and change their culture. Although the girls are very intimidated and quite puzzled, they can't stand the strict structure and start a successful attempt to escape. Molly decides to lead the two younger girls along the rabbit-proof fence. With Molly's strong, unbroken mind, they're able to walk 1500 miles through the desert back home, tracked by A.O. Neville's (Kenneth Branagh) men. "Rabbit-Proof Fence" gives the people information about a dark political century with many mistakes o the part of the Australian government. The leads' amazing acting is one reason for the success of the movie and many awards. Especially the performances of Everlyn Sampi, Tianna Sansbury and Laura Monaghan playing Molly, Daisy and Gracie are unbelievably awesome, given the fact that they didn't make any experiences with movies before. The director Phillip Noyce, who had success with some other projects before, focuses the content on powerful emotions and the terrible damage caused by A. O. Neville. The story and the acting are supported not only by a haunting soundtrack, but also by appropriate camera angles, field sizes and great lightning. The atmosphere is shown by dramatic sound effects and stunning images. Overall, director, actors and cinematographer made a fantastic film. A strong spirit and a lot of hope and courage fight against violence and unfairness. At the end of the movie there are a few words about the future of the girls and the consequences of the suppression and the destruction of the aboriginal culture. The damage hasn't been removed yet. === Summary === 999 995 2013-02-01T10:43:48Z SpaethJa 63 /* Film review: Rabbit-proof fence */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' ===Film review: Rabbit-proof fence by Janina Späth=== ,,Rabbit-proof fence“ is an emotional story, based on a true history with amazing actors, especially the three newcomer girls playing the leads in this film. In particular this film has shocking facts: In Western Australia in 1931,the government and Chief Protector of the Aborigines, A.O Neville took the half-caste children from their Aboriginal mother and took them to a “training school”, the Moore River Camp. These camps should prepare them for the life in white society. Film focusses on three aboriginal girls, Molly aged 14 (played by Everlyn Sampi), her sister Daisy aged 8 (Tianna Sansbury) and the 10 years old cousin Gracie (played by Laura Monnahan). Separated from their natural mothers, they escape from the camp und run away. But In the end they get captured. They escape again and start a walk towards home. That was a journey of 1500 , across the outback. All the time a fence guides the girls along the right way. This fence was constructed in the early 20th century to keep the rabbits from the east out of the western Australia areas. This adventure shows the outback in a beautiful and mysterious way. This heartbreaking movie describes Australia as a beautiful and powerful country. The three young leads are all Aborigines and untrained actors showing an astonishing performance. The director Phillip Noyce wants to show a film which is fiction based on facts. The screenplay written by Christine Olsen is powerful. Rabbit-proof fence started in UK cinemas in 2002.At 94minutes Rabbit-proof fence is tight and all the time the human story is kept in focus. The film is so lovely because the children never give up their hope and fight! It is amazing and remarkable how they act and with how many emotions the film works! Overall, it is an excellent film, with beautiful imagery and an unforgettable story! ===Film Review – „Rabbit Proof Fence“ by Anna Loh, 9c=== The film “rabbit proof fence” does not only consist of amazing cinematography and a stunning setting but also of great actors. The storyline, based on true incidents, is full of suspense. The film takes place in 1931 in western Australia. Politicians, amongst others Mr. A. O. Neville (Kenneth Branagh), decided to gather up all children of half aboriginal and half European descent in camps, where they were trained to be domestic servants or factory workers. The first scene shows the destiny of three girls, taken away by force from their family and loved ones and put into one of the camps, Moore River, far away from their beloved home. Not wanting to obey the strict rules at Moore River, Molly (Everlyn Sampi) manages to escape, taking her younger sister Daisy (Tianna Sansbury) and her cousin Gracie (Laura Monaghan) with her. As they decide to follow the rabbit proof fence, which measures a length of almost 1500 miles, they are confronted with extreme conditions. Another obstacle to pass is the tracker Moodoo (David Gulpilil) and the authorities, who try to catch them and bring them back to Moore River with help and support of others and the girls’ strong minds they manage to arrive home safely. Director Phillip Noyce and his crew deliver great pictures of the Australian landscape and give the audience an insight in the situation of 1931 in western Australia. His choice of the lead characters couldn’t have been better. The acting is done very convincingly with amazing detail. Although the three main characters have never acted in a movie before, they act very realistically, as if they were the real roles. Cinematographers give us great pictures from a variety of angles which gives the audience great view of each scene. Overall “Rabbit Proof Fence” was a dramatic and heartbreaking film, especially the first scene, showing how awful Aborigines were treated in 1931 and how terrible it can be to lose your loved ones. ===This film rewiev was created by Robin Ort, 9c=== "Rabbit-Proof Fence" a movie with exceptional powerful emotions showing three brave girls on a long walk home through the dry desert of Western Australia. The film is about one of the brutal conflicts between the native population called Aborigines and the white people in the first half of the 20th century. Since 1770, the white settlers arrived by ship, many terrible arguments are reasons for a difficult relationship with violence and suppression. In the end, many Aborigines lost their home, their family, their tribe, their traditions, their freedom and often their life. In the 20th century, mixed-race children, that means that they're offspring of an aboriginal mother and a light-skinned father, were taken into special camps, where they learn to be workers or domestic servants. The three main characters of the film are victims of this terrible circumstance. The script is based on a true story. This fact makes the film far more touching. The leads are Daisy, Gracie and Molly, three aboriginal children between 8 and 14 years and A. O. Neville, chief protector of the aboriginal population. The two sisters Molly and Daisy and their cousin Gracie live with their tribe in touch with nature. Having worked on the rabbit-proof fence, their fathers moved on. Separating Australia, the fence should keep the unwanted rabbit plague on one side and the animals of the farmers on the other side. The three mixed-race girls enjoy their life in freedom, but it will be changing soon. One day, A. O. Neville orders Constable Riggs, one of his men, to take the girls by force to a camp. In A. O. Neville's opinion, he helps the Aborigines by breeding out the dark skin. Even though the girls try to run away, Riggs catches them and they're brought to Moore River Native Settlement. There are nuns and guardians teaching them to live like white people and change their culture. Although the girls are very intimidated and quite puzzled, they can't stand the strict structure and start a successful attempt to escape. Molly decides to lead the two younger girls along the rabbit-proof fence. With Molly's strong, unbroken mind, they're able to walk 1500 miles through the desert back home, tracked by A.O. Neville's (Kenneth Branagh) men. "Rabbit-Proof Fence" gives the people information about a dark political century with many mistakes o the part of the Australian government. The leads' amazing acting is one reason for the success of the movie and many awards. Especially the performances of Everlyn Sampi, Tianna Sansbury and Laura Monaghan playing Molly, Daisy and Gracie are unbelievably awesome, given the fact that they didn't make any experiences with movies before. The director Phillip Noyce, who had success with some other projects before, focuses the content on powerful emotions and the terrible damage caused by A. O. Neville. The story and the acting are supported not only by a haunting soundtrack, but also by appropriate camera angles, field sizes and great lightning. The atmosphere is shown by dramatic sound effects and stunning images. Overall, director, actors and cinematographer made a fantastic film. A strong spirit and a lot of hope and courage fight against violence and unfairness. At the end of the movie there are a few words about the future of the girls and the consequences of the suppression and the destruction of the aboriginal culture. The damage hasn't been removed yet. === Summary === 995 993 2013-02-01T10:41:49Z SpaethJa 63 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' ===Film review: Rabbit-proof fence=== ,,Rabbit-proof fence“ is an emotional story, based on a true history with amazing actors, especially the three newcomer girls playing the leads in this film. In particular this film has shocking facts: In Western Australia in 1931,the government and Chief Protector of the Aborigines, A.O Neville took the half-caste children from their Aboriginal mother and took them to a “training school”, the Moore River Camp. These camps should prepare them for the life in white society. Film focusses on three aboriginal girls, Molly aged 14 (played by Everlyn Sampi), her sister Daisy aged 8 (Tianna Sansbury) and the 10 years old cousin Gracie (played by Laura Monnahan). Separated from their natural mothers, they escape from the camp und run away. But In the end they get captured. They escape again and start a walk towards home. That was a journey of 1500 , across the outback. All the time a fence guides the girls along the right way. This fence was constructed in the early 20th century to keep the rabbits from the east out of the western Australia areas. This adventure shows the outback in a beautiful and mysterious way. This heartbreaking movie describes Australia as a beautiful and powerful country. The three young leads are all Aborigines and untrained actors showing an astonishing performance. The director Phillip Noyce wants to show a film which is fiction based on facts. The screenplay written by Christine Olsen is powerful. Rabbit-proof fence started in UK cinemas in 2002.At 94minutes Rabbit-proof fence is tight and all the time the human story is kept in focus. The film is so lovely because the children never give up their hope and fight! It is amazing and remarkable how they act and with how many emotions the film works! Overall, it is an excellent film, with beautiful imagery and an unforgettable story! ===Film Review – „Rabbit Proof Fence“ by Anna Loh, 9c=== The film “rabbit proof fence” does not only consist of amazing cinematography and a stunning setting but also of great actors. The storyline, based on true incidents, is full of suspense. The film takes place in 1931 in western Australia. Politicians, amongst others Mr. A. O. Neville (Kenneth Branagh), decided to gather up all children of half aboriginal and half European descent in camps, where they were trained to be domestic servants or factory workers. The first scene shows the destiny of three girls, taken away by force from their family and loved ones and put into one of the camps, Moore River, far away from their beloved home. Not wanting to obey the strict rules at Moore River, Molly (Everlyn Sampi) manages to escape, taking her younger sister Daisy (Tianna Sansbury) and her cousin Gracie (Laura Monaghan) with her. As they decide to follow the rabbit proof fence, which measures a length of almost 1500 miles, they are confronted with extreme conditions. Another obstacle to pass is the tracker Moodoo (David Gulpilil) and the authorities, who try to catch them and bring them back to Moore River with help and support of others and the girls’ strong minds they manage to arrive home safely. Director Phillip Noyce and his crew deliver great pictures of the Australian landscape and give the audience an insight in the situation of 1931 in western Australia. His choice of the lead characters couldn’t have been better. The acting is done very convincingly with amazing detail. Although the three main characters have never acted in a movie before, they act very realistically, as if they were the real roles. Cinematographers give us great pictures from a variety of angles which gives the audience great view of each scene. Overall “Rabbit Proof Fence” was a dramatic and heartbreaking film, especially the first scene, showing how awful Aborigines were treated in 1931 and how terrible it can be to lose your loved ones. ===This film rewiev was created by Robin Ort, 9c=== "Rabbit-Proof Fence" a movie with exceptional powerful emotions showing three brave girls on a long walk home through the dry desert of Western Australia. The film is about one of the brutal conflicts between the native population called Aborigines and the white people in the first half of the 20th century. Since 1770, the white settlers arrived by ship, many terrible arguments are reasons for a difficult relationship with violence and suppression. In the end, many Aborigines lost their home, their family, their tribe, their traditions, their freedom and often their life. In the 20th century, mixed-race children, that means that they're offspring of an aboriginal mother and a light-skinned father, were taken into special camps, where they learn to be workers or domestic servants. The three main characters of the film are victims of this terrible circumstance. The script is based on a true story. This fact makes the film far more touching. The leads are Daisy, Gracie and Molly, three aboriginal children between 8 and 14 years and A. O. Neville, chief protector of the aboriginal population. The two sisters Molly and Daisy and their cousin Gracie live with their tribe in touch with nature. Having worked on the rabbit-proof fence, their fathers moved on. Separating Australia, the fence should keep the unwanted rabbit plague on one side and the animals of the farmers on the other side. The three mixed-race girls enjoy their life in freedom, but it will be changing soon. One day, A. O. Neville orders Constable Riggs, one of his men, to take the girls by force to a camp. In A. O. Neville's opinion, he helps the Aborigines by breeding out the dark skin. Even though the girls try to run away, Riggs catches them and they're brought to Moore River Native Settlement. There are nuns and guardians teaching them to live like white people and change their culture. Although the girls are very intimidated and quite puzzled, they can't stand the strict structure and start a successful attempt to escape. Molly decides to lead the two younger girls along the rabbit-proof fence. With Molly's strong, unbroken mind, they're able to walk 1500 miles through the desert back home, tracked by A.O. Neville's (Kenneth Branagh) men. "Rabbit-Proof Fence" gives the people information about a dark political century with many mistakes o the part of the Australian government. The leads' amazing acting is one reason for the success of the movie and many awards. Especially the performances of Everlyn Sampi, Tianna Sansbury and Laura Monaghan playing Molly, Daisy and Gracie are unbelievably awesome, given the fact that they didn't make any experiences with movies before. The director Phillip Noyce, who had success with some other projects before, focuses the content on powerful emotions and the terrible damage caused by A. O. Neville. The story and the acting are supported not only by a haunting soundtrack, but also by appropriate camera angles, field sizes and great lightning. The atmosphere is shown by dramatic sound effects and stunning images. Overall, director, actors and cinematographer made a fantastic film. A strong spirit and a lot of hope and courage fight against violence and unfairness. At the end of the movie there are a few words about the future of the girls and the consequences of the suppression and the destruction of the aboriginal culture. The damage hasn't been removed yet. === Summary === 993 992 2013-02-01T10:38:14Z BurkCe 62 /* Film Review – „Rabbit Proof Fence“ */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' ===Film Review – „Rabbit Proof Fence“ by Anna Loh, 9c=== The film “rabbit proof fence” does not only consist of amazing cinematography and a stunning setting but also of great actors. The storyline, based on true incidents, is full of suspense. The film takes place in 1931 in western Australia. Politicians, amongst others Mr. A. O. Neville (Kenneth Branagh), decided to gather up all children of half aboriginal and half European descent in camps, where they were trained to be domestic servants or factory workers. The first scene shows the destiny of three girls, taken away by force from their family and loved ones and put into one of the camps, Moore River, far away from their beloved home. Not wanting to obey the strict rules at Moore River, Molly (Everlyn Sampi) manages to escape, taking her younger sister Daisy (Tianna Sansbury) and her cousin Gracie (Laura Monaghan) with her. As they decide to follow the rabbit proof fence, which measures a length of almost 1500 miles, they are confronted with extreme conditions. Another obstacle to pass is the tracker Moodoo (David Gulpilil) and the authorities, who try to catch them and bring them back to Moore River with help and support of others and the girls’ strong minds they manage to arrive home safely. Director Phillip Noyce and his crew deliver great pictures of the Australian landscape and give the audience an insight in the situation of 1931 in western Australia. His choice of the lead characters couldn’t have been better. The acting is done very convincingly with amazing detail. Although the three main characters have never acted in a movie before, they act very realistically, as if they were the real roles. Cinematographers give us great pictures from a variety of angles which gives the audience great view of each scene. Overall “Rabbit Proof Fence” was a dramatic and heartbreaking film, especially the first scene, showing how awful Aborigines were treated in 1931 and how terrible it can be to lose your loved ones. ===This film rewiev was created by Robin Ort, 9c=== "Rabbit-Proof Fence" a movie with exceptional powerful emotions showing three brave girls on a long walk home through the dry desert of Western Australia. The film is about one of the brutal conflicts between the native population called Aborigines and the white people in the first half of the 20th century. Since 1770, the white settlers arrived by ship, many terrible arguments are reasons for a difficult relationship with violence and suppression. In the end, many Aborigines lost their home, their family, their tribe, their traditions, their freedom and often their life. In the 20th century, mixed-race children, that means that they're offspring of an aboriginal mother and a light-skinned father, were taken into special camps, where they learn to be workers or domestic servants. The three main characters of the film are victims of this terrible circumstance. The script is based on a true story. This fact makes the film far more touching. The leads are Daisy, Gracie and Molly, three aboriginal children between 8 and 14 years and A. O. Neville, chief protector of the aboriginal population. The two sisters Molly and Daisy and their cousin Gracie live with their tribe in touch with nature. Having worked on the rabbit-proof fence, their fathers moved on. Separating Australia, the fence should keep the unwanted rabbit plague on one side and the animals of the farmers on the other side. The three mixed-race girls enjoy their life in freedom, but it will be changing soon. One day, A. O. Neville orders Constable Riggs, one of his men, to take the girls by force to a camp. In A. O. Neville's opinion, he helps the Aborigines by breeding out the dark skin. Even though the girls try to run away, Riggs catches them and they're brought to Moore River Native Settlement. There are nuns and guardians teaching them to live like white people and change their culture. Although the girls are very intimidated and quite puzzled, they can't stand the strict structure and start a successful attempt to escape. Molly decides to lead the two younger girls along the rabbit-proof fence. With Molly's strong, unbroken mind, they're able to walk 1500 miles through the desert back home, tracked by A.O. Neville's (Kenneth Branagh) men. "Rabbit-Proof Fence" gives the people information about a dark political century with many mistakes o the part of the Australian government. The leads' amazing acting is one reason for the success of the movie and many awards. Especially the performances of Everlyn Sampi, Tianna Sansbury and Laura Monaghan playing Molly, Daisy and Gracie are unbelievably awesome, given the fact that they didn't make any experiences with movies before. The director Phillip Noyce, who had success with some other projects before, focuses the content on powerful emotions and the terrible damage caused by A. O. Neville. The story and the acting are supported not only by a haunting soundtrack, but also by appropriate camera angles, field sizes and great lightning. The atmosphere is shown by dramatic sound effects and stunning images. Overall, director, actors and cinematographer made a fantastic film. A strong spirit and a lot of hope and courage fight against violence and unfairness. At the end of the movie there are a few words about the future of the girls and the consequences of the suppression and the destruction of the aboriginal culture. The damage hasn't been removed yet. === Summary === 992 991 2013-02-01T10:37:22Z BurkCe 62 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' ===Film Review – „Rabbit Proof Fence“=== The film “rabbit proof fence” does not only consist of amazing cinematography and a stunning setting but also of great actors. The storyline, based on true incidents, is full of suspense. The film takes place in 1931 in western Australia. Politicians, amongst others Mr. A. O. Neville (Kenneth Branagh), decided to gather up all children of half aboriginal and half European descent in camps, where they were trained to be domestic servants or factory workers. The first scene shows the destiny of three girls, taken away by force from their family and loved ones and put into one of the camps, Moore River, far away from their beloved home. Not wanting to obey the strict rules at Moore River, Molly (Everlyn Sampi) manages to escape, taking her younger sister Daisy (Tianna Sansbury) and her cousin Gracie (Laura Monaghan) with her. As they decide to follow the rabbit proof fence, which measures a length of almost 1500 miles, they are confronted with extreme conditions. Another obstacle to pass is the tracker Moodoo (David Gulpilil) and the authorities, who try to catch them and bring them back to Moore River with help and support of others and the girls’ strong minds they manage to arrive home safely. Director Phillip Noyce and his crew deliver great pictures of the Australian landscape and give the audience an insight in the situation of 1931 in western Australia. His choice of the lead characters couldn’t have been better. The acting is done very convincingly with amazing detail. Although the three main characters have never acted in a movie before, they act very realistically, as if they were the real roles. Cinematographers give us great pictures from a variety of angles which gives the audience great view of each scene. Overall “Rabbit Proof Fence” was a dramatic and heartbreaking film, especially the first scene, showing how awful Aborigines were treated in 1931 and how terrible it can be to lose your loved ones. ===This film rewiev was created by Robin Ort, 9c=== "Rabbit-Proof Fence" a movie with exceptional powerful emotions showing three brave girls on a long walk home through the dry desert of Western Australia. The film is about one of the brutal conflicts between the native population called Aborigines and the white people in the first half of the 20th century. Since 1770, the white settlers arrived by ship, many terrible arguments are reasons for a difficult relationship with violence and suppression. In the end, many Aborigines lost their home, their family, their tribe, their traditions, their freedom and often their life. In the 20th century, mixed-race children, that means that they're offspring of an aboriginal mother and a light-skinned father, were taken into special camps, where they learn to be workers or domestic servants. The three main characters of the film are victims of this terrible circumstance. The script is based on a true story. This fact makes the film far more touching. The leads are Daisy, Gracie and Molly, three aboriginal children between 8 and 14 years and A. O. Neville, chief protector of the aboriginal population. The two sisters Molly and Daisy and their cousin Gracie live with their tribe in touch with nature. Having worked on the rabbit-proof fence, their fathers moved on. Separating Australia, the fence should keep the unwanted rabbit plague on one side and the animals of the farmers on the other side. The three mixed-race girls enjoy their life in freedom, but it will be changing soon. One day, A. O. Neville orders Constable Riggs, one of his men, to take the girls by force to a camp. In A. O. Neville's opinion, he helps the Aborigines by breeding out the dark skin. Even though the girls try to run away, Riggs catches them and they're brought to Moore River Native Settlement. There are nuns and guardians teaching them to live like white people and change their culture. Although the girls are very intimidated and quite puzzled, they can't stand the strict structure and start a successful attempt to escape. Molly decides to lead the two younger girls along the rabbit-proof fence. With Molly's strong, unbroken mind, they're able to walk 1500 miles through the desert back home, tracked by A.O. Neville's (Kenneth Branagh) men. "Rabbit-Proof Fence" gives the people information about a dark political century with many mistakes o the part of the Australian government. The leads' amazing acting is one reason for the success of the movie and many awards. Especially the performances of Everlyn Sampi, Tianna Sansbury and Laura Monaghan playing Molly, Daisy and Gracie are unbelievably awesome, given the fact that they didn't make any experiences with movies before. The director Phillip Noyce, who had success with some other projects before, focuses the content on powerful emotions and the terrible damage caused by A. O. Neville. The story and the acting are supported not only by a haunting soundtrack, but also by appropriate camera angles, field sizes and great lightning. The atmosphere is shown by dramatic sound effects and stunning images. Overall, director, actors and cinematographer made a fantastic film. A strong spirit and a lot of hope and courage fight against violence and unfairness. At the end of the movie there are a few words about the future of the girls and the consequences of the suppression and the destruction of the aboriginal culture. The damage hasn't been removed yet. === Summary === 991 987 2013-02-01T10:32:17Z PantleMi 56 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' ===This film rewiev was created by Robin Ort, 9c=== "Rabbit-Proof Fence" a movie with exceptional powerful emotions showing three brave girls on a long walk home through the dry desert of Western Australia. The film is about one of the brutal conflicts between the native population called Aborigines and the white people in the first half of the 20th century. Since 1770, the white settlers arrived by ship, many terrible arguments are reasons for a difficult relationship with violence and suppression. In the end, many Aborigines lost their home, their family, their tribe, their traditions, their freedom and often their life. In the 20th century, mixed-race children, that means that they're offspring of an aboriginal mother and a light-skinned father, were taken into special camps, where they learn to be workers or domestic servants. The three main characters of the film are victims of this terrible circumstance. The script is based on a true story. This fact makes the film far more touching. The leads are Daisy, Gracie and Molly, three aboriginal children between 8 and 14 years and A. O. Neville, chief protector of the aboriginal population. The two sisters Molly and Daisy and their cousin Gracie live with their tribe in touch with nature. Having worked on the rabbit-proof fence, their fathers moved on. Separating Australia, the fence should keep the unwanted rabbit plague on one side and the animals of the farmers on the other side. The three mixed-race girls enjoy their life in freedom, but it will be changing soon. One day, A. O. Neville orders Constable Riggs, one of his men, to take the girls by force to a camp. In A. O. Neville's opinion, he helps the Aborigines by breeding out the dark skin. Even though the girls try to run away, Riggs catches them and they're brought to Moore River Native Settlement. There are nuns and guardians teaching them to live like white people and change their culture. Although the girls are very intimidated and quite puzzled, they can't stand the strict structure and start a successful attempt to escape. Molly decides to lead the two younger girls along the rabbit-proof fence. With Molly's strong, unbroken mind, they're able to walk 1500 miles through the desert back home, tracked by A.O. Neville's (Kenneth Branagh) men. "Rabbit-Proof Fence" gives the people information about a dark political century with many mistakes o the part of the Australian government. The leads' amazing acting is one reason for the success of the movie and many awards. Especially the performances of Everlyn Sampi, Tianna Sansbury and Laura Monaghan playing Molly, Daisy and Gracie are unbelievably awesome, given the fact that they didn't make any experiences with movies before. The director Phillip Noyce, who had success with some other projects before, focuses the content on powerful emotions and the terrible damage caused by A. O. Neville. The story and the acting are supported not only by a haunting soundtrack, but also by appropriate camera angles, field sizes and great lightning. The atmosphere is shown by dramatic sound effects and stunning images. Overall, director, actors and cinematographer made a fantastic film. A strong spirit and a lot of hope and courage fight against violence and unfairness. At the end of the movie there are a few words about the future of the girls and the consequences of the suppression and the destruction of the aboriginal culture. The damage hasn't been removed yet. === Summary === 987 978 2013-02-01T10:26:59Z HeermannMm 60 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!''l === Summary === 978 977 2013-01-31T12:53:21Z RoemleinJh 55 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' === Summary === 977 976 2013-01-31T12:51:20Z RoemleinJh 55 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === ''The following film reviews are open to constructive discussion! Just select the "discussion" - tab!'' === Summary === 976 975 2013-01-31T12:50:35Z RoemleinJh 55 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === The following film reviews are open to constructive discussion! Just select the "discussion" - tab! === Summary === 975 963 2013-01-31T12:09:16Z RoemleinJh 55 /* Film review */ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === The following film reviews are open for constructive discussion! Just select the "discussion" - tab! === Summary === 963 2013-01-21T08:01:05Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „ == Rabbit-Proof Fence == === Film review === === Summary ===“ wikitext text/x-wiki == Rabbit-Proof Fence == === Film review === === Summary === 0 200 735 734 2012-07-19T08:00:43Z F.Bittermann 3 Änderung 734 von [[Special:Contributions/Rennmaus|Rennmaus]] ([[User talk:Rennmaus|Diskussion]]) rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki [[Mathekurs Bittermann]] [[Mathekurs Dold]] == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:F.Bittermann|F.Bittermann]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} 734 614 2012-07-18T06:26:30Z Rennmaus 37 wikitext text/x-wiki [[Mathekurs Bittermann]] [[Mathekurs Dold]] [http://www.yourfirm.de/s/?o=score&switch=S&name=&plz=&dist=50&x=45&y=8&Dein_Studium=18 Jobs zum Thema Mathematik] == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:F.Bittermann|F.Bittermann]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} 614 610 2012-03-14T23:26:53Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Mathekurs Bittermann]] [[Mathekurs Dold]] == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. 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Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:F.Bittermann|F.Bittermann]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} 565 2012-03-07T07:44:15Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „[[Mathekurs Bittermann]] [[Mathekurs Dold]]“ wikitext text/x-wiki [[Mathekurs Bittermann]] [[Mathekurs Dold]] 0 203 604 603 2012-03-10T14:34:27Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki ==== Vorgehensweise ==== Als Erstes muss man die Bedingungen, die das Schaubild aufweist, herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> <br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <br /> Die gegebenen Bedinungen werden in die Gleichung eingesetzt.<br /> Anschließend kann man das Gleichungssystem in die Form des [[Gauß-Algorithmus]] umschreiben und mit dem GTR lösen. <br /> ==== Anwendungsbeispiel ==== <br /> Gegebene Eigenschaften:<br /> 1) Der Graph ist eine ganzrationale Funktion des 3. Grades.<br /> 2) Der Graph verläuft durch den Ursprung.<br /> 3) Er hat die Nullstellen x₁ = -2 und x₂ = 4.<br /> 4) An der Stelle x = 2 hat die Tangente die Steigung m = -2.<br /> <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <math>f'(x)=3ax^2+2bx+c</math> <br /> <br /> <math>f(0)=a \cdot 0^3+ b \cdot 0^2+ c \cdot 0 + d = 0</math><br /> <math>f(-2)=a \cdot -2^3+ b \cdot -2^2+ c \cdot -2 + d = 0 </math><br /> <math>f(4)=a \cdot 4^3+ b \cdot 4^2+ c \cdot 4 + d = 0</math><br /> <math>f'(2)=3 \cdot a \cdot 2^2+ 2 \cdot b \cdot 2 + c = 2</math><br /> <br /> Daraus Folgt:<br /> {| class="wikitable" !a!!b!!c!!d!! |- | -8 || 4 || -2 || 1 || 0 |- | 64 || 16 || 4 || 1 || 0 |- | 48 ||8 ||1 || 0 || -2 |} <br /> Der GTR gibt dann folgendes Ergebnis aus:<br /> <math>a= -\frac{1}{12}; b= \frac{1}{6}; c= \frac{2}{3}; d=0</math><br /> Jetzt muss man nur noch die Buchstaben durch die Zahlen ersetzen.<br /> Die endgültige Funktion lautet:<br /> <math>f(x)= -\frac{1}{12} x^3 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{2}{3} c + 0</math><br /> 603 602 2012-03-10T14:34:00Z Mn.Lochmann 8 /* Vorgehensweise */ wikitext text/x-wiki ==== Vorgehensweise ==== Als Erstes muss man die Bedingungen, die das Schaubild aufweist, herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> <br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <br /> Die gegebenen Bedinungen werden in die Gleichung eingesetzt.<br /> Anschließend kann man das Gleichungssystem in die Form des [[Gauß-Algorithmus]] umschreiben und mit dem GTR lösen. <br /> ==== Anwendungsbeispiel ==== <br /> Gegebene Eigenschaften:<br /> 1) Der Graph ist eine ganzrationale Funktion des 3. Grades.<br /> 2) Der Graph verläuft durch den Ursprung.<br /> 3) Er hat die Nullstellen x₁ = -2 und x₂ = 4.<br /> 4) An der Stelle x = 2 hat die Tangente die Steigung m = -2.<br /> <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <math>f'(x)=3ax^2+2bx+c</math> <br /> <math>f(0)=a \cdot 0^3+ b \cdot 0^2+ c \cdot 0 + d = 0</math><br /> <math>f(-2)=a \cdot -2^3+ b \cdot -2^2+ c \cdot -2 + d = 0 </math><br /> <math>f(4)=a \cdot 4^3+ b \cdot 4^2+ c \cdot 4 + d = 0</math><br /> <math>f'(2)=3 \cdot a \cdot 2^2+ 2 \cdot b \cdot 2 + c = 2</math><br /> <br /> Daraus Folgt:<br /> {| class="wikitable" !a!!b!!c!!d!! |- | -8 || 4 || -2 || 1 || 0 |- | 64 || 16 || 4 || 1 || 0 |- | 48 ||8 ||1 || 0 || -2 |} <br /> Der GTR gibt dann folgendes Ergebnis aus:<br /> <math>a= -\frac{1}{12}; b= \frac{1}{6}; c= \frac{2}{3}; d=0</math><br /> Jetzt muss man nur noch die Buchstaben durch die Zahlen ersetzen.<br /> Die endgültige Funktion lautet:<br /> <math>f(x)= -\frac{1}{12} x^3 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{2}{3} c + 0</math><br /> 602 601 2012-03-10T14:33:07Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki ==== Vorgehensweise ==== Als Erstes muss man die Bedingungen die das Schaubild aufweist herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> <br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <br /> Die gegebenen Bedinungen werden in die Gleichung eingesetzt.<br /> Anschließend kann man das Gleichungssystem in die Form des [[Gauß-Algorithmus]] umschreiben und mit dem GTR lösen. <br /> ==== Anwendungsbeispiel ==== <br /> Gegebene Eigenschaften:<br /> 1) Der Graph ist eine ganzrationale Funktion des 3. Grades.<br /> 2) Der Graph verläuft durch den Ursprung.<br /> 3) Er hat die Nullstellen x₁ = -2 und x₂ = 4.<br /> 4) An der Stelle x = 2 hat die Tangente die Steigung m = -2.<br /> <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <math>f'(x)=3ax^2+2bx+c</math> <br /> <math>f(0)=a \cdot 0^3+ b \cdot 0^2+ c \cdot 0 + d = 0</math><br /> <math>f(-2)=a \cdot -2^3+ b \cdot -2^2+ c \cdot -2 + d = 0 </math><br /> <math>f(4)=a \cdot 4^3+ b \cdot 4^2+ c \cdot 4 + d = 0</math><br /> <math>f'(2)=3 \cdot a \cdot 2^2+ 2 \cdot b \cdot 2 + c = 2</math><br /> <br /> Daraus Folgt:<br /> {| class="wikitable" !a!!b!!c!!d!! |- | -8 || 4 || -2 || 1 || 0 |- | 64 || 16 || 4 || 1 || 0 |- | 48 ||8 ||1 || 0 || -2 |} <br /> Der GTR gibt dann folgendes Ergebnis aus:<br /> <math>a= -\frac{1}{12}; b= \frac{1}{6}; c= \frac{2}{3}; d=0</math><br /> Jetzt muss man nur noch die Buchstaben durch die Zahlen ersetzen.<br /> Die endgültige Funktion lautet:<br /> <math>f(x)= -\frac{1}{12} x^3 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{2}{3} c + 0</math><br /> 601 600 2012-03-10T14:31:48Z Mn.Lochmann 8 /* Anwendungsbeispiel */ wikitext text/x-wiki ==== Vorgehensweise ==== Als Erstes muss man die Bedingungen die das Schaubild aufweist herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> <br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <br /> Die gegebenen Bedinungen werden in die Gleichung eingesetzt.<br /> Anschließend kann man das Gleichungssystem in die Form des [[Gauß-Algorithmus]] umschreiben und mit dem GTR lösen. <br /> ==== Anwendungsbeispiel ==== <br /> Gegebene Eigenschaften:<br /> 1) Der Graph ist eine ganzrationale Funktion des 3. Grades.<br /> 2) Der Graph verläuft durch den Ursprung.<br /> 3) Er hat die Nullstellen x₁ = -2 und x₂ = 4.<br /> 4) An der Stelle x = 2 hat die Tangente die Steigung m = -2.<br /> <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <math>f'(x)=3ax^2+2bx+c</math> <br /> <math>f(0)=a \cdot 0^3+ b \cdot 0^2+ c \cdot 0 + d = 0</math><br /> <math>f(-2)=a \cdot -2^3+ b \cdot -2^2+ c \cdot -2 + d = 0 </math><br /> <math>f(4)=a \cdot 4^3+ b \cdot 4^2+ c \cdot 4 + d = 0</math><br /> <math>f'(2)=3 \cdot a \cdot 2^2+ 2 \cdot b \cdot 2 + c = 2</math><br /> <br /> Daraus Folgt:<br /> {| class="wikitable sortable" !a!!b!!c!!d!! |- | -8 || 4 || -2 || 1 || 0 |- | 64 || 16 || 4 || 1 || 0 |- | 48 ||8 ||1 || 0 || -2 |} <br /> Der GTR gibt dann folgendes Ergebnis aus:<br /> <math>a= -\frac{1}{12}; b= \frac{1}{6}; c= \frac{2}{3}; d=0</math><br /> Jetzt muss man nur noch die Buchstaben durch die Zahlen ersetzen.<br /> Die endgültige Funktion lautet:<br /> <math>f(x)= -\frac{1}{12} x^3 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{2}{3} c + 0</math><br /> 600 599 2012-03-10T14:31:03Z Mn.Lochmann 8 /* Vorgehensweise */ wikitext text/x-wiki ==== Vorgehensweise ==== Als Erstes muss man die Bedingungen die das Schaubild aufweist herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> <br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <br /> Die gegebenen Bedinungen werden in die Gleichung eingesetzt.<br /> Anschließend kann man das Gleichungssystem in die Form des [[Gauß-Algorithmus]] umschreiben und mit dem GTR lösen. <br /> ==== Anwendungsbeispiel ==== <br /> Gegebene Eigenschaften:<br /> 1) Der Graph ist eine ganzrationale Funktion des 3. Grades.<br /> 2) Der Graph verläuft durch den Ursprung.<br /> 3) Er hat die Nullstellen x₁ = -2 und x₂ = 4.<br /> 4) An der Stelle x = 2 hat die Tangente die Steigung m = -2.<br /> <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <math>f'(x)=3ax^2+2bx+c</math> <br /> <math>f(0)=a \cdot 0^3+ b \cdot 0^2+ c \cdot 0 + d = 0</math><br /> <math>f(-2)=a \cdot -2^3+ b \cdot -2^2+ c \cdot -2 + d = 0 </math><br /> <math>f(4)=a \cdot 4^3+ b \cdot 4^2+ c \cdot 4 + d = 0</math><br /> <math>f'(2)=3 \cdot a \cdot 2^2+ 2 \cdot b \cdot 2 + c = 2</math><br /> <br /> Daraus Folgt:<br /> {| class="wikitable sortable" !a!!b!!c!!d!! |- | -8 || 4 || -2 || 1 || 0 |- | 64 || 16 || 4 || 1 || 0 |- | 48 ||8 ||1 || 0 || -2 |} <br /> Der GTR gibt dann folgendes Ergebnis aus:<br /> <math>a= -\frac{1}{12}; b= \frac{1}{6}; c= \frac{2}{3}; d=0</math><br /> Jetzt muss man nur noch die Buchstaben durch die Zahlen ersetzen:<br /> <math>f(x)= -\frac{1}{12} x^3 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{2}{3} c + 0</math><br /> 599 598 2012-03-10T14:05:19Z Mn.Lochmann 8 wikitext text/x-wiki === Vorgehensweise === Als Erstes muss man die Bedingungen die das Schaubild aufweist herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> <br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <br /> Die gegebenen Bedinungen werden in die Gleichung eingesetzt.<br /> Anschließend kann man das Gleichungssystem in die Form des Gauß-Algorithmus umschreiben und mit dem GTR lösen. 598 597 2012-03-10T14:04:39Z Mn.Lochmann 8 wikitext text/x-wiki === Vorgehensweise === Als erstes muss man die Bedingungen die das Schaubild aufweist herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> <br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math><br /> <br /> Die gegebenen Bedinungen werden in die Gleichung eingesetzt.<br /> Anschließend kann man das Gleichungssystem in die Form des Gauß-Algorithmus umschreiben und mit dem GTR lösen. 597 2012-03-10T14:00:23Z Mn.Lochmann 8 Die Seite wurde neu angelegt: „Als erstes muss man die Bedingungen die das Schaubild aufweist herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> Anschließend mu…“ wikitext text/x-wiki Als erstes muss man die Bedingungen die das Schaubild aufweist herausfinden. <br /> Dazu gehören Koordinaten, Extrempunkte und Nullpunkte.<br /> Anschließend muss ein Graph des richtigen Grades gefunden werden. Falls dieser nicht gegeben ist muss man ihn raten.<br /> Anschließend wird die Normalfunktion aufgeschrieben. Z.B.: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> 0 457 1655 1654 2015-12-11T09:55:42Z PetermannNe 10007 /* Kriterien für Extremstellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung (Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x_E)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel von f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. ===Beispiel=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3+1</math> <br /> <math>f'(x)=-\frac{1}{2}x^3-x^2</math> '''notwendige Bedingung:''' <math>f'(x_0)=0</math> <br /> <math>-\frac{1}{2}x^3-x^2=0 \quad |x^2 \quad ausklammern </math> <br /> <math>x^2\cdot\left(- \frac{1}{2}x-1\right)=0</math> <br /> <math>x_1=0 </math> <br /> <math>x_2=-2</math> '''hinreichende Bedingung:''' <br /> '''schwache Bedingung:''' <math>f''(x)\not= 0 </math> <br /> <math> f''(x)= -\frac{3}{2}x^2-2x </math> <br /> Untersuchung für x=0: <br /> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1= 0 \quad </math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(1)=(-1)^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot1-1\right)=-\frac{1}{2} </math> <br /> <math>f'(-1)=1^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot1-1\right)=-\frac{1}{2} </math> <br /> → kein Vorzeichenwechsel also kein Extrema! <br /> Untersuchung für <math>x=(-2)</math>: <br /> <math>f''(-2)=-2<0</math> <br /> → '''Hochpunkt''' bei <math>H(-2;f(-2))</math> <br /> ===Aufgabe=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=x^4-11</math> <br /> <popup name="Lösung"> <math>f'(x)=4x^3</math> <br /> <math>f'(x_0)=0</math> <br \> <math>x_1=0</math> <br \> <math>f''(x)=12x^2</math> <br /> '''schwache Bedingung:''' <br \> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1= 0 \quad </math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(-1)=-4</math> <br /> <math>f'(1)=4 </math> <br /> → Vorzeichenwechsel an der Stelle x=0 <br \> → '''Tiefpunkt'''(da Vorzeichenwechsel von - nach +) <br \> </popup> == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x_w)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Ist der Wert kleiner als 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Ist der Wert größer als 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> Wenn <math>f'''(x)>0</math>, dann ist bei <math>x</math> eine Rechts-Links-Wendestelle und wenn <math>f'''(x)<0</math>, dann ist x eine Links-Rechts-Wendestelle. <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei <math>x=1</math> befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich <math>W(1|0)</math>. Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> d39f229ae0226e0cca75613085bc2804fe43e2a4 1654 1653 2015-12-11T09:54:45Z PetermannNe 10007 /* Kriterien für Extremstellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung (Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x_E)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel von f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. ===Beispiel=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3+1</math> <br /> <math>f'(x)=-\frac{1}{2}x^3-x^2</math> '''notwendige Bedingung:''' <math>f'(x_0)=0</math> <br /> <math>-\frac{1}{2}x^3-x^2=0 \quad |x^2 \quad ausklammern </math> <br /> <math>x^2\cdot\left(- \frac{1}{2}x-1\right)=0</math> <br /> <math>x_1=0 </math> <br /> <math>x_2=-2</math> '''hinreichende Bedingung:''' <br /> '''schwache Bedingung:''' <math>f''(x)\not= 0 </math> <br /> <math> f''(x)= -\frac{3}{2}x^2-2x </math> <br /> Untersuchung für x=0: <br /> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1= 0 \quad </math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(1)=(-1)^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot1-1\right)=-\frac{1}{2} </math> <br /> <math>f'(-1)=1^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot1-1\right)=-\frac{1}{2} </math> <br /> → kein Vorzeichenwechsel also kein Extrema! <br /> Untersuchung für <math>x=(-2)</math>: <br /> <math>f''(-2)=-2<0</math> <br /> → Hochpunkt bei <math>H(-2;f(-2))</math> <br /> ===Aufgabe=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=x^4-11</math> <br /> <popup name="Lösung"> <math>f'(x)=4x^3</math> <br /> <math>f'(x_0)=0</math> <math>x_1=0</math> <br \> <math>f''(x)=12x^2</math> <br /> '''schwache Bedingung:''' <br \> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1= 0 \quad </math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(-1)=-4</math> <br /> <math>f'(1)=4 </math> <br /> → Vorzeichenwechsel an der Stelle x=0 <br \> → '''Tiefpunkt'''(da Vorzeichenwechsel von - nach +) <br \> </popup> == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x_w)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Ist der Wert kleiner als 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Ist der Wert größer als 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> Wenn <math>f'''(x)>0</math>, dann ist bei <math>x</math> eine Rechts-Links-Wendestelle und wenn <math>f'''(x)<0</math>, dann ist x eine Links-Rechts-Wendestelle. <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei <math>x=1</math> befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich <math>W(1|0)</math>. Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> d753db33a8cd29b6f556b4f1baaf4013e9e40ab1 1653 1650 2015-12-11T09:51:53Z CanigliaCn 10011 /* Kriterien für Wendestellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung (Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x_E)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel von f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. ===Beispiel=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3+1</math> <br /> <math>f'(x)=-\frac{1}{2}x^3-x^2</math> '''notwendige Bedingung:''' <math>f'(x_0)=0</math> <br /> <math>-\frac{1}{2}x^3-x^2=0 \quad |x^2 \quad ausklammern </math> <br /> <math>x^2\cdot\left(- \frac{1}{2}x-1\right)=0</math> <br /> <math>x_1=0 </math> <br /> <math>x_2=-2</math> '''hinreichende Bedingung:''' <br /> '''schwache Bedingung:''' <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> <math> f''(x)= -\frac{3}{2}x^2-2x </math> <br /> Untersuchung für x=0: <br /> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1=0</math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(1)=(-1)^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> <math>f'(-1)=1^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot1-1\right)=-\frac{1}{2} </math> <br /> → kein Vorzeichenwechsel also kein Extrema! <br /> Untersuchung für <math>x=(-2)</math>: <br /> <math>f''(-2)=-2<0</math> <br /> → Hochpunkt bei <math>H(-2;f(-2))</math> <br /> ===Aufgabe=== Bestimme die Extrema der Funktion <math>f(x)=x^4-11</math> <br /> <popup name="Lösung"> <math>f'(x)=4x^3</math> <br /> <math>f'(x_0)=0</math> <math>f''(x)=12x^2</math> <br /> </popup> == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x_w)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Ist der Wert kleiner als 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Ist der Wert größer als 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> Wenn <math>f'''(x)>0</math>, dann ist bei <math>x</math> eine Rechts-Links-Wendestelle und wenn <math>f'''(x)<0</math>, dann ist x eine Links-Rechts-Wendestelle. <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei <math>x=1</math> befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich <math>W(1|0)</math>. Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> b4d82251d49cb51e381d111244598e2919d57e6f 1650 1649 2015-12-11T09:44:31Z PetermannNe 10007 /* Kriterien für Extremstellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung (Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x_E)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel von f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. ===Beispiel=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3+1</math> <br /> <math>f'(x)=-\frac{1}{2}x^3-x^2</math> '''notwendige Bedingung:''' <math>f'(x_0)=0</math> <br /> <math>-\frac{1}{2}x^3-x^2=0 \quad |x^2 \quad ausklammern </math> <br /> <math>x^2\cdot\left(- \frac{1}{2}x-1\right)=0</math> <br /> <math>x_1=0 </math> <br /> <math>x_2=-2</math> '''hinreichende Bedingung:''' <br /> '''schwache Bedingung:''' <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> <math> f''(x)= -\frac{3}{2}x^2-2x </math> <br /> Untersuchung für x=0: <br /> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1=0</math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(1)=(-1)^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> <math>f'(-1)=1^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot1-1\right)=-\frac{1}{2} </math> <br /> → kein Vorzeichenwechsel also kein Extrema! <br /> Untersuchung für <math>x=(-2)</math>: <br /> <math>f''(-2)=-2<0</math> <br /> → Hochpunkt bei <math>H(-2;f(-2))</math> <br /> ===Aufgabe=== Bestimme die Extrema der Funktion <math>f(x)=x^4-11</math> <br /> <popup name="Lösung"> <math>f'(x)=4x^3</math> <br /> <math>f'(x_0)=0</math> <math>f''(x)=12x^2</math> <br /> </popup> == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> Wenn <math>f'''(x)>0</math>, dann ist bei <math>x</math> eine Rechts-Links-Wendestelle und wenn <math>f'''(x)<0</math>, dann ist x eine Links-Rechts-Wendestelle. <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei <math>x=1</math> befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich <math>W(1|0)</math>. Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> 31de39d3a0474ff003a8a81505e2c69eeb106257 1649 1647 2015-12-11T09:44:23Z CanigliaCn 10011 /* Kriterien für Wendestellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung (Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. ===Beispiel=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3+1</math> <br /> <math>f'(x)=-\frac{1}{2}x^3-x^2</math> '''notwendige Bedingung:''' <math>f'(x_0)=0</math> <br /> <math>-\frac{1}{2}x^3-x^2=0 \quad |x^2 ausklammern </math> <br /> <math>x^2*(- \frac{1}{2}x-1)=0</math> <br /> <math>x_1=0 </math> <br /> <math>x_2=-2</math> '''hinreichende Bedingung:''' <br /> '''schwache Bedingung:''' <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> <math> f''(x)= -\frac{3}{2}x2-2x </math> <br /> Untersuchung für x=0: <br /> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1=0</math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(1)=(-1)^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> <math>f'(-1)=1^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> → kein Vorzeichenwechsel also kein Extrema! <br /> Untersuchung für <math>x=(-2)</math>: <br /> <math>f''(-2)=-2<0</math> <br /> → Hochpunkt bei <math>H(-2/f(-2))</math> <br /> ===Aufgabe=== Bestimme die Extrema der Funktion <math>f(x)=x^4-11</math> <br /> <popup name="Lösung"> <math>f'(x)=4x^3</math> <br /> <math>f'(x_0)=0</math> <math>f''(x)=12x^2</math> <br /> </popup> == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> Wenn <math>f'''(x)>0</math>, dann ist bei <math>x</math> eine Rechts-Links-Wendestelle und wenn <math>f'''(x)<0</math>, dann ist x eine Links-Rechts-Wendestelle. <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei <math>x=1</math> befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich <math>W(1|0)</math>. Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> 393e914517933a6433cade37046ccc1d5682c8d7 1647 1646 2015-12-11T09:39:55Z PetermannNe 10007 wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung (Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. ===Beispiel=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3+1</math> <br /> <math>f'(x)=-\frac{1}{2}x^3-x^2</math> '''notwendige Bedingung:''' <math>f'(x_0)=0</math> <br /> <math>-\frac{1}{2}x^3-x^2=0 \quad |x^2 ausklammern </math> <br /> <math>x^2*(- \frac{1}{2}x-1)=0</math> <br /> <math>x_1=0 </math> <br /> <math>x_2=-2</math> '''hinreichende Bedingung:''' <br /> '''schwache Bedingung:''' <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> <math> f''(x)= -\frac{3}{2}x2-2x </math> <br /> Untersuchung für x=0: <br /> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1=0</math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(1)=(-1)^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> <math>f'(-1)=1^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> → kein Vorzeichenwechsel also kein Extrema! <br /> Untersuchung für <math>x=(-2)</math>: <br /> <math>f''(-2)=-2<0</math> <br /> → Hochpunkt bei <math>H(-2/f(-2))</math> <br /> ===Aufgabe=== Bestimme die Extrema der Funktion <math>f(x)=x^4-11</math> <br /> <popup name="Lösung"> <math>f'(x)=4x^3</math> <br /> <math>f'(x_0)=0</math> <math>f''(x)=12x^2</math> <br /> </popup> == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei x = 1 befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich W(1|0). Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> 1879eb358eb1f5771cf86c9f5ed5280169545ba9 1646 1645 2015-12-11T09:37:22Z PetermannNe 10007 /* Kriterien für Extremstellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. ===Beispiel=== Bestimme die Extremstellen der Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{3}x^3+1</math> <br /> <math>f'(x)=-\frac{1}{2}x^3-x^2</math> '''notwendige Bedingung:''' <math>f'(x_0)=0</math> <br /> <math>-\frac{1}{2}x^3-x^2=0 \quad |x^2 ausklammern </math> <br /> <math>x^2*(- \frac{1}{2}x-1)=0</math> <br /> <math>x_1=0 </math> <br /> <math>x_2=-2</math> '''hinreichende Bedingung:''' <br /> '''schwache Bedingung:''' <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> <math> f''(x)= -\frac{3}{2}x2-2x </math> <br /> Untersuchung für x=0: <br /> <math> f''(0)=0 </math> → schwache Bedingung für <math>x_1=0</math> nicht erfüllt! <br /> '''starke Bedingung:''' <math>f'(1)=(-1)^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> <math>f'(-1)=1^2*(-\frac{1}{2}*1-1)=-\frac{1}{2} </math> <br /> → kein Vorzeichenwechsel also kein Extrema! <br /> Untersuchung für <math>x=(-2)</math>: <br /> <math>f''(-2)=-2<0</math> <br /> → Hochpunkt bei <math>H(-2/f(-2))</math> <br /> ===Aufgabe=== Bestimme die Extrema der Funktion <math>f(x)=x^4-11</math> <br /> <popup name="Lösung"> <math>f'(x)=4x^3</math> <br /> <math>f'(x_0)=0</math> <math>f''(x)=12x^2</math> <br /> </popup> == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei x = 1 befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich W(1|0). Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> bd0028b729a9f16e7be66201574fadad7c55cf1a 1645 1643 2015-12-11T09:37:13Z CanigliaCn 10011 /* Kriterien für Wendestellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. === !in Bearbeitung! === == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: <math>f'(x)=0</math> <math>f''(x)\not=0</math> <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> Wir benötigen die erste Ableitung, um die zweite zu bilden: <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> Wir bilden die zweite Ableitung: <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null: <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> Bei x = 1 befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen: <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0\rightarrow W(1|0)</math> Unser Wendpunkt ist folglich W(1|0). Noch schnell die dritte Ableitung überprüfen, dass die auch nicht Null wird: <math>f'''(x)={2\over3}>0\rightarrow Rechts-Links-Wendepunkt</math> == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> a7b6ad51849022266d79110aa1190f132543ec6c 1643 1642 2015-12-11T09:26:15Z NeumannLn 10008 /* vollständige Kurvendiskussion */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. === !in Bearbeitung! === == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0</math> W(1|0) == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2\cdot0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> a46322dcbca11f9b55bdd6a4eb88965d2996be9e 1642 1641 2015-12-11T09:24:50Z NeumannLn 10008 /* vollständige Kurvendiskussion */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. === !in Bearbeitung! === == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0</math> W(1|0) == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich sind alle Zahlen für x gemeint, die man in die Funktion einsetzen kann.<br /> === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> Sind in der Funktion nur gerade Exponenten vorhanden, kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein. Sind jedoch nur ungerade Exponenten vorhanden, so kann sie nur punktsymmetrisch sein. === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> Für ''c > 0'' nach links verschoben, für ''c < 0'' nach rechts. * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> Für ''d > 0'' nach oben verschoben, für ''d < 0'' nach unten. === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittstelle mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Funktionen (nur gerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Funktionen (nur ungerade Exponenten): <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' === Beispielaufgabe === Führe ein vollständige Kurvendiskussion an dieser Funktion durch: <math>f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - \frac{9}{4}</math> <popup name="Lösungen"> * Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen * Symmetrie: Achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten und keine Verschiebung auf der x-Achse vorhanden ist. * Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse): <math>x_1 = 3</math> und <math>x_2 = -3</math> * Schnittstelle mit der y-Achse (für x Null einsetzen): <math>f(0) = \frac{1}{4} * 0^2 - 2*0^2 - \frac{9}{4} = -\frac{9}{4}</math> * Monotonie: <math>(\infty; -2]</math> streng monoton fallend <math>[-2; 0]</math> streng monoton steigend <math>[0; 2]</math> streng monoton fallend <math>[2; \infty]</math> streng monoton steigend * Globalverlauf: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich </popup> 2c93b80291905e5f68c3ad92aae227bf2b4e3ccd 1641 1628 2015-12-11T09:24:36Z CanigliaCn 10011 /* Kriterien für Wendestellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. === !in Bearbeitung! === == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[File:Inflection point.png|Inflection Point|rahmenlos]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve * '''Beispiel''' <math>f(x)={1\over9}x^3-{1\over3}x^2-{8\over3}x+{26\over9}</math> <math>f'(x)={3\over9}x^2-{2\over3}x-{8\over3}</math> <math>f''(x)={2\over3}x-{2\over3}</math> <math>f''(x)=0</math> <math>{2\over3}x-{2\over3}=0</math> <math>\quad</math> <math>|+{2\over3}</math> <math>{2\over3}x={2\over3}</math> <math>\quad</math> <math>|\cdot{3\over2}</math> <math>x=1</math> <math>f(1)={1\over9}\cdot1^3-{1\over3}\cdot1^2-{8\over3}\cdot1+{26\over9}=0</math> W(1|0) == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich, sind alle x-Werte gemeint, meist sind es die reellen Zahlen.<br /> Für den Wertebereich gilt das Gleiche, da ''y'' von ''x'' abhängig ist. === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> === Streckung === * mit Faktor ''<math>\frac{1}{b}</math>'' in x-Richtung: <math>y=f(b*x)</math> * mit Faktor ''a'' in y-Richtung: <math>y=a*f(x)</math> === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittpunkte mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Exponenten: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Exponenten: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis, bzw. ein negativer Exponent, spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' 3c715eeafeea2ef095654415992abc2927e7d709 1628 1627 2015-12-04T09:53:52Z CanigliaCn 10011 /* Kriterien für Wendestellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. === !in Bearbeitung! === == Kriterien für Wendestellen == '''Was ist eine Wendestelle?''' Eine Wendestelle beschreibt einen Punkt im Graphen, an dem sich der Verlauf der Kurve ändert. Die Kurve einer Funktion kann entweder nach links oder nach rechts gekrümmt sein. Diesen Punkt kann man anhand der Ableitungen der Ausgangsfunktion finden. Für eine Wendestelle gibt es zwei Kriterien: [[Bild:https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AInflection_point.png.jpg]] * '''Notwendiges Kriterium''' Das notwendige Kriterium wird überprüft, um Stellen herauszufinden, an denen eine Wendestelle vorkommen kann. Dazu bildet man die zweite Ableitung und setzt diese mit Null gleich. Gibt es keine Nullstellen der zweiten Ableitung, so sind alle Wendestellen für die Ausgangsfunktion ausgeschlossen. An Extrema der zweiten Ableitung (<math>f''(x)=0</math>) können aber müssen nicht Wendestellen vorkommen. Um für Gewissheit zu sorgen muss man letztendlich die gefundenen Nullstellen mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen. * '''Hinreichendes Kriterium''' Das hinreichende Kriterium dient zur Bestätigung einer Wendestelle und beschreibt gleichzeitig deren Verlauf (Links-Rechts-Kurve oder Rechts-Links-Kurve). Dazu bildet man die dritte Ableitung <math>f'''(x)</math> der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math> und setzt diese gleich mit Null. Ist die dritte Ableitung der zu prüfenden Stelle ungleich 0, so entspricht diese einer Wendestelle. Das Ergebnis dieser Rechnung kann jedoch noch mehr aussagen: Liegt der Wert unter 0, so ist diese eine Links-Rechts-Wendestelle. Liegt der Wert über 0, so entspricht diese einer Rechts-Links-Wendestelle. Falls der Wert jedoch gleich 0 sein sollte, handelt es sich hierbei um keine Wendestelle, sondern um einen sogenannten Sattel- bzw. Terassenpunkt. ''Fazit für das hinreichende Kriterium:'' <math>f''' \neq 0</math>, wenn <math>f'''<0</math> dann Rechtskurve, wenn <math>f'''>0</math> dann Linkskurve == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich, sind alle x-Werte gemeint, meist sind es die reellen Zahlen.<br /> Für den Wertebereich gilt das Gleiche, da ''y'' von ''x'' abhängig ist. === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> === Streckung === * mit Faktor ''<math>\frac{1}{b}</math>'' in x-Richtung: <math>y=f(b*x)</math> * mit Faktor ''a'' in y-Richtung: <math>y=a*f(x)</math> === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittpunkte mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Exponenten: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Exponenten: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis, bzw. ein negativer Exponent, spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' f87c901ce64ee420e3871abab87222416f3567ce 1627 1625 2015-12-04T09:52:24Z NeumannLn 10008 /* vollständige Kurvendiskussion */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. === !in Bearbeitung! === == Kriterien für Wendestellen == == vollständige Kurvendiskussion == === Definitionsbereich === Mit dem Definitionsbereich, sind alle x-Werte gemeint, meist sind es die reellen Zahlen.<br /> Für den Wertebereich gilt das Gleiche, da ''y'' von ''x'' abhängig ist. === Symmetrie === * Achsensymmetrie zur y-Achse: <math>f(-x)=f(x)</math> * Punktsymmetrie zum Ursprung: <math>f(-x)=-f(x)</math> === Verschiebung === * um ''c'' in x-Richtung <math>y=f(x-c)</math> * um ''d'' in y-Richtung <math>y=f(x)+d</math> === Streckung === * mit Faktor ''<math>\frac{1}{b}</math>'' in x-Richtung: <math>y=f(b*x)</math> * mit Faktor ''a'' in y-Richtung: <math>y=a*f(x)</math> === Schnittstellen mit den Achsen === Man setzt die Funktion mit Null gleich und löst die Gleichung nach ''x'' auf. Daraus erhält man die Schnittstellen mit der x-Achse (Nullstellen).<br /> Um die Schnittpunkte mit der y-Achse auszurechnen, setzt man für ''x'' in der Funktion Null ein und rechnet die Gleichung aus. === Monotonie === <math>f'(x)>0</math> => f streng monoton wachsend <math>f'(x)<0</math> => f streng monoton fallend <math>f'(x)\ge0</math> => f monoton wachsend <math>f'(x)\le0</math> => f monoton fallend === Globalverlauf === * Globalverlauf für gerade Exponenten: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich * Globalverlauf für ungerade Exponenten: <math>x\to\infty</math> => <math>y\to\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen unendlich, läuft ''y'' gegen unendlich<br /> <math>x\to-\infty</math> => <math>y\to-\infty</math> Gesprochen: Für ''x'' gegen minus unendlich, läuft ''y'' gegen minus unendlich '''! Anmerkung: Eine negative Basis, bzw. ein negativer Exponent, spiegelt die Kurven an der x-Achse, wodurch auch die Globalverläufe "gespiegelt" werden.''' 5e1c43f93477993dd991beb045b6c2d2df2ce842 1625 1624 2015-12-04T09:51:36Z PetermannNe 10007 /* Kriterien für Extremstellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. === !in Bearbeitung! === == Kriterien für Wendestellen == == vollständige Kurvendiskussion == e49768ab46e981ece2f4eb7b2fb8087a1edb1735 1624 1622 2015-12-04T09:50:33Z PetermannNe 10007 /* Kriterien für Extremstellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: Vorzeichenwechsel an f '(x) an der Stelle des eventuellen Extrempunktes. <br /> ''Begründung: Die erste Ableitung muss ein Vorzeichenwechsel haben, da sonst ein Sattelpunkt vorliegt. == Kriterien für Wendestellen == == vollständige Kurvendiskussion == 2d2077e5b713597899f631e8aa25404239eda756 1622 1609 2015-12-04T09:44:43Z PetermannNe 10007 /* Kriterien für Extremstellen */ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == ===Definition=== Ein '''Hochpunkt''' hat den '''größten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''positiv (+) nach negativ (-)''' . Ein '''Tiefpunkt''' hat den '''kleinsten y-Wert in seiner Umgebung'''. Außerdem hat die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von '''negativ (-) nach positiv (+)''' . ===Kriterien=== # notwendige Bedingung: <math>f'(x)=0 </math> <br /> ''Begründung: Die Ableitung(Steigung) am Extrempunkt ist 0 '' # hinreichende Bedingung: ## schwache Bedingung: <math>f''(x)\not=0 </math> <br /> ''Begründung: Die zweite Ableitung darf nicht 0 sein, da sonst kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt. ## starke Bedingung: == Kriterien für Wendestellen == == vollständige Kurvendiskussion == 2efe2a50e27db8742a0a6dec93e169930f2a99d1 1609 2015-12-04T08:52:33Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== Kriterien für Extremstellen == == Kriterien für Wendestellen == == vollständige Kurvendiskussion ==“ wikitext text/x-wiki == Kriterien für Extremstellen == == Kriterien für Wendestellen == == vollständige Kurvendiskussion == 11446d77f75678a18194636027a6ccef7ecb0296 0 223 751 750 2012-09-25T12:11:31Z F.Bittermann 3 /* Beide Ebenen in Koordinatengleichung gegeben */ wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichung gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet. {{Aufgabe|Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <graphviz> digraph G { Normalenvektorenla [shape=box]; Normalenvektorenla -> Ebenengleichungenidentisch; /* [label="ja"] /* Normalenvektorenla -> Ebenenschneidensich; /* [label="nein"] /* Ebenengleichungenidentisch -> Ebenensindidentisch; /* [label="ja"]/* Ebenengleichungenidentisch -> Ebenensindparallel; /* [label="nein"]/* } </graphviz> }} {{Übung|1=Gegeben ist die Ebene E₁: 3x₁+2x₂+x₃=6. a) Bestimme die Lage der Ebene E₂:9x₁+4₂+x₃=36 zur Ebene E₁. b) Bestimme die Parameter a und b so, dass die Ebene E₃:ax₁-8x₂-4x₃=b parallel zu E₁ ist.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: }} == Beide Ebenen in Parameterform gegeben == 750 749 2012-09-25T11:12:55Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichung gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet. {{Aufgabe|Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <graphviz> digraph G { "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "JA"; "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "NEIN"; "JA" -> "Ebenengleichungen identisch?"; "NEIN" -> "Ebenen schneiden sich"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "JA - Ebenen sind identisch"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "NEIN - Ebenen sind parallel"; } </graphviz> }} {{Übung|1=Gegeben ist die Ebene E₁: 3x₁+2x₂+x₃=6. a) Bestimme die Lage der Ebene E₂:9x₁+4₂+x₃=36 zur Ebene E₁. b) Bestimme die Parameter a und b so, dass die Ebene E₃:ax₁-8x₂-4x₃=b parallel zu E₁ ist.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: }} == Beide Ebenen in Parameterform gegeben == 749 748 2012-09-25T11:11:02Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichung gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet. {{Aufgabe|Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <graphviz> digraph G { "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "JA"; "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "NEIN"; "JA" -> "Ebenengleichungen identisch?"; "NEIN" -> "Ebenen schneiden sich"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "JA - Ebenen sind identisch"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "NEIN - Ebenen sind parallel"; } </graphviz> }} {{Übung|1=Gegeben ist die Ebene E₁: 3x₁+2x₂+6x₃=6. a) Bestimme die Lage der Ebene E₂:9x₁+4₂+x₃=36 zur Ebene E₁. b) Bestimme die Parameter a und b so, dass die Ebene E₃:ax₁-8x₂-4x₃=b parallel zu E₁ ist.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: }} == Beide Ebenen in Parameterform gegeben == 748 747 2012-09-25T11:02:03Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichung gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet. {{Aufgabe|Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <graphviz> digraph G { "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "JA"; "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "NEIN"; "JA" -> "Ebenengleichungen identisch?"; "NEIN" -> "Ebenen schneiden sich"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "JA - Ebenen sind identisch"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "NEIN - Ebenen sind parallel"; } </graphviz> }} {{Übung|Gegeben ist die Ebene E: x.}} == Beide Ebenen in Parameterform gegeben == 747 746 2012-09-25T10:57:49Z F.Bittermann 3 /* Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben */ wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet. {{Aufgabe|Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <graphviz> digraph G { "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "JA"; "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "NEIN"; "JA" -> "Ebenengleichungen identisch?"; "NEIN" -> "Ebenen schneiden sich"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "JA - Ebenen sind identisch"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "NEIN - Ebenen sind parallel"; } </graphviz> }} 746 745 2012-09-25T09:55:44Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet. {{Aufgabe|Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: }} <graphviz> digraph G { "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "JA"; "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "NEIN"; "JA" -> "Ebenengleichungen identisch?"; "NEIN" -> "Ebenen schneiden sich"; "Probier es aus!" -> "Ich will im Wiki schreiben."; "Ebenengleichungen identisch?" -> "JA - Ebenen sind identisch"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "NEIN - Ebenen sind parallel"; } </graphviz> 745 744 2012-09-25T09:51:15Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet. {{Aufgabe|Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.}} {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: }} <graphviz> digraph G { "ZUM-Wiki-Rundgang" -> "Was ist ein Wiki?"; "ZUM-Wiki-Rundgang" -> "Das ZUM-Wiki"; "ZUM-Wiki-Rundgang" -> "Probier es aus!"; "Probier es aus!" -> "Ich will im Wiki schreiben."; "Probier es aus!" -> "Ich will im Wiki etwas finden."; "Probier es aus!" -> "Wiki-Fuehrerschein"; "ZUM-Wiki-Rundgang" -> "Wikis in der Schule?"; } </graphviz> 744 743 2012-09-25T09:19:54Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen). <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3</math>, aber <math>-2 \cdot 4 \neq 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4</math>, aber <math>-1 \cdot 4 = -4</math> }} 743 742 2012-09-25T08:06:12Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃, E₄ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_2:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math>E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4</math> {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen. <math> \vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) </math>, <math> \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) </math>. <math> -2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right)</math>, aber <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4 \neq E_2:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1</math> <math> -1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right)</math> }} 742 2012-09-25T07:51:03Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „{{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei…“ wikitext text/x-wiki {{Lernpfad|Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: * beide Ebenen in Koordinatengleichung, * beide Ebenen in Parameterform, * eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.}} == Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben == {{Aufgabe|Welche der Ebenen E₁, E₂, E₃ sind zueinander parallel?}} <math>E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4</math> <math>E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4</math> <math>E_2:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = -4</math> 0 477 1696 1695 2017-01-25T12:33:35Z F.Bittermann 3 /* Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt */ wikitext text/x-wiki ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab. ==== Ebene in Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /> Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → Punktprobe durchführen <br /> Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade. Punktprobe für den ersten Fall:<br /> <math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /> Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /> * wenn ja, E und g sind identisch<br /> * wenn nein, E und g sind parallel. <br /> <br /> ===== 3. Schnittpunkt berechnen: ===== Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /> Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt. <br /> <br /> ==== Ebene in Koordinatengleichung ==== <math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Vorgehen:<br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "Parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann 0d3a7a6be3dfa69966912a9dff157a8426cea171 1695 1694 2017-01-25T12:32:10Z F.Bittermann 3 /* Beispeil Nr. 2 Parameterform: */ wikitext text/x-wiki ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab. ==== Ebene in Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /> Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → Punktprobe durchführen <br /> Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade. Punktprobe für den ersten Fall:<br /> <math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /> Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /> * wenn ja, E und g sind identisch<br /> * wenn nein, E und g sind parallel. <br /> <br /> ===== 3. Schnittpunkt berechnen: ===== Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /> Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt. <br /> <br /> ==== Ebene in Koordinatengleichung ==== <math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Vorgehen:<br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "Parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann 4060d48decb66b44fad015dfeb90f665f3d55be9 1694 1693 2017-01-25T12:31:18Z F.Bittermann 3 /* Ebene in Koordinatengleichung */ wikitext text/x-wiki ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab. ==== Ebene in Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /> Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → Punktprobe durchführen <br /> Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade. Punktprobe für den ersten Fall:<br /> <math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /> Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /> * wenn ja, E und g sind identisch<br /> * wenn nein, E und g sind parallel. <br /> <br /> ===== 3. Schnittpunkt berechnen: ===== Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /> Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt. <br /> <br /> ==== Ebene in Koordinatengleichung ==== <math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Vorgehen:<br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann d4908a2e8a581b0078bf8aa35295d26946d4cdc3 1693 1692 2017-01-25T12:30:11Z F.Bittermann 3 /* Vorgehen */ wikitext text/x-wiki ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == Um die Lagebeziehung von Ebene und Gerade zu untersuchen, musst du unterschiedlich vorgehen - das hängt von der Art der Ebenendarstellung ab. ==== Ebene in Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt vom Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> Der Normalenvektor der Ebene ist senkrecht zur Ebene. Ist der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (Skalarprodukt gleich Null), dann ist die Gerade entweder parallel zur Ebene oder liegt in der Ebene.<br /> Überprüfe dies durch den 2. Schritt.<br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → Punktprobe durchführen <br /> Entweder liegt der Punkt, du dem der Stützvektor der Gerade führt, in der Ebene, oder liegt der Punkt, zu dem der Stützvektor der Ebene führt, auf der Gerade. Punktprobe für den ersten Fall:<br /> <math>\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g}</math><br /> Hat diese Gleichung eine Lösung? <br /> * wenn ja, E und g sind identisch<br /> * wenn nein, E und g sind parallel. <br /> <br /> ===== 3. Schnittpunkt berechnen: ===== Ist die Gerade weder identisch noch parallel zur Ebene, dann muss die Gerade die Ebene schneiden.<br /> Zur Berechnung des Schnittpunktes stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses. <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → Setze u in die Gerade g ein und berechne die Koordinaten des Ortsvektors, der zum Schnittpunkt führt. <br /> <br /> ==== Ebene in Koordinatengleichung ==== <math>E: a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Vorgehen:<br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen. Dazu die Gerade g zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Gleichung der Ebene E einsetzen. Damit kannst du den Parameter t bestimmen. t in die Gleichung der Gerade einsetzen und den Ortsvektor des Schnittpunktes berechnen. <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann 75f8da51c44a7ba810ba349d1b06c6fe3dd4e45d 1692 1690 2017-01-25T12:07:01Z F.Bittermann 3 /* Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene */ wikitext text/x-wiki ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Wie du die verschiedenen Fälle mit Hilfe eines LGS unterscheiden kannst, ist in der Tabelle genau aufgelistet. Schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann ea1cb3fc2ea6641fea8444d918c99e7a398d64df 1690 1688 2016-11-21T16:12:30Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp.jpg|Lagebeziehungen Gerade Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann 82dcb586fc829bca8d7eda0405142080d7dcbd1e 1688 1686 2016-11-21T16:08:26Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Die Inhalte sind noch nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:gfs Lagebeziehungen Gerade Ebene.odt - OpenOffice Writer 21.11.2016 170233.bmp|Tabelle Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann 400e173af947cfe37967ca542feb625c17c92b18 1686 1680 2016-11-21T16:03:23Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Die Inhalte sind noch nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>liegen ineinander</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Übersichtstabelle.bmp.jpg|Tabelle Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann ec59b672c8c978a54a4eeb8fe7fc74dc1217a8a0 1680 1678 2016-09-22T17:06:09Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Die Inhalte sind noch nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Übersichtstabelle.bmp.jpg|Tabelle Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br /> [[Bild:Vorgehen bei verschiedenen Lösungen.jpg|thumb|none|350px|Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene]] <br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann f553e4d9e3e78b9d2ef25c6a4e15a75b0247bd60 1678 1677 2016-09-22T16:54:09Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Die Inhalte sind noch nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Übersichtstabelle.bmp.jpg|Tabelle Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br /> <br /> [[Bild:scan0057.jpg|Schaubild Vorgehen bei verschiedenen Lösungen]] <br /><br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann c37a03948ac7de2a6c872f48e1bc71b141f5ec41 1677 1676 2016-09-22T15:42:37Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Übersichtstabelle.bmp.jpg|Tabelle Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br />              <math>1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t= 5</math><br />                   <math>-2t - 2t + 3t + 7= 5 | -7</math><br />                            <math>-t = -2</math><br />                             <math>t = 2</math><br /><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann faa304c77ac1ba66d3e4038823b50d7682691535 1676 1673 2016-09-22T15:30:58Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Bild:Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen Übersichtstabelle.bmp.jpg|Tabelle Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> <math> -t = -2 </math><br /> <math> t = 2</math><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann 2f9a4727b8ddc3682bad031e102eccdc4ee5246f 1673 1672 2016-09-18T11:53:35Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> <math> -t = -2 </math><br /> <math> t = 2</math><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 14:00, 18. Sep. 2016 (CET) M.Entenmann 963cd1948cbb67b0dd0533d817beb5a75c4de271 1672 1671 2016-09-18T11:50:52Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> <math> -t = -2 </math><br /> <math> t = 2</math><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> <br /> c.)<br /> <math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> d.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(1/0/2) </popup><br /> <br /> e.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Stelle Ebene E als Koordinatenform um. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-12 → parallel </popup><br /> <br /> f.)<br /> <math>E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 3"> <math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> Setze Gerade g in die Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=13 → parallel </popup><br /> <br /> ====Nr. 3 Schnittpunkt==== Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Skalarprodukt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> 10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch. </popup><br /> <popup name="Hinweis 4"> LGS aufstellen und lösen. </popup><br /> <popup name="Hinweis 5"> <math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 6"> Schnittpunkt ausrechnen. </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(5,5/-1/0,5) </popup><br /> 6fbe926e733bb121f6a3d2a5c23b4a0428003d0f 1671 1670 2016-09-16T15:43:52Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> <math> -t = -2 </math><br /> <math> t = 2</math><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> ==Aufgaben== ====Nr. 1 Parallelität==== Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. <br /><br /> <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/> <popup name="Hinweis"> <math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup> <popup name="Lösung"> 0=7 → keine Lösung, daher parallel! </popup><br /><br /> ====Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt==== Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. <br /><br /> a.)<br /> <math>E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <popup name="Hinweis 1"> Setze Gerade g in Ebene E ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> <math>E: 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4</math><br /> <math>3(2+t)-2(0-2t)+7(0-t)=4</math> </popup><br /> <popup name="Lösung"> 0=-10 → parallel </popup><br /> <br /> b.)<br /> <math>E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br />br /> <popup name="Hinweis 1"> <math>-2,5(2+t)-0,5(0+t)+2(t)=0</math> </popup><br /> <popup name="Hinweis 2"> Setze "t" in die Gerade g ein. </popup><br /> <popup name="Hinweis 3"> t=-5 ; sie sind weder parallel noch identisch </popup><br /> <popup name="Lösung"> S(-3/-5/-5) </popup><br /> weitere Aufgaben folgen am 17. September 2016 438ea1c4e2155d708df0d2bcd58331d809aa60dd 1670 1669 2016-09-16T15:03:34Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfung "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> Die Gerade g in Ebene E einsetzen:<br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> <math> -t = -2 </math><br /> <math> t = 2</math><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> 4bddff68995cf0403a5039b77733271d92da1ccd 1669 1668 2016-09-16T15:01:52Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfen "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> ===== 1. Gerade g in Ebene E einsetzen: ===== Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> <math> -t = -2 </math><br /> <math> t = 2</math><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> <math>\longrightarrow</math> Normalenvektor von Ebene E ausrechnen <br /> <math> \vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n</math><br /><br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /> <math>\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0</math><br /><br /> Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: <math>\begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}</math>..............<math> \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}</math> 216791505e67d28f5bdf77ab2168c67e2d2127ce 1668 1667 2016-09-16T14:40:13Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfen "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> <br /> ===== 1. Gerade g in Ebene E einsetzen: ===== Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> <br />Schaubild Baum<br /> <br /> ==Beispiele== ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}</math><br /><br /> <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> <math> -t = -2 </math><br /> <math> t = 2</math><br /> <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> <br /> ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> Auf "parallelität" überprüfen:<br /> 85542d75a084774b0481001886451d63ea1eebfd 1667 1665 2016-09-14T16:57:41Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki '''Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig!''' ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.<br /> 1. Möglichkeit: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== E: x = S_E + tR_1E + sR_2E<br /> g: x = S_g + tR_g<br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> n * R_g = 0<br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: n = R_1E x R_2E; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfen "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> S_E + tR_1E + rR_2E = S_g<br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> S_E + tR_1E + sR_2E = S_g + u * R_S <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== E: x = u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ = b <br /> g: x = S_g + tR_g <br /> <br /> ===== 1. Gerade g in Ebene E einsetzen: ===== Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> {n \choose k } 46a5f4a8dd3f23690a19b4819467f0ccb8334257 1665 2016-09-14T16:48:58Z MeJvzm-fsg 10010 Die Seite wurde neu angelegt: „Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig! ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ====…“ wikitext text/x-wiki Achtung! Diese Seite befindet sich aktuell in Bearbeitung. Die Inhalte sind nicht vollständig! ==== Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ==== Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen.<br /> 1. Fall: Gerade und Ebene <u>schneiden sich</u><br /> 2. Fall: Gerade und Ebene verlaufen <u>parallel</u><br /> 3. Fall: Gerade und Ebene sind <u>identisch</u><br /><br /> Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.<br /> [[Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830|miniatur]]<br /> <br /> == Vorgehen == ==== Parameterform ==== E: x = S_E + tR_1E + sR_2E<br /> g: x = S_g + tR_g<br /> <br /> ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== → Skalarprodukt ausrechnen<br /> n * R_g = 0<br /><br /> ''Anmerkung: Normalenvektor: n = R_1E x R_2E; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> <br /> wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt<br /> ===== 2. Überprüfen "identisch": ===== → einfaches LGS erstellen <br /> S_E + tR_1E + rR_2E = S_g<br /> gibt es eine Lösung? <br /> wenn ja, E und g sind identisch. <br /> <br /> wenn nein, E und g sind parallel. <br /> → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> S_E + tR_1E + sR_2E = S_g + u * R_S <br /> <br /> '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> <br /> → setze u in die Gerade g ein <br /> <br /> ==== Koordinatenform ==== E: x = u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ = b <br /> g: x = S_g + tR_g <br /> <br /> ===== 1. Gerade g in Ebene E einsetzen: ===== Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen <br /> {n \choose k } 6afb3781a6ae8e55f61dc137a9a621547e84268d 0 271 1276 944 2013-05-22T11:10:13Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuchsausgang gleich groß ist. Die Laplace Regel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Laplace Experiments und lautet<br /> ''Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis= Anzahl des positiven Ergebnisses/Anzahl aller möglichen Ergebnisse''.<br /> '''Beispiel 1:'''<br /> Man wirft einen sechsseitigen Würfel und möchte die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 6 zu würfeln, berechnen.<br /> <math>P({6} )=\frac{1}{6}</math><br /> '''Beispiel 2:'''<br /> Man wirft einen sechsseitigen Würfel und möchte die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, berechnen.<br /> <math>P({2,4,6} )=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br /><br /> ''Quellen: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/laplace-regel.html<br />http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/laplace-experiment-versuch.html'' 944 2013-01-13T23:45:29Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuchsausgang gleich groß ist. Die Laplace Regel bestimmt die Wahrs…“ wikitext text/x-wiki Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuchsausgang gleich groß ist. Die Laplace Regel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Laplace Experiments und lautet<br /> ''Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis= Anzahl des positiven Ergebnisses/Anzahl aller möglichen Ergebnisse''.<br /> '''Beispiel 1:'''<br /> Man wirft einen sechsseitigen Würfel und möchte die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 6 zu würfeln, berechnen.<br /> <math>P({6} )=\frac{1}{6}</math><br /> '''Beispiel 2:'''<br /> Man wirft einen sechsseitigen Würfel und möchte die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, berechnen.<br /> <math>P({2,4,6} )=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br /> 0 211 721 717 2012-06-19T07:02:40Z Sh.Sievers 12 /* Lineare Unabhängigkeit dreier oder mehrerer Vektoren */ wikitext text/x-wiki ===Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren=== Definition: Vektoren sind voneinander abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Bsp. <math> \vec p= \left( \begin{matrix} 1\\3\\-2\end{matrix}\right)</math> <math> \vec q= \left( \begin{matrix} -2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math> <math> \vec q= t\cdot \vec p</math> <math> \left( \begin{matrix} -2\\6\\6 \end{matrix}\right) = t\cdot\left( \begin{matrix} -1\\3\\2 \end{matrix}\right) </math> <math> \left( \begin{matrix}t= -2\\ t=2\\t= -3 \end{matrix}\right) </math> --> <math> \vec p </math> und <math> \vec q </math> sind nicht linear abhängig ===Lineare Unabhängigkeit dreier oder mehrerer Vektoren=== Prüfe ob <math> \vec p= \left( \begin{matrix} 1\\3\\-2\end{matrix}\right) </math> linear abhängig ist von <math> \vec q= \left( \begin{matrix} 2\\2\\2 \end{matrix}\right) </math> und <math> \vec u= \left( \begin{matrix} -2\\6\\1\end{matrix}\right)</math> <math> \left( \begin{matrix} 1\\3\\-2\end{matrix}\right) </math> = <math> r\cdot \left( \begin{matrix} 2\\2\\2 \end{matrix}\right) </math> + <math> s\cdot \left( \begin{matrix} -2\\6\\1\end{matrix}\right)</math> 1.Möglichkeit: Vektoren in ein Lineares Gleichungssystem <math>\begin{matrix} 1.&2r&-&2s&=&1\\ 2.&2r&+&6s&=&3\\ 3.&2r&+&1s&=&-2 \end{matrix}</math> 3.<math> s= -2-2r </math> 3 in 2. <math>\begin{matrix} &2r&+&6(-2-2r)&=&3\\ &10r&=&-15 &r&=& \frac {-3\over 2} \end{matrix}</math> 717 706 2012-06-19T06:51:42Z Sh.Sievers 12 /* Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren */ wikitext text/x-wiki ===Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren=== Definition: Vektoren sind voneinander abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Bsp. <math> \vec p= \left( \begin{matrix} 1\\3\\-2\end{matrix}\right)</math> <math> \vec q= \left( \begin{matrix} -2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math> <math> \vec q= t\cdot \vec p</math> <math> \left( \begin{matrix} -2\\6\\6 \end{matrix}\right) = t\cdot\left( \begin{matrix} -1\\3\\2 \end{matrix}\right) </math> <math> \left( \begin{matrix}t= -2\\ t=2\\t= -3 \end{matrix}\right) </math> --> <math> \vec p </math> und <math> \vec q </math> sind nicht linear abhängig ===Lineare Unabhängigkeit dreier oder mehrerer Vektoren=== Prüfe ob <math> \vec p= \left( \begin{matrix} 1\\3\\-2\end{matrix}\right) </math> linear abhängig ist von <math> \vec q= \left( \begin{matrix} 2\\2\\2 \end{matrix}\right) </math> und <math> \vec u= \left( \begin{matrix} -2\\6\\1\end{matrix}\right)</math> <math> \left( \begin{matrix} 1\\3\\-2\end{matrix}\right) </math> = <math> r\cdot \left( \begin{matrix} 2\\2\\2 \end{matrix}\right) </math> + <math> s\cdot \left( \begin{matrix} -2\\6\\1\end{matrix}\right)</math> 1.Möglichkeit: Vektoren in ein Lineares Gleichungssystem 706 2012-06-19T06:22:28Z Sh.Sievers 12 Die Seite wurde neu angelegt: „===Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren=== Definition: Vektoren sind voneinander abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Bsp. <math> \vec p= \left( \b…“ wikitext text/x-wiki ===Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren=== Definition: Vektoren sind voneinander abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Bsp. <math> \vec p= \left( \begin{matrix} 1\\3\\-2\end{matrix}\right)</math> <math> \vec q= \left( \begin{matrix} -2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math> <math> \vec q= t\cdot \vec p</math> <math> \left( \begin{matrix} -2\\6\\6 \end{matrix}\right) = t\cdot\left( \begin{matrix} -1\\3\\2 \end{matrix}\right) </math> <math> \vec </math> rechnerische Lösung und Benutzung 0 489 1876 1871 2018-12-01T10:35:54Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate konstant. <br /><br /> Bei der Funktion eines linearen Wachstums sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. <br /> Die Änderungsrate <math>{m}</math> gibt an, wie stark der Bestand pro Schritt auf der x-Achse zunimmt.<br /> Der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math> gibt an, wo der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. <br /> Die allgemeine Form lautet:<br /> <!-- Hinweis: Ein Wachstum hat keine Steigung. Wie beziehen sich die Größen m und b auf Größen beim Wachstum? --> <math>{f(x)={\color{Blue}m}x+{\color{OliveGreen}b}}</math><br /><br (> [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel:<br /> Ein Kind hat in seinem Sparschwein 2 €. Jeden Tag würft es weitere 50 ct in das Sparschwein. Die Geldmenge an jedem Tag nach Beobachtungsbeginn kann durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden (x in Tagen).<br /> <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> <!-- Das Beispiel sollte schon mit einem Text zum Wachstum motiviert werden. --> {{Aufgabe|1= In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> 3) Wann ist die Flasche leer? }} <popup name="Lösung 1)"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> <popup name="Lösung 2)"> <math>{f(x)=-80 \cdot 5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> <popup name="Lösung 3)"> <math> \begin{align} 0 &=-80x+1000 \quad |+80x \\ 80x &=1000 \quad | \div 80 \\ x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup> 0e6503e52f904e83e9e50d7f34ae7394591f7a49 1871 1844 2018-11-24T18:31:48Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate konstant. <br /><br /> Bei der Funktion eines linearen Wachstums sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. <br /> Die Änderungsrate <math>{m}</math> gibt an, wie stark der Bestand pro Schritt auf der x-Achse zunimmt.<br /> Der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math> gibt an, wo der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. <br /> Die allgemeine Form lautet:<br /> <!-- Hinweis: Ein Wachstum hat keine Steigung. Wie beziehen sich die Größen m und b auf Größen beim Wachstum? --> <math>{f(x)={\color{Blue}m}x+{\color{OliveGreen}b}}</math><br /><br (> [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel:<br /> Ein kleines Kind hat in seinem Sparschwein 2€. Jeden Tag würft er weitere 50 ct in das Sparschwein. Die Geldmenge an jedem Tag nach Beobachtungsbeginn kann durch folgende Wachsttumsgleichung beschrieben werden (x in Tagen).<br /> <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> <!-- Das Beispiel sollte schon mit einem Text zum Wachstum motiviert werden. --> {{Aufgabe|1= In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> 3) Wann ist die Flasche leer? }} <popup name="Lösung 1)"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> <popup name="Lösung 2)"> <math>{f(x)=-80 \cdot 5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> <popup name="Lösung 3)"> <math> \begin{align} 0 &=-80x+1000 \quad |+80x \\ 80x &=1000 \quad | \div 80 \\ x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup> b83810829222d569adbcbb0bfaabc8e837efd69b 1844 1843 2018-11-03T18:29:02Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /> <!-- Hinweis: Ein Wachstum hat keine Steigung. Wie beziehen sich die Größen m und b auf Größen beim Wachstum? --> <math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (> [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel: <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> <!-- Das Beispiel sollte schon mit einem Text zum Wachstum motiviert werden. --> {{Aufgabe|1= In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> 3) Wann ist die Flasche leer? }} <popup name="Lösung 1)"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> <popup name="Lösung2 )"> <math>{f(x)=-80 \cdot 5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> <popup name="Lösung 3)"> <math> \begin{align} 0 &=-80x+1000 \quad |+80x \\ 80x &=1000 \quad | \div 80 \\ x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup> 714571cfdce114334f2322cb3aeb807a770c57cb 1843 1823 2018-11-03T18:27:14Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /> <!-- Hinweis: Ein Wachstum hat keine Steigung. Wie beziehen sich die Größen m und b auf Größen beim Wachstum? --> <math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (> [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel: <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> {{Aufgabe|1= In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> 3) Wann ist die Flasche leer? }} <popup name="Lösung 1)"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> <popup name="Lösung2 )"> <math>{f(x)=-80 \cdot 5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> <popup name="Lösung 3)"> <math> \begin{align} 0 &=-80x+1000 \quad |+80x \\ 80x &=1000 \quad | \div 80 \\ x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup> 5ebe9d1e6d392e11afb8717bcd49cd8062dac7f9 1823 1803 2018-10-24T17:45:10Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /> <math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (> [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel: <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> {{Aufgabe|In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> <popup name="Lösung"> <math>{f(x)=-80 \cdot 5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> 3) Wann ist die Flasche leer? <popup name="Lösung"> <math> \begin{align} 0 &=-80x+1000 \quad |+80x \\ 80x &=1000 \quad | \div 80 \\ x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup>}} 9024fba66f3ed65be890f66c75c95f0b48f942b7 1803 1801 2018-09-05T17:36:39Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /> <math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (> [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel: <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> {{Aufgabe|In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> <popup name="Lösung)"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> <popup name="Lösung)"> <math>{f(x)=-80*5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> 3) Wann ist die Flasche leer? <popup name="Lösung)"> <math> \begin{align} 0 &=-80x+1000 |+80x \\ 80x &=1000 |/80 \\ x &=12,5 \end{align}</math><br /><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup>}} 766b60a93ed7c44c48a3ce0f4f9724bbd1ff1930 1801 1742 2018-09-05T17:14:59Z BBuschmann 10022 wikitext text/x-wiki Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /> <math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (> [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] Beispiel: <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> {{Aufgabe|In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> <popup name="Lösung)"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> <popup name="Lösung)"> <math>{f(x)=-80*5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> 3) Wann ist die Flasche leer? <popup name="Lösung)"> <math>{0=-80x+1000 |+80x}</math><br /> <math>{80x=1000 |/80}</math><br /> <math>{x=12,5}</math><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup>}} a37b8da3b92c0ec59dc80f64d69dbf4fbdff425a 1742 2018-07-29T18:32:39Z BBuschmann 10022 Die Seite wurde neu angelegt: „Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum w…“ wikitext text/x-wiki Das lineare Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es immer dieselbe Änderungsrate, beziehungsweise Steigung, hat. Das heißt in einem bestimmten Zeitraum wird immer dieselbe Menge hinzugefügt oder abgezogen. Dabei sind zwei Eigenschaften veränderbar, und zwar die Änderungsrate <math>{m}</math> und der y-Achsenabschnitt <math>{b}</math>. Daraus folgt die allgemeine Formel:<br /><br /> <math>{f(x)=mx+b}</math><br /><br (> Beispiel: [[Datei:Grafik 1.jpg|rahmenlos|rechts]] <math>{m=\frac{1}{2}}</math><br /> <math>{b=2}</math><br /> <math>{f(x)=\frac{1}{2}x+2}</math><br /> {{Aufgabe|In einer Flasche befindet sich 1 l Wasser. Die Flasche hat ein Loch, durch das gleichmäßig 80 ml pro Minute auslaufen.<br /> 1) Stellen Sie dazu eine Funktionsgleichung auf!<br /> 2) Wieviel Wasser befindet sich nach 5 Minuten noch in der Flasche?<br /> 3) Wann ist die Flasche leer?}} <popup name="Lösung zu 1)"> <math>{f(x)=-80x+1000}</math> </popup> <popup name="Lösung zu 2)"> <math>{f(x)=-80*5+1000}</math><br /> <math>{f(x)=600}</math><br /> Nach 5 Minuten befinden sich noch 600 ml in der Flasche. </popup> <popup name="Lösung zu 3)"> <math>{0=-80x+1000 |+80x}</math><br /> <math>{80x=1000 |/80}</math><br /> <math>{x=12,5}</math><br /> Nach 12,5 Minuten ist die Flasche leer. </popup> 7c0f8d68d813720e2d2ebc3a21cbf66ae56709f7 0 201 731 718 2012-06-19T11:44:05Z F.Bittermann 3 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. [[Datei:innige Berührung.jpg|rahmenlos|rechts]] }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von (h) abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> <math>d= \sqrt {5^2+h^2} -> d^2 = 5^2+h^2</math><br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over d} </math> -> d einsetzen <br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> in die Zielfunktion einsetzen<br /> <math> H(h)= 100 \cdot {{h \over \sqrt {5^2+h^2}} \over {5^2+h^2}</math><br /> -> Mit GTR Maximum berechnen<br /> -> Lösung: h = 3.54m<br /> Die Lampen müssen in einer Höhe von 3.54m befestigt werden um den Weg möglichst hell zu beleuchten. }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 718 716 2012-06-19T06:57:38Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. [[Datei:innige Berührung.jpg|rahmenlos|rechts]] }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von (h) abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> <math>d= \sqrt {5^2+h^2} -> d^2 = 5^2+h^2</math><br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over d} </math> -> d einsetzen <br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> in die Zielfunktion einsetzen<br /> <math> H(h)= 100 \cdot {{h \over \sqrt {5^2+h^2}} \over {5^2+h^2}</math><br /> -> Mit GTR Maximum berechnen<br /> -> Lösung: h = 3.54m<br /> Die Lampen müssen in einer Höhe von 3.54m befestigt werden um den Weg möglichst hell zu beleuchten. }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 716 714 2012-06-19T06:49:59Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. [[Datei:innige Berührung.jpg|rahmenlos|rechts]] }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von (h) abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> <math>d= \sqrt {5^2+h^2} -> d^2 = 5^2+h^2</math><br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over d} </math> -> d einsetzen <br /> -> = <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> in die Zielfunktion einsetzen<br /> <math> H(h)= 100 \cdot {{h \over \sqrt {5^2+h^2}} \over {5^2+h^2}</math><br /> -> Mit GTR Maximum berechnen<br /> -> Lösung: h = 3.54m }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 714 711 2012-06-19T06:47:47Z Se.Struth 11 /* Innige Berührung zweier Funktionen */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. [[Datei:innige Berührung.jpg|rahmenlos|rechts]] }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> <math>d= 5^2+h^2 -> d^2 = 5^2+h^2</math><br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over d} </math> -> d einsetzen <br /> -> = <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> in die Zielfunktion einsetzen<br /> <math> H(h)= 100 \cdot {{h \over \sqrt {5^2+h^2}} \over {5^2+h^2}</math> }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 711 710 2012-06-19T06:45:43Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> <math>d= 5^2+h^2 -> d^2 = 5^2+h^2</math><br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over d} </math> -> d einsetzen <br /> -> = <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> in die Zielfunktion einsetzen<br /> <math> H(h)= 100 \cdot {{h \over \sqrt {5^2+h^2}} \over {5^2+h^2}</math> }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 710 708 2012-06-19T06:41:20Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> <math>d= 5^2+h^2 -> d^2 = 5^2+h^2</math><br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over d} </math> -> d einsetzen <br /> -> = <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> in die Zielfunktion einsetzen<br /> <math> H(h)= 100\cdot }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 708 707 2012-06-19T06:39:24Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und <math>{\cos ( \alpha)}</math> müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> <math>d= 5^2+h^2 -> d^2 = 5^2+h^2</math><br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over d} </math> -> d einsetzen <br /> -> = <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und cos\alpha in die Zielfunktion einsetzen<br /> H(h)= }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 707 705 2012-06-19T06:35:05Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und {\cos (\alpha)} müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> d= <math>5^2+h^2</math> -> d^2 = 5^2+h^2<br /> -> <math>{\cos ( \alpha)}</math>= h/d , d einsetzen <br /> -> = <math>{\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}</math><br /> -> d und cos\alpha in die Zielfunktion einsetzen<br /> H(h)= }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 705 703 2012-06-19T06:11:26Z Se.Struth 11 /* Innige Berührung zweier Funktionen */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Lösung: <math>f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)</math> Als erstes muss man f'' mit g'' gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Du könntest doch die Lösung erstellen!?! }} Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und {\cos (\alpha)} müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> d= <math>5^2+h^2</math> -> d^2 = 5^2+h^2<br /> -> {\cos (\alpha)}= h/d , d einsetzen <br /> -> = {\cos (\alpha)}= h/<math>5²+h²</math><br /> ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 703 701 2012-06-19T06:05:48Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {\cos (\alpha)}= \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Du könntest doch die Lösung erstellen!?! }} Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig<br /> Nebenbedingungen: d und {\cos (\alpha)} müssen durch h ersetzt werden.<br /> -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> d= <math>5^2+h^2</math> -> d^2 = 5^2+h^2<br /> -> {\cos (\alpha)}= h/d , d einsetzen <br /> -> = {\cos (\alpha)}= h/<math>5²+h²</math><br /> ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 701 693 2012-06-19T05:58:51Z Ma.Fleuchaus 7 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Du könntest doch die Lösung erstellen!?! }} Lösungsvorschlag: Idee: Die Zielfunktion ist von(h)abhängig Nebenbedingungen: d und {\cos (\alpha)} müssen durch h ersetzt werden. -> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> d= <math>5²+h²</math> -> d² = 5²+h² -> {\cos (\alpha)}= h/d , d einsetzen -> {\cos (\alpha)}= h/<math>5²+h²</math> ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 693 692 2012-05-24T20:54:34Z F.Bittermann 3 /* Supermarkt im Wohngebiet */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Du könntest doch die Lösung erstellen!?! }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. {{Lösung versteckt mit Rand|1= Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ... }} 692 691 2012-05-24T20:53:56Z F.Bittermann 3 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? {{Lösung versteckt mit Rand|1= Du könntest doch die Lösung erstellen!?! }} ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 691 690 2012-05-24T20:50:37Z F.Bittermann 3 /* Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen mit Ortskurven]] Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 690 689 2012-05-24T20:49:26Z F.Bittermann 3 /* Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangentenprobleme|Tangenten an Schaubilder]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # Parameterfunktionen mit Ortskurven Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 689 680 2012-05-24T20:47:54Z F.Bittermann 3 /* Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # [[Tangenten an Schaubilder|Tangentenprobleme]] (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # Parameterfunktionen mit Ortskurven Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 680 679 2012-05-24T20:17:39Z F.Bittermann 3 /* Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # [[Winkelfunktionen]] # Tangenten an Schaubilder (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie ([[Punkte, Vektoren und Geraden|Punkte, Vektoren, Geraden]], Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # Parameterfunktionen mit Ortskurven Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 679 677 2012-05-24T20:13:42Z F.Bittermann 3 /* Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) Inhalt der vierten Klausur am 12.6.2012: # Tutorium Blätter 20-23 # Winkelfunktionen # Tangenten an Schaubilder (mit und ohne bekannten Berührpunkt) # Analytische Geometrie (Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem) # Parameterfunktionen mit Ortskurven Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur. == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 677 676 2012-05-14T22:42:35Z F.Bittermann 3 /* Supermarkt im Wohngebiet */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== [[Datei:Supermarkt im Wohngebiet.jpg|rahmenlos|rechts]] In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 676 675 2012-05-14T22:41:46Z F.Bittermann 3 /* Supermarkt im Wohngebiet */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen. Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m. 675 674 2012-05-14T22:38:52Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? ==== Supermarkt im Wohngebiet ==== 674 673 2012-05-13T19:18:48Z F.Bittermann 3 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (h,d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 673 672 2012-05-13T19:17:48Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) <math>f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen: <math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(d)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 672 671 2012-05-09T16:46:21Z Sh.Sievers 12 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung: Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) f'(x)= <math> {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten: <math> 0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23 </math> Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen :<math> x_1 = 10,89</math> ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist) <math> x_2 = 72,02</math> --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen: Tangentengleichung: <math> Y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)</math> [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST)Sarah Sievers[[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(d)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 671 670 2012-05-07T20:06:14Z Sh.Sievers 12 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung: Man sucht den Berührpunkt: Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel) f'(x)= <math> {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)} </math> = <math> {(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> = <math> {1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)} </math> <math> y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0) </math> Ableitung einsetzen und auf 0 setzen [[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST)Sarah Sievers[[Benutzer:Sh.Sievers|Sh.Sievers]] 22:06, 7. Mai 2012 (CEST) ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(d)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 670 668 2012-05-07T18:32:37Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H(d)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 668 667 2012-05-07T18:29:18Z F.Bittermann 3 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Wegbeleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 667 666 2012-05-07T18:28:19Z F.Bittermann 3 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Beleuchtung.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 666 665 2012-05-07T18:27:55Z F.Bittermann 3 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Wegbeleuchtung ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 665 664 2012-05-07T18:27:26Z F.Bittermann 3 /* Wegbeleuchtung */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Wegbeleuchtung ==== Zwei in gleicher Höhe h <math>(h \leq 5)</math>angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten. Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:<br /> <math>H=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}</math> (d in Meter). In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird? 664 663 2012-05-07T18:02:45Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Wegbeleuchtung ==== 663 661 2012-05-07T18:02:28Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Wegbeleuchtung ==== 661 660 2012-04-24T13:48:08Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 660 659 2012-04-24T13:46:52Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 659 658 2012-04-24T13:46:30Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|hochkant=1|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 658 657 2012-04-24T13:45:51Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 657 656 2012-04-24T13:45:19Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|hochkant=1|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 656 655 2012-04-24T13:44:52Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|hochkant=1|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 655 654 2012-04-24T13:42:23Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 654 653 2012-04-24T13:41:52Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 653 652 2012-04-24T13:41:32Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|hochkant=0.8|rechts]] Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 652 651 2012-04-24T13:41:05Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> [[Datei:Flussbett.jpg|rahmenlos|hochkant=0.5|rechts]] Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 651 648 2012-04-24T13:37:23Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> [[Datei:Flussbett.jpg|rechts]] Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 648 647 2012-04-24T13:33:10Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> [[Datei:Flussbett.jpg]] Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 647 646 2012-04-24T13:31:14Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> [[Bild:Flussbett.jpg]] Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 646 645 2012-04-24T13:25:39Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}</math> (alle Maße in Meter).<br /> [[Bild:Flussbett.jpg|Flussbett]] Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 645 644 2012-04-24T12:55:12Z F.Bittermann 3 /* Flussbett */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={20 x^2}\over {x^2+2500}</math> (alle Maße in Meter).<br /> Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt <math>P(150|f(150))</math> des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. <br /> Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 644 643 2012-04-24T12:39:06Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} ==== Flussbett ==== Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit <br /> <math>f(x)={20 x^2}\over {x^2+2500}</math> (alle Maße in Meter). Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. <br /> Im Punkt P(150|f(150))des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann. <br /> Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen. Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens? 643 642 2012-04-24T12:29:36Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung:<br /> bekannte Werte:<br /> <math> \begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix} </math> Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt; <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math><br /> <math> { f(0)= 5,9} </math> <br /> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1,05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= \cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min }} 642 641 2012-04-24T06:28:26Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. Lösung: {| class="wikitable sortable" !Pegelstand in m!! Zeit in Std. |- | 5,9|| 3.47 |- | 3,8|| 9.42 |} Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt ! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math> <math> { f(0)= 5.9} </math> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1.05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={\pi \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>f(t)= 1,05 \cdot cos \left( {\pi \over 355} \right t \right) +4,85 </math> t_max 937 min = 15h 37 min 641 640 2012-04-23T21:21:11Z Sh.Sievers 12 /* Gezeiten */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. Lösung: {| class="wikitable sortable" !Pegelstand in m!! Zeit in Std. |- | 5,9|| 3.47 |- | 3,8|| 9.42 |} Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt ! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math> <math> { f(0)= 5.9} </math> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1.05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={? \over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>{ f(t)= 1.05 \cdot cos( { ?\over 355}\cdot t)+4,85 }</math> t_max 937 min = 15h 37 min 640 637 2012-04-23T21:18:25Z Sh.Sievers 12 /* Gezeiten */ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. Lösung: {| class="wikitable sortable" !Pegelstand in m!! Zeit in Std. |- | 5,9|| 3.47 |- | 3,8|| 9.42 |} Ideen: <math> {f'(0)= 0 }</math> --> Hochpunkt <math>{f'(355)= 0 } </math> -->Tiefpunkt ! 355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr) Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen! Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve zu berechnende Variabeln: <math> {a\cdot cos(b\cdot x)+e} </math> <math> { f(0)= 5.9} </math> <math> {f(355)= 3,8} </math> e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> <math> { 3,8+ 1,05= 4,85 } </math> a: 1.05 <math>{ f(t)= 1,05\cdot cos(b\cdot t)+4,85}</math> Punkt einsetzen um b auszurechnen: <math>{f(3,8)= 1,05\cdot cos b(355)+4,85}</math> <math>{-1= cos(355\cdot b)}</math> <math>{b={pi\over(355)} }</math> Funktion in GTR eingeben: <math>{ f(t)= 1.05 \cdot cos( {pi\over 355}\cdot t)+4,85 }</math> t_max 937 min = 15h 37 min 637 634 2012-04-16T19:59:46Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| 1=Lösung: <br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| Hier erscheint langsam die Lösung, die wohl auch mit der Bestimmung von Amplitude und Frequenz der Welle zu tun hat. }} 634 633 2012-04-11T10:19:20Z Ml.stirm 31 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung:<br /> A=100m²<br /> x<20<br /> y<20<br /> U=2x+2y<br /> A=x*y=100<br /> x=100/y<br /> <br /> Zielfunktion:<br /> u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y<br /> u´(y)=-200/y²+2<br /> <br /> u´(y)=0:<br /> -200/y²+2=0<br /> 2=200/y² /*y² //2<br /> y²=100<br /> y₁=10<br /> y₂=-10 (entfällt)<br /> <br /> Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).<br /> <br /> }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| Hier erscheint langsam die Lösung, die wohl auch mit der Bestimmung von Amplitude und Frequenz der Welle zu tun hat. }} 633 632 2012-03-26T18:46:10Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| Hier sollte bald die Lösung erscheinen. }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} ==== Gezeiten ==== An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).<br /> Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum. Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?<br /> Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis. {{Lösung versteckt mit Rand| Hier erscheint langsam die Lösung, die wohl auch mit der Bestimmung von Amplitude und Frequenz der Welle zu tun hat. }} 632 617 2012-03-25T21:34:27Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| Hier sollte bald die Lösung erscheinen. }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Das soll später die (versteckte) Lösung sein. }} 617 616 2012-03-22T20:08:37Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} 616 615 2012-03-22T20:06:31Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} 615 611 2012-03-22T20:05:59Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} 611 572 2012-03-14T23:13:38Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == ==== Kürzester und längster Zaun ==== Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} ==== Innige Berührung zweier Funktionen ==== Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, und diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung haben, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung. Dieses Verhalten soll für die Funktionen <math>f(x)=3 \sqrt x -2</math> und <math>g(x)=ax^3+bx+c</math> im Punkt <math>P(4|y_P)</math> eintreten. # Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann. # Ermitteln Sie die Gleichung für g(x). # Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall <math>0 \leq x \leq 7 </math>. ''Hinweis:'' Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt. {{Lösung versteckt mit Rand| Dieser Text sollte zunächst versteckt sein. }} 572 571 2012-03-07T08:15:30Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # [[Funktionenscharen|Parameterfunktionen]] # [[Funktionenscharen|Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == '''Kürzester und längster Zaun''' Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand|Dieser Text sollte zunächst versteckt sein.}} 571 570 2012-03-07T08:14:33Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # Parameterfunktionen # [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] # [[Gauß-Algorithmus]] und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben) # [[Ableitungsregeln|Ableitungen]] (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == '''Kürzester und längster Zaun''' Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand|Dieser Text sollte zunächst versteckt sein.}} 570 569 2012-03-07T08:10:19Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # Parameterfunktionen # Ortskurven # Gaußalgorithmus und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben # Ableitungen (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == '''Kürzester und längster Zaun''' Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand|Dieser Text sollte zunächst versteckt sein.}} 569 567 2012-03-07T08:10:00Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # Parameterfunktionen # Ortskurven # Gaußalgorithmus und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben # Ableitungen (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == '''Kürzester und längster Zaun''' Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. {{Lösung versteckt mit Rand|Dieser Text sollte zunächst versteckt sein.}} 567 2012-03-07T08:02:22Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # Parameterfunktionen # Ortskurven # Gaußalg…“ wikitext text/x-wiki == Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs == Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012: # Optimierungsaufgaben # Parameterfunktionen # Ortskurven # Gaußalgorithmus und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben # Ableitungen (Produkt- und Kettenregel) == Wochenaufgaben == '''Kürzester und längster Zaun''' Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein. # Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? wie lang ist der Zaun dann? # Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion <math> U=U(a)</math> an. 0 205 627 626 2012-03-23T11:52:28Z ArndtLa 23 /* Transformation der Sinusfunktion */ wikitext text/x-wiki 626 625 2012-03-23T07:13:03Z SchluckeLa 21 /* Transformation der Sinusfunktion */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion f(x)=a*sin(b(x-c))+d ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== 625 624 2012-03-23T07:12:41Z SchluckeLa 21 /* Transformation der Sinusfunktion */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== [[Datei:C:\Dokumente und Einstellungen\SchluckeLa\Desktop]] Die Grundfunktion f(x)=a*sin(b(x-c))+d ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== 624 623 2012-03-23T07:10:38Z ArndtLa 23 wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion f(x)=a*sin(b(x-c))+d ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== 623 2012-03-23T07:06:25Z ArndtLa 23 Die Seite wurde neu angelegt: „==Transformation der Sinusfunktion==“ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== 0 184 1691 1685 2016-12-08T10:57:30Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Kurvendiskussion]] [[Winkelfunktionen]] [[Tangentenprobleme]] [[Extremwertprobleme]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] [[Rotationskörper]] [[Mittelwertsatz]] === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === [[lineares Wachstum]] [[exponentielles Wachstum]] [[Beschränktes Wachstum]] [[Differenzialgleichungen bei Wachstum]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] [[Spiegelungen]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === <br /> === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> [[Binomialverteilung]] === Testen von Hypothesen === [[linkseitiger Test]] [[rechtsseitiger Test]] === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] b7e526517579be6441ced063e28791cc4e5e5261 1685 1684 2016-09-29T11:08:10Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Kurvendiskussion]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] [[Rotationskörper]] [[Mittelwertsatz]] === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === [[lineares Wachstum]] [[exponentielles Wachstum]] [[Beschränktes Wachstum]] [[Differenzialgleichungen bei Wachstum]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] [[Spiegelungen]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === <br /> === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> === Testen von Hypothesen === [[linkseitiger Test]] [[rechtsseitiger Test]] === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 187257f10ae0d3b3756a8c8eca085b66e29db185 1684 1683 2016-09-29T11:07:40Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Kurvendiskussion]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] [[Rotationskörper]] [[Mittelwertsatz]] === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === [[lineares Wachstum]] [[exponentielles Wachstum]] [[Beschränktes Wachstum]] [[Differenzialgleichungen bei Wachstum]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] [[Spiegelungen]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === <br /> === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> === Testen von Hypothesen === [[linkseitiger Test]] [[rechtsseitiger Test]] === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 4e1543271582d7b857f9d767b06893e0995e975c 1683 1682 2016-09-29T11:04:29Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Kurvendiskussion]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] [[Rotationskörper]] [[Mittelwertsatz]] === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === [[lineares Wachstum]] [[exponentielles Wachstum]] [[Beschränktes Wachstum]] [[Differenzialgleichungen bei Wachstum]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] [[Spiegelungen]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> === Testen von Hypothesen === [[linkseitiger Test]] [[rechtsseitiger Test]] === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 4b17907a575090eb82d134e390ba9c8269455d3f 1682 1681 2016-09-29T11:03:35Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Kurvendiskussion]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] [[Rotationskörper]] [[Mittelwertsatz]] === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === [[lineares Wachstum]] [[exponentielles Wachstum]] [[Beschränktes Wachstum]] [[Differenzialgleichungen bei Wachstum]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] [[Spiegelungen]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> === Testen von Hypothesen === [[linkseitiger Test]] [[rechtsseitiger Test]] === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] c95c73036c4b9c7b001159683498b575a55823e2 1681 1608 2016-09-29T10:59:56Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Kurvendiskussion]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] [[Rotationskörper]] [[Mittelwertsatz]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> === Testen von Hypothesen === [[linkseitiger Test]] [[rechtsseitiger Test]] === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === [[lineares Wachstum]] [[exponentielles Wachstum]] [[Beschränktes Wachstum]] [[Differenzialgleichungen bei Wachstum]] <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] b913aca4f2947cc5ddd434370967b0441b44e47d 1608 942 2015-12-04T08:00:40Z F.Bittermann 3 /* Fortführung der Differenzialrechnung */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Kurvendiskussion]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 812bdffcfa49669230efdd93606a418ecbc05ee1 942 927 2013-01-13T23:23:35Z HerrmannRn 34 /* Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === [[Zufallsexperiment]]<br /> [[Laplace Experiment und Laplace Regel]]<br /> [[Bernoulli Experiment und Bernoulli Kette]]<br /> [[Ereignisbaum]]<br /> [[Relative und absolute Häufigkeit]]<br /> [[Mittelwert]]<br /> [[Median]]<br /> [[Permutation]]<br /> === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 927 924 2013-01-05T17:04:17Z Rn.Bolz 14 /* Abstandsberechnungen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 924 872 2013-01-05T14:38:49Z Rn.Bolz 14 /* Abstandsberechnungen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstand zwischen zwei Punkten]] [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[weitere Abstandsberechnungen]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 872 871 2012-11-27T08:43:06Z F.Bittermann 3 /* Wiederholung Wahrscheinlichkeit */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[weitere Abstandsberechnungen]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 871 870 2012-11-27T08:42:34Z F.Bittermann 3 /* Skalarprodukt und seine Anwendungen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeit === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[weitere Abstandsberechnungen]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 870 869 2012-11-27T08:39:54Z F.Bittermann 3 /* Abstandsberechnungen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkel zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeit === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene]] [[weitere Abstandsberechnungen]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 869 868 2012-11-27T08:36:33Z F.Bittermann 3 /* Skalarprodukt und seine Anwendungen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === [[Definition und Winkel zwischen Vektoren]] [[Winkel zwischen Geraden und Ebenen]] === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeit === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstand Punkt-Gerade]] [[Abstand Punkt-Ebene]] [[weitere Abstandsberechnungen]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 868 867 2012-11-27T08:11:16Z F.Bittermann 3 /* Abstandsberechnungen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeit === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === [[Abstand Punkt-Gerade]] [[Abstand Punkt-Ebene]] [[weitere Abstandsberechnungen]] [[Abstand zweier windschiefer Geraden]] === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 867 771 2012-11-27T08:07:38Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Wiederholung Wahrscheinlichkeit === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 771 732 2012-10-28T14:52:45Z F.Bittermann 3 /* Einführung in die Integralrechnung */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === [[Das Integral]] [[Die Integralfunktion]] [[Die Stammfunktion]] [[Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals]] === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 732 723 2012-07-11T13:10:53Z F.Bittermann 3 /* Ebenen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] [[Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene]] [[Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 723 722 2012-06-19T09:23:07Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 722 699 2012-06-19T09:22:50Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 699 698 2012-06-18T19:55:07Z F.Bittermann 3 /* Ebenen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] [[Ebenengleichungen]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 698 681 2012-06-18T19:52:25Z F.Bittermann 3 /* Ebenen */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] [[Ebenengleichungen]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 681 618 2012-05-24T20:18:15Z F.Bittermann 3 /* Fortführung der Differenzialrechnung */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Tangentenprobleme]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 618 596 2012-03-22T20:11:07Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Winkelfunktionen]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 596 595 2012-03-10T13:55:38Z Mn.Lochmann 8 /* Fortführung der Differenzialrechnung */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] [[Kurvenanpassung]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 595 594 2012-03-10T13:55:09Z Mn.Lochmann 8 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 594 521 2012-03-10T13:53:32Z Mn.Lochmann 8 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] === Kurvenanpassung === === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 521 512 2012-03-05T08:57:55Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Ableitungsregeln]] [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 512 511 2012-02-17T20:44:11Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 511 481 2012-02-17T20:44:00Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Funktionenscharen|Funktionenscharen und Ortskurven]] [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 481 449 2012-02-09T09:04:54Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === [[Punkte, Vektoren und Geraden]] === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 449 448 2012-02-06T14:50:21Z F.Bittermann 3 /* Hilfen zum mathematischen Textsatz: */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 448 447 2012-02-06T14:50:04Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === <br /> == Hilfen zum mathematischen Textsatz: == [http://meta.wikimedia.org/wiki/Hilfe:Mathematische_Formeln Benutzerhandbuch: mathematische Formeln] 447 440 2012-02-06T14:45:35Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === Hilfe zum mathematischen Textsatz bietet z.B. das Handbuch. 440 426 2012-02-02T16:18:29Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == === Folgen und Grenzwerte === === Fortführung der Differenzialrechnung === [[Gauß-Algorithmus]] === Ebenen === === Skalarprodukt und seine Anwendungen === === Einführung in die Integralrechnung === === Testen von Hypothesen === === Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen === === Abstandsberechnungen === === Beweisen mit Hilfe von Vektoren === === Exponentialfunktion und Wachstumsvorgänge === 426 425 2012-02-01T21:46:28Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == [[Gauß-Algorithmus]] 425 421 2012-02-01T21:46:16Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ == Themen der Oberstufe == [[Gauß-Algorithmus]] 421 418 2012-02-01T19:59:47Z F.Bittermann 3 /* Themen der Oberstufe */ wikitext text/x-wiki == Hauptseite der Mathematik == __NOTOC__ === Themen der Oberstufe === [[Gauß-Algorithmus]] 418 2012-02-01T19:53:33Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== Hauptseite der Mathematik == === Themen der Oberstufe === [[Gauß-Algotithmus]]“ wikitext text/x-wiki == Hauptseite der Mathematik == === Themen der Oberstufe === [[Gauß-Algotithmus]] 0 278 1281 953 2013-05-22T11:18:54Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki Unter dem Median oder auch Zentralwert versteht man den Wert, der in der Mitte einer bestimmten Anzahl von Werten liegt. Anders als beim Mittelwert wird jedoch nicht der Wert berechnet sondern seine Position zwischen den anderen Werten.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Für 3 Spielwürfel mit 4, 6 und 10 Seiten ist die Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln unterschiedlich groß. Für das vierseitige Tetraeder beträgt sie <math>\frac{1}{4}</math>, für den sechsseitigen Würfel <math>\frac{1}{6}</math> und für das zehnseitige Oktaeder <math>\frac{1}{10}</math>. Man möchte nun den Wert ermitteln, der in der Mitte zwischen den anderen steht. Man ordnet die Werte erst der Größe nach und ermittelt dann die Mitte.<br /> <math>\frac{1}{10},\frac{1}{6},\frac{1}{4}</math> <br /> Der mittlere Wert und somit der Median ist <math>\frac{1}{6}</math>.<br /><br /> ''Quelle: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/zentralwert-median.html'' 953 2013-01-14T00:56:31Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „Unter dem Median oder auch Zentralwert versteht man den Wert, der in der Mitte einer bestimmten Anzahl von Werten liegt. Anders als beim Mittelwert wird jedoch ni…“ wikitext text/x-wiki Unter dem Median oder auch Zentralwert versteht man den Wert, der in der Mitte einer bestimmten Anzahl von Werten liegt. Anders als beim Mittelwert wird jedoch nicht der Wert berechnet sondern seine Position zwischen den anderen Werten.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Für 3 Spielwürfel mit 4, 6 und 10 Seiten ist die Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln unterschiedlich groß. Für das vierseitige Tetraeder beträgt sie <math>\frac{1}{4}</math>, für den sechsseitigen Würfel <math>\frac{1}{6}</math> und für das zehnseitige Oktaeder <math>\frac{1}{10}</math>. Man möchte nun den Wert ermitteln, der in der Mitte zwischen den anderen steht. Man ordnet die Werte erst der Größe nach und ermittelt dann die Mitte.<br /> <math>\frac{1}{10},\frac{1}{6},\frac{1}{4}</math> <br /> Der mittlere Wert und somit der Median ist <math>\frac{1}{6}</math>. 0 277 1280 952 2013-05-22T11:16:29Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki Die Ermittlung des Mittelwerts findet auch in der Stochastik Anwendung. Um ihn zu finden addiert man alle Werte und dividiert sie danach durch die Anzahl der Werte.<br /> <math>Mittelwert=\frac{Wert1+Wert2+Wert3+...+Wertn}{n}</math> <br /> '''Beispiel:'''<br /> Für 3 Spielwürfel mit 4, 6 und 10 Seiten ist die Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln unterschiedlich groß. Für das vierseitige Tetraeder beträgt sie <math>\frac{1}{4}</math>, für den sechsseitigen Würfel <math>\frac{1}{6}</math> und für das zehnseitige Oktaeder <math>\frac{1}{10}</math>. Man möchte eine Eins würfeln, weiß aber nicht welchen Körper man wirft.<br /> <math>P(1)=\frac{\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+\frac{1}{10}}{3}=\frac{31}{180}</math><br /><br /> ''Quelle: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/mittelwert-arithmetisches-mittel.html'' 952 2013-01-14T00:52:12Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „Die Ermittlung des Mittelwerts findet auch in der Stochastik Anwendung. Um ihn zu finden addiert man alle Werte und dividiert sie danach durch die Anzahl der Wert…“ wikitext text/x-wiki Die Ermittlung des Mittelwerts findet auch in der Stochastik Anwendung. Um ihn zu finden addiert man alle Werte und dividiert sie danach durch die Anzahl der Werte.<br /> <math>Mittelwert=\frac{Wert1+Wert2+Wert3+...+Wertn}{n}</math> <br /> '''Beispiel:'''<br /> Für 3 Spielwürfel mit 4, 6 und 10 Seiten ist die Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln unterschiedlich groß. Für das vierseitige Tetraeder beträgt sie <math>\frac{1}{4}</math>, für den sechsseitigen Würfel <math>\frac{1}{6}</math> und für das zehnseitige Oktaeder <math>\frac{1}{10}</math>. Man möchte eine Eins würfeln, weiß aber nicht welchen Körper man wirft.<br /> <math>P(1)=\frac{\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+\frac{1}{10}}{3}=\frac{31}{180}</math><br /> 0 358 1604 1603 2014-12-03T16:42:18Z Fsggym 10004 wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz oder Trägheitsgesetz wurde von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage, dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken): [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m \cdot a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in <math>m \over s^2</math>) ist. Man misst die Kraft F in <math>1N=1kg \cdot {m \over s^2}</math>. Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit <math>1 kg \cdot {m \over s^2}</math> mit 1 Newton (kurz 1 N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1 (links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. c60cb0438be2f2076ff4b64c111e07dedab44b67 1603 1274 2014-12-03T16:41:03Z Fsggym 10004 wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz oder Trägheitsgesetz wurde von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken): [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m \cdot a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in <math>m \over s^2</math>) ist. Man misst die Kraft F in <math>1N=1kg \cdot {m \over s^2}</math>. Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit <math>1 kg \cdot {m \over s^2}</math> mit 1 Newton (kurz 1 N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1 (links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1aa682f0f1ee96e3af13fc1c128575454068645d 1274 1273 2013-03-19T16:51:57Z F.Bittermann 3 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken): [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m \cdot a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in <math>m \over s^2</math>) ist. Man misst die Kraft F in <math>1N=1kg \cdot {m \over s^2}</math>. Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit <math>1 kg \cdot {m \over s^2}</math> mit 1 Newton (kurz 1 N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1 (links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1273 1272 2013-03-19T16:49:36Z F.Bittermann 3 /* Zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken): [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m \cdot a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in <math>m \over s^2</math>) ist. Man misst die Kraft F in <math>1N=1kg \cdot {m \over s^2}</math>. Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit <math>1 kg \cdot {m \over s^2}</math> mit 1 Newton (kurz 1 N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1272 1271 2013-03-19T16:42:33Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild (zum Vergrößern anklicken): [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1271 1270 2013-03-19T16:41:15Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild: [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|500 px|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1270 1269 2013-03-19T16:40:50Z F.Bittermann 3 /* Erstes Newtonsche Gesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild: [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|200 px|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1269 1267 2013-03-19T16:38:20Z F.Bittermann 3 /* Erstes Newtonsche Gesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild: [[Datei:Newton 1.GG.jpg|rahmenlos|1. Newtonsches Grundgesetz]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1267 1266 2013-03-19T16:33:24Z F.Bittermann 3 /* Erstes Newtonsche Gesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F₁ – F₂ = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild: [[Datei:Newton 1.GG.jpg]] == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1266 1264 2013-03-19T15:26:19Z JakiCa 85 wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. Sind zwei Kräfte gleich null (F1 – F2 = 0) bleibt der Körper in seinem Zustand, dies verdeutlichtet das Bild: == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1264 1263 2013-03-19T15:25:26Z StirmCh 81 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse derselben resultiert. 1263 1262 2013-03-19T15:21:44Z WagnerKm 77 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse resultiert. 1262 1261 2013-03-19T15:19:35Z StirmCh 81 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer an der gleichen Stelle treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse resultiert. 1261 1260 2013-03-19T15:17:28Z StirmCh 81 wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. Person 1(links) zieht mit einer Kraft an Person 2. Es wirkt eine Gleichgroße Gegenkraft auf Person 2, die diese zu Person 1 zieht. Person 2 bewegt sich langsamer was aus einer größeren Masse resultiert. 1260 1259 2013-03-19T15:03:31Z 10iMädchen 75 /* zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== Diese Versuche bestätigen die Aussage des 2. Newtonschen Grundgesetzes --> Je größer die einwirkende Kraft (Masse des angehängten Gewichts), desto größer auch die Beschleunigung. In diesem Fall wird der Wagen durch ein schwereres Gewicht, dass den Wagen zieht, schneller und bei dem Versuch, bei dem das Gewicht auf dem Wagen befestigt wird, dementsprechend langsamer. == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1259 1258 2013-03-19T15:01:48Z JakiCa 85 wikitext text/x-wiki == Erstes Newtonsche Gesetz == Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == Zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1258 1257 2013-03-19T14:56:40Z 10iMädchen 75 /* zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki '''1.Newtonsche Gesetz''' Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über dieselbe Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert und die Zeit gemessen. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: Gewicht: 60g {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: Gewicht: 20g; Bei diesem Versuch wurde zusätzlich ein Gewicht von 500g auf dem Wagen befestigt.{{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: * Versuch 1: m=20g t= 2,46 s * Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s * Versuch 3: m(auf dem Wagen)= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1257 1256 2013-03-19T14:55:21Z JakiCa 85 /* erstes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki '''1.Newtonsche Gesetz''' Das Erste Newtonsche Gesetz, auch das Trägheitsgesetz genannt, wurde, nicht wie angenommen zuerst von Newton, sondern von Galileo Galilei formuliert. Dieses Gesetz beinhaltet die Aussage: Dass ein Körper seine Bewegungsform nicht ändert, solange keine anderen Kräfte, die ihn zu einer Änderung des Bewegungszustandes führen, auf ihn einwirken. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers immer konstant bleibt, wenn keine ändernde Kraft auf ihn einwirkt. Die Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch eine ausreichend starke, von außen einwirkende Kraft geschehen. == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über eine Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: {{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1256 1255 2013-03-19T14:50:16Z 10iMädchen 75 /* zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == <span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span> == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === ==== Beschreibung ==== In diesem Versuch wird ein Wagen von einem Gewicht über eine Fahrbahn gezogen. Dabei wurden die Gewichte immer verändert. * Versuch 1: Gewicht: 20g {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: {{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s ==== Auswertung ==== == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1255 1253 2013-03-19T14:49:38Z WagnerKm 77 wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == <span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span> == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === <span style="color: red">Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?</span> * Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: {{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: {{#ev:youtube|VloOVI7vVVw}} In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1253 1251 2013-03-19T14:46:58Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == <span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span> == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === <span style="color: red">Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?</span> * Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: {{#ev:youtube|f61BLSQ0LtM}} * Versuch 3: {{#ev:youtube|Fsej6_NGMmk}} Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1251 1250 2013-03-18T09:58:25Z F.Bittermann 3 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == <span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span> == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === <span style="color: red">Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?</span> * Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]] * Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]] Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. <span style="color: red">Genauer erklären: Wo ist die Kraft, auf welchen Körper wirkt sie? Wo ist die GEgenktraft und auf welchen Körper wirk diese?</span> 1250 1249 2013-03-18T09:57:19Z F.Bittermann 3 /* Versuche */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == <span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span> == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === <span style="color: red">Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es?</span> * Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]] * Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]] Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. 1249 1248 2013-03-18T09:56:45Z F.Bittermann 3 /* Versuche */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == <span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span> == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === Die Versuche kurz erklären: Was wird zu welchem Zweck für ein Experiment durch geführt? Welche Ergebnisse gibt es? * Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]] * Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]] Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. 1248 1246 2013-03-18T09:55:21Z F.Bittermann 3 /* erstes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == <span style="color: red">Wo ist der Wiki-Eintrag?</span> == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === * Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]] * Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]] Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. 1246 1244 2013-03-12T15:24:35Z 10iMädchen 75 /* zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === * Versuch 1: {{#ev:youtube|zdbjufef_bo}} * Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]] * Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]] Versuchsergenbisse: Versuch 1: m=20g t= 2,46 s Versuch 2: m= 60g t= 1,8 s Versuch 3: m= 500g t= 3,21 s == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. 1244 1243 2013-03-12T15:14:55Z 10iMädchen 75 /* zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. === Versuche === * Versuch 1: [[http://www.youtube.com/watch?v=zdbjufef_bo]] * Versuch 2: [[http://www.youtube.com/watch?v=f61BLSQ0LtM]] * Versuch 3: [[http://www.youtube.com/watch?v=Fsej6_NGMmk]] == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. 1243 1242 2013-03-12T15:11:51Z TalerNi 83 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. Versuch 1: == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht, die Personen sich immer in der Mitte treffen. 1242 1240 2013-03-12T15:10:37Z TalerNi 83 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. Versuch 1: == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> Beispielvideo: (VIDEO) In diesem Video kann man erkennen, dass egal welche Person zieht die Personen sich in der mitte treffen. 1240 1237 2013-03-05T13:41:43Z TalerNi 83 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. Versuch 1: == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. <math>\vec F_{A \to B}=- \vec F_{B \to A}</math> 1237 1228 2013-03-05T13:30:51Z TalerNi 83 /* drittes Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. Versuch 1: == drittes Newtonsches Grundgesetz == Das dritte Newtonsche Grundgesetz ( Wechselwirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip ) lautet nach Newton : „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“ In einfacheren Worten bedeutet das, dass auf jede Kraft (actio) eine gleich große Gegenkraft (reactio) wirkt. 1228 1226 2013-02-26T15:22:12Z 10iMädchen 75 /* zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. Versuch 1: == drittes Newtonsches Grundgesetz == 1226 1220 2013-02-26T15:02:06Z 10iMädchen 75 wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> An der Formel kann man erkennen, dass die Kraft das Produkt aus Masse (m in kg) und Beschleunigung (a in m/s²) ist. Man misst die Kraft F in 1N=1kg*1m/s² -> 1N=1kg*(m/s²). Zu Ehren von Newton kürzte man die Einheit 1kg*(m/s²) mit 1 Newton (kurz 1N) ab. == drittes Newtonsches Grundgesetz == 1220 1205 2013-02-19T15:24:52Z 10iMädchen 75 /* zweites Newtonsches Grundgesetz */ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == Das zweite Newtonsche Grundgesetz (=Kraftgesetz) lautet in der Originalfassung nach Newton: "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." In einfacheren Worten bedeutet das, dass die Bewegung sich immer in Richtung der einwirkenden Kraft ändert und die Beschleunigung proportional zur Kraft ist. Das heißt, je größer die einwirkende Kraft, desto größer auch die Beschleunigung. <math>F=m*a</math> == drittes Newtonsches Grundgesetz == 1205 2013-02-19T12:03:15Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == == drittes Newtonsches Grundgesetz ==“ wikitext text/x-wiki == erstes Newtonsches Grundgesetz == == zweites Newtonsches Grundgesetz == == drittes Newtonsches Grundgesetz == 0 279 1282 954 2013-05-22T11:19:56Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki Die Permutation entspricht der Menge an Möglichkeiten ''P'' eine bestimmte Anzahl ''n'' von Elementen unterschiedlich anzuordnen. Um sie zu berechnen multipliziert man die Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente ''n'' mit jeder niedrigeren, natürlichen Zahl oder man berechnet ''n''!.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man hat vier verschiedenfarbige Blätter und möchte sie als Dekoration jeden Tag in einer anderen Reihenfolge nebeneinander in eine Reihe legen. Ab dem wievielten Tag muss sich das Muster wiederholen?<br /> <math>P=4\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24 </math><br /> Nach dem 24. Tag muss sich das Muster spätestens wiederholen.<br /><br /> ''Quelle: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/permutation.html'' 954 2013-01-14T01:04:33Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „Die Permutation entspricht der Menge an Möglichkeiten ''P'' eine bestimmte Anzahl ''n'' von Elementen unterschiedlich anzuordnen. Um sie zu berechnen multiplizie…“ wikitext text/x-wiki Die Permutation entspricht der Menge an Möglichkeiten ''P'' eine bestimmte Anzahl ''n'' von Elementen unterschiedlich anzuordnen. Um sie zu berechnen multipliziert man die Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente ''n'' mit jeder niedrigeren, natürlichen Zahl oder man berechnet ''n''!.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man hat vier verschiedenfarbige Blätter und möchte sie als Dekoration jeden Tag in einer anderen Reihenfolge nebeneinander in eine Reihe legen. Ab dem wievielten Tag muss sich das Muster wiederholen?<br /> <math>P=4\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24 </math><br /> Nach dem 24. Tag muss sich das Muster spätestens wiederholen. 0 224 873 752 2012-11-27T08:44:40Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki * [[Klasse 10]] 752 2012-10-04T14:14:16Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „[[Klasse 10]]“ wikitext text/x-wiki [[Klasse 10]] 0 192 559 509 2012-03-06T18:16:50Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor eines Punktes ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. <ggb_applet width="1226" height="688" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> <br /> Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. == Übungen == {{Aufgabe|Gegeben ist ein Punkt P. Der Punkt P wird gespiegelt <br/> (1) an der x₁x₂-Ebene; (2) an der x₃-Achse.<br/> Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes zu folgenden Punkten. P(1/2/3) Q(-1/2/-3) R(1/0/-3) S(4/-1/0) }} <quiz display="simple"> {Die Koordinaten der Bildpunkte sind (hake die richtige Lösung an):} {P' hat die Koordinaten} - (-1|-2|-3) + (1|2|-3) - (-1|2|3) - (1|-2|3) {Q' hat die Koordinaten} + (-1|-2|-3) - (1|-2|-3) - (-1|2|3) - (1|-2|3) {R' hat die Koordinaten} - (-1|0|-3) - (1|0|3) - (-1|0|3) + (1|0|-3) {S' hat die Koordinaten} - (-4|-1|0) + (4|-1|0) - (4|1|0) - (-4|1|0) </quiz> 509 508 2012-02-16T12:53:27Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor eines Punktes ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. <ggb_applet width="1226" height="688" version="4.0" 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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> <br /> Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. == Übungen == {{Aufgabe|Gegeben ist ein Punkt P. Der Punkt P wird gespiegelt <br/> (1) an der x₁x₂-Ebene; (2) an der x₃-Achse.<br/> Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes zu folgenden Punkten. }} # P(1|2|3) # Q(-1|2|-3) # R(1|0|-3) # S(4|-1|0) <quiz display="simple"> {Die Koordinaten der Bildpunkte sind (hake die richtige Lösung an):} {P' hat die Koordinaten} - (-1|-2|-3) + (1|2|-3) - (-1|2|3) - (1|-2|3) {Q' hat die Koordinaten} + (-1|-2|-3) - (1|-2|-3) - (-1|2|3) - (1|-2|3) {R' hat die Koordinaten} - (-1|0|-3) - (1|0|3) - (-1|0|3) + (1|0|-3) {S' hat die Koordinaten} - (-4|-1|0) + (4|-1|0) - (4|1|0) - (-4|1|0) </quiz> 508 507 2012-02-16T07:15:13Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor eines Punktes ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. <ggb_applet width="1226" height="688" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIANBdTkAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACADQXU5AAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbO1c63LbNhb+nT4FhtvpOFtfCIDgJbHb6WU6m1m3libZTneTTIaiYJk1RaokdU3zUO2D9Jn2ACApUqRlSrEUO+lMYt5A4JzznfPh4EKdfj0bBmjC48SPwjMNH+sa4qEX9f1wcKaN08sjW/v6q89OBzwa8F7sossoHrrpmWaIkn7/TOt7FjddZh3pjsGODKPvHfWwaxxx3bKJSahHe66G0Czxn4TRT+6QJyPX48+9Kz50zyPPTWXDV2k6enJyMp1Oj/OmjqN4cDIY9I5nSV9DIGaYnGnZyROorvLSlMriRNfxyS8/nqvqj/wwSd3Q4xoSKoz9rz57dDr1w340RVO/n16BwoQaGrri/uAKlLKxqaETUWoEFhlxL/UnPIF3S5dS6XQ40mQxNxTPH6kzFBT6aKjvT/w+j880/Zgapk4cbFEDO5ZFsYai2OdhmpXFWZsneW2nE59PVbXiTLYIUqZRFPRcUSP6/XdEdKKjQ3HA6kDgYJrqka7u6VQdiDoY6sBUGUO9bqiihipjqDIG1dDET/xewM+0SzdIwIR+eBkDfMV1ks4DLuXJbiy1x4egU+IvoDC0pyFlcxD8UD80dPlf6VxSEJdaTOPxhg3mzWFCzHbtkffSkOYNGsSqtkdu0s9c06BSuJWCrGRPph/Kf/J/rUW6TsXVFtX1+zVoGntR8fQkj4/TLCRQciXKZm6T8mEigoQ6iDnC1zFiEBCmBa7NEHbgYBEEIYAwQwaDS2wjUxwtRC14YCCKbCTKYYpkRDAb/hiWrMxEDCoTdy0IRIShIQMxirAMJANB+CAZjBCYhEIJxhCDl0TzmIgqqIkME66ojQyQUcShhaEghRfhGponiGJExcvYQsREpqgPGyK+TVuIDlUSZOrIxKJCCGUIYxXCUN5GVGiTc5kfjsZpxUTesJ+fptGowAJKAwktqU6RUoUJH50Gbo8H0Ds8F0giNHEDEQ2yocsoTFERiOreIHZHV76XPOdpCm8l6Fd34p67KZ/9AKWTvG1Z1ovCpBNH6XdRMB6GCUJeFOiFzFGAS+ekkBouaOmBUX7ASg/M0rnV2G4ET9A44dB+FCd5cbfffyZKLGkBLHkRBvNvY+5ejyK/qsbpiexoTvnYC/y+74Y/g7OKVoRd0LLfETyV9zumqeeSRHH/+TwBF0az//E4gmdYP8amzWzm6A7FFrw2V0+oQ48ZYRT6XeB2Rig8SjxXBB/VnWNiWBhbOtNNmzjireZnlBiqbT4pMHJnfKnuIBaxXbp4lnwbBctb0gLfuaN0HMukAeI4Fmp9Ew4CLr1Eki30yN51L5o9V+5BVV0v5iO4yrTvDaTlEbADYQwKZMeeOsoyQrSilCCcgTr05CFzOb9fFMEOkWXksaeOshT4sJIu0xbnmmI9b8lPJK3pWhY8OWWJCBBd/Dj00/P8IvW960zb7IWfxsMeL/yoWie+uzqF1JBtJOkvItcgTJMX/y1fvLjiqStugJMwx7YsBn+JY9vKYVdc9fSaxyEPssgAjxhH40QF+rLVPvf8Iciu7mc2dQXk/wEN1N0+H8Q81zyQSZ2yuHxacfnabVnVD3E0fBZOXoA/qYelKMuFPE282B8Jv0U96Eyu+dIzQXUX+qJ++T0RyaCFJ/ocsG8qbAsxPk6vIvCWL9zh6KkXjeZP0Q/H6Fs/TTmku2EIdQFlQUkR2AEfQvKGUum6Us4Cv7/+kGkhyDrO1GHHOjGZYRODWQY1TUeplwQiOURDP5TQDt0Z+O8xsSm2GdUtbDnMhph1ewlwYQrpMhgyXKbLiplyLtF1kYxDDcQWJ3PISqi8denPSuYADf0FAFoFUngVinq/AsUXWYBSZlkGHhcBpctw0mUwwV83GF1J18JZWLlz0KuMpKztx6ifGQSvhl8K3cM1JL6JpIk0IwR58i+/3+dh8Y4be4I9sj6ncBTwQ4kmsOZISKJjy2CUOIRhxzHgBKIAujCuwq5oYASiSsIq9QTueOYHvhvPq+4OIaJAvw3+P1fhh+QfG5g54AOU2Y7l0J3i7+T4M/Nv/HeDvxcNgRH6KJRZ7bMQGCIB22nLTMuFnGX2DTA9WAdSlrk8VXYcp3mBC1VvVlvNr2SnWiBxoW2DVK13XIKltwRLX2uWjLwT4Xp65nlH8mShphLUUFqoUsKtfHeF9itxNhvF4BQC2EzLCaAHd8+0xA8P/vrjsUpYq3YLx0Me+55WemclIkFAh2GdmQyb4BqYQdq0qZO3oYma+NNc/CMvSoT86J9IavJnK02mTZroDjMcGC8RGxNGTEL2o8osV+Vggg/RFD/Wqm5b16bqzzO8lUNjPcvldFIkhbv06SZXyX28Zvi78Pkqt/wMdoniFWK5UKQywzVG4Xg9pUxUdbmJ+XYY3ORO661/cXmZ8FTaFIYb0obGvsFZyrhF11PKUhOVkHtunPIEkuasG03huiMAVpFx0YLPSBZFGR+04jPSkGHojo5N0dVZhmNYhO6Jz0iVjjeks5oiABxxqA2pEjGxYcJwlll7ojNS0BkBOiMb0xl5EHTW5ClZxNQNv2c6I3U6I5vR2XYYbEdne7H+h+ar9TxE6zykNwwoqtMbpUx7B0OK+kgA3+nAr86AtEzgLXmvwXAr/RjbE+vRgvUosB7dmPXoA2E9NTBpMPOeOY7WOY5uxnHbWfx9UzZb2W+3ONxrtuu8qQ2+muluD/MnebOlCaQjks0gke1nDBltO2G01cxNfZKm7aTMJig1JMcfF0p262nde4xSy9Th4aKEdfshwFQfkHayjAD4DkZzE4y+RBBU4pTIUypOaatxaudGkFsDeEvyVRV2uhR2uhR22krY6c6F7RSpVgdSrc6mqVZnq36f6MbdjG6aOvFdTfJ23rydHc7f5fZq8MRD1ID4xhbNmrllwLLrifW9zp93ZqtWXZpyY/vN7o/pjvZhu/nSdks33NL35vfHdnduuup46DkfiPsrA6IixsWwCKyxOizqvemsHxclWbW5vcQL6xlyw5mHOyPIlsMa3NzT89/CyqjGH44C3/PTwmKB6N+LNUjw12Rln8Sj02vOR2KXzUX4InbDROzfre2leB/4auh5m6Ln3Rv0jj42+H4bc7H9uYpfhupLWWHgpvzlxSFSMxcvOUYniAGtXb9+fYiWJWakschr5QTXcCAy93QpSBaAQQ++99Xe65cz6GYuXsM75zwcpFfw/mt4mT2uOc65H/o8BOcC31rrQAFUXfhG+a2tvAgzKv2I4fd1pG2S+XY0e1TLMXeHNN0j0outkF5sibRemXj8ZIAmNwCNG4u0ApqsAE1uAXo+2wZo8dbfIX0HSNM9Ir1VSM+3Dek7XU14WGDT28Oabgg2XQGb3gL2YquwXmwb1p8of98ENNkj0FulZIutU7KPJaobh0+zbOSUDaNWbe5uOn5y78346QENn27f2t2LooC74dLMq5PEpWb2vSTLHLUoa67FxR3JVQJ572ce9/ywPw4HyYRfA2kgN1xwf8DD2ye/XvBZamTzX1/8No7Sp/8WkPsh0FCYqK+V+jG/4uET9VirT4GlUIdWrfBD+mzz0g4StsVqHyF12Hr/WF1F6NYXiYvJtAe+sMXyhS2bPISFrVtgqq0SfywwmRlMBOOPAKbaMvFHB5PxIGBq7A4qvUFnHF6nqHuA1CX6EgEXwl91+XvpLmm4e9CVS7Xq+nF2aFpFqXUh97UHcRRZshYLw0IN3GDMzkFhn06jLTuNthSr3l9WTdnKkrd9C/CBTUlarNDN3owyOwrnOxJma7P2L167iWfuaPF/XpKMSMlIG8nmu5dsUZKMSsla7ZdY7F4y4ZSkEhf1BPbzV9GEx/JbczeOo+nbTvfd52gClXTQYoy6T774B9afNhZDZ68CfpkevOrxgR++hfvu/N1b792SlM7dF/yXl+Adrx8XEfXq1erz+S3PF5Xn6BUP+1ljr6RAj9EGQXrbDvfqLxr0fcX94scKstLuziLYT6S+q7s/5Q9CJOA7l8sfT5Cf/+taPqhrkY9nvaVVJ4H1GUTLPZsfcov63W5QX2+OlpsjPxVzPIAPGHb8+cKkW+ows01W3eV2v+4m2/26DV9zmQbRYRRNsCN+qyr/dY672v5XFX66FH66FL7l9r+a8PoxM7FpEWpblJrU0Tf9EG297N1iN2D3EE27m+4f6n7gr8Er+yVqIKv5v5r9drMtq1tsaesWW9q6W25p696vLW37/fK4wbTzpWnzHW/dLXe8de/Vjrc9fwXZYNrqHtcG+l16cYnWNrb6fdvjehNdwH0wPLUNTGyH2ZZJ7L3tRexmqzHdG1djupuuxtzGz/tbjWlw6PkNEbBouJ9/ov8gFm9agV3eudht2ni6Idi9ewN2c8/Q9L2d+UmCXcPa2xRr7z5hvYKpUVl2FTyLdRMDlWIdSJVa9OGC2/hJbecmVEfrMV35oHa0gxmV/JcLt1/czTpFZyc5+H6/s+2sYntS/v09cZ3/2vNX/wdQSwcIDEkDcg8NAACKWgAAUEsBAhQAFAAIAAgA0F1OQEXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACADQXU5ADEkDcg8NAACKWgAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAKcNAAAAAA==" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> <br /> Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. == Übungen == {{Aufgabe|Gegeben ist ein Punkt P. Der Punkt P wird gespiegelt (1) an der x₁x₂-Ebene; (2) an der x₃-Achse. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes. 1.) P(1|2|3) <br /> 2.) Q(-1|2|-3) <br /> 3.) R(1|0|-3) <br /> 4.) S(4|-1|0) }} <quiz display="simple"> {} {P' hat die Koordinaten} - (-1|-2|-3) + (1|2|-3) - (-1|2|3) - (1|-2|3) </quiz> 507 506 2012-02-14T10:56:06Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor eines Punktes ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. <ggb_applet width="1226" height="688" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> <br /> Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. 506 505 2012-02-14T10:47:45Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" 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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. <ggb_applet width="1226" height="688" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. <ggb_applet width="1208" height="670" version="4.0" ggbBase64="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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> <br /> Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. 505 501 2012-02-11T11:09:29Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1200" height="661" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. <ggb_applet width="1200" height="663" version="4.0" 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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. <ggb_applet width="1200" height="661" version="4.0" ggbBase64="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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" /> <br /> Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. 501 500 2012-02-09T20:48:31Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1000" height="551" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. <ggb_applet width="1000" height="602" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. <ggb_applet width="1000" height="551" version="4.0" ggbBase64="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showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" /> Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. 500 498 2012-02-09T20:45:34Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. <ggb_applet width="1000" height="551" version="4.0" 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Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. 498 497 2012-02-09T19:43:45Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec u</math> mit den Schiebereglern verändert werden. Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. 497 496 2012-02-09T17:20:43Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. == Geraden im Raum == Geraden werden mithilfe einer Parametergleichung beschrieben. Das Arbeitsblatt zeigt alle dazu nötigen Elemente: * ein Punkt P der Gerade; der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der '''Stützvektor''' <math> \vec p </math> der Gerade * ein Vektor, der die Richtung der Gerade, von P ausgehend, beschreibt; dieser Vektor ist der '''Richtungsvektor''' <math> \vec u </math> der Gerade Im Arbeitsblatt können die Koordinaten von P und <math>\vec x</math> mit den Schiebereglern verändert werden. Alle Punkte X zusammen bilden die Gerade. Der Vektor <math>\vec x</math> ist der Ortsvektor zu jedem Punkt X der Gerade. Der Parameter t ist nötig, um jeden Punkt der Gerade beschreiben zu können. 496 490 2012-02-09T17:04:00Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math> \vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. 490 488 2012-02-09T13:57:52Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=0.9|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. == Punkte im Raum == Punkte im dreidimensionalen Vektorraum haben drei Koordinaten. Diese werden waagerecht geschrieben. Vektoren dagegen werden, mit = getrennt, senkrecht geschrieben. Ein Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der die Verschiebung vom Ursprung zum entsprechenden Punkt beschreibt. Im Arbeitsblatt kann dies nachvollzogen werden. Durch Veränderung der Koordinaten des Punktes P (mithilfe der Schieberegler) ändert sich auch der Ortsvektor <math> \vec{p}</math> des Punktes. == Vektoren im Raum == Ein Vektor stellt eine Verschiebung eines Punktes im Raum dar. Der Pfeil repräsentiert dabei den Vektor, wobei jeder Vektor durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden kann; abhängig davon, wo die Verschiebung beginnt. Im Arbeitsblatt stellt der Vektor <math>\vec{PQ}</math> eine Verschiebung vom Punkt P zum Punkt Q dar. Mit den Schiebereglern können wieder die Koordinaten der Punkte P und Q verändert werden. 488 487 2012-02-09T13:40:34Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=1|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. 487 484 2012-02-09T13:39:41Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg|rahmenlos|hochkant=1|rechts|]] Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und um <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. 484 483 2012-02-09T13:34:15Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und um <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. [[Datei:Koordinatensystem3D.jpg]] 483 482 2012-02-09T12:53:57Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki Ein Koordinatensystem eines dreidimensionalen Vektorraumes zeichnen wir, indem wir die x₁-Achse 45° geneigt und um <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. Das heißt, dass (üblicherweise) auf den x₂- und x₃-Achsen 2 Kästchen eine Längeneinheit darstellen, während auf der x₁-Achse eine Längeneinheit ein Kästchen diagonal repräsentiert. 482 2012-02-09T09:09:21Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „Im dreidimensionalen Vektorraum zeichnen wir ein Koordinatensystem, indem wir die x_1-Achse 45° geneigt und um <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeic…“ wikitext text/x-wiki Im dreidimensionalen Vektorraum zeichnen wir ein Koordinatensystem, indem wir die x_1-Achse 45° geneigt und um <math> {1 \over 2} \sqrt{2} </math> verkürzt zeichnen. 0 276 1279 951 2013-05-22T11:14:15Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki '''Absolute Häufigkeit:'''<br /> Unter der absoluten Häufigkeit versteht man die Anzahl der möglichen positiven Ergebnisse. Es wird dabei nicht berücksichtigt, wie viele Ergebnisse insgesamt möglich sind.<br /> ''absolute Häufigkeit=positive Ergebnisse''<br /> '''Relative Häufigkeit:'''<br /> Unter der relativen Häufigkeit versteht man den Anteil der positiven Ergebnisse an der Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse.<br /> ''relative Häufigleit = absolute Häufigkeit / alle möglichen Ergebnisse''<br /><br /> ''Quelle: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/absolute-relative-haeufigkeit.html'' 951 2013-01-14T00:38:44Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „'''Absolute Häufigkeit:'''<br /> Unter der absoluten Häufigkeit versteht man die Anzahl der möglichen positiven Ergebnisse. Es wird dabei nicht berücksichtigt…“ wikitext text/x-wiki '''Absolute Häufigkeit:'''<br /> Unter der absoluten Häufigkeit versteht man die Anzahl der möglichen positiven Ergebnisse. Es wird dabei nicht berücksichtigt, wie viele Ergebnisse insgesamt möglich sind.<br /> ''absolute Häufigkeit=positive Ergebnisse''<br /> '''Relative Häufigkeit:'''<br /> Unter der relativen Häufigkeit versteht man den Anteil der positiven Ergebnisse an der Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse.<br /> ''relative Häufigleit = absolute Häufigkeit / alle möglichen Ergebnisse'' 0 323 1073 1072 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Verhaltensregeln für Wiki-Autoren === Das ''{{SITENAME}}'' ist ein '''öffentliches Portal''' in der [[:wikis:|Wiki-Family auf ZUM.de]], das weltweit eingesehen werden kann. Es ist kein Diskussionsforum, kein Chat, kein Ort zur Selbstdarstellung, keine Plattform für Streitereien, Beleidigungen oder Mobbing, keine Tauschbörse. Jede Änderung oder Neuanlegung eines Beitrages wird protokolliert; es ist nachvollziehbar, '''Wer Was Wann''' geschrieben, geändert oder gelöscht hat. Rechtschreibfehler und Unwahrheiten können von den angemeldeten Benutzern korrigiert und Beiträge ergänzt werden. '''Beachte folgende Richtlinien''': <div style="padding:1px;background:#FFC125;border:0px groove;"> *'''Schreibe sachlich''': Zitiere Publikation(en), die deine Aussagen belegen. *'''Schreibe verständlich''': Versteht jeder deiner Bekannten deine Aussage sofort? *'''Schreibe in ganzen Sätzen''': Ein Satz enthält mindestens ein Subjekt und ein Prädikat. *'''Schreibe grammatikalisch richtig'''. *'''Achte auf die Rechtschreibung'''. </div> </td></tr></table></center> </div> <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Bildrechte/Urheberrecht === * Der einfachste Fall: das Bild wird selbst erstellt, fotografiert oder gezeichnet * Abgebildete Personen muss man fragen, ob sie mit der Veröffentlichung einverstanden sind * Stammt das Bild '''nicht von Dir''' (sondern z.B. aus dem Internet) oder hast Du etwas fotografiert, das jemand anderes hergestellt hat, muss der Rechteinhaber in die Veröffentlichung einwilligen * Dazu kann per E-Mail um Erlaubnis gefragt werden. Die erhaltene Genehmigung muss beim Hochladen der Abbildung mit angegeben werden (die E-Mail an die Administratoren weiterleiten!) *Bildrechte außer bei selbst erstellten Bildern immer im Einzelfall klären!''' *Es ist nicht erlaubt, Kopien aus Schulbüchern hochzuladen und darzustellen, weder als Bild noch innerhalb von Dateien. '''Beachte beim Hochladen von Dateien und Bildern: :Im Textfeld '''Beschreibung/Quelle''' müssen folgende Angaben gemacht werden: <div style="padding:1px;background:#FFC125;border:0px groove;"> * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? * '''Quelle''': Woher stammt die Datei? (URL angeben bwz. selbst fotografiert/erstellt/gezeichnet...) * '''Urheber''': Wer hat die Datei erstellt? * '''Datum''': Wann ist es entstanden und/oder erstveröffentlicht? (nicht das Datum eintragen, an dem das Bild hochgeladen wird!) *''' Genehmigung''' (auszufüllen, wenn du nicht der Urheber bist): Hat dir der Urheber die Nutzung explizit erlaubt? 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Es ist kein Diskussionsforum, kein Chat, kein Ort zur Selbstdarstellung, keine Plattform für Streitereien, Beleidigungen oder Mobbing, keine Tauschbörse. Jede Änderung oder Neuanlegung eines Beitrages wird protokolliert; es ist nachvollziehbar, '''Wer Was Wann''' geschrieben, geändert oder gelöscht hat. Rechtschreibfehler und Unwahrheiten können von den angemeldeten Benutzern korrigiert und Beiträge ergänzt werden. 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Wenn ja, wie/wo kann man das überprüfen? * '''Lizenzangabe:''' Unter welcher Lizenz wurde das Bild veröffentlicht (fremdes Bild) bzw. soll es jetzt veröffentlicht werden (eigenes Bild)? </div> '''ACHTUNG: Bei fehlenden Angaben wird das Bild von den Administratoren gelöscht. </td></tr></table></center> </div> <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Regelverstoß === Benutzer, die gegen die '''Wiki-Richtlinien''' verstoßen, werden vom Administrator gesperrt und können nicht mehr im ''{{SITENAME}}'' mitarbeiten. </td></tr></table></center> </div> [[Kategorie:Projekt-Regeln]] <noinclude>[[Kategorie:Seiten-Export]]</noinclude> 0 531 1887 1886 2018-12-01T12:49:35Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. Diese Animation zeigt den Aufbau eines Rotationskörpers, man muss sich den gezeigten Körper ausgefüllt vorstellen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x) = 1.png|thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x) = 1]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper von der y-Achse zu der x-Achse.png|thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper von der y-Achse zu der x-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Um das Volumen eines solchen Rotationskörpers zu bestimmen, wird dieser mithilfe der Umkehrfunktion so "gedreht", dass dieser um die x-Achse rotiert, dann kann das Volumen wie zuvor bei der <br> Rotation um die x-Achse beschrieben berechnet werden ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Volumens ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> b4cce8627c5543f1948f1b6303b36a7152c9d5d0 1886 1885 2018-12-01T12:37:46Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x) = 1.png|thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x) = 1]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper von der y-Achse zu der x-Achse.png|thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper von der y-Achse zu der x-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Um das Volumen eines solchen Rotationskörpers zu bestimmen, wird dieser mithilfe der Umkehrfunktion so "gedreht", dass dieser um die x-Achse rotiert, dann kann das Volumen wie zuvor bei der <br> Rotation um die x-Achse beschrieben berechnet werden ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Volumens ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 5b06edcd1c8c03f2d006136d3f1ac1818d4135a0 1885 1883 2018-12-01T12:28:17Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x) = 1.png|thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x) = 1]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper von der y-Achse zu der x-Achse.png|thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper von der y-Achse zu der x-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 6ec8f61c4bf00c7772bc878ec6bd765ecc1f6928 1883 1882 2018-12-01T12:01:18Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x) = 1.png|thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x) = 1]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 878e71bee4d9409df27f013e4f2ebf0cd5e8f757 1882 1875 2018-12-01T11:59:22Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die x - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x) = 1.png|thumb|Rotationskörper der Funktion f(x) = 1]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> a95d930c65e04cc1a9910f0e8b98d759a85ad730 1875 1874 2018-11-29T11:38:19Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 4e9be52f91a13628c7be80d38802bb0b3d51837c 1874 1870 2018-11-29T11:37:36Z Simon Cronauer 10025 Änderung 1870 von [[Special:Contributions/󠀡󠀡Simon Cronauer󠀡󠀡|󠀡󠀡Simon Cronauer󠀡󠀡]] ([[User talk:󠀡󠀡Simon Cronauer󠀡󠀡|Diskussion]]) rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> bdcad72a3d5fcf405c9c163bab927b426ab90498 1870 1868 2018-11-13T19:48:04Z 󠀡󠀡Simon Cronauer󠀡󠀡 10026 Änderung 1868 von [[Special:Contributions/Simon Cronauer|Simon Cronauer]] ([[User talk:Simon Cronauer|Diskussion]]) rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/U06jlgpMtQs" autoplay="1" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/3JzN5x6U-OY" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> </code> [[Datei:HKIWS.png|thumb|HKIWS|miniatur|rahmenlos|800x600px|Hier könnte Ihre Werbung stehen]] <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 0eda8788e8a0f9550599ab0dadaaafd80d3c7e92 1868 1867 2018-11-06T08:19:32Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationsk&ouml;rper */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> bdcad72a3d5fcf405c9c163bab927b426ab90498 1867 1865 2018-11-05T19:07:53Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/U06jlgpMtQs" autoplay="1" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/3JzN5x6U-OY" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> </code> [[Datei:HKIWS.png|thumb|HKIWS|miniatur|rahmenlos|800x600px|Hier könnte Ihre Werbung stehen]] <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 0eda8788e8a0f9550599ab0dadaaafd80d3c7e92 1865 1864 2018-11-05T18:00:45Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/U06jlgpMtQs" autoplay="1" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/3JzN5x6U-OY" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> </code> <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 579cf0373e3ea61a83489384b51edcec97887f12 1864 1863 2018-11-05T15:24:16Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/U06jlgpMtQs" autoplay="1" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> </code> <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> ff0f3451c205534d274b5c0e08b2efa9ca6b1da0 1863 1862 2018-11-05T06:09:50Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt. Um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> a7a1aecdc7de5d09112cae2850450c50c7974ddd 1862 1861 2018-11-04T19:31:56Z Simon Cronauer 10025 /* Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== In folgender Anwendung kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen sowohl bei der Rotation um die X- als auch um die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 2e49a93ac82a98eadd50a96b0dc076bfdd87a0f4 1861 1860 2018-11-04T19:29:41Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Interaktive Volumensberechnung mit Rotationskörpern ==== Im folgenden Applet kann nach der Eingabe einer Funktion sowie der oberen und unteren Grenze, das Volumen <br /> sowohl bei der Rotation um die X- als auch die Y- Achse bestimmt werden. <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> d2be0b5b445a99b3e8e4e6f6e9c2fd2d3b1912f3 1860 1859 2018-11-04T19:22:39Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> <code> <iframe scrolling="no" title="ASDF" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fp2jaaeg/width/858/height/476/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="858px" height="476px" style="border:0px;"> </iframe> </code> 770e80ce5f144dc2709881ca99e512539dd78da7 1859 1858 2018-11-04T19:21:05Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> <p></p> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}</math> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> e608543c0df23e1a538ad0bd443c4f923c87fea7 1858 1857 2018-11-04T19:20:05Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationsk&ouml;rper */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> Rotationskörper der Funktion <math>\sqrt{x}<math/> an der x- und der y-Achse. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> 85ef27d595e42b7594abbc55e97490e5a2af83d6 1857 1856 2018-11-04T19:16:42Z Simon Cronauer 10025 /* Wozu braucht man Rotationskörper */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <ggb_applet id="wp9vh32u" width="640" height="480" border="888888" /> <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> 23185f1358cf54a5c77ceaaf820a744502dbfc43 1856 1855 2018-11-04T19:16:12Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <ggb_applet id="wp9vh32u" width="640" height="480" border="888888" /> <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> 23e9e96d609b34cbb2b3645e537fd418ba025ede 1855 1854 2018-11-04T19:13:50Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <ggb_applet id="wp9vh32u" width="640" height="480" border="888888" /> <code> <iframe scrolling="no" title="Animation" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/wp9vh32u/width/640/height/480/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640px" height="480px" style="border:0px;"> </iframe> </code> === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hierbei wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Hierbei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese einfach nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> 0f18ed670b96c82aed987b6ffee774300c83e364 1854 1853 2018-11-04T19:13:39Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <ggb_applet id="wp9vh32u" width="640" height="480" border="888888" /> === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hier wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Dabei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ba4c5a937f95bf0415f51b72534081004d0014c1 1853 1852 2018-11-04T18:59:03Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. <ggb_applet id="wp9vh32u" width="640" height="480" border="888888" /> === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hierbei wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Hierbei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese einfach nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> 1647e6ffca95fd38bc560abff950e942ba26a25e 1852 1851 2018-11-04T18:53:36Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hierbei wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Hierbei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese einfach nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> <ggb_applet id="JPSJZYuS" width="587" height="570" border="888888" /> 0cacee25da3659fb13467b4b75a81b9013c53ffd 1851 1850 2018-11-04T16:15:09Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hierbei wird die Funktion um die y-Achse rotiert. Hierbei fällt auf, dass für die Berechnung des Flächeninhaltes die Funktion <math>g(y)</math> benötigt wird <br /> während meist eine Funktion der Form f(x) bzw. g(x) vorliegt, um nun die benötigte Funktion zu erhalten, muss die Umkehrfunktion <br /> der gegebenen Funktion gebildet werden. Hierzu wird diese einfach nach <math>x</math> aufgelöst. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> im Intervall von 0 bis 5. <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> ===== Bildung der Umkehrfunktion ===== <math>g(x)=y=x^2</math> <br /> <p></p> <p></p> <math>g(y)=x=\sqrt{y}</math> <p></p> <p></p> ===== Berechnung des Flächeninhalts ===== <math>V=\pi \int_{0}^{25}(\sqrt{y})^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{25}(y)dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{1}{2}y^2\Bigg]_{0}^{25}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> ==== Alternative ==== Möchte man sich das Bilden der Umkehrfunktion ersparen kann das Integral durch Substitution im die Form <br /> <math>V_y = \pi \int_{f-1(x_1)}^{f-1(x_2)} x^2 * f^'(x)dx</math> <br /> gebracht werden. Hier wird lediglich die Ableitung der Funktion <math>f</math> benötigt, wodurch das Integral <br /> deutlich einfacher zu lösen ist. ===== Beispielrechnung ===== <math>V=\pi \int_{0}^{5} (x^2 2x) dx</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^4}{2}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{625}{2}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 981,75</math> 0f862c0e09c0241271f8c4c6321815aeb6f639ff 1850 1849 2018-11-04T13:40:59Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hierbei wird die Funktion um die y-Achse rotiert. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(x)=x^2</math> von 0 bis 5 <br /> Hierbei wird die gegebene Funktion um die y-Achse rotiert.<br/> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(x^2)^2dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}x^4dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> a4af3c7c61bc002f8b51c892fa06b9463d506b49 1849 1848 2018-11-04T13:34:02Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen <br /> Hierbei wird die Funktion um die y-Achse rotiert. ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(y)=y^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(y^2)^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}y^4dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{y^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> 5084c2cef0364a39a89f671ab9205d015cf5380e 1848 1847 2018-11-04T13:32:23Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die x - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=1</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(y)=y^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(y^2)^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}y^4dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{y^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> f101a1839ca562ae9b603a88bd33c4815a777d0e 1847 1846 2018-11-04T13:20:07Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(g(y))^2dy</math> bestimmen ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>g(y)=y^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(y^2)^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}y^4dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{y^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> bf0656e6230336ee4bc0187444109eba93c44dff 1846 1842 2018-11-04T13:14:18Z Simon Cronauer 10025 /* Beispielrechnung */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=1</math> von 0 bis 5 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}1dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dy</math> bestimmen ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(x^2)^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}x^4dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> bc9549008dfbae88b96424c75f011bcceb67863d 1842 1841 2018-11-03T17:47:04Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 4 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}x(y)dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dy</math> bestimmen ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(x^2)^2dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}x^4dy</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> a6853cc78e7520191e529d975982d87afe81b4e6 1841 1840 2018-11-03T17:45:40Z Simon Cronauer 10025 /* Beispielrechnung */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 4 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}x(y)dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dx</math> bestimmen ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(x^2)^2dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}x^4dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> 0b64b013003f180b911dbe5526e6e7ae31ff534b 1840 1839 2018-11-03T17:44:09Z Simon Cronauer 10025 /* Wozu braucht man Rotationskörper */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines runden Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 4 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}x^(y)dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dx</math> bestimmen ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(x^2)^2dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}x^4dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> 5223270fe0d4319c29d26dabf3615d14fbf84e57 1839 1834 2018-11-03T17:42:32Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines #runden# Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== [[Datei:Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse.png|thumb|Ein Bild einer Funktion |320x240px|rahmenlos|rechts|Rotationskörper der Funktion f(x)=1 um die X-Achse]] Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 4 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}(1)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{5}x^(y)dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \big[x\big]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = 5 \pi</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 15,708</math> === Rotationskörper um die y - Achse === [[Datei:Rotationskörper y y².png |thumb|Bild|320x240px|rahmenlos|Rotationskörper der Funktion f(x)=x² um die y-Achse]] Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dx</math> bestimmen ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 5 <br /> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}(x^2)^2dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \int_{0}^{5}x^4dx</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{5}</math> <p></p> <p></p> <math>V=\pi \Bigg(\frac{3125}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> <math>V \approx 1963,495</math> 77c4ec7bc85c0bac7604ae8ace1b11ac4691b9f3 1834 1833 2018-11-03T16:40:16Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die x - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines #runden# Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 4 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{4}(x^2)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{4}x^4dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{4}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \Bigg(\frac{1024}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 643,398</math> === Rotationskörper um die y - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dx</math> bestimmen b251b91db43bd1152048622667c96de5895c0a3b 1833 1832 2018-11-03T16:40:00Z Simon Cronauer 10025 /* Rotationskörper um die y - Achse */ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines #runden# Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi*\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 4 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{4}(x^2)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{4}x^4dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{4}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \Bigg(\frac{1024}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 643,398</math> === Rotationskörper um die y - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dx</math> bestimmen 26af56974b6e9dc79c25d4f9984de9ad4d7eb859 1832 1829 2018-11-03T16:38:57Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines #runden# Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: :<math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. === Rotationskörper um die x - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die x - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>v=\pi*\int_{a}^{b}(f(x))^2dx</math> bestimmen. <br /> Als Beispiel soll hier die Funktion <math>f(x)=x^2</math> verwendet werden (siehe Abbildung). ==== Beispielrechnung ==== Zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers der Funktion <math>f(x)=x^2</math> von 0 bis 4 <br /> :<math>V = \pi \int_{0}^{4}(x^2)^2dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \int_{0}^{4}x^4dx</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \Bigg[\frac{x^5}{5}\Bigg]_{0}^{4}</math> <p></p> <p></p> :<math>V = \pi \Bigg(\frac{1024}{5}-0\Bigg)</math> <p></p> <p></p> :<math>V \approx 643,398</math> === Rotationskörper um die y - Achse === Der Flächeninhalt eines Rotationskörpers um die y - Achse lässt sich mithilfe der Formel <br /> <math>V=\pi*\int_{a}^{b}f(x))^2dx</math> bestimmen 840eee28d72c4de860901768585b6bf9c1877a3f 1829 1828 2018-11-03T15:59:55Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper === Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines #runden# Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern um die x-Achse === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math>. <br /> Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math>.<br /> Für das Volumen eines Zylinders gilt: <math>V = \pi r^2 \cdot h</math>. Der Radius entspricht hierbei dem Funktionswert an der entsprechende Stelle. Damit gilt für das Volumen der Kreisscheibe an der Stelle <math>x_{i}</math> : <math>V_{i}=\pi(f(x_{i}))^2\cdot h</math>. <br />Auch hier erhält man für den Grenzfall h→0 den exakten Wert, in diesem Fall für das Volumen. Für dieses gilt: <math>V = \int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx = \pi\int_{a}^{b}(f(x))^2dx </math>. 783b4c5da37b676e813081da527fd50f5624f3b0 1828 1827 2018-11-03T15:16:02Z Simon Cronauer 10025 wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper ===. Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines #runden# Körpers bestimmen, beispielsweise von einem Glas. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Fläche unter Kurven (Integrale) nähern wir diese Fläche mit Rechtecken der Breite <math>h</math> an. Der Grenzwert dieser Fläche für immer schmalere Rechtecke, d.h. h→0 entspricht dem Integral <math>\int_{a}^{b}f(x)dx</math> <br />. Bei Rotaionskörpern wird ähnlich vorgegangen. Statt Rechtecken mit Breite <math>h</math> verwendet man Zylinder mit Höhe <math>h</math> - Vergehensweise ähnlich der Bestimmung mit Hilfe Integralen - - Annäherung des Rotationskörpers durch Zylinder mit Höhe h 16d38a5d1f8876d9960c45017ae2355439b52a1f 1827 2018-11-03T14:48:06Z Simon Cronauer 10025 Die Seite wurde neu angelegt: „== Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um…“ wikitext text/x-wiki == Rotationsk&ouml;rper == Rotationskörper werden Körper genannt, welche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Achse entstehen. <br /> Die Achse um welche rotiert wird, bezeichnet man als Rotations- bzw. Figurenachse. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche heißt Rotationsfläche. <br /> Die Rotationsachse und die erzeugende Kurve müssen in der gleichen Ebene liegen. === Wozu braucht man Rotationskörper ===. Mit Hilfe von Rotationskörpern kann man das Volumen eines #runden# Körpers bestimmen, beispielsweise das eines Glases. === Herleitung des Volumens von Rotationskörpern === Ein Rotationskörper entsteht aus der Rotation einer Rotationsfläche um eine Rotationsachse. Die Rotationsfläche entspricht hierbei der Fläche unter dem Graphen der erzeugenden Funktion <math>f</math> im Intervall <math>[a;b]</math>. Ähnlich wie auch bei der Herleitung der Diese Rechtecke werden nun selbst um die Rotationsachse des entsprechenden Körpers rotiert. So entstehen Zylinder der Höhe <math>h</math>. <br /> - Vergehensweise ähnlich der Bestimmung mit Hilfe Integralen - - Annäherung des Rotationskörpers durch Zylinder mit Höhe h 49986fccd18ac064347ecd6e2b7df1a8944f30f5 0 3 4 3 2012-02-01T13:30:38Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| |\textstyle \frac{x}{y} || \frac{x}{y} |- |\textstyle \sum_x^n || \sum_{x=1}^{n} |- |\textstyle \prod_x^n || \prod^{x=1}_{n} |- |\textstyle \int_a^b || \int_{a}^{b} f (x)\,dx |- |\textstyle \frac{\partial x}{\partial y} || \frac{\partial x}{\partial y} |- |\textstyle \sqrt x || \sqrt{x} |- |\textstyle \sqrt[3]{x} || \sqrt[3]{x} |- |\textstyle f(x) || f(x) |- |\lim || \lim_{x\to\infty} |- | *** |- |\sin || \sin (x) |- |\cos || \cos (x) |- |\tan || \tan (x) |- |\log || \log (x) |- |\ln || \ln (x) |- | *** |- |\le || \le |- |\ge || \ge |- |\neq || \neq |- |\approx || \approx |- |\equiv || \equiv |- |\propto || \propto |- |\infty || \infty |- | *** |- |\alpha || \alpha |- |\beta || \beta |- |\gamma || \gamma |- |\delta || \delta |- |\epsilon || \epsilon |- |\zeta || \zeta |- |\eta || \eta |- |\theta || \theta |- |\vartheta || \vartheta |- |\kappa || \kappa |- |\lambda || \lambda |- |\mu || \mu |- |\xi || \xi |- |\pi || \pi |- |\rho || \rho |- |\sigma || \sigma |- |\tau || \tau |- |\phi || \phi |- |\varphi || \varphi |- |\chi || \chi |- |\psi || \psi |- |\omega || \omega |- | *** |- |\Rightarrow || \Rightarrow |- |\rightarrow || \rightarrow |- |\Leftarrow || \Leftarrow |- |\leftarrow || \leftarrow |- |\Leftrightarrow || \Leftrightarrow |- |\vec{x} || \vec{x} |- | *** |- |( || \left( |- |) || \right) |- |[ || \left[ |- |] || \right] |- |\{XXX\} || \left\{ {XXX} \right\} |- |\{XXX || \left\{ {XXX} \right\. |- |\textstyle {n \choose k} || {n \choose k} |- | *** |- |\box || \box |- |\forall || \forall |- |\exists || \exists |- |\in || \in |- |\not\in || \not\in |- |\mathbb{N}|| \mathbb{N} |- |\mathbb{Z}||\mathbb{Z} |- |\mathbb{R}||\mathbb{R} |- |\mathbb{Q}||\mathbb{Q} |- | *** |- |\ a \wedge b||\ a \wedge b |- |\ a \vee b||\ a \vee b |- |\ a \Rightarrow b||\ a \Rightarrow b |- |\ a \Leftrightarrow b||\ a \Leftrightarrow b |- | *** |- |\neg A||\neg A |- |\exist n\in M||\exist n\in M |- |\forall n\in M||\forall n\in M |- |\ A \cap B||\ A \cap B |- |\ A \cup B||\ A \cup B |- |\ A \setminus B||\ A \setminus B |- | *** |- |\overline{AB}||\overline{AB} |- |\vec{AB}||\vec{AB} |- |\left| AB \right| ||\left| AB \right| |- |\ AB^{+}||\ AB^{+} |- |\ AB^{-}||\ AB^{-} |- |\operatorname{Zw} (A, Q, P)||\operatorname(Zw) (A, Q, P) |- |\ AQ := \{P|...\} ||\ AQ := \{P|...\} |- | *** |- |\angle ABC||\angle ABC |- |\ g \perp \ h||\ g \perp \ h |- |\ g \not\perp \ h||\ g \not\perp \ h |- |a\| b||a\| b |- |a\not\| b||a\not\| b |- |\operatorname{koll}(A, B, C)||\operatorname{koll}(A, B, C) |- |\operatorname{komp}(A, B, C)||\operatorname{komp}(A, B, C) |- | *** |- |\alpha \tilde = \beta||\alpha \tilde {=} \beta |- |\alpha \equiv \beta||\alpha \equiv \beta |- |\frac{x} {y}||\frac{x} {y} |- |x_{i}||x_{i} |- |x^{i}||x^{i} |- | *** |- |\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ||\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} |- |\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix} ||\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix} |} 3 2011-12-08T07:31:03Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki {| |\textstyle \frac{x}{y} || \frac{x}{y} |- |\textstyle \sum_x^n || \sum_{x=1}^{n} |- |\textstyle \prod_x^n || \prod^{x=1}_{n} |- |\textstyle \int_a^b || \int_{a}^{b} f (x)\,dx |- |\textstyle \frac{\partial x}{\partial y} || \frac{\partial x}{\partial y} |- |\textstyle \sqrt x || \sqrt{x} |- |\textstyle \sqrt[3]{x} || \sqrt[3]{x} |- |\textstyle f(x) || f(x) |- |\lim || \lim_{x\to\infty} |- | *** |- |\sin || \sin (x) |- |\cos || \cos (x) |- |\tan || \tan (x) |- |\log || \log (x) |- |\ln || \ln (x) |- | *** |- |\le || \le |- |\ge || \ge |- |\neq || \neq |- |\approx || \approx |- |\equiv || \equiv |- |\propto || \propto |- |\infty || \infty |- | *** |- |\alpha || \alpha |- |\beta || \beta |- |\gamma || \gamma |- |\delta || \delta |- |\epsilon || \epsilon |- |\zeta || \zeta |- |\eta || \eta |- |\theta || \theta |- |\vartheta || \vartheta |- |\kappa || \kappa |- |\lambda || \lambda |- |\mu || \mu |- |\xi || \xi |- |\pi || \pi |- |\rho || \rho |- |\sigma || \sigma |- |\tau || \tau |- |\phi || \phi |- |\varphi || \varphi |- |\chi || \chi |- |\psi || \psi |- |\omega || \omega |- | *** |- |\Rightarrow || \Rightarrow |- |\rightarrow || \rightarrow |- |\Leftarrow || \Leftarrow |- |\leftarrow || \leftarrow |- |\Leftrightarrow || \Leftrightarrow |- |\vec{x} || \vec{x} |- | *** |- |( || \left( |- |) || \right) |- |[ || \left[ |- |] || \right] |- |\{XXX\} || \left\{ {XXX} \right\} |- |\{XXX || \left\{ {XXX} \right\. |- |\textstyle {n \choose k} || {n \choose k} |- | *** |- |\box || \box |- |\forall || \forall |- |\exists || \exists |- |\in || \in |- |\not\in || \not\in |- |\mathbb{N}|| \mathbb{N} |- |\mathbb{Z}||\mathbb{Z} |- |\mathbb{R}||\mathbb{R} |- |\mathbb{Q}||\mathbb{Q} |- | *** |- |\ a \wedge b||\ a \wedge b |- |\ a \vee b||\ a \vee b |- |\ a \Rightarrow b||\ a \Rightarrow b |- |\ a \Leftrightarrow b||\ a \Leftrightarrow b |- | *** |- |\neg A||\neg A |- |\exist n\in M||\exist n\in M |- |\forall n\in M||\forall n\in M |- |\ A \cap B||\ A \cap B |- |\ A \cup B||\ A \cup B |- |\ A \setminus B||\ A \setminus B |- | *** |- |\overline{AB}||\overline{AB} |- |\vec{AB}||\vec{AB} |- |\left| AB \right| ||\left| AB \right| |- |\ AB^{+}||\ AB^{+} |- |\ AB^{-}||\ AB^{-} |- |\operatorname{Zw} (A, Q, P)||\operatorname(Zw) (A, Q, P) |- |\ AQ := \{P|...\} ||\ AQ := \{P|...\} |- | *** |- |\angle ABC||\angle ABC |- |\ g \perp \ h||\ g \perp \ h |- |\ g \not\perp \ h||\ g \not\perp \ h |- |a\| b||a\| b |- |a\not\| b||a\not\| b |- |\operatorname{koll}(A, B, C)||\operatorname{koll}(A, B, C) |- |\operatorname{komp}(A, B, C)||\operatorname{komp}(A, B, C) |- | *** |- |\alpha \tilde = \beta||\alpha \tilde {=} \beta |- |\alpha \equiv \beta||\alpha \equiv \beta |- |\frac{x} {y}||\frac{x} {y} |- |x_{i}||x_{i} |- |x^{i}||x^{i} |- | *** |- |\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ||\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} |- |\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix} ||\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix} |} 0 210 1623 1621 2015-12-04T09:45:42Z A Reiner 10005 wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br /> <math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br /><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /><br /> <math>0=-\frac{2u}{4} \cdot (u-6)-\frac{u^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-u)+\left( -\frac{u^2}{4} \cdot (u-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben und lösen:<br /> Berührstellen:<br /> <math>u_1=0</math><br /> <math>u_2=6</math><br /> Eingesetzt <math>u_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br > <math>\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Eingesetzt <math>u_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br /> <math>\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> <math>f'(x)={1 \over 3} x^2 -1</math> <math>f(3)=0</math> <math>f'(3)=2</math> == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} Lösung: Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein. <math>f'(x)=4x-18</math> <math>-2=4x-18</math> <math>\quad\quad x=4</math> 4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein. <math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|0)</math> aus wird eine Tangente an das Schaubild <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}*(x-6)</math> gelegt. Berechne die Tangentengleichung und bestimme die Berührpunkte. }} <popup name="Lösung"> <u>Vorgehen:</u><br/><br/> <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)\quad\quad P(0|0)</math><br/><br/> allgemeine Tangentengleichung:<br/><br/> <math>y=f'(u)(x-u)+f(u)</math><br/><br/> :<math>P(x|y)</math>-Punkt der Tangente<br/> :<math>B(u|f(u))</math>-Berührungspunkt<br/><br/> <math>P(0|0)</math><br/> <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math><br/> <math>f'(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x</math><br/><br/> <math>\Rightarrow 0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(0-u)-\frac{u^2}{4}(u-6)</math><br/> :<math>0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(-u)-\frac{u^2}{4}+\frac{6}{4}u^2</math><br/><br/> :<math>0=\frac{3}{4}u^3-3u^2-\frac{u^3}{4}+\frac{6}{4}u^2</math><br/> :<math>0=\frac{1}{2}u^3-{3}{2}u^2</math><br/><br/> →u berechnen(Berührstelle)<br/> <math>0=u^2(\frac{1}{2}u-\frac{3}{2})</math><br/> <math>u_1=0</math><br/> <math>u_2=3</math><br/><br/> →Tangentengleichung aufstellen:<br/><br/> <math>u_1=0:</math><br/> <math>y=f'(u)+(x-u)+f(u)</math><br/> :<math>y=(-\frac{3}{4}*0^2+3*0)*(x-0)-\frac{0^2}{4}(0-6)</math><br/> :<math>y_1=0</math><br/><br/> <math>u_2=3:</math><br/> :<math>y=(-\frac{3}{4}*3^2+3*3)*(x-3)-\frac{3^2}{4}(3-6)</math><br/> :<math>y=(2,25)+(x-3)-2,25(-3)</math><br/> :<math>y=2.25x-6,75+6,75</math><br/> :<math>y_2=2,25x=\quad{9}{4}x</math><br/> </popup> 6ca4721d26a1e1526cfee25f89d1dec4fde43208 1621 1616 2015-12-04T09:42:59Z A Reiner 10005 wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /><br /> <math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br /><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /><br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /><br /> <math>0=-\frac{2u}{4} \cdot (u-6)-\frac{u^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-u)+\left( -\frac{u^2}{4} \cdot (u-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben und lösen:<br /> Berührstellen:<br /> <math>u_1=0</math><br /> <math>u_2=6</math><br /> Eingesetzt <math>u_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br > <math>\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Eingesetzt <math>u_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /><br /> <math>\Rightarrow y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> <math>f'(x)={1 \over 3} x^2 -1</math> <math>f(3)=0</math> <math>f'(3)=2</math> == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} Lösung: Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein. <math>f'(x)=4x-18</math> <math>-2=4x-18</math> <math>\quad\quad x=4</math> 4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein. <math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|0)</math> aus wird eine Tangente an das Schaubild <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}*(x-6)</math> gelegt. Berechne die Tangentengleichung und bestimme die Berührpunkte.<br /> <popup name="Lösung"> <u>Vorgehen:</u><br/><br/> <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)\quad\quad P(0|0)</math><br/><br/> allgemeine Tangentengleichung:<br/><br/> <math>y=f'(u)(x-u)+f(u)</math><br/><br/> :<math>P(x|y)</math>-Punkt der Tangente<br/> :<math>B(u|f(u))</math>-Berührungspunkt<br/><br/> <math>P(0|0)</math><br/> <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math><br/> <math>f'(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x</math><br/><br/> <math>\Rightarrow 0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(0-u)-\frac{u^2}{4}(u-6)</math><br/> :<math>0=(-\frac{3}{4}u^2+3u)+(-u)-\frac{u^2}{4}+\frac{6}{4}u^2</math><br/><br/> :<math>0=\frac{3}{4}u^3-3u^2-\frac{u^3}{4}+\frac{6}{4}u^2</math><br/> :<math>0=\frac{1}{2}u^3-{3}{2}u^2</math><br/><br/> →u berechnen(Berührstelle)<br/> <math>0=u^2(\frac{1}{2}u-\frac{3}{2})</math><br/> <math>u_1=0</math><br/> <math>u_2=3</math><br/><br/> →Tangentengleichung aufstellen:<br/><br/> <math>u_1=0:</math><br/> <math>y=f'(u)+(x-u)+f(u)</math><br/> :<math>y=(-\frac{3}{4}*0^2+3*0)*(x-0)-\frac{0^2}{4}(0-6)</math><br/> :<math>y_1=0</math><br/><br/> <math>u_2=3:</math><br/> :<math>y=(-\frac{3}{4}*3^2+3*3)*(x-3)-\frac{3^2}{4}(3-6)</math><br/> :<math>y=(2,25)+(x-3)-2,25(-3)</math><br/> :<math>y=2.25x-6,75+6,75</math><br/> :<math>y_2=2,25x=\quad{9}{4}x</math><br/> </popup> }} cf857a8303010bc74fecedcf82048a2fce80089d 1616 1300 2015-12-04T09:07:23Z ScheidtSn 10006 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(u) \cdot (x-u)+f(u)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=-\frac{2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben und lösen:<br /> Berührstellen:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Eingesetzt <math>x_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Eingesetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> <math>f'(x)={1 \over 3} x^2 -1</math> <math>f(3)=0</math> <math>f'(3)=2</math> == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} Lösung: Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein. <math>f'(x)=4x-18</math> <math>-2=4x-18</math> <math>x=4</math> 4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein. <math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} bde6468028a0e2fc729e40e066aa690d6151d6c4 1300 1299 2013-11-22T09:58:41Z F.Bittermann 3 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=-\frac{2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben und lösen:<br /> Berührstellen:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Eingesetzt <math>x_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Eingesetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> <math>f'(x)={1 \over 3} x^2 -1</math> <math>f(3)=0</math> <math>f'(3)=2</math> == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} Lösung: Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein. <math>f'(x)=4x-18</math> <math>-2=4x-18</math> <math>x=4</math> 4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein. <math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1299 1298 2013-11-22T09:51:14Z KnorzOr 73 /* Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Einsetzt <math>x_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 Einsetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> <math>f'(x)={1 \over 3} x^2 -1</math> <math>f(3)=0</math> <math>f'(3)=2</math> == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} Lösung: Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein. <math>f'(x)=4x-18</math> <math>-2=4x-18</math> <math>x=4</math> 4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein. <math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1298 1297 2013-11-22T09:50:53Z GrillAa 87 /* Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Einsetzt <math>x_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 Einsetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} Lösung: Wir setzen die Steigung <math>m=-2</math> in die Ableitung der Funktion als <math>f'(x)</math> ein. <math>f'(x)=4x-18</math> <math>-2=4x-18</math> <math>x=4</math> 4 ist die Berührstelle. Um den Y-Wert des Berührpunkts herauszufinden, setzten wir 4 in die ursprüngliche Funktion <math>f(x)</math> ein. <math>f(x)=2\cdot4^2-18\cdot4+9</math> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1297 1296 2013-11-22T09:50:30Z N.Geiger 88 wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Einsetzt <math>x_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 Einsetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=-9 \cdot x+54</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1296 1294 2013-11-22T09:47:48Z N.Geiger 88 wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Einsetzt <math>x_1=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 /> Einsetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 6}{4} \cdot (6-6)-\frac{6^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-6)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1294 1293 2013-11-22T09:37:02Z N.Geiger 88 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Einsetzt <math>x_2=6</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1293 1290 2013-11-22T09:36:21Z N.Geiger 88 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=6</math><br /> Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1290 1289 2013-11-15T11:24:42Z F.Bittermann 3 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f mit <math>f(x)=-\frac{x^2}{4} \cdot (x-6)</math> und ein Punkt P(6;0), der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen. }} <br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y), P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math> ---> unbekannter Berührpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4} \cdot (x-6)-\frac{x_0^2}{4} \cdot 1 \cdot (6-x_0)+\left( -\frac{x_0^2}{4} \cdot (x_0-6) \right)</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=0</math><br /> Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2 \cdot 0}{4} \cdot (0-6)-\frac{0^2}{4} \cdot 1 \cdot (x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0 \cdot x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1289 1288 2013-11-15T11:14:59Z F.Bittermann 3 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|1= Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /> <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0) >}} allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=0</math><br /> Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1288 1287 2013-11-15T11:13:30Z F.Bittermann 3 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung| Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /> <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0)<br /> >}} allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=0</math><br /> Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 1287 720 2013-11-15T11:13:18Z F.Bittermann 3 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> {{Übung|< Gegeben ist eine Funktion f und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /> <math>f(x)=-\frac{x^2}{4}(x-6)</math> ; P(6|0)<br /> >}} allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=0</math><br /> Einsetzt <math>x_2=0</math> in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 720 712 2012-06-19T07:01:21Z Mn.Lochmann 8 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist ein Punkt der Tangente.<br /><br /> <math>P(x_0|y_0)</math> ist ein Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion von F.<br /> Beispiel:<br /> Gegeben ist eine Funktion F und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /> <math>f(x)=\frac{-x^2}{4}(x-6)</math> P(6|0)<br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=0</math><br /> Einsetzt x_2 in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 712 704 2012-06-19T06:46:58Z Mn.Lochmann 8 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist der Punkt der Tangente.<br /><br /> Beispiel:<br /> Gegeben ist eine Funktion F und ein Punkt P, der nicht zu f gehört.<br /> Finde die Tangente von P an f, ohne den Berührpunkt zu kennen.<br /> <math>f(x)=\frac{-x^2}{4}(x-6)</math> P(6|0)<br /> allgemeine Tangentengleichung:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y) P(6|0)</math> ---> Punkte der Tangente<br /> <math>P_0(x_0|y_0)</math>= unbekannter Berühpunkt der Tangente<br /> <math>0=\frac{-2x}{4}(x-6)-\frac{x_0^2}{4}*1*(6-x_0)+(-\frac{x_0^2}{4} (x_0-6))</math><br /> Gleichung in GTR eingeben:<br /> Berührpunkte:<br /> <math>x_1=0</math><br /> <math>x_2=0</math><br /> Einsetzt x_2 in die allgemeine Tangentengleichung:<br /> ---> <math>y=(-\frac{2*0}{4}(0-6)-\frac{0^2}{4}*1*(x-0)+0)</math><br /> Tangentengleichung: <math>y=0*x+0</math><br /> Das Ergebnis für x=6: y=0 == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 704 702 2012-06-19T06:10:07Z Mn.Lochmann 8 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <br /> P(x|y) ist der Punkt der Tangente. == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 702 700 2012-06-19T05:59:46Z Mn.Lochmann 8 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> <math>P(x|y)</math> ist der Punkt der Tangente. == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 700 688 2012-06-19T05:51:45Z Mn.Lochmann 8 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == <br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} <br />Allgemeine Tangentengleichungen:<br /> <math>y=mx+c</math><br /><br /> <math>y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)</math><br /> == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 688 687 2012-05-24T20:46:09Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 687 686 2012-05-24T20:45:23Z F.Bittermann 3 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P))</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 686 685 2012-05-24T20:44:45Z F.Bittermann 3 /* Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P)</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt == {{Aufgabe|1= Vom Punkt <math>P(0|5)</math> aus werden Tangenten an das Schaubild von <math>f(x)={1 \over 8}x^3 - {3 \over 4}x^2 +4</math> gelegt. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten und die Koordinaten der Berührpunkte. }} 685 684 2012-05-24T20:40:52Z F.Bittermann 3 /* Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P)</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt == {{Aufgabe| 1= Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=2x^2-18x+9</math>. Gib die Gleichungen aller Tangenten mit der Steigung <math>-2</math> an, die an das Schaubild von f gelegt werden können. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt == 684 683 2012-05-24T20:38:24Z F.Bittermann 3 /* Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P)</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt == {{Aufgabe|1= Bestimme die Gleichung der Tangente, die am Schaubild der Funktion <math>f(x)={1 \over 9} x^3 -x</math> an der Stelle <math>x_0=3</math> angelegt werden kann. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt == == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt == 683 682 2012-05-24T20:35:01Z F.Bittermann 3 /* Tangente - Definition und Tangentengleichung */ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br /> {{Definition|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P)</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt == == Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt == == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt == 682 2012-05-24T20:32:40Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „__notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollstä…“ wikitext text/x-wiki __notoc__ == Tangente - Definition und Tangentengleichung == Eine Tangente berührt das Schaubild in nur einen Punkt. Leider ist diese Definition nicht vollständig. Besser ist:<br /> {{Merke|1= Gegeben ist ein Punkt <math>P(x_P|f(x_P)</math> auf dem Schaubild einer differenzierbaren Funktion f. Die Tangente des Schaubildes im Punkt P ist genau diejenige Gerade durch P mit <math>f'(x_P)</math> als Steigung. }} == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt ist bekannt == == Tangente an Schaubild anlegen, Steigung ist bekannt == == Tangente an Schaubild anlegen, Berührpunkt unbekannt == 0 261 923 922 2013-01-03T14:55:56Z Rn.Bolz 14 /* Abstand zwischen zwei Punkten */ wikitext text/x-wiki 922 2013-01-03T14:55:37Z Rn.Bolz 14 Die Seite wurde neu angelegt: „=== Abstand zwischen zwei Punkten === <br /> Hat man zwei Punkte im Raum, so lässt sich ihr Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.<br /> <br /> S…“ wikitext text/x-wiki === Abstand zwischen zwei Punkten === <br /> Hat man zwei Punkte im Raum, so lässt sich ihr Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.<br /> <br /> Spannt man einen Quader zwischen die Punkte, so enstpricht der Abstand der Länge der Raumdiagonalen.<br /> Es gilt:<br /> <br /> <math>d_F^2 = a^2+b^2</math><br /> <math>d_R^2 = d_F^2+c^2</math><br /> <br /> => 0 473 1697 1664 2017-02-19T20:10:08Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki '''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden''' Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}</math> Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet. [[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Gegeben: <br /> <math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br /> <math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math> Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br /> <math> cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math><br /> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9° '''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen''' Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n_1</math>  und <math>\vec n_2</math> der Ebene gleich ist. <math>cos(\alpha)= \dfrac{| \vec n_1 \circ \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} </math> [[Datei:ebene ebne.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Geg.:<br /> <math>E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math> <math>E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0 </math> Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /> <math>cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4° '''Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene''' Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°. sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}</math> Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen. [[Datei:gerade ebene 2.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Geg.:<br /> <math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <math>E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math> Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /> <math>sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1° '''Abstand zwischen windschiefen Geraden''' Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v}</math> sind, dann gilt: (1) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0</math> und (2) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0</math>, dann ist <math>{|\overrightarrow {GH}|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h. 477898c5bcb6f49257b759b3b34632738e6130ed 1664 1661 2016-06-09T08:52:13Z Janinavzmuehlen 10017 wikitext text/x-wiki '''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden''' Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math> Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet. [[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Gegeben: <br /> <math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br /> <math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math> Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br /> <math> cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math><br /> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9° '''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen''' Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n1</math>  und <math>\vec n2</math> der Ebene gleich ist. cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}</math> [[Datei:ebene ebne.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Geg.:<br /> <math>E_{1}</math>: <math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 <math>E_{2}</math>: <math>[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}</math>=0 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /> cos(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}}</math> = <math>\dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4° '''Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene''' Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°. sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}</math> Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen. [[Datei:gerade ebene 2.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Geg.:<br /> <math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <math>E_{1}</math>:<math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /> sin(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1° '''Abstand zwischen windschiefen Geraden''' Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}</math>=<math>{\vec p}</math>+s*<math>{\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}</math>=<math>{\vec q}</math>+t*<math>{\vec v}</math> sind, dann gilt: <math>(1){\vec GH}*{\vec u}=0</math> und <math>(2){\vec GH}*{\vec v}=0</math>, dann ist <math>{|\vec GH|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h. f744521c4f7a12a6de0c2e622e91630d324441d8 1661 1659 2016-06-04T13:27:25Z Janinavzmuehlen 10017 wikitext text/x-wiki '''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden''' Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math> [[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Gegeben: <br /> <math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br /> <math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math> Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br /> <math> cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math><br /> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9° '''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen''' Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n1</math>  und <math>\vec n2</math> der Ebene gleich ist. cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}</math> [[Datei:ebene ebne.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Geg.:<br /> <math>E_{1}</math>: <math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 <math>E_{2}</math>: <math>[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}</math>=0 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /> cos(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}}</math> = <math>\dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4° '''Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene''' Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°. sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}</math> [[Datei:gerade ebene 2.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Geg.:<br /> <math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <math>E_{1}</math>:<math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br /> sin(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1° '''Abstand zwischen windschiefen Geraden''' Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}</math>=<math>{\vec p}</math>+s*<math>{\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}</math>=<math>{\vec q}</math>+t*<math>{\vec v}</math> sind, dann gilt: <math>(1){\vec GH}*{\vec u}=0</math> und <math>(2){\vec GH}*{\vec v}=0</math>, dann ist <math>{|\vec GH|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h. 6926a3949f3ec88419e799fa1ad1e7a470a08075 1659 1658 2016-06-03T09:07:06Z Janinavzmuehlen 10017 wikitext text/x-wiki '''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden''' Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math> [[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]] Beispielaufgabe: Gegeben: <br /> <math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br /> <math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math> Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br /> <math> cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math><br /> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9° '''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen''' Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n1</math>  und <math>\vec n2</math> der Ebene gleich ist. cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}</math> Beispielaufgabe: Geg.: <math>E_{1}</math>: <math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 <math>E_{2}</math>: <math>[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}</math>=0 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math> cos(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}}</math> = <math>\dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4° '''Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene''' Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°. sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}</math> Beispielaufgabe: Geg.: <math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <math>E_{1}</math>:<math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math> sin(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1° '''Abstand zwischen windschiefen Geraden''' Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}</math>=<math>{\vec p}</math>+s*<math>{\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}</math>=<math>{\vec q}</math>+t*<math>{\vec v}</math> sind, dann gilt: <math>(1){\vec GH}*{\vec u}=0</math> und <math>(2){\vec GH}*{\vec v}=0</math>, dann ist <math>{|\vec GH|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h. c9afee15db1c9b835cfca42c6449fdcfdf2466df 1658 1657 2016-06-03T09:05:12Z Janinavzmuehlen 10017 wikitext text/x-wiki '''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden''' Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math> Beispielaufgabe: Gegeben: <br /> <math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br /> <math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math> Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br /> <math> cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math><br /> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9° '''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen''' Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n1</math>  und <math>\vec n2</math> der Ebene gleich ist. cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}</math> Beispielaufgabe: Geg.: <math>E_{1}</math>: <math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 <math>E_{2}</math>: <math>[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}</math>=0 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math> cos(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}}</math> = <math>\dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4° '''Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene''' Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°. sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}</math> Beispielaufgabe: Geg.: <math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <math>E_{1}</math>:<math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math> sin(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1° '''Abstand zwischen windschiefen Geraden''' Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}</math>=<math>{\vec p}</math>+s*<math>{\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}</math>=<math>{\vec q}</math>+t*<math>{\vec v}</math> sind, dann gilt: <math>(1){\vec GH}*{\vec u}=0</math> und <math>(2){\vec GH}*{\vec v}=0</math>, dann ist <math>{|\vec GH|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h. aa451a3beb8798da9c82e66ed0863d1a2a5eb2c2 1657 2016-05-10T16:32:41Z Janinavzmuehlen 10017 Die Seite wurde neu angelegt: „'''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden''' Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le<…“ wikitext text/x-wiki '''Schnittwinkel zwischen zwei Geraden''' Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math> Beispielaufgabe: Gegeben: <math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math> Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> cos(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9° '''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen''' Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n1</math>  und <math>\vec n2</math> der Ebene gleich ist. cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}</math> Beispielaufgabe: Geg.: <math>E_{1}</math>: <math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 <math>E_{2}</math>: <math>[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}</math>=0 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math> cos(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}}</math> = <math>\dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4° '''Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene''' Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°. sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}</math> Beispielaufgabe: Geg.: <math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <math>E_{1}</math>:<math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12 Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math> sin(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math> Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1° '''Abstand zwischen windschiefen Geraden''' Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}</math>=<math>{\vec p}</math>+s*<math>{\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}</math>=<math>{\vec q}</math>+t*<math>{\vec v}</math> sind, dann gilt: <math>(1){\vec GH}*{\vec u}=0</math> und <math>(2){\vec GH}*{\vec v}=0</math>, dann ist <math>{|\vec GH|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h. a904d46911a078300022eb3255581b994b82dda0 0 206 697 696 2012-06-06T13:08:20Z SaxFabio 36 /* Der Parameter c */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a \cdot sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== =====Wenn die Parameter so bestimmt sind, dass b=1, c=0 und d=0 ist, so erhält man die Funktion a*sin(x).===== Die Stammfunktion wird durch den Parameter a gestreckt bzw. gestaucht. * Wenn a > 0 wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestreckt. * Ist 0 < a < 1, so wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestaucht. * Wenn a < 0 ist, so wird die Stammfunktion an der x-Achso gespiegelt und je nach Größe des Parameters a, gestreckt oder gestaucht. ===Der Parameter b=== Die Veränderung des Parameters b streckt/staucht die Funktion in x-Richtung. ===Der Parameter c=== Die Veränderung des Parameters c verschiebt die Kurve in x-Richtung. ===Der Parameter d=== Der Parameter d verschiebt die Sinusfunktion um den Wert von d, an der y-Achse, nach oben oder nach unten 696 695 2012-06-06T13:03:05Z SaxFabio 36 /* Der Parameter c */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a \cdot sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== =====Wenn die Parameter so bestimmt sind, dass b=1, c=0 und d=0 ist, so erhält man die Funktion a*sin(x).===== Die Stammfunktion wird durch den Parameter a gestreckt bzw. gestaucht. * Wenn a > 0 wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestreckt. * Ist 0 < a < 1, so wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestaucht. * Wenn a < 0 ist, so wird die Stammfunktion an der x-Achso gespiegelt und je nach Größe des Parameters a, gestreckt oder gestaucht. ===Der Parameter b=== Die Veränderung des Parameters b streckt/staucht die Funktion in x-Richtung. ===Der Parameter c=== Verschiebung der Kurve in x-Richtung. ===Der Parameter d=== Der Parameter d verschiebt die Sinusfunktion um den Wert von d, an der y-Achse, nach oben oder nach unten 695 639 2012-06-06T12:59:43Z SaxFabio 36 /* Der Parameter b */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a \cdot sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== =====Wenn die Parameter so bestimmt sind, dass b=1, c=0 und d=0 ist, so erhält man die Funktion a*sin(x).===== Die Stammfunktion wird durch den Parameter a gestreckt bzw. gestaucht. * Wenn a > 0 wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestreckt. * Ist 0 < a < 1, so wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestaucht. * Wenn a < 0 ist, so wird die Stammfunktion an der x-Achso gespiegelt und je nach Größe des Parameters a, gestreckt oder gestaucht. ===Der Parameter b=== Die Veränderung des Parameters b streckt/staucht die Funktion in x-Richtung. ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== Der Parameter d verschiebt die Sinusfunktion um den Wert von d, an der y-Achse, nach oben oder nach unten 639 638 2012-04-18T22:02:08Z SchluckeLa 21 /* Wenn die Parameter so bestimmt sind, dass b=1 und c=0 ist, erhält man die Funktion a*sin(x). */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a \cdot sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== =====Wenn die Parameter so bestimmt sind, dass b=1, c=0 und d=0 ist, so erhält man die Funktion a*sin(x).===== Die Stammfunktion wird durch den Parameter a gestreckt bzw. gestaucht. * Wenn a > 0 wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestreckt. * Ist 0 < a < 1, so wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestaucht. * Wenn a < 0 ist, so wird die Stammfunktion an der x-Achso gespiegelt und je nach Größe des Parameters a, gestreckt oder gestaucht. ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== Der Parameter d verschiebt die Sinusfunktion um den Wert von d, an der y-Achse, nach oben oder nach unten 638 636 2012-04-18T22:00:42Z SchluckeLa 21 /* Der Parameter a */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a \cdot sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== ====Wenn die Parameter so bestimmt sind, dass b=1 und c=0 ist, erhält man die Funktion a*sin(x).==== Die Stammfunktion wird durch den Parameter a gestreckt bzw. gestaucht. * Wenn a > 0 wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestreckt. * Ist 0 < a < 1, so wird die Stammfunktion in Richtung der y-Achse gestaucht. * Wenn a < 0 ist, so wird die Stammfunktion an der x-Achso gespiegelt und je nach Größe des Parameters a, gestreckt oder gestaucht. ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== Der Parameter d verschiebt die Sinusfunktion um den Wert von d, an der y-Achse, nach oben oder nach unten 636 630 2012-04-15T17:22:48Z ArndtLa 23 /* Der Parameter d */ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a \cdot sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== Der Parameter d verschiebt die Sinusfunktion um den Wert von d, an der y-Achse, nach oben oder nach unten 630 629 2012-03-25T21:27:30Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a \cdot sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== 629 628 2012-03-25T21:26:55Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion <math>f(x)=a*sin(b(x-c))+d</math> ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== 628 2012-03-23T11:52:46Z ArndtLa 23 Die Seite wurde neu angelegt: „==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion f(x)=a*sin(b(x-c))+d ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Paramete…“ wikitext text/x-wiki ==Transformation der Sinusfunktion== Die Grundfunktion f(x)=a*sin(b(x-c))+d ===Der Parameter a=== ===Der Parameter b=== ===Der Parameter c=== ===Der Parameter d=== 0 453 1601 1600 2014-06-05T07:55:53Z F.Bittermann 3 /* waagerechter Wurf */ wikitext text/x-wiki == waagerechter Wurf == Bewegung in x-Richtung: <br /> <math> s_x=v \cdot t +v_0</math> == senkrechter Wurf == f20ef5bbd1e4719f48e195249ee20047e57e3b60 1600 1599 2014-06-05T07:54:53Z F.Bittermann 3 /* waagerechter Wurf */ wikitext text/x-wiki == waagerechter Wurf == Bewegung in x-Richtung: <br /> <math> s_x=v \cdot t +v_0</math> [[Bild:Bild.jpg]] == senkrechter Wurf == 94ba222d49c7a75bb2a37be1fbe4b570350e18fa 1599 1598 2014-06-05T07:54:19Z F.Bittermann 3 /* waagerechter Wurf */ wikitext text/x-wiki == waagerechter Wurf == Bewegung in x-Richtung: <br /> <math> s_x=v \cdot t +v_0</math> [[Bild.jpg]] == senkrechter Wurf == d2456624dd984f6369a36487f009472dafc09040 1598 2014-06-05T07:38:54Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== waagerechter Wurf == == senkrechter Wurf ==“ wikitext text/x-wiki == waagerechter Wurf == == senkrechter Wurf == daae2384a892f739e213512e041f8c91d02f5e2c 0 270 1275 943 2013-05-22T11:07:01Z HerrmannRn 34 wikitext text/x-wiki Als Zufallsexperiment bezeichnet man einen Versuch, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind, die nicht vorhersehbar sind.<br /> '''Einstufiges Zufallsexperiment:'''<br /> Ein einstufiges Zufallsexperiment ist ein Zufallsexperiment, das nur einmal durchgeführt wird.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man wirft einen Würfel ein Mal. Es sind sechs Ergebnisse möglich und der Ausgang kann nicht vorhergesagt werden. Es handelt sich um ein einstufiges Zufallsexperiment.<br /> '''Mehrstufiges Zufallsexperiment:'''<br /> Mehrstufige Zufallsexperimente nennt man Zufallsexperimente die mehrmals nacheinander durchgeführt werden. Bei n Durchführungen des Zufallsexperimentes heißt der Versuch n-stufiges Zufallsexperiment.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man wirft eine Münze 5 Mal. Es sind zwei Ergebnisse möglich und der Ausgang kann nicht vorhergesagt werden. Es handelt sich um ein fünfstufiges Zufallsexperiment.<br /><br /> ''Quelle: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/zufallsexperimente.html'' 943 2013-01-13T23:26:18Z HerrmannRn 34 Die Seite wurde neu angelegt: „Als Zufallsexperiment bezeichnet man einen Versuch, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind, die nicht vorhersehbar sind.<br /> '''Einstufiges Zufallsexp…“ wikitext text/x-wiki Als Zufallsexperiment bezeichnet man einen Versuch, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind, die nicht vorhersehbar sind.<br /> '''Einstufiges Zufallsexperiment:'''<br /> Ein einstufiges Zufallsexperiment ist ein Zufallsexperiment, das nur einmal durchgeführt wird.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man wirft einen Würfel ein Mal. Es sind sechs Ergebnisse möglich und der Ausgang kann nicht vorhergesagt werden. Es handelt sich um ein einstufiges Zufallsexperiment.<br /> '''Mehrstufiges Zufallsexperiment:'''<br /> Mehrstufige Zufallsexperimente nennt man Zufallsexperimente die mehrmals nacheinander durchgeführt werden. Bei n Durchführungen des Zufallsexperimentes heißt der Versuch n-stufiges Zufallsexperiment.<br /> '''Beispiel:'''<br /> Man wirft eine Münze 5 Mal. Es sind zwei Ergebnisse möglich und der Ausgang kann nicht vorhergesagt werden. Es handelt sich um ein fünfstufiges Zufallsexperiment. 1 282 964 960 2013-01-21T08:01:58Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde geleert. wikitext text/x-wiki 960 2013-01-21T07:54:25Z RoemleinJh 55 Die Seite wurde neu angelegt: „== Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regel…“ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} 1 202 591 590 2012-03-10T13:46:04Z Mn.Lochmann 8 wikitext text/x-wiki hallo, was ist die dritte Lösung von der Gleichung?<br /> und: man kann zwar eine Zahl in <math>f''</math> eintragen aber es gibt dann keinen x stelle oder?? 590 2012-03-10T13:45:23Z Mn.Lochmann 8 Die Seite wurde neu angelegt: „hallo, was ist die dritte Lösung von der Gleichung? und: man kann zwar eine Zahl in f'' eintragen aber es gibt dann keinen x stelle oder??“ wikitext text/x-wiki hallo, was ist die dritte Lösung von der Gleichung? und: man kann zwar eine Zahl in f'' eintragen aber es gibt dann keinen x stelle oder?? 1 248 834 2012-11-20T11:37:28Z MaierAn 47 Die Seite wurde neu angelegt: „Hallo Test“ wikitext text/x-wiki Hallo Test 1 284 1201 1021 2013-02-16T10:43:04Z SchauerJa2 69 wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) :: thanks for your remark, Matti; but the school wiki is organized in a more general way ("class 5-12", not "5a", "9c" etc.), so that everyone consulting the page understands quickly where he/she can find texts about the topics dealt with in class 9 (for example). [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 17:18, 4. Feb. 2013 (CET) :::I think it was just because Anna and Robin did wrote class 9c behind their name and Janina didn't.... [[Benutzer:SchimmackHh|SchimmackHh]] 21:25, 5. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == To Janina's Text: I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == well done == I think our class mates did a good job, and I enjoy reading the text. @PantleMi: thank you for correcting the texts. In my opinion those texts are easy to read and not boring, so: well done :) [[Benutzer:KettelerAa|KettelerAa]] 18:45, 3. Feb. 2013 (CET) == Film reviews: titles == What do you think about giving your reviews more catchy titles? I personally believe that a real title would look nicer in the table of contents than just "this film review was written by...."/"film review by..." - any ideas/suggestions for possible titles? [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 22:16, 5. Feb. 2013 (CET) == Lead-in sentences == I think your lead-in sentence is very nice Janina :) Maybe Robin could use more adjectives, but all in all you three guys have done a very good job! :) [[Benutzer:TremmelHa|TremmelHa]] 23:16, 5. Feb. 2013 (CET) I think the reviews are really good, there are lots of adjectives, which make the texts more interesting. I'm not sure, but I think in Robins lead-in sentence, there is no verb. Could someone check this, so we can change it, if I am right. [[Benutzer:SchauerJa2|SchauerJa2]] 11:43, 16. Feb. 2013 (CET) 1021 1020 2013-02-05T22:16:46Z TremmelHa 57 wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) :: thanks for your remark, Matti; but the school wiki is organized in a more general way ("class 5-12", not "5a", "9c" etc.), so that everyone consulting the page understands quickly where he/she can find texts about the topics dealt with in class 9 (for example). [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 17:18, 4. Feb. 2013 (CET) :::I think it was just because Anna and Robin did wrote class 9c behind their name and Janina didn't.... [[Benutzer:SchimmackHh|SchimmackHh]] 21:25, 5. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == To Janina's Text: I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == well done == I think our class mates did a good job, and I enjoy reading the text. @PantleMi: thank you for correcting the texts. In my opinion those texts are easy to read and not boring, so: well done :) [[Benutzer:KettelerAa|KettelerAa]] 18:45, 3. Feb. 2013 (CET) == Film reviews: titles == What do you think about giving your reviews more catchy titles? I personally believe that a real title would look nicer in the table of contents than just "this film review was written by...."/"film review by..." - any ideas/suggestions for possible titles? [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 22:16, 5. Feb. 2013 (CET) == Lead-in sentences == I think your lead-in sentence is very nice Janina :) Maybe Robin could use more adjectives, but all in all you three guys have done a very good job! :) [[Benutzer:TremmelHa|TremmelHa]] 23:16, 5. Feb. 2013 (CET) 1020 1019 2013-02-05T21:16:53Z RoemleinJh 55 Neuer Abschnitt /* Film reviews: titles */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) :: thanks for your remark, Matti; but the school wiki is organized in a more general way ("class 5-12", not "5a", "9c" etc.), so that everyone consulting the page understands quickly where he/she can find texts about the topics dealt with in class 9 (for example). [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 17:18, 4. Feb. 2013 (CET) :::I think it was just because Anna and Robin did wrote class 9c behind their name and Janina didn't.... [[Benutzer:SchimmackHh|SchimmackHh]] 21:25, 5. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == To Janina's Text: I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == well done == I think our class mates did a good job, and I enjoy reading the text. @PantleMi: thank you for correcting the texts. In my opinion those texts are easy to read and not boring, so: well done :) [[Benutzer:KettelerAa|KettelerAa]] 18:45, 3. Feb. 2013 (CET) == Film reviews: titles == What do you think about giving your reviews more catchy titles? I personally believe that a real title would look nicer in the table of contents than just "this film review was written by...."/"film review by..." - any ideas/suggestions for possible titles? [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 22:16, 5. Feb. 2013 (CET) 1019 1015 2013-02-05T20:25:22Z SchimmackHh 71 /* You forgot the class */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) :: thanks for your remark, Matti; but the school wiki is organized in a more general way ("class 5-12", not "5a", "9c" etc.), so that everyone consulting the page understands quickly where he/she can find texts about the topics dealt with in class 9 (for example). [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 17:18, 4. Feb. 2013 (CET) :::I think it was just because Anna and Robin did wrote class 9c behind their name and Janina didn't.... [[Benutzer:SchimmackHh|SchimmackHh]] 21:25, 5. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == To Janina's Text: I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == well done == I think our class mates did a good job, and I enjoy reading the text. @PantleMi: thank you for correcting the texts. In my opinion those texts are easy to read and not boring, so: well done :) [[Benutzer:KettelerAa|KettelerAa]] 18:45, 3. Feb. 2013 (CET) 1015 1014 2013-02-04T16:18:03Z RoemleinJh 55 wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) :: thanks for your remark, Matti; but the school wiki is organized in a more general way ("class 5-12", not "5a", "9c" etc.), so that everyone consulting the page understands quickly where he/she can find texts about the topics dealt with in class 9 (for example). [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 17:18, 4. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == To Janina's Text: I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == well done == I think our class mates did a good job, and I enjoy reading the text. @PantleMi: thank you for correcting the texts. In my opinion those texts are easy to read and not boring, so: well done :) [[Benutzer:KettelerAa|KettelerAa]] 18:45, 3. Feb. 2013 (CET) 1014 1010 2013-02-03T17:45:32Z KettelerAa 68 Neuer Abschnitt /* well done */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == To Janina's Text: I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == well done == I think our class mates did a good job, and I enjoy reading the text. @PantleMi: thank you for correcting the texts. In my opinion those texts are easy to read and not boring, so: well done :) [[Benutzer:KettelerAa|KettelerAa]] 18:45, 3. Feb. 2013 (CET) 1010 1009 2013-02-02T23:06:07Z PantleMi 56 /* A few mistakes in the text... */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == To Janina's Text: I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) 1009 1008 2013-02-01T14:27:39Z PantleMi 56 /* A few mistakes in the text... */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) 1008 1007 2013-02-01T14:27:20Z PantleMi 56 /* You forgot the class */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are : We are from class 9c : [[Benutzer:PantleMi|PantleMi]] 15:27, 1. Feb. 2013 (CET) == A few mistakes in the text... == I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D 1007 1005 2013-02-01T14:26:14Z PantleMi 56 Neuer Abschnitt /* A few mistakes in the text... */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are == A few mistakes in the text... == I just corrected a few mistakes in the text, like a missing space between words and a missing word. It is a very good text, good job Janina! :D 1005 1003 2013-02-01T10:51:36Z TremmelHa 57 /* You forgot the class */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you are 1003 980 2013-02-01T10:50:57Z TremmelHa 57 Neuer Abschnitt /* You forgot the class */ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! == You forgot the class == Now nobody knows who you 980 979 2013-01-31T23:05:28Z RoemleinJh 55 wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum! 979 974 2013-01-31T23:04:46Z RoemleinJh 55 wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Suggestions for possible discussion topics:''' 1) You have written exclusively positive film reviews. "Rabbit-Proof Fence", however, was discussed rather controversially after its release in 2002. What might have triggered the negative responses of some critics? Was there anything you didn't like about the film? 2) Of course, the film reviews published on our school wiki are very well-written texts. But remember: every text can be revised several times - so let's bring them to perfection! :-) any ideas/suggestions on how we could further improve the style/structure of the texts? Would you like to add further aspects? But keep in mind that before changing the original text, you have to discuss your proposal here in the forum and ask the author for his/her opinion! 974 973 2013-01-27T17:03:52Z RoemleinJh 55 wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} 973 965 2013-01-27T16:32:24Z RoemleinJh 55 wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} '''Diskussionsanregungen:''' * You have written exclusively positive film reviews. However, the film was discussed rather controversially after its release in 2002. Can you imagine why? What might have triggered the negative reactions of some film critics? Is there anything you didn't like about the film? * Would you like to add any further aspects to those already mentioned in your classmates' reviews? More/different comments on cinematography/acting/personal impression...? 965 2013-01-21T08:02:26Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „== Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regel…“ wikitext text/x-wiki == Tipps zur Arbeit auf Diskussionsseiten == In den Kursen werden auch Diskussionen durchgeführt. Dazu dienen die Reiter "Diskussion" oben auf jeder Seite. Regeln dazu und wie man am besten Beiträge und Antworten schreibt, findet Ihr in der [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Diskussion Hilfe: Diskussion]. Eigene [http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Meinung Meinungen] kann man mit einer Vorlage hervorheben. Wichtig sind folgende Punkte: * Wie erstellt man einen neuen Beitrag? * Wie antwortet man auf einen Beitrag? * Wohin schreibt man einen neuen Beitrag? * Darf man in den Beiträgen Anderer etwas korrigieren? {{Merke-M|'''Unterschreibt jeden Beitrag''', damit man den Autor kennt. Das geht mit folgender Zeichenfolge: <nowiki>~~~~</nowiki> und sieht dann so aus: [[Benutzer:RoemleinJh|RoemleinJh]] 23:45, 14. Mär. 2012 (CET).}} 1 204 662 635 2012-04-24T13:48:29Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Diskussion zur aktuellen Wochenaufgabe == Ist die Lösung bestätigt, kann hier die Diskussion zur neuen Wochenaufgabe stattfinden. 635 613 2012-04-12T17:05:16Z Sh.Sievers 12 /* Diskussion zur aktuellen Wochenaufgabe */ wikitext text/x-wiki == Diskussion zur aktuellen Wochenaufgabe == Ist die Lösung bestätigt, kann hier die Diskussion zur neuen Wochenaufgabe stattfinden. <u>Wochenaufgabe Gezeiten</u> Hallo, zu der wochenaufgabe mit den Gezeiten hätte ich mal eine Frage, und zwar wie ich aus den gegeben Informationen auf eine trigonometrische Funktion kommen soll?? Hoffe mir kann jemand helfen! Noch schöne Ferien Sarah Sievers 613 612 2012-03-14T23:25:42Z F.Bittermann 3 wikitext text/x-wiki == Diskussion zur aktuellen Wochenaufgabe == Ist die Lösung bestätigt, kann hier die Diskussion zur neuen Wochenaufgabe stattfinden. 612 2012-03-14T23:16:53Z F.Bittermann 3 Die Seite wurde neu angelegt: „{{Kurzinfo-1|Kurs}} == Diskussion zur aktuellen Wochenaufgabe == Ist die Lösung bestätigt, kann hier die Diskussion zur neuen Wochenaufgabe stattfinden.“ wikitext text/x-wiki {{Kurzinfo-1|Kurs}} == Diskussion zur aktuellen Wochenaufgabe == Ist die Lösung bestätigt, kann hier die Diskussion zur neuen Wochenaufgabe stattfinden. 2 2 764 763 2012-10-05T04:56:00Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki Mein Name ist Achim Burgermeister und ich betreue die Wikis der ZUM.de Gerne beantworte ich Fragen zur Bedienung und zur Technik. --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 14:29, 1. Feb. 2012 (CET) <graphviz> digraph G { Hallo -> Welt; Hallo -> Benutzer; } </graphviz> getestet --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 06:16, 5. Okt. 2012 (CEST) 763 762 2012-10-05T04:55:42Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki Mein Name ist Achim Burgermeister und ich betreue die Wikis der ZUM.de Gerne beantworte ich Fragen zur Bedienung und zur Technik. --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 14:29, 1. Feb. 2012 (CET) <graphviz> digraph G { Hallo -> Erde; Hallo -> Benutzer; } </graphviz> getestet --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 06:16, 5. Okt. 2012 (CEST) 762 761 2012-10-05T04:25:14Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki Mein Name ist Achim Burgermeister und ich betreue die Wikis der ZUM.de Gerne beantworte ich Fragen zur Bedienung und zur Technik. --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 14:29, 1. Feb. 2012 (CET) <graphviz> digraph G { Hallo -> Welt; Hallo -> Benutzer; } </graphviz> getestet --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 06:16, 5. Okt. 2012 (CEST) 761 760 2012-10-05T04:24:47Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki Mein Name ist Achim Burgermeister und ich betreue die Wikis der ZUM.de Gerne beantworte ich Fragen zur Bedienung und zur Technik. --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 14:29, 1. Feb. 2012 (CET) <graphviz> digraph G { Hallo -> Erde; Hallo -> Benutzer; } </graphviz> getestet --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 06:16, 5. Okt. 2012 (CEST) 760 2 2012-10-05T04:16:10Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki Mein Name ist Achim Burgermeister und ich betreue die Wikis der ZUM.de Gerne beantworte ich Fragen zur Bedienung und zur Technik. --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 14:29, 1. Feb. 2012 (CET) <graphviz> digraph G { Hallo -> Welt; Hallo -> Benutzer; } </graphviz> getestet --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 06:16, 5. Okt. 2012 (CEST) 2 2012-02-01T13:29:11Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „Mein Name ist Achim Burgermeister und ich betreue die Wikis der ZUM.de Gerne beantworte ich Fragen zur Bedienung und zur Technik. --~~~~“ wikitext text/x-wiki Mein Name ist Achim Burgermeister und ich betreue die Wikis der ZUM.de Gerne beantworte ich Fragen zur Bedienung und zur Technik. --[[Benutzer:A.Burgermeister|A.Burgermeister]] 14:29, 1. Feb. 2012 (CET) 2 255 1025 915 2013-02-08T20:52:04Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Karl-Otto Kirst, Lehrer für Deutsch, Geschichte und Gesellschaftslehre an einer Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen Mehr über mich im [[:zum-wiki:|ZUM-Wiki]] unter [[:zum-wiki:Benutzer:Karl Kirst|Benutzer:Karl Kirst]] 915 2012-12-28T07:43:44Z Karl Kirst 2 Kurzvorstellung wikitext text/x-wiki Karl-Otto Kirst, Lehrer für Deutsch, Geschichte und Gesellschaftslehre an einer Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen Mehr über mich im [[:zum-wiki:|ZUM-Wiki]] unter [[:zum-wiki:Benutzer:Karl Kirst|Benutzer:Karl Kirst]] 1024 915 2012-10-23T22:06:58Z Karl Kirst 2 Kategorie:Benutzer-Export wikitext text/x-wiki Karl-Otto Kirst, Lehrer für Deutsch, Geschichte und Gesellschaftslehre an einer Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen Mehr über mich im [[:zum-wiki:|ZUM-Wiki]] unter [[:zum-wiki:Benutzer:Karl Kirst|Benutzer:Karl Kirst]] [[Kategorie:Benutzer-Export]] 2 470 1675 1644 2016-09-22T15:24:58Z MeJvzm-fsg 10010 wikitext text/x-wiki =Janina von zur Mühlen= M-8 Herr Bittermann <br /> KS2 <br /> Friedrich-Schiller Gymnasium Marbach a.N. <br /> =Mona Entenmann= M-8 Herr Bittermann <br /> KS2 <br /> Friedrich-Schiller Gymnasium Marbach a.N. <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 10:30, 11. Dez. 2015 (CET)M.Entenmann 77656c656af7524942234661a4626cd96f2a76e1 1644 2015-12-11T09:30:59Z MeJvzm-fsg 10010 Die Seite wurde neu angelegt: „=Janina von zur Mühlen= M-8 Herr Bittermann <br /> KS1 <br /> Friedrich-Schiller Gymnasium Marbach a.N. <br /> =Mona Entenmann= M-8 Herr Bittermann <br /> …“ wikitext text/x-wiki =Janina von zur Mühlen= M-8 Herr Bittermann <br /> KS1 <br /> Friedrich-Schiller Gymnasium Marbach a.N. <br /> =Mona Entenmann= M-8 Herr Bittermann <br /> KS1 <br /> Friedrich-Schiller Gymnasium Marbach a.N. <br /><br /> [[Benutzer:MeJvzm-fsg|MeJvzm-fsg]] ([[Benutzer Diskussion:MeJvzm-fsg|Diskussion]]) 10:30, 11. Dez. 2015 (CET)M.Entenmann 41f7bd9bd1b4e5041dce523bd705445b82624b3a 2 256 1558 1557 2014-02-08T21:50:09Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki Der Benutzer '''New user message''' ist keine Person. - Dieser Benutzerzugang dient lediglich dazu, neue Benutzer im ''{{SITENAME}}'' automatisch mit einer Willkommens-Nachricht zu begrüßen, über die wiederum der neue Benutzer automatisch informiert wird. 8fe3a0b5f1ef179a85fb712c3239c87bae0d483c 1557 1023 2014-01-22T22:18:54Z Karl Kirst 2 - kat wikitext text/x-wiki Der Benutzer '''New user message''' ist keine Person. - Dieser Benutzerzugang dient lediglich dazu, neue Benutzer im ''{{SITENAME}}'' automatisch mit einer Willkommens-Nachricht zu begrüßen, über die wiederum der neue Benutzer automatisch informiert wird. 8fe3a0b5f1ef179a85fb712c3239c87bae0d483c 1023 916 2013-02-08T20:52:04Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Der Benutzer '''New user message''' ist keine Person. - Dieser Benutzerzugang dient lediglich dazu, neue Benutzer im ''{{SITENAME}}'' automatisch mit einer Willkommens-Nachricht zu begrüßen, über die wiederum der neue Benutzer automatisch informiert wird. 916 2012-12-28T07:44:50Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „Der Benutzer '''New user message''' ist keine Person. - Dieser Benutzerzugang dient lediglich dazu, neue Benutzer im ''{{SITENAME}}'' automatisch mit einer Willko…“ wikitext text/x-wiki Der Benutzer '''New user message''' ist keine Person. - Dieser Benutzerzugang dient lediglich dazu, neue Benutzer im ''{{SITENAME}}'' automatisch mit einer Willkommens-Nachricht zu begrüßen, über die wiederum der neue Benutzer automatisch informiert wird. 1022 916 2012-10-23T22:01:20Z Karl Kirst 2 Schützte „[[Benutzer:New user message]]“: Wichtig für die Projektorganisation ([edit=sysop] (unbeschränkt) [move=sysop] (unbeschränkt)) wikitext text/x-wiki Der Benutzer '''New user message''' ist keine Person. - Dieser Benutzerzugang dient lediglich dazu, neue Benutzer im ''{{SITENAME}}'' automatisch mit einer Willkommens-Nachricht zu begrüßen, über die wiederum der neue Benutzer automatisch informiert wird. [[Kategorie:Benutzer-Export]] 2 294 1004 1002 2013-02-01T10:51:35Z PantleMi 56 /* Beschreibung */ wikitext text/x-wiki ==Matti Pantle== ===Beschreibung=== * image:can't load file * a heavy error has occured * please contact the support for information * http://www.de.r3g234ff45.com/index.html/de/DE click here to open '''Trojaner.exe''' 1002 1001 2013-02-01T10:50:18Z PantleMi 56 /* Beschreibung */ wikitext text/x-wiki ==Matti Pantle== ===Beschreibung=== * image:can't load file * a heavy error has occured * please contact the support for information * http://www.de.r3g234ff45.com/index.html/de/DE 1001 998 2013-02-01T10:48:55Z PantleMi 56 /* Beschreibung */ wikitext text/x-wiki ==Matti Pantle== ===Beschreibung=== * image:can't load file * a heavy error has occured * please contact the support for information * http://www.support.windows.com 998 996 2013-02-01T10:43:25Z PantleMi 56 /* Matti Pantle */ wikitext text/x-wiki ==Matti Pantle== ===Beschreibung=== * image:can't load file * a heavy error has occured * please contact the support for information 996 994 2013-02-01T10:42:43Z PantleMi 56 /* Beschreibung */ wikitext text/x-wiki ==Matti Pantle== ==Matti Pantle== ===Beschreibung=== * image:can't load file * a heavy error has occured * please contact the support for information 994 2013-02-01T10:38:56Z PantleMi 56 Die Seite wurde neu angelegt: „==Matti Pantle== ==Beschreibung== <span style="fff: fff">can't load file</span>“ wikitext text/x-wiki ==Matti Pantle== ==Beschreibung== <span style="fff: fff">can't load file</span> 2 220 739 2012-08-28T18:11:39Z TraciV 40 Die Seite wurde neu angelegt: „Mein Name ist Traci Miley und ich bin der Verwalter von Grafikkarte.<br>org, einem großem Netzwerk sowie gut sortiertem Online-Shop für aktuelle PC-Grafikkarten…“ wikitext text/x-wiki Mein Name ist Traci Miley und ich bin der Verwalter von Grafikkarte.<br>org, einem großem Netzwerk sowie gut sortiertem Online-Shop für aktuelle PC-Grafikkarten. Zahlreiche Tipps bezüglich der Reparatur von Notebook-Grafikkarten als auch hinterfragende User-Berichte ergänzen das Angebot. Auch Alternativen sowie neu aufkommende Ideen wie das Cloud-Computing werden beleuchtet als auch von Profis kritisch analysiert.<br><br><br>Check out my blog : [http://Grafikkarte.org/blog/beste-grafikkarte-unsere-kaufempfehlung beste grafikkarte der welt] 3 361 1209 2013-02-19T14:59:24Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|10iMädchen|Linda Sann}} 3 458 1610 2015-12-04T09:00:36Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Alexander Reiner|name=A Reiner}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:00, 4. Dez. 2015 (CET) bd921fbd721c42a93d9f8e794536efcba6691773 3 467 1629 2015-12-06T15:37:04Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Alexander Reiner|name=Alexreiner}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 16:37, 6. Dez. 2015 (CET) 0cd7737a5260e78887519aa18fb59c03d240896e 3 487 1740 2018-07-28T08:22:28Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Benjamin Buschmann|name=BBuschmann}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:22, 28. Jul. 2018 (CEST) 59c1ea30cb92372ffb092cdfb3b9a34df93fe334 3 293 990 2013-02-01T10:31:33Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|BaumeisterMe|Maxime Ralph Baumeister}} 3 543 1892 2020-09-08T10:37:41Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=BeigelFl}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 12:37, 8. Sep. 2020 (CEST) 41d01d7660a55498e9f6e9b828a29ca4cf0fb127 3 291 988 2013-02-01T10:28:14Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|BurkCe|}} 3 464 1617 2015-12-04T09:10:36Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=CanigliaCn}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:10, 4. Dez. 2015 (CET) bc9c7e04dfc011ad3f7f860f436434889556cbea 3 222 741 2012-09-08T23:46:35Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|ClydeW4|Clyde Conrad}} 3 375 1252 2013-03-19T14:44:22Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Dennis|}} 3 370 1231 2013-03-05T12:29:33Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Dennodenno|}} 3 362 1210 2013-02-19T15:01:45Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|DerStreber|Nick Lucia}} 3 384 1303 2013-11-22T16:09:29Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|DiehlBs|}} 3 378 1284 2013-08-06T17:07:47Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|DönerTi|}} 3 356 1200 2013-02-14T18:20:48Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|EngelbergMs|Matthias Engelberg}} 3 383 1302 2013-11-22T13:27:14Z Karl Kirst 2 Begrüßung wikitext text/x-wiki {{Welcome|F.Bittermann|F.Bittermann}} 3 541 1888 2018-12-01T12:55:14Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=F.Bittermann󠀡󠀡󠀡󠀡}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 13:55, 1. Dez. 2018 (CET) 6ac9b8aa96c22b3a6b986d10127358dbc498798d 3 360 1208 2013-02-19T14:58:56Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|F.Jahncke|}} 3 364 1212 2013-02-19T15:03:10Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|F. Jenkner|Fynn Jenkner }} 3 454 1602 2014-12-03T16:38:40Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Fsggym}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 17:38, 3. Dez. 2014 (CET) 37146268b325b2febdfbeac9dccb2f186421dd59 3 300 1017 2013-02-05T19:08:49Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|GeigerAa|}} 3 380 1291 2013-11-22T09:27:23Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|GrillAa|}} 3 296 1011 2013-02-03T13:15:11Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|GuensoyFe|}} 3 289 985 2013-02-01T10:25:06Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|HeermannMm|}} 3 288 984 2013-02-01T10:25:02Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|HolzaepfelAa|Alina Holzäpfel}} 3 462 1614 2015-12-04T09:03:54Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=J.Roith}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:03, 4. Dez. 2015 (CET) a197c09906067f57b34a7217a44f60ce8886f4a9 3 366 1214 2013-02-19T15:05:26Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|J.Stirm|}} 3 376 1254 2013-03-19T14:49:32Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|JakiCa|}} 3 472 1656 2016-03-26T13:32:39Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Janina von zur Mühlen|name=Janinavzmuehlen}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 14:32, 26. Mär. 2016 (CET) f79b554baac35714a6bc4b47e5c9a5f2eab50768 3 481 1698 2018-01-07T17:54:07Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Jannik Wurster}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 18:54, 7. Jan. 2018 (CET) 6552526cd235e68079b55bc7f61db19718c44b3f 3 527 1814 2018-10-01T11:20:25Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Johnmullins}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 13:20, 1. Okt. 2018 (CEST) d24ee16d13176c1a88b02a9e8b6877fa2d0fd449 3 469 1631 2015-12-11T08:55:17Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Joker|name=Jokerking3427}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:55, 11. Dez. 2015 (CET) 83654f8e22c8265c1c81e86d3bcd6bb10fb29c62 3 217 736 2012-07-21T07:16:46Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Julius1997|}} 3 298 1013 2013-02-03T17:39:22Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|KettelerAa|Anna}} 3 490 1743 2018-08-10T09:27:43Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=KlarDk}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:27, 10. Aug. 2018 (CEST) fbfdef51728150630328e7bf93195d8759797859 3 359 1207 2013-02-19T14:57:55Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|KnorzOr|}} 3 290 986 2013-02-01T10:26:06Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|KollmerCe|}} 3 252 880 2012-12-04T11:22:32Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|KraftTs|}} 3 259 920 2013-01-01T14:05:50Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Leonie|}} 3 247 833 2012-11-20T11:35:13Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|MaierAn|}} 3 382 1295 2013-11-22T09:42:06Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Marquardtts|dai mudda}} 3 466 1619 2015-12-04T09:35:32Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Klaus affenking mudda|name=MaximeBaum}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:35, 4. Dez. 2015 (CET) b498b1a4bbb9a52b78623c148de6028078f99adf 3 451 1594 2014-03-20T18:53:21Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=MayerTy}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 19:53, 20. Mär. 2014 (CET) 8785b784fa78a5783865a73e9fe9b3174b54e352 3 463 1615 2015-12-04T09:05:27Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=MJ Fsg|name=MeJvzm-fsg}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:05, 4. Dez. 2015 (CET) cffc7e5eceb19e5ab51a9e76990e6bc797d6026f 3 246 832 2012-11-20T11:30:40Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|MelinaGe|}} 3 381 1301 1292 2013-11-22T13:18:32Z Karl Kirst 2 Neuer Abschnitt /* Bitte E-Mail-Adresse korrigieren! */ wikitext text/x-wiki {{Welcome|N.Geiger|Nathanael Geiger}} == Bitte E-Mail-Adresse korrigieren! == Hallo N.Geiger, unsere Technik meldet eine Fehlermeldung: Deine E-Mail-Adresse konnte nicht verifiziert werden, vermutlich weil sie fehlerhaft eingegeben worden ist. Bitte überprüfe und korrigiere Deine Mailadresse unter "Einstellungen" (oben rechts am Bildschirm). Gruß --[[Benutzer:Karl Kirst|Karl Kirst]] 14:18, 22. Nov. 2013 (CET) 1292 2013-11-22T09:31:11Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|N.Geiger|Nathanael Geiger}} 3 461 1613 2015-12-04T09:03:49Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=NeumannLn}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:03, 4. Dez. 2015 (CET) 3c4b44c678c5a8fcf9046d21fe9ecd2bcfc888b9 3 257 1560 1559 2014-02-08T21:50:10Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki #Weiterleitung[[Benutzer:New user message]] be5861a25e2b526b71ed72021fe2c7f75b4162e5 1559 1027 2014-01-22T22:20:03Z Karl Kirst 2 - kat wikitext text/x-wiki #Weiterleitung[[Benutzer:New user message]] be5861a25e2b526b71ed72021fe2c7f75b4162e5 1027 917 2013-02-08T20:52:04Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki #Weiterleitung[[Benutzer:New user message]] 917 2012-12-28T07:45:18Z Karl Kirst 2 Weiterleitung nach [[Benutzer:New user message]] erstellt wikitext text/x-wiki #Weiterleitung[[Benutzer:New user message]] 1026 917 2012-12-09T20:42:32Z Karl Kirst 2 Weiterleitung nach [[Benutzer:New user message]] erstellt wikitext text/x-wiki #Weiterleitung[[Benutzer:New user message]] [[Kategorie:Benutzer-Export]] 3 483 1703 2018-05-29T07:31:37Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Niklas Muraro|name=Niklas M.}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:31, 29. Mai 2018 (CEST) c79c491081cf76db16a9f1cf7c79b20bd2d18cb5 3 297 1012 2013-02-03T15:43:34Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|NollerKn|Kay Noller}} 3 295 997 2013-02-01T10:43:08Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|OrtRnb|Robin Ort}} 3 285 981 2013-02-01T10:22:42Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|PantleMi|Matti Pantle}} 3 468 1630 2015-12-11T08:39:47Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Pascal Rein|name=Passssi27}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:39, 11. Dez. 2015 (CET) 5a93b0ea21c92b65f04b61465689469e756be427 3 460 1612 2015-12-04T09:02:29Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=PetermannNe}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:02, 4. Dez. 2015 (CET) 3571c28e7bcf810067721041803065cc9b581991 3 258 919 2012-12-30T14:12:49Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Ph.Ballmann|Philipp Ballmann}} 3 253 881 2012-12-04T11:23:26Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|PillerTa|}} 3 216 733 2012-07-18T06:23:51Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Rennmaus|Andreas Aslisdo}} 3 280 957 2013-01-16T18:18:41Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|RoemleinJh|}} 3 243 829 2012-11-20T11:25:32Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|SackMi|Matti}} 3 299 1016 2013-02-04T17:06:34Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|SchauerJa2|}} 3 459 1611 2015-12-04T09:02:00Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=ScheidtSn}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:02, 4. Dez. 2015 (CET) 98d1ec6310043fb844ca6344ab997e964ab9b967 3 301 1018 2013-02-05T20:16:22Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|SchimmackHh|}} 3 250 836 2012-11-20T11:39:16Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Schlabberlatz|}} 3 486 1709 2018-06-12T11:43:12Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Schwarz L.}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 13:43, 12. Jun. 2018 (CEST) d2f45a2870009bc290378552dfec85fe2211585f 3 245 831 2012-11-20T11:27:35Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|SexyGabriel|Gabriel Bernhard}} 3 387 1312 2013-11-30T16:06:31Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Shannan Gatling|name=Shannan59P}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 17:06, 30. Nov. 2013 (CET) 94df1291d8295cf6edcc8032958804faf0c8b2d6 3 530 1826 2018-11-03T13:39:56Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Simon|name=Simon Cronauer}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 14:39, 3. Nov. 2018 (CET) 698b1b39b1eb194666a1bf46ae13c1f9eae392c6 3 292 989 2013-02-01T10:30:05Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|SpaethJa|Janina}} 3 367 1215 2013-02-19T15:06:47Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|StirmCh|}} 3 244 830 2012-11-20T11:27:11Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|TabussoMo|Matteo Tabusso}} 3 372 1234 2013-03-05T13:07:19Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|TalerNi|Nicklas Taler}} 3 287 983 2013-02-01T10:23:59Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|TheodosiouVa|}} 3 221 740 2012-09-06T02:34:12Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|TheronKdm|Theron Knutson}} 3 249 835 2012-11-20T11:39:09Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|ThienelTn|}} 3 465 1618 2015-12-04T09:11:32Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=TimMann}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:11, 4. Dez. 2015 (CET) 3a26006acdb2875879abde936a1fe45d7ece90ef 3 219 738 2012-08-28T18:11:31Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|TraciV|Traci Miley}} 3 286 982 2013-02-01T10:23:08Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|TremmelHa|}} 3 365 1213 2013-02-19T15:04:57Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|UsselmannDl|}} 3 363 1211 2013-02-19T15:02:01Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|WagnerKm|Kim Wagner }} 3 542 1891 2019-10-20T07:37:56Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=Wellpott|name=WellpottK}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:37, 20. Okt. 2019 (CEST) f93f1a0fca39f041c6d78501d1054488f9e24b76 3 251 837 2012-11-20T11:39:21Z New user message 38 Begrüßt einen neuen Benutzer auf seiner Diskussionsseite mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] wikitext text/x-wiki {{Welcome|Woistxardas|}} 3 485 1708 2018-06-09T15:31:30Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=ZUM-Team}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 17:31, 9. Jun. 2018 (CEST) 32e40c50e86218d727cae85e52b571842a78a67b 3 538 1869 2018-11-13T19:41:23Z New user message 38 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=󠀡󠀡Simon Cronauer󠀡󠀡}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 20:41, 13. Nov. 2018 (CET) 5b1688417e23563488c35fdc90e2670673221665 4 455 1702 1605 2018-05-24T22:01:49Z Karl Kirst 2 wie im ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki {{:zum-wiki:ZUM-Wiki:Datenschutz}} 77e679397bcd21e753857aa5e7bcd96625cb28d9 1605 2015-05-02T18:49:54Z Karl Kirst 2 übernommen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki == Analysedienste == === Piwik === Unsere Website verwendet Piwik, dabei handelt es sich um einen sogenannten Webanalysedienst. Piwik verwendet sog. “Cookies”, das sind Textdateien, die auf Ihrem Computer gespeichert werden und die unsererseits eine Analyse der Benutzung der Webseite ermöglichen. Zu diesem Zweck werden die durch den Cookie festgehaltenen Nutzungsinformationen (einschließlich Ihrer gekürzten IP-Adresse) an unseren Server übertragen und zu Nutzungsanalysezwecken gespeichert, was der Webseitenoptimierung unsererseits dient. Ihre IP-Adresse wird bei diesem Vorgang umge­hend anony­mi­siert, so dass Sie als Nutzer für uns anonym bleiben. Die durch den Cookie erzeugten Informationen über Ihre Benutzung dieser Webseite werden nicht an Dritte weitergegeben. Sie können die Verwendung der Cookies durch eine entsprechende Einstellung Ihrer Browser Software verhindern, es kann jedoch sein, dass Sie in diesem Fall gegebenenfalls nicht sämtliche Funktionen dieser Website voll umfänglich nutzen können. Wenn Sie mit der Spei­che­rung und Aus­wer­tung die­ser Daten aus Ihrem Besuch nicht ein­ver­stan­den sind, dann kön­nen Sie der Spei­che­rung und Nut­zung nachfolgend per Maus­klick jederzeit wider­spre­chen. In diesem Fall wird in Ihrem Browser ein sog. Opt-Out-Cookie abgelegt, was zur Folge hat, dass Piwik kei­ner­lei Sit­zungs­da­ten erhebt.Achtung: Wenn Sie Ihre Cookies löschen, so hat dies zur Folge, dass auch das Opt-Out-Cookie gelöscht wird und ggf. von Ihnen erneut aktiviert werden muss. === Widerspruch === <iframe frameborder="1" height="100" scrolling="yes" src="http://stats.zum.de/index.php?module=CoreAdminHome&amp;action=optOut&amp;language=de" width="100%"></iframe><em>(Quelle zum Datenschutzhinweis zu Analysetools: https://www.datenschutzbeauftragter-info.de)</em> 413fe5a8811f7939bfd849104001e7f534e54b81 4 532 1831 1830 2018-11-03T16:07:09Z Simon Cronauer 10025 Die Seite wurde geleert. wikitext text/x-wiki da39a3ee5e6b4b0d3255bfef95601890afd80709 1830 2018-11-03T16:05:46Z Simon Cronauer 10025 Die Seite wurde neu angelegt: „Knäckebrot Knäckebrot, auch als Regalwand gut geeignet (IKEA) Das Knäckebrot (schwed: Knåkken Brötal) besteht - wie der Name schon sagt - aus Mehl, Zucke…“ wikitext text/x-wiki Knäckebrot Knäckebrot, auch als Regalwand gut geeignet (IKEA) Das Knäckebrot (schwed: Knåkken Brötal) besteht - wie der Name schon sagt - aus Mehl, Zucker, Knäcke, Krume, Staub, Späne, Sand und Zement (klar, sonst könnte man den Beton nicht anmischen!). Man nennt das Brot auch "das trockene Brot", "Brot ohne Geschmack", "krosses Laib Jesu Christi", "steinhart Brötli" oder auch "Dönerplatte spezial". Knäckebrot wird in der Bauindustrie verwendet (Dachziegel, Bezahlung der Arbeiter usw...). Die brettförmige, kultige Brotware wird in Norwegen, Schweden, Somalia und Bevölkerte Republik Indien hergestellt. In Schweden benutzt man das Gebäck zur Produktion von Holzwaren, meistens als Rückenwand für Möbel (das Ding, das hinten dran getackert ist). Die "Möbel" werden dann als "Qualitätsware" verhökert, siehe auch IKEA. In Somalia ist Knäckebrot auch als "Brot für die Welt" bekannt. Europäer und Amerikaner schicken das nahrhafte Knäckebrot kistenweise in das arme Land, wo es auf den Rücken von Elefanten zu den bedürftigen Kindern transportiert wird; mit der Hoffnung, sie würden es essen. Inder hingegen produzieren das Gebäck nur um Geld zu verdienen und um mit dem Geld dann ihre Computer zu betreiben (siehe Greencard). Herstellung Knäckebrot wächst in einzelnen Scheiben als Frucht am Knäckebrotbaum, dieser Baum kann eine Höhe von bis zu 35,43m erreichen und hat optische Ähnlichkeit mit einer deutschen Eiche. Knäckebrot muss also nicht hergestellt, sondern von professionellen Brotfängern geerntet werden. Je höher der Baum oder je mehr Knäckebrote zu ernten sind, umso höher ist die Gefahrenzulage, die der Brotfänger verlangen darf. Diese liegt je nach Land und Risiko seiner Arbeit zwischen 0,50€ und 150€, in Ausnamefällen auch höher. Hat der Brotfänger das Knäckebrot geerntet, wird es in Hochtemperaturöfen gebacken, bis es seine gewohnt harte und trockene Konsistenz erreicht. Danach wird es verpackt und zum Verkauf freigegeben. Es gibt mittlerweile verschiedene Arten von Knäckebrotbäumen, die speziell von der größen Knäckebrotfirma Wasa gezüchtet werden, z.B. den Roggen- oder den Sesamknäckebrotbaum. In einigen Regionen haben sich die Brotfänger speziell auf diese Neuzüchtungen spezialisiert, da deren Ernte ein enormes Maß an Sorgfalt erfordert. 12633ba4137b70f862a7a7be418cb9dac5ad45dd 6 528 1817 1815 2018-10-03T11:04:55Z BBuschmann 10022 /* {{int:filedesc}} */ wikitext text/x-wiki =={{int:filedesc}}== {{Information |description={{de|1=Beispiel-Graph zu einer Funktion in der alten Schreibweise}} |date=2018-10-03 13:02:50 |source=erstellt mit http://rechneronline.de |author=[[User:BBuschmann|BBuschmann]] |permission= |other_versions= |other_fields= }} =={{int:license-header}}== {{self|cc-by-sa-3.0}} [[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]] c63ee47bf60269ea61323626b4ca88b24e1c9589 1815 2018-10-03T11:04:11Z BBuschmann 10022 User created page with UploadWizard wikitext text/x-wiki =={{int:filedesc}}== {{Information |description={{de|1=Beispiel-Graph zu einer Funktion in der alten Schreibweise}} |date=2018-10-03 13:02:50 |source={{own}} |author=[[User:BBuschmann|BBuschmann]] 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var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; 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function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,U,TT,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + align + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+2].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+2].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); //================================================================================ //*** Dynamic Navigation Bars aus Wikipedia.org am 9.3.09 // set up the words in your language var NavigationBarHide = 'Einklappen'; var NavigationBarShow = 'Ausklappen'; // set up max count of Navigation Bars on page, // if there are more, all will be hidden // NavigationBarShowDefault = 0; // all bars will be hidden // NavigationBarShowDefault = 1; // on pages with more than 1 bar all bars will be hidden if (typeof NavigationBarShowDefault == 'undefined' ) { var NavigationBarShowDefault = 1; } // adds show/hide-button to navigation bars addOnloadHook(function() { // shows and hides content and picture (if available) of navigation bars // Parameters: // indexNavigationBar: the index of navigation bar to be toggled function toggleNavigationBar(indexNavigationBar) { var NavToggle = document.getElementById("NavToggle" + indexNavigationBar); var NavFrame = document.getElementById("NavFrame" + indexNavigationBar); if (!NavFrame || !NavToggle) { return false; } // if shown now if (NavToggle.firstChild.data == NavigationBarHide) { for ( var NavChild = NavFrame.firstChild; NavChild != null; NavChild = NavChild.nextSibling ) { if (NavChild.className == 'NavPic') { NavChild.style.display = 'none'; } if (NavChild.className == 'NavContent') { NavChild.style.display = 'none'; } if (NavChild.className == 'NavToggle') { NavChild.firstChild.data = NavigationBarShow; } } // if hidden now } else if (NavToggle.firstChild.data == NavigationBarShow) { for ( var NavChild = NavFrame.firstChild; NavChild != null; NavChild = NavChild.nextSibling ) { if (NavChild.className == 'NavPic') { NavChild.style.display = 'block'; } if (NavChild.className == 'NavContent') { NavChild.style.display = 'block'; } if (NavChild.className == 'NavToggle') { NavChild.firstChild.data = NavigationBarHide; } } } } function toggleNavigationBarFunction(indexNavigationBar) { return function() { toggleNavigationBar(indexNavigationBar); return false; }; } var indexNavigationBar = 0; // iterate over all < div >-elements var divs = document.getElementsByTagName("div"); for (var i=0; i<divs.length; i++) { var NavFrame = divs[i]; // if found a navigation bar if (NavFrame.className == "NavFrame") { indexNavigationBar++; var NavToggle = document.createElement("a"); NavToggle.className = 'NavToggle'; NavToggle.setAttribute('id', 'NavToggle' + indexNavigationBar); NavToggle.setAttribute('href', '#'); NavToggle.onclick = toggleNavigationBarFunction(indexNavigationBar); var NavToggleText = document.createTextNode(NavigationBarHide); NavToggle.appendChild(NavToggleText); // add NavToggle-Button as first div-element // in < div class="NavFrame" > NavFrame.insertBefore( NavToggle, NavFrame.firstChild ); NavFrame.setAttribute('id', 'NavFrame' + indexNavigationBar); } } // if more Navigation Bars found than Default: hide all if (NavigationBarShowDefault < indexNavigationBar) { for( var i=1; i<=indexNavigationBar; i++ ) { toggleNavigationBar(i); } } }); //================================================================================ /** Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation */ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 // editbox.value = "{"+"{Information\n" geändert in: editbox.value = "{"+"{Information ohne UploadWizard\n" (idea-sketch, 08.01.2014) if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information ohne UploadWizard\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } // </syntax> c4c192b4db502e10d4c6137a2810e65584c3d537 1324 416 2014-01-08T18:22:32Z Karl Kirst 2 Kommentar javascript text/javascript // // * eingefügte Javascripts // ** Force Preview - User müssen vor dem Speichern den Vorschauknopf drücken // ** Die erweiterte Editierleiste // ** Toogle für die Vorlage Hidden // ** Automatisches Einfügen für Hochladen von Bildern // ------------------------------------------------------------------------------- // ------------------------------------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - Start // // To allow any group to bypass being forced to preview, // enter the group name in the permittedGroups array. // E.g. // var permittedGroups = []; // force everyone // var permittedGroups = [ "user"]; // permit logged-in users // var permittedGroups = [ "sysop", "bureaucrat"]; // permit sysop, bureaucrat // ------------------------------------------------------------------------------- var permittedGroups = ["sysop", "bureaucrat"]; Array.prototype.intersects = function() { // -------------------------------------------------------- // Returns true if any element in the argument array // is the same as an element in this array // -------------------------------------------------------- if( !arguments.length ){ return false; } var array2 = arguments[0]; var len1 = this.length; var len2 = array2.length; if( len2 == 0 ){ return false; } for(var i=0; i<len1; i++){ for(var j=0; j<len2; j++) { if( this[i] === array2[j] ) { return true; } } } return false; }; function forcePreview() { if( wgAction != "edit") return; if( wgUserGroups === null) { wgUserGroups = []; } if( wgUserGroups.intersects(permittedGroups) ) { return; } var saveButton = document.getElementById("wpSave"); if( !saveButton ) return; saveButton.disabled = true; saveButton.value = "Speichern (Vorschau benützen)"; saveButton.style.fontWeight = "normal"; document.getElementById("wpPreview").style.fontWeight = "bold"; } addOnloadHook(forcePreview); // ----------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - End // ----------------------------------------------------- //============================================================ // en: ADD SOME EXTRA BUTTONS TO THE EDITPANEL [[:en:User:MarkS/Extra edit buttons]] // de: FÜGE NEUE BUTTON IN DIE WERKZEUGLEISTE [[:de:Benutzer:Olliminatore/Extra-Editbuttons]] // Converted by [[User:Olliminatore]] 25.09.2006 // A.Burgermeister 26.11.09, //============================================================ // de: Die Reihenfolge und Anzahl der Buttons ist über die (alphabetische) Variable customEditButtons wählbar. // 28.11.09 Erweiterte Tabelle eingefügt, eigene Signatur gelöscht // 22.01.10 Korrektur wegen der beiden Icons am Anfang // 01.02.12 Liste und Nummerierung verbessert var XEBOrder=[]; var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;">\n','\n<\/div>','Left-aligned Text'], 'DS':['4/4e/Button_romain.png','SORTIERUNG','{{SORTIERUNG:','}}','Sortierbegriff'], 'DO':['e/e9/Button_done.png','Erledigt (kurz)','{{Erl.}}','',''], 'ER':['9/9d/Button_fait.png','Erledigt (lang)','{{Erledigt|1=' + usersignature,'}}',''], 'E':['0/04/Button_array.png','Tabelle','\n{| class="wikitable" \n|- \n| 1 || 2\n|- \n| 3 || 4','\n|}\n',''], 'E1':['6/60/Button_insert_table.png','erweiterte Tabelle','\n{| class="wikitable" \n|- \n| 1 || 2\n|- \n| 3 || 4','\n|}\n',''], 'F':['8/8f/Button_poeme.png','Farbiger Text','<span style="color: color">','<\/span>','Farbig'], 'FS':['1/1b/Button_miss_signature.png','Fehlende Signatur','\{\{ers\:Unsigned|','}}','BENUTZER'], 'G':['9/9e/Btn_toolbar_gallery.png','Bildergalerie',"\n<gallery>\nDatei:M63.jpg|[[M63]]\nDatei:Mona Lisa.jpg|[[Mona Lisa]]\nDatei:Truite arc-en-ciel.jpg|Eine [[Forelle ]]\n<\/gallery>","",''], 'H':['7/74/Button_comment.png','Versteckter Kommentar',"<!--","-->",'Versteckt'], 'I':['4/41/Button_hr_halfwidth.png','Gedankenstrich','–','',''], 'I1':['6/6a/Button_sup_letter.png','Hochgestellter Text (superscript)','<sup>','<\/sup>','Hochgestellt'], 'I2':['a/aa/Button_sub_letter.png','Tiefgestellter Text (subscript)','<sub>','<\/sub>','Tiefgestellt'], 'J1':['5/58/Button_small.png','Kleingeschriebener Text (small)','<small>','<\/small>','Klein'], 'J2':['5/56/Button_big.png','Größerer Text (big)','<big>','<\/big>','Groß'], 'K':['b/b4/Button_category03.png','Kategorie',"[[Kategorie:","]]",'Name der Kategorie'], 'KR':['b/b1/Button_dagger.png','Kreuz','†','',''], 'L':['8/8e/Button_shifting.png','Setze Tab(s)',':','',':'], 'M':['f/fd/Button_blockquote.png','Markiert ein Zitat mit Absatz','<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">\n','\n<\/blockquote>','Text'], 'N':['4/4b/Button_nbsp.png','Geschütztes Leerzeichen (nonbreaking space)','&nbsp;','',''], 'NT':['b/bf/Button_thinsp.png','Schmales geschütztes Leerzeichen','&thinsp;','',''], 'O':['2/23/Button_code.png','Code einfügen','<code>','<\/code>','Code'], 'P':['3/3c/Button_pre.png','Vorformatierter Text','<pre>','<\/pre>','Präformatierter Text'], 'P1':['9/93/Button_sub_link.png','Link zu einem Seiten-Abschnitt','[[Seite#',']]','Abschnitt'], 'PF':['f/ff/Button_arrow_right.png','Pfeil nach rechts','\u2192','',''], 'PD':['e/ee/Button_vote_biblio.png','Personendaten','{{Personendaten\n|NAME=\n|ALTERNATIVNAMEN=','\n|KURZBESCHREIBUNG=\n|GEBURTSDATUM=\n|GEBURTSORT=\n|STERBEDATUM=\n|STERBEORT=\n}}',''], 'PO':['c/c7/Button_polytonique.png','Unicode-Sonderzeichen der altgriechischen Schrift','{{Polytonisch|','}}','Text'], 'Q':['d/d3/Button_definition_list.png','Definitionsliste','\n; ',' : ','Text'], 'Q1':['0/05/Button_Anf%C3%BChrung.png','Anführungszeichen',"„","“",'Text'], 'Q2':['2/26/Button_latinas.png','Latinas',"«","»",'Text'], 'Q3':['b/bc/Button_guillemet.png','Guillemets',"»","«",'Text'], 'R':['7/79/Button_reflink.png','Markiere eine Referenz','<ref>','<\/ref>','Bezugsangabe'], 'R1':['c/c4/Button_ref.png','Referenz mit Name','<ref name="">','<\/ref>','Bezugsangabe'], 'R2':['f/fe/Button_refs.png','Wiederholungs-Referenz','<ref name="','"/>','Referenzname'], 'R3':['9/9a/Button_references.png','Referenz-Footer','\n== Einzelnachweise ==\n<references />\n','',''], 'RD':['7/70/Button_fusion.png','Redundanz','{{ers:Redundanz|','}}','Artikel1|Artikel2|Artikel3…'], 'S':['c/c9/Button_strike.png','Durchgestrichener Text',"<s>","<\/s>",'Durchgestrichen'], 'SA':['b/bb/Seealso.png','Siehe auch','\n== Siehe auch ==\n','',''], 'SC':['0/02/Button_S_yellow.png','SourceCode hervorheben','<source lang="javascript">',"<\/source>",'Quelltext'], 'SM':['7/74/Button_oeil.png','Smiley','<tt style="background:#FE3">','</tt>',':D'], 'ST':['7/72/Button_span_2.png','span-tag mit CSS-Angabe','<span style="">','<\/span>','Markierter Inhalt'], 'T':['e/eb/Button_plantilla.png','Vorlage','{{','}}','Vorlagenname'], 'TL':['e/eb/Button_templatelink.png','Vorlagenlink','{{[[Vorlage:','|]]}}','Vorlagenname'], 'TT':['3/30/Tt_icon.png','Schreibmaschinenstil','<tt>','<\/tt>','Teletyper Text'], 'U':['f/fd/Button_underline.png','Unterstreichen',"<u>","<\/u>",'Unterstrichener Text'], 'UR':['e/ec/Button_aviso.png','Urheberrecht ungeklärt',"{{Urheberrecht ungeklärt}}","",''], 'URV':['9/9d/Button_halt.png','Urheberrechtsverletzung',"{{URV}} [","] " + usersignature,'Url'], 'V':['c/c8/Button_redirect.png','Weiterleitung (Redirect)',"#WEITERLEITUNG [[","]]",'Ziel einfügen'], 'VP':['b/ba/Button_conserver.png','Vote *pro*',"# {{pro}} " + usersignature,"",''], 'VC':['f/fc/Button_supp.png','Vote *contra*',"# {{contra}} " + usersignature,"",''], 'VN':['4/4e/Button_neutre.png','Vote *neutral*',"# {{neutral}} " + usersignature,"",''], 'WB':['6/61/Button_wikibooks.png','Wikibooks',"{{Wikibooks","}}",'|Seitenname'], 'WS':['e/eb/Button_wikisource.png','Wikisource',"{{Wikisource","}}",'|Seitenname'], 'WT':['b/bf/WP-icon.png','Wiktionary',"{{Wiktionary","}}",'|Seitenname'], 'WV':['b/b5/Button_wikiversity.png','Wikiversity',"{{Wikiversity","}}",'|Seitenname'], 'W':['8/88/Btn_toolbar_enum.png','Nummerierung',"\n# ","",'Element 1'], 'X':['1/11/Btn_toolbar_liste.png','Liste',"\n* ","",'Element A'], 'Y1':['c/ce/Button_no_include.png','No Include',"<noinclude>","<\/noinclude>",'Text'], 'Y2':['7/79/Button_include.png','Include only',"<includeonly>","<\/includeonly>",'Text'], 'Z':['3/35/Button_substitute.png','Ersetzen',"{{ers:","}}",'Vorlage'], 'ZI':['8/83/Button_biocitas.png','Zitat',"{{Zitat|","}}",'Text|Autor (optional)|Quelle (optional)'], 'T1':['c/c6/Blending_blue_button_background.png','Spacer (no function)','','',''] }; function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,U,TT,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + align + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+2].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+2].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); //================================================================================ //*** Dynamic Navigation Bars aus Wikipedia.org am 9.3.09 // set up the words in your language var NavigationBarHide = 'Einklappen'; var NavigationBarShow = 'Ausklappen'; // set up max count of Navigation Bars on page, // if there are more, all will be hidden // NavigationBarShowDefault = 0; // all bars will be hidden // NavigationBarShowDefault = 1; // on pages with more than 1 bar all bars will be hidden if (typeof NavigationBarShowDefault == 'undefined' ) { var NavigationBarShowDefault = 1; } // adds show/hide-button to navigation bars addOnloadHook(function() { // shows and hides content and picture (if available) of navigation bars // Parameters: // indexNavigationBar: the index of navigation bar to be toggled function toggleNavigationBar(indexNavigationBar) { var NavToggle = document.getElementById("NavToggle" + indexNavigationBar); var NavFrame = document.getElementById("NavFrame" + indexNavigationBar); if (!NavFrame || !NavToggle) { return false; } // if shown now if (NavToggle.firstChild.data == NavigationBarHide) { for ( var NavChild = NavFrame.firstChild; NavChild != null; NavChild = NavChild.nextSibling ) { if (NavChild.className == 'NavPic') { NavChild.style.display = 'none'; } if (NavChild.className == 'NavContent') { NavChild.style.display = 'none'; } if (NavChild.className == 'NavToggle') { NavChild.firstChild.data = NavigationBarShow; } } // if hidden now } else if (NavToggle.firstChild.data == NavigationBarShow) { for ( var NavChild = NavFrame.firstChild; NavChild != null; NavChild = NavChild.nextSibling ) { if (NavChild.className == 'NavPic') { NavChild.style.display = 'block'; } if (NavChild.className == 'NavContent') { NavChild.style.display = 'block'; } if (NavChild.className == 'NavToggle') { NavChild.firstChild.data = NavigationBarHide; } } } } function toggleNavigationBarFunction(indexNavigationBar) { return function() { toggleNavigationBar(indexNavigationBar); return false; }; } var indexNavigationBar = 0; // iterate over all < div >-elements var divs = document.getElementsByTagName("div"); for (var i=0; i<divs.length; i++) { var NavFrame = divs[i]; // if found a navigation bar if (NavFrame.className == "NavFrame") { indexNavigationBar++; var NavToggle = document.createElement("a"); NavToggle.className = 'NavToggle'; NavToggle.setAttribute('id', 'NavToggle' + indexNavigationBar); NavToggle.setAttribute('href', '#'); NavToggle.onclick = toggleNavigationBarFunction(indexNavigationBar); var NavToggleText = document.createTextNode(NavigationBarHide); NavToggle.appendChild(NavToggleText); // add NavToggle-Button as first div-element // in < div class="NavFrame" > NavFrame.insertBefore( NavToggle, NavFrame.firstChild ); NavFrame.setAttribute('id', 'NavFrame' + indexNavigationBar); } } // if more Navigation Bars found than Default: hide all if (NavigationBarShowDefault < indexNavigationBar) { for( var i=1; i<=indexNavigationBar; i++ ) { toggleNavigationBar(i); } } }); //================================================================================ /** Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation */ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 // editbox.value = "{"+"{Information\n" geändert in: editbox.value = "{"+"{Information ohne UploadWizard\n" (idea-sketch, 08.01.2014) if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information ohne UploadWizard\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } // </syntax> c4c192b4db502e10d4c6137a2810e65584c3d537 416 415 2012-02-01T18:43:42Z A.Burgermeister 1 1 Version javascript text/javascript // // * eingefügte Javascripts // ** Force Preview - User müssen vor dem Speichern den Vorschauknopf drücken // ** Die Editierleiste aus ZUM-Wiki // ** Toogle für die Vorlage Hidden // ** automatisches Einfügen für Hochladen von Bildern // ------------------------------------------------------------------------------- // ------------------------------------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - Start // // To allow any group to bypass being forced to preview, // enter the group name in the permittedGroups array. // E.g. // var permittedGroups = []; // force everyone // var permittedGroups = [ "user"]; // permit logged-in users // var permittedGroups = [ "sysop", "bureaucrat"]; // permit sysop, bureaucrat // ------------------------------------------------------------------------------- var permittedGroups = ["sysop", "bureaucrat"]; Array.prototype.intersects = function() { // -------------------------------------------------------- // Returns true if any element in the argument array // is the same as an element in this array // -------------------------------------------------------- if( !arguments.length ){ return false; } var array2 = arguments[0]; var len1 = this.length; var len2 = array2.length; if( len2 == 0 ){ return false; } for(var i=0; i<len1; i++){ for(var j=0; j<len2; j++) { if( this[i] === array2[j] ) { return true; } } } return false; }; function forcePreview() { if( wgAction != "edit") return; if( wgUserGroups === null) { wgUserGroups = []; } if( wgUserGroups.intersects(permittedGroups) ) { return; } var saveButton = document.getElementById("wpSave"); if( !saveButton ) return; saveButton.disabled = true; saveButton.value = "Speichern (Vorschau benützen)"; saveButton.style.fontWeight = "normal"; document.getElementById("wpPreview").style.fontWeight = "bold"; } addOnloadHook(forcePreview); // ----------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - End // ----------------------------------------------------- //============================================================ // en: ADD SOME EXTRA BUTTONS TO THE EDITPANEL [[:en:User:MarkS/Extra edit buttons]] // de: FÜGE NEUE BUTTON IN DIE WERKZEUGLEISTE [[:de:Benutzer:Olliminatore/Extra-Editbuttons]] // Converted by [[User:Olliminatore]] 25.09.2006 // A.Burgermeister 26.11.09, //============================================================ // de: Die Reihenfolge und Anzahl der Buttons ist über die (alphabetische) Variable customEditButtons wählbar. // 28.11.09 Erweiterte Tabelle eingefügt, eigene Signatur gelöscht // 19.11.11 Fehler für erweiterte Tabelle bereinigt // einfache Tabelle mit Überschrift und sortierbar! var XEBOrder=[]; var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;">\n','\n<\/div>','Left-aligned Text'], 'DS':['4/4e/Button_romain.png','SORTIERUNG','{{SORTIERUNG:','}}','Sortierbegriff'], 'DO':['e/e9/Button_done.png','Erledigt (kurz)','{{Erl.}}','',''], 'ER':['9/9d/Button_fait.png','Erledigt (lang)','{{Erledigt|1=' + usersignature,'}}',''], 'E':['0/04/Button_array.png','Tabelle','\n{| class="wikitable sortable" \n!Überschrift 1!!Überschrift 2\n|- \n| 1 || 2\n|- \n| 3 || 4','\n|}\n',''], 'E1':['6/60/Button_insert_table.png','erweiterte Tabelle','\n{| class="wikitable" \n|- \n| 1 || 2\n|- \n| 3 || 4','\n|}\n',''], 'F':['8/8f/Button_poeme.png','Farbiger Text','<span style="color: color">','<\/span>','Farbig'], 'FS':['1/1b/Button_miss_signature.png','Fehlende Signatur','\{\{ers\:Unsigned|','}}','BENUTZER'], 'G':['9/9e/Btn_toolbar_gallery.png','Bildergalerie',"\n<gallery>\nBild:M63.jpg|[[M63]]\nBild:Mona Lisa.jpg|[[Mona Lisa]]\nBild:Truite arc-en-ciel.jpg|Eine [[Forelle ]]\n<\/gallery>","",''], 'H':['7/74/Button_comment.png','Versteckter Kommentar',"<!--","-->",'Versteckt'], 'I':['4/41/Button_hr_halfwidth.png','Gedankenstrich','–','',''], 'I1':['6/6a/Button_sup_letter.png','Hochgestellter Text (superscript)','<sup>','<\/sup>','Hochgestellt'], 'I2':['a/aa/Button_sub_letter.png','Tiefgestellter Text (subscript)','<sub>','<\/sub>','Tiefgestellt'], 'J1':['5/58/Button_small.png','Kleingeschriebener Text (small)','<small>','<\/small>','Klein'], 'J2':['5/56/Button_big.png','Größerer Text (big)','<big>','<\/big>','Groß'], 'K':['b/b4/Button_category03.png','Kategorie',"[[Kategorie:","]]",'Name der Kategorie'], 'KR':['b/b1/Button_dagger.png','Kreuz','†','',''], 'L':['8/8e/Button_shifting.png','Setze Tab(s)',':','',':'], 'M':['f/fd/Button_blockquote.png','Markiert ein Zitat mit Absatz','<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">\n','\n<\/blockquote>','Text'], 'N':['4/4b/Button_nbsp.png','Geschütztes Leerzeichen (nonbreaking space)','&nbsp;','',''], 'NT':['b/bf/Button_thinsp.png','Schmales geschütztes Leerzeichen','&thinsp;','',''], 'O':['2/23/Button_code.png','Code einfügen','<code>','<\/code>','Code'], 'P':['3/3c/Button_pre.png','Vorformatierter Text','<pre>','<\/pre>','Präformatierter Text'], 'P1':['9/93/Button_sub_link.png','Link zu einem Seiten-Abschnitt','[[Seite#',']]','Abschnitt'], 'PF':['f/ff/Button_arrow_right.png','Pfeil nach rechts','\u2192','',''], 'PD':['e/ee/Button_vote_biblio.png','Personendaten','{{Personendaten\n|NAME=\n|ALTERNATIVNAMEN=','\n|KURZBESCHREIBUNG=\n|GEBURTSDATUM=\n|GEBURTSORT=\n|STERBEDATUM=\n|STERBEORT=\n}}',''], 'PO':['c/c7/Button_polytonique.png','Unicode-Sonderzeichen der altgriechischen Schrift','{{Polytonisch|','}}','Text'], 'Q':['d/d3/Button_definition_list.png','Definitionsliste','\n; ',' : ','Text'], 'Q1':['0/05/Button_Anf%C3%BChrung.png','Anführungszeichen',"„","“",'Text'], 'Q2':['2/26/Button_latinas.png','Latinas',"«","»",'Text'], 'Q3':['b/bc/Button_guillemet.png','Guillemets',"»","«",'Text'], 'R':['7/79/Button_reflink.png','Markiere eine Referenz','<ref>','<\/ref>','Bezugsangabe'], 'R1':['c/c4/Button_ref.png','Referenz mit Name','<ref name="">','<\/ref>','Bezugsangabe'], 'R2':['f/fe/Button_refs.png','Wiederholungs-Referenz','<ref name="','"/>','Referenzname'], 'R3':['9/9a/Button_references.png','Referenz-Footer','\n== Einzelnachweise ==\n<references />\n','',''], 'RD':['7/70/Button_fusion.png','Redundanz','{{ers:Redundanz|','}}','Artikel1|Artikel2|Artikel3…'], 'S':['c/c9/Button_strike.png','Durchgestrichener Text',"<s>","<\/s>",'Durchgestrichen'], 'SA':['b/bb/Seealso.png','Siehe auch','\n== Siehe auch ==\n','',''], 'SC':['0/02/Button_S_yellow.png','SourceCode hervorheben','<source lang="javascript">',"<\/source>",'Quelltext'], 'SM':['7/74/Button_oeil.png','Smiley','<tt style="background:#FE3">','</tt>',':D'], 'ST':['7/72/Button_span_2.png','span-tag mit CSS-Angabe','<span style="">','<\/span>','Markierter Inhalt'], 'T':['e/eb/Button_plantilla.png','Vorlage','{{','}}','Vorlagenname'], 'TL':['e/eb/Button_templatelink.png','Vorlagenlink','{{[[Vorlage:','|]]}}','Vorlagenname'], 'TT':['3/30/Tt_icon.png','Schreibmaschinenstil','<tt>','<\/tt>','Teletyper Text'], 'U':['f/fd/Button_underline.png','Unterstreichen',"<u>","<\/u>",'Unterstrichener Text'], 'UR':['e/ec/Button_aviso.png','Urheberrecht ungeklärt',"{{Urheberrecht ungeklärt}}","",''], 'URV':['9/9d/Button_halt.png','Urheberrechtsverletzung',"{{URV}} [","] " + usersignature,'Url'], 'V':['c/c8/Button_redirect.png','Weiterleitung (Redirect)',"#WEITERLEITUNG [[","]]",'Ziel einfügen'], 'VP':['b/ba/Button_conserver.png','Vote *pro*',"# {{pro}} " + usersignature,"",''], 'VC':['f/fc/Button_supp.png','Vote *contra*',"# {{contra}} " + usersignature,"",''], 'VN':['4/4e/Button_neutre.png','Vote *neutral*',"# {{neutral}} " + usersignature,"",''], 'WB':['6/61/Button_wikibooks.png','Wikibooks',"{{Wikibooks","}}",'|Seitenname'], 'WS':['e/eb/Button_wikisource.png','Wikisource',"{{Wikisource","}}",'|Seitenname'], 'WT':['b/bf/WP-icon.png','Wiktionary',"{{Wiktionary","}}",'|Seitenname'], 'WV':['b/b5/Button_wikiversity.png','Wikiversity',"{{Wikiversity","}}",'|Seitenname'], 'W':['8/88/Btn_toolbar_enum.png','Nummerierung',"\n# ","",'Element 1'], 'X':['1/11/Btn_toolbar_liste.png','Liste',"\n* ","",'Element A'], 'Y1':['c/ce/Button_no_include.png','No Include',"<noinclude>","<\/noinclude>",'Text'], 'Y2':['7/79/Button_include.png','Include only',"<includeonly>","<\/includeonly>",'Text'], 'Z':['3/35/Button_substitute.png','Ersetzen',"{{ers:","}}",'Vorlage'], 'ZI':['8/83/Button_biocitas.png','Zitat',"{{Zitat|","}}",'Text|Autor (optional)|Quelle (optional)'], 'T1':['c/c6/Blending_blue_button_background.png','Spacer (no function)','','',''] }; function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,TT,U,V,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,TT=Teletyp, U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table geändert wegen nur 1. Icon von bu_len+c auf bu_len+c+1 c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); /* ###################################################### Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation ######################################################*/ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } 415 385 2012-02-01T18:39:07Z A.Burgermeister 1 javascript text/javascript // // * eingefügte Javascripts // ** Force Preview - User müssen vor dem Speichern den Vorschauknopf drücken // ** Die Editierleiste aus ZUM-Wiki // ** Toogle für die Vorlage Hidden // ** automatisches Einfügen für Hochladen von Bildern // ------------------------------------------------------------------------------- // ------------------------------------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - Start // // To allow any group to bypass being forced to preview, // enter the group name in the permittedGroups array. // E.g. // var permittedGroups = []; // force everyone // var permittedGroups = [ "user"]; // permit logged-in users // var permittedGroups = [ "sysop", "bureaucrat"]; // permit sysop, bureaucrat // ------------------------------------------------------------------------------- var permittedGroups = ["sysop", "bureaucrat"]; Array.prototype.intersects = function() { // -------------------------------------------------------- // Returns true if any element in the argument array // is the same as an element in this array // -------------------------------------------------------- if( !arguments.length ){ return false; } var array2 = arguments[0]; var len1 = this.length; var len2 = array2.length; if( len2 == 0 ){ return false; } for(var i=0; i<len1; i++){ for(var j=0; j<len2; j++) { if( this[i] === array2[j] ) { return true; } } } return false; }; function forcePreview() { if( wgAction != "edit") return; if( wgUserGroups === null) { wgUserGroups = []; } if( wgUserGroups.intersects(permittedGroups) ) { return; } var saveButton = document.getElementById("wpSave"); if( !saveButton ) return; saveButton.disabled = true; saveButton.value = "Speichern (Vorschau benützen)"; saveButton.style.fontWeight = "normal"; document.getElementById("wpPreview").style.fontWeight = "bold"; } addOnloadHook(forcePreview); // ----------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - End // ----------------------------------------------------- //============================================================ // en: ADD SOME EXTRA BUTTONS TO THE EDITPANEL [[:en:User:MarkS/Extra edit buttons]] // de: FÜGE NEUE BUTTON IN DIE WERKZEUGLEISTE [[:de:Benutzer:Olliminatore/Extra-Editbuttons]] // Converted by [[User:Olliminatore]] 25.09.2006 // A.Burgermeister 26.11.09, //============================================================ // de: Die Reihenfolge und Anzahl der Buttons ist über die (alphabetische) Variable customEditButtons wählbar. // 28.11.09 Erweiterte Tabelle eingefügt, eigene Signatur gelöscht // 19.11.11 Fehler für erweiterte Tabelle bereinigt // einfache Tabelle mit Überschrift und sortierbar! var XEBOrder=[]; var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; 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padding: 2em;">\n','\n<\/blockquote>','Text'], 'N':['4/4b/Button_nbsp.png','Geschütztes Leerzeichen (nonbreaking space)','&nbsp;','',''], 'NT':['b/bf/Button_thinsp.png','Schmales geschütztes Leerzeichen','&thinsp;','',''], 'O':['2/23/Button_code.png','Code einfügen','<code>','<\/code>','Code'], 'P':['3/3c/Button_pre.png','Vorformatierter Text','<pre>','<\/pre>','Präformatierter Text'], 'P1':['9/93/Button_sub_link.png','Link zu einem Seiten-Abschnitt','[[Seite#',']]','Abschnitt'], 'PF':['f/ff/Button_arrow_right.png','Pfeil nach rechts','\u2192','',''], 'PD':['e/ee/Button_vote_biblio.png','Personendaten','{{Personendaten\n|NAME=\n|ALTERNATIVNAMEN=','\n|KURZBESCHREIBUNG=\n|GEBURTSDATUM=\n|GEBURTSORT=\n|STERBEDATUM=\n|STERBEORT=\n}}',''], 'PO':['c/c7/Button_polytonique.png','Unicode-Sonderzeichen der altgriechischen Schrift','{{Polytonisch|','}}','Text'], 'Q':['d/d3/Button_definition_list.png','Definitionsliste','\n; ',' : ','Text'], 'Q1':['0/05/Button_Anf%C3%BChrung.png','Anführungszeichen',"„","“",'Text'], 'Q2':['2/26/Button_latinas.png','Latinas',"«","»",'Text'], 'Q3':['b/bc/Button_guillemet.png','Guillemets',"»","«",'Text'], 'R':['7/79/Button_reflink.png','Markiere eine Referenz','<ref>','<\/ref>','Bezugsangabe'], 'R1':['c/c4/Button_ref.png','Referenz mit Name','<ref name="">','<\/ref>','Bezugsangabe'], 'R2':['f/fe/Button_refs.png','Wiederholungs-Referenz','<ref name="','"/>','Referenzname'], 'R3':['9/9a/Button_references.png','Referenz-Footer','\n== Einzelnachweise ==\n<references />\n','',''], 'RD':['7/70/Button_fusion.png','Redundanz','{{ers:Redundanz|','}}','Artikel1|Artikel2|Artikel3…'], 'S':['c/c9/Button_strike.png','Durchgestrichener Text',"<s>","<\/s>",'Durchgestrichen'], 'SA':['b/bb/Seealso.png','Siehe auch','\n== Siehe auch ==\n','',''], 'SC':['0/02/Button_S_yellow.png','SourceCode hervorheben','<source lang="javascript">',"<\/source>",'Quelltext'], 'SM':['7/74/Button_oeil.png','Smiley','<tt style="background:#FE3">','</tt>',':D'], 'ST':['7/72/Button_span_2.png','span-tag mit CSS-Angabe','<span style="">','<\/span>','Markierter Inhalt'], 'T':['e/eb/Button_plantilla.png','Vorlage','{{','}}','Vorlagenname'], 'TL':['e/eb/Button_templatelink.png','Vorlagenlink','{{[[Vorlage:','|]]}}','Vorlagenname'], 'TT':['3/30/Tt_icon.png','Schreibmaschinenstil','<tt>','<\/tt>','Teletyper Text'], 'U':['f/fd/Button_underline.png','Unterstreichen',"<u>","<\/u>",'Unterstrichener Text'], 'UR':['e/ec/Button_aviso.png','Urheberrecht ungeklärt',"{{Urheberrecht ungeklärt}}","",''], 'URV':['9/9d/Button_halt.png','Urheberrechtsverletzung',"{{URV}} [","] " + usersignature,'Url'], 'V':['c/c8/Button_redirect.png','Weiterleitung (Redirect)',"#WEITERLEITUNG [[","]]",'Ziel einfügen'], 'VP':['b/ba/Button_conserver.png','Vote *pro*',"# {{pro}} " + usersignature,"",''], 'VC':['f/fc/Button_supp.png','Vote *contra*',"# {{contra}} " + usersignature,"",''], 'VN':['4/4e/Button_neutre.png','Vote *neutral*',"# {{neutral}} " + usersignature,"",''], 'WB':['6/61/Button_wikibooks.png','Wikibooks',"{{Wikibooks","}}",'|Seitenname'], 'WS':['e/eb/Button_wikisource.png','Wikisource',"{{Wikisource","}}",'|Seitenname'], 'WT':['b/bf/WP-icon.png','Wiktionary',"{{Wiktionary","}}",'|Seitenname'], 'WV':['b/b5/Button_wikiversity.png','Wikiversity',"{{Wikiversity","}}",'|Seitenname'], 'W':['8/88/Btn_toolbar_enum.png','Nummerierung',"\n# ","",'Element 1'], 'X':['1/11/Btn_toolbar_liste.png','Liste',"\n* ","",'Element A'], 'Y1':['c/ce/Button_no_include.png','No Include',"<noinclude>","<\/noinclude>",'Text'], 'Y2':['7/79/Button_include.png','Include only',"<includeonly>","<\/includeonly>",'Text'], 'Z':['3/35/Button_substitute.png','Ersetzen',"{{ers:","}}",'Vorlage'], 'ZI':['8/83/Button_biocitas.png','Zitat',"{{Zitat|","}}",'Text|Autor (optional)|Quelle (optional)'], 'T1':['c/c6/Blending_blue_button_background.png','Spacer (no function)','','',''] }; function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,TT,U,V,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,TT=Teletyp, U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table geändert wegen nur 1. Icon von bu_len+c auf bu_len+c+1 c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); /* ###################################################### Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation ######################################################*/ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } 385 8 2012-02-01T16:53:14Z A.Burgermeister 1 1 Version javascript text/javascript //============================================================ // en: ADD SOME EXTRA BUTTONS TO THE EDITPANEL [[:en:User:MarkS/Extra edit buttons]] // de: FÜGE NEUE BUTTON IN DIE WERKZEUGLEISTE [[:de:Benutzer:Olliminatore/Extra-Editbuttons]] // Converted by [[User:Olliminatore]] 25.09.2006 // A.Burgermeister 26.11.09, //============================================================ // de: Die Reihenfolge und Anzahl der Buttons ist über die (alphabetische) Variable customEditButtons wählbar. // 28.11.09 Erweiterte Tabelle eingefügt, eigene Signatur gelöscht // 19.11.11 Fehler für erweiterte Tabelle bereinigt // einfache Tabelle mit Überschrift und sortierbar! var XEBOrder=[]; var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; 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function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,U,V,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table geändert wegen nur 1. Icon von bu_len+c auf bu_len+c+1 c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); /* ###################################################### Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation ######################################################*/ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } 8 7 2012-02-01T13:31:55Z A.Burgermeister 1 1 Version javascript text/javascript //============================================================ // en: ADD SOME EXTRA BUTTONS TO THE EDITPANEL [[:en:User:MarkS/Extra edit buttons]] // de: FÜGE NEUE BUTTON IN DIE WERKZEUGLEISTE [[:de:Benutzer:Olliminatore/Extra-Editbuttons]] // Converted by [[User:Olliminatore]] 25.09.2006 // A.Burgermeister 26.11.09, //============================================================ // de: Die Reihenfolge und Anzahl der Buttons ist über die (alphabetische) Variable customEditButtons wählbar. // 28.11.09 Erweiterte Tabelle eingefügt, eigene Signatur gelöscht // 19.11.11 Fehler für erweiterte Tabelle bereinigt // einfache Tabelle mit Überschrift und sortierbar! var XEBOrder=[]; var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; 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function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,U,V,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table geändert wegen nur 1. Icon von bu_len+c auf bu_len+c+1 c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); /* ###################################################### Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation ######################################################*/ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } 384 8 2012-01-10T10:16:06Z A.Burgermeister 1 javascript text/javascript // // * eingefügte Javascripts // ** Force Preview - User müssen vor dem Speichern den Vorschauknopf drücken // ** Die erweiterte Editierleiste // ** Toogle für die Vorlage Hidden // ** Automatisches Einfügen für Hochladen von Bildern // ------------------------------------------------------------------------------- // ------------------------------------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - Start // // To allow any group to bypass being forced to preview, // enter the group name in the permittedGroups array. // E.g. // var permittedGroups = []; // force everyone // var permittedGroups = [ "user"]; // permit logged-in users // var permittedGroups = [ "sysop", "bureaucrat"]; // permit sysop, bureaucrat // ------------------------------------------------------------------------------- var permittedGroups = ["sysop", "bureaucrat"]; Array.prototype.intersects = function() { // -------------------------------------------------------- // Returns true if any element in the argument array // is the same as an element in this array // -------------------------------------------------------- if( !arguments.length ){ return false; } var array2 = arguments[0]; var len1 = this.length; var len2 = array2.length; if( len2 == 0 ){ return false; } for(var i=0; i<len1; i++){ for(var j=0; j<len2; j++) { if( this[i] === array2[j] ) { return true; } } } return false; }; function forcePreview() { if( wgAction != "edit") return; if( wgUserGroups === null) { wgUserGroups = []; } if( wgUserGroups.intersects(permittedGroups) ) { return; } var saveButton = document.getElementById("wpSave"); if( !saveButton ) return; saveButton.disabled = true; saveButton.value = "Speichern (Vorschau benützen)"; saveButton.style.fontWeight = "normal"; document.getElementById("wpPreview").style.fontWeight = "bold"; } addOnloadHook(forcePreview); // ----------------------------------------------------- // Force Preview JavaScript code - End // ----------------------------------------------------- //============================================================ // en: ADD SOME EXTRA BUTTONS TO THE EDITPANEL [[:en:User:MarkS/Extra edit buttons]] // de: FÜGE NEUE BUTTON IN DIE WERKZEUGLEISTE [[:de:Benutzer:Olliminatore/Extra-Editbuttons]] // Converted by [[User:Olliminatore]] 25.09.2006 // A.Burgermeister 26.11.09, //============================================================ // de: Die Reihenfolge und Anzahl der Buttons ist über die (alphabetische) Variable customEditButtons wählbar. // 28.11.09 Erweiterte Tabelle eingefügt, eigene Signatur gelöscht // 22.01.10 Korrektur wegen der beiden Icons am Anfang var XEBOrder=[]; var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; 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function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,U,TT,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + align + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+2].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+2].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); //================================================================================ //*** Dynamic Navigation Bars aus Wikipedia.org am 9.3.09 // set up the words in your language var NavigationBarHide = 'Einklappen'; var NavigationBarShow = 'Ausklappen'; // set up max count of Navigation Bars on page, // if there are more, all will be hidden // NavigationBarShowDefault = 0; // all bars will be hidden // NavigationBarShowDefault = 1; // on pages with more than 1 bar all bars will be hidden if (typeof NavigationBarShowDefault == 'undefined' ) { var NavigationBarShowDefault = 1; } // adds show/hide-button to navigation bars addOnloadHook(function() { // shows and hides content and picture (if available) of navigation bars // Parameters: // indexNavigationBar: the index of navigation bar to be toggled function toggleNavigationBar(indexNavigationBar) { var NavToggle = document.getElementById("NavToggle" + indexNavigationBar); var NavFrame = document.getElementById("NavFrame" + indexNavigationBar); if (!NavFrame || !NavToggle) { return false; } // if shown now if (NavToggle.firstChild.data == NavigationBarHide) { for ( var NavChild = NavFrame.firstChild; NavChild != null; NavChild = NavChild.nextSibling ) { if (NavChild.className == 'NavPic') { NavChild.style.display = 'none'; } if (NavChild.className == 'NavContent') { NavChild.style.display = 'none'; } if (NavChild.className == 'NavToggle') { NavChild.firstChild.data = NavigationBarShow; } } // if hidden now } else if (NavToggle.firstChild.data == NavigationBarShow) { for ( var NavChild = NavFrame.firstChild; NavChild != null; NavChild = NavChild.nextSibling ) { if (NavChild.className == 'NavPic') { NavChild.style.display = 'block'; } if (NavChild.className == 'NavContent') { NavChild.style.display = 'block'; } if (NavChild.className == 'NavToggle') { NavChild.firstChild.data = NavigationBarHide; } } } } function toggleNavigationBarFunction(indexNavigationBar) { return function() { toggleNavigationBar(indexNavigationBar); return false; }; } var indexNavigationBar = 0; // iterate over all < div >-elements var divs = document.getElementsByTagName("div"); for (var i=0; i<divs.length; i++) { var NavFrame = divs[i]; // if found a navigation bar if (NavFrame.className == "NavFrame") { indexNavigationBar++; var NavToggle = document.createElement("a"); NavToggle.className = 'NavToggle'; NavToggle.setAttribute('id', 'NavToggle' + indexNavigationBar); NavToggle.setAttribute('href', '#'); NavToggle.onclick = toggleNavigationBarFunction(indexNavigationBar); var NavToggleText = document.createTextNode(NavigationBarHide); NavToggle.appendChild(NavToggleText); // add NavToggle-Button as first div-element // in < div class="NavFrame" > NavFrame.insertBefore( NavToggle, NavFrame.firstChild ); NavFrame.setAttribute('id', 'NavFrame' + indexNavigationBar); } } // if more Navigation Bars found than Default: hide all if (NavigationBarShowDefault < indexNavigationBar) { for( var i=1; i<=indexNavigationBar; i++ ) { toggleNavigationBar(i); } } }); //================================================================================ /** Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation */ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } // </syntax> 7 2011-11-19T09:36:37Z A.Burgermeister 1 javascript text/javascript //============================================================ // en: ADD SOME EXTRA BUTTONS TO THE EDITPANEL [[:en:User:MarkS/Extra edit buttons]] // de: FÜGE NEUE BUTTON IN DIE WERKZEUGLEISTE [[:de:Benutzer:Olliminatore/Extra-Editbuttons]] // Converted by [[User:Olliminatore]] 25.09.2006 // A.Burgermeister 26.11.09, //============================================================ // de: Die Reihenfolge und Anzahl der Buttons ist über die (alphabetische) Variable customEditButtons wählbar. // 28.11.09 Erweiterte Tabelle eingefügt, eigene Signatur gelöscht // 19.11.11 Fehler für erweiterte Tabelle bereinigt // einfache Tabelle mit Überschrift und sortierbar! var XEBOrder=[]; var attributes = ["imageFile","speedTip","tagOpen","tagClose","sampleText"]; // isMSIE55 //fills the variable mwCustomEditButtons (s. function in /wikibits.js), with buttons for the toolbar function addCustomButton(){ var a = {}; for (d in attributes) a[attributes[d]] = arguments[d]; mwCustomEditButtons.push(a); }; if (typeof usersignature == 'undefined') var usersignature = '-- \~\~\~\~'; var Isrc='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/'; var BDict={ 'A':['e/e9/Button_headline2.png','Sekundäre Überschrift','\n=== ',' ===','Sekundäre Überschrift'], 'A3':['/3/3a/Button_headline3.png','Untergeordnete Überschrift','\n==== ',' ====','Untergeordnete Überschrift'], 'B':['1/13/Button_enter.png','Zeilenumbruch','<br />','',''], 'B1':['6/62/Button_desambig.png','Begriffsklärungseite','{{Begriffsklärung}}','',''], 'B2':['5/5e/Button_disambig_small.png','Dieser Artikel erläutert…','{{Dieser Artikel|','}}','erläutert den Buchstaben X, zu anderen Bedeutungen siehe [[X (Begriffsklärung)]].'], 'B3':['5/5e/Button_disambig_small.png','Begriffsklärungshinweis','{{Begriffsklärungshinweis}}','',''], 'C':['5/5f/Button_center.png','Zentriert','<div style="text-align: center;">\n','\n<\/div>','Zentriert'], 'CF':['3/37/Btn_toolbar_commentaire.png','Chemische Formel',':<math>\u005Cmathrm{','}</math>',''], 'CO':['6/6c/Button_commons.png','Commons','{{Commons|Category:','}}','Seitenname'], 'D':['e/ea/Button_align_left.png','Left-Align','<div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;">\n','\n<\/div>','Left-aligned Text'], 'DS':['4/4e/Button_romain.png','SORTIERUNG','{{SORTIERUNG:','}}','Sortierbegriff'], 'DO':['e/e9/Button_done.png','Erledigt (kurz)','{{Erl.}}','',''], 'ER':['9/9d/Button_fait.png','Erledigt (lang)','{{Erledigt|1=' + usersignature,'}}',''], 'E':['0/04/Button_array.png','Tabelle','\n{| class="wikitable sortable" \n!Überschrift 1!!Überschrift 2\n|- \n| 1 || 2\n|- \n| 3 || 4','\n|}\n',''], 'E1':['6/60/Button_insert_table.png','erweiterte Tabelle','\n{| class="wikitable" \n|- \n| 1 || 2\n|- \n| 3 || 4','\n|}\n',''], 'F':['8/8f/Button_poeme.png','Farbiger Text','<span style="color: color">','<\/span>','Farbig'], 'FS':['1/1b/Button_miss_signature.png','Fehlende Signatur','\{\{ers\:Unsigned|','}}','BENUTZER'], 'G':['9/9e/Btn_toolbar_gallery.png','Bildergalerie',"\n<gallery>\nBild:M63.jpg|[[M63]]\nBild:Mona Lisa.jpg|[[Mona Lisa]]\nBild:Truite arc-en-ciel.jpg|Eine [[Forelle ]]\n<\/gallery>","",''], 'H':['7/74/Button_comment.png','Versteckter Kommentar',"<!--","-->",'Versteckt'], 'I':['4/41/Button_hr_halfwidth.png','Gedankenstrich','–','',''], 'I1':['6/6a/Button_sup_letter.png','Hochgestellter Text (superscript)','<sup>','<\/sup>','Hochgestellt'], 'I2':['a/aa/Button_sub_letter.png','Tiefgestellter Text (subscript)','<sub>','<\/sub>','Tiefgestellt'], 'J1':['5/58/Button_small.png','Kleingeschriebener Text (small)','<small>','<\/small>','Klein'], 'J2':['5/56/Button_big.png','Größerer Text (big)','<big>','<\/big>','Groß'], 'K':['b/b4/Button_category03.png','Kategorie',"[[Kategorie:","]]",'Name der Kategorie'], 'KR':['b/b1/Button_dagger.png','Kreuz','†','',''], 'L':['8/8e/Button_shifting.png','Setze Tab(s)',':','',':'], 'M':['f/fd/Button_blockquote.png','Markiert ein Zitat mit Absatz','<blockquote style="border: 1px solid blue; 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function initButtons(){ var bc,d; if (typeof customEditButtons!='string') // can be modified XEBOrder="A,A3,B,E,E1,F,G,H,I1,I2,J1,K,M,Q,R,R1,R2,R3,S,T,U,V,W,X".split(","); // eingebaute Icons: // Sekundäre A=Überschrift, A3=Untergeordnete Überschrift, B=Zeilenumbruch, E=Prettytable, F=Farbiger Text, G=Bildergallerie // H=Versteckter Kommentar, I1=Hochgestellt, I2=Tiefgestellt, J1=Kleingeschrieben, K=Name der Kategorie, M=Zitat mit Absatz, // Q=Definitionsliste , R=Markiere eine Referenz , R1=Referenz mit Name , R2=Wiederholungsreferenz , R3=Referenzfooter // T=Vorlagenname ,U=Unterstreichen , V=Weiterleitung , W=Nummerierung , X=Liste else if (customEditButtons.toLowerCase()=='all') for (b in BDict) XEBOrder.push(b); else XEBOrder=customEditButtons.split(","); for (b in BDict) BDict[b][0] = Isrc+BDict[b][0]; // // Add the start of the URL (Isrc) to the XEB buttons // If the user has defined any buttons then add them into the available button lists if (typeof myButtons=='object') for (b in myButtons) BDict[b] = myButtons[b]; // custom user buttons // Add the media wiki standard buttons into the available buttons for (b in mwEditButtons) { // add standard buttons for full XEB order changing BDict[b]=[]; // for (d in mwEditButtons[b]) for (d in attributes) BDict[b].push(mwEditButtons[b][attributes[d]]); } // Build the new buttons for (i=0;i<XEBOrder.length;i++) { bc = BDict[XEBOrder[i]]; //try { // catch not existing button names addCustomButton(bc[0],bc[1],bc[2],bc[3],bc[4]); //} // catch(e) {continue} } // Remove the default buttons (if requested by the user) eraseButtons(); }; //============================================================ // Table generator //============================================================ /** en: Generate an array using Mediawiki syntax * @author: originally from fr:user:dake * @version: 0.2 */ function generateTable(caption, exhead, nbCol, nbRow, exfield, align, sortable){ var code = "\n"; code += '{| class="wikitable ' + sortable+ '"\n' + caption + exhead; if (exfield) code += '!\n'; for (i=1;i<nbCol+1;i++) code += '! FELD ' + i + '\n'; var items = 0; for (var j=0;j<nbRow;j++){ if (exfield) { items++; code += '|-\n! style="background: #FFDDDD;"|ITEM ' + items + '\n'; } else code += '|-\n'; for (i=0;i<nbCol;i++) code += '| Element\n'; } code += '|}\n'; insertTags('','', code); editform.elements['wpSummary'].value+=' table+'; return false }; /** en: Open a popup with parameters to generate an array. * The number of rows/columns can be modified. * @author: originally fr:user:dake * @version: 0.2 */ function popupTable(){ var popup = window.open('about:blank','WPtable','height=400,width=400,scrollbars=yes'); var javaCode = '<script type="text\/javascript">function insertCode(){' +'var caption = (document.paramForm.inputCaption.checked)?"\|\+ TABLE CAPTION \\n":""; ' +'var exhead = (document.paramForm.inputHead.checked)?\'\|\- style=\"background: #DDFFDD;\"\\n\':""; ' +'var row = parseInt(document.paramForm.inputRow.value); ' +'var col = parseInt(document.paramForm.inputCol.value); ' +'var exfield = document.paramForm.inputItems.checked; ' +'var align = (document.paramForm.inputAlign.checked)?\'center\':""; ' +'var sortable = (document.paramForm.inputSortable.checked)?\'sortable\':""; ' +'window.opener.generateTable(caption,exhead,col,row,exfield,align,sortable); ' +'window.close()}<\/script>'; popup.document.write('<html><head><title>Erweiterte Tabelleneinstellungen<\/title>' // +'<script type="text\/javascript" src="\/skins-1.5\/common\/wikibits.js"><\/script>' //+'<style type="text\/css" media="screen,projection">/*<![CDATA[*/ @import "\/skins-1.5\/monobook\/main.css?5"; /*]]>*/<\/style>' + javaCode +'<\/head><body>' +'<Font size="2" color="#33386D" face="Verdana">' +'<p><b>Gib die Parameter ein: <\/b><\/p>' +'<form name="paramForm">' +'Titel: <input type="checkbox" name="inputCaption"><p\/>' +'Ausrichtung: auf Breite zentriert <input type="checkbox" name="inputAlign"><p\/>' +'Tabellenkopfzeilen: farbig <input type="checkbox" name="inputHead"><p\/>' +'Anzahl der Reihen: <input type="text" name="inputRow" value="3" size="2"><p\/>' +'Anzahl der Spalten: <input type="text" name="inputCol" value="3" size="2"><p\/>' //+'Alternating grey lines: <input type="checkbox" name="inputLine" checked="1" ><p\/>' +'Definitionsspalte: <input type="checkbox" name="inputItems" ><p\/>' +'Sortierbar: <input type="checkbox" name="inputSortable" ><p\/>' +'<\/form">' +'<i>' +'Wähle "Definitionsspalte", wenn die 1. Spalte Definitionen enthalten soll.<\/i><p\/>' +'<p><a href="javascript:insertCode()"> Einfügen der Tabelle<\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp; |' +' &nbsp;&nbsp;&nbsp;<a href="javascript:self.close()">Cancel<\/a><\/p>' +'<\/font><\/body><\/html>'); popup.document.close(); return false }; /** en: Removes arbitrary standard buttons from the toolbar * @author: [[:de:User:Olliminatore]] * @version: 0.2 (01.10.2006) **/ function eraseButtons(){ if(typeof rmEditButtons!='object') return; if (typeof rmEditButtons[0] == 'string' && rmEditButtons[0].toLowerCase() == 'all') return mwEditButtons=[]; //Remove the buttons the user doesn't want for(i=0;i<rmEditButtons.length;i++){ var n=rmEditButtons[i]-i; if(n>=0 && n<mwEditButtons.length){ if(n<mwEditButtons.length){ var x = -1; while((++x)<mwEditButtons.length) if(x>=n) mwEditButtons[x] = mwEditButtons[x+1]; } mwEditButtons.pop(); } } }; // Adds extended onclick-function to some buttons function extendButtons(){ if(!(allEditButtons = document.getElementById('toolbar'))) return false; if(typeof editform == 'undefined') if(!(window.editform = document.editform)) return false; XEBOrder.getIndex = function (item){ if(is_gecko) return this.indexOf(item); else //is IE (Opera < 9) for (var i=0;i < this.length;i++) if (this[i]==item) return Number(i); return -1 } var searchbox = allEditButtons.getElementsByTagName('span')[0]; if (searchbox) allEditButtons.appendChild(searchbox) // pay Zocky/Search Box allEditButtons = allEditButtons.getElementsByTagName('img'); var bu_len = mwEditButtons.length; if(!allEditButtons.length) return false; // table geändert wegen nur 1. Icon von bu_len+c auf bu_len+c+1 c=XEBOrder.getIndex('E1'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=popupTable; // redirect c=XEBOrder.getIndex('V'); if(c != -1) allEditButtons[bu_len+c+1].onclick=function(){ if (a = window.prompt("Wohin soll der Redirect\?", "")) { a = '\#WEITERLEITUNG \[\[' + a + '\]\]'; editform.wpTextbox1.value=a; editform.wpSummary.value=a; // not more needed? editform.wpWatchthis.checked=false } }; // spacer width if((c = XEBOrder.getIndex('T1')) != -1) allEditButtons[bu_len+c].width = 6; }; if ((wgAction=="edit") || (wgAction=="submit")) addOnloadHook(initButtons); if(!wgIsArticle) // only if edit hookEvent("load", extendButtons); /* ###################################################### Toggles the display of elements on a page Author/contact: Austin Che http://openwetware.org/wiki/User:Austin_J._Che See http://openwetware.org/wiki/OpenWetWare:Toggle for examples and documentation ######################################################*/ // indexed array of toggler ids to array of associated toggle operations // each operation is a two element array, the first being the type, the second a class name or array of elements // operation types are strings like "_reset" or "" for the default toggle operation var togglers = new Array(); var allClasses = new Object(); // associative map of class names to page elements function toggler(id) { var toBeToggled = togglers[id]; if (!toBeToggled) return; // if some element is in list more than once, it will be toggled multiple times for (var i = 0; i < toBeToggled.length; i++) { // get array of elements to operate on var toggles = toBeToggled[i][1]; if (typeof(toggles) == "string") { if (toggles.charAt(0) == '-') { // treat as an element ID, not as class toggles = document.getElementById(toggles.substring(1)); if (toggles) toggles = new Array(toggles); } else toggles = allClasses[toggles]; } if (!toggles || !toggles.length) continue; var op = toBeToggled[i][0]; // what the operation will be switch (op) { case "_reset": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = toggles[j]._toggle_original_display; break; case "_show": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ''; break; case "_hide": for (var j in toggles) toggles[j].style.display = 'none'; break; case "": default: // Toggle for (var j in toggles) toggles[j].style.display = ((toggles[j].style.display == 'none') ? '' : 'none'); break; } } } function createTogglerLink(toggler, id) { var toggle = document.createElement("a"); toggle.className = 'toggler-link'; toggle.setAttribute('id', 'toggler' + id); toggle.setAttribute('href', 'javascript:toggler("' + id + '");'); var child = toggler.firstChild; toggler.removeChild(child); toggle.appendChild(child); toggler.insertBefore(toggle, toggler.firstChild); } function toggleInit() { var togglerElems = new Array(); var toggleGroup = new Array(); // initialize/clear any old information togglers = new Array(); allClasses = new Object(); // make list of all document classes var elems = document.getElementsByTagName("*"); var numelems = elems.length; for (var i = 0; i < elems.length; i++) { var elem = elems[i]; if (!elem.className) continue; elem._toggle_original_display = elem.style.display; var togglerID = -1; var elemClasses = elem.className.split(' '); // get list of classes for (var j = 0; j < elemClasses.length; j++) { var elemClass = elemClasses[j]; if (! allClasses[elemClass]) allClasses[elemClass] = new Array(); allClasses[elemClass].push(elem); // all the special classes begin with _toggle if (elemClass.substring(0, 7) != "_toggle") continue; if (elemClass == "_togglegroup") toggleGroup = new Array(); else if (elemClass == "_toggle") toggleGroup.push(elem); else if (elemClass.substring(0, 12) == "_toggle_init") { // set initial value for display (ignore the original CSS set value) // understands _toggle_initshow and _toggle_inithide var disp = elemClass.substring(12); if (disp == "show") elem.style.display = ''; else if (disp == "hide") elem.style.display = 'none'; elem._toggle_original_display = disp; } else if (elemClass.substring(0, 8) == "_toggler") { if (togglerID == -1) { togglerID = togglers.length; togglers[togglerID] = new Array(); togglerElems[togglerID] = elem; } // all classes are of form _toggler_op-CLASS // figure out what class we're toggling // if none is specified, then we use the current toggle group var toBeToggled; var hyphen = elemClass.indexOf('-'); if (hyphen != -1) toBeToggled = elemClass.substring(hyphen+1); else { toBeToggled = toggleGroup; hyphen = elemClass.length; } var op = elemClass.substring(8, hyphen); togglers[togglerID].push(new Array(op, toBeToggled)); } } } // add javascript links to all toggler elements for (var i = 0; i < togglerElems.length; i++) createTogglerLink(togglerElems[i], i); } addOnloadHook(toggleInit); //================================================================================ // fügt für Hochladen automatisch die entsprechende Beschreibung ein. // aus : http://de.wiktionary.org/wiki/MediaWiki:Common.js/Archiv_2008-04-28 if ( wgCanonicalSpecialPageName == "Upload" ) { function setSpecialUploadTemplate() { var editbox = document.getElementById('wpUploadDescription'); if (!editbox) return; if (editbox.value != '') return; editbox.value = "{"+"{Information\n" + "|Beschreibung = \n" + "|Quelle = \n" + "|Urheber = \n" + "|Datum = \n" + "|Genehmigung = \n" + "|Andere Versionen = \n" + "|Anmerkungen = \n" + "}"+"}"; } addOnloadHook(setSpecialUploadTemplate); } 8 374 1241 2013-03-08T11:21:12Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „Der Text ist unter der Lizenz <a class='internal' href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/">„Creative Commons: Namensnennung-Weitergabe unter gle…“ wikitext text/x-wiki Der Text ist unter der Lizenz <a class='internal' href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/">„Creative Commons: Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland"</a> verfügbar; zusätzliche Bedingungen können anwendbar sein. Siehe die <a class='internal' href="http://wiki.zum.de/ZUM-Wiki:Lizenzbestimmungen">Nutzungsbedingungen</a> für Einzelheiten. 8 6 1572 1370 2014-02-08T21:50:23Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <!-- Dieser Text wird unter dem „Bearbeiten“-Formular sowie dem "Hochladen"-Formular angezeigt. --> <div class="plainlinks" id="editpage-copywarn-plainlinks" style="margin-top:10px;border-width:1px;border-style:solid;border-color:#aaaaaa;padding:2px;font-size:90%;"> <!--<charinsert>[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</charinsert> | <charinsert><metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,+</metakeywords></charinsert>--> <popup name="Edittools"> '''Für die Schule:''' <charinsert>{{Aufgabe|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben|1=+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgabe-M|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben-M|1=+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben-blau|1=+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Definition|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Idee|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Merke|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Merke-M|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Übung|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Versuch|1=+}}</charinsert> <br> '''Interaktive Übungen:''' ''Achtung: Unterstrich durch Leerzeichen ersetzen:'' <charinsert><div_class="kreuzwort-quiz">+</div></charinsert> || <charinsert><div_class="lueckentext-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="memo-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="multiplechoice-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="schuettel-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="zuordnungs-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><quiz_display="simple">+</quiz></charinsert> <br> ---- '''Kurzinfo:''' <charinsert>{{Kurzinfo|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kurzinfo|Kurs}}</charinsert> <br> '''Tags (Auszeichnungs-Code):''' <charinsert><big>+</big></charinsert> | <charinsert><blockquote>+</blockquote></charinsert> | <charinsert><center>+</center></charinsert> | 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<!--<charinsert>[[Kategorie:ZUM2Edutags]]</charinsert> | <charinsert><metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,+</metakeywords></charinsert>--> <popup name="Edittools"> '''Für die Schule:''' <charinsert>{{Aufgabe|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben|1=+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgabe-M|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben-M|1=+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben-blau|1=+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Definition|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Idee|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Merke|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Merke-M|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Übung|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Versuch|1=+}}</charinsert> <br> '''Interaktive Übungen:''' ''Achtung: Unterstrich durch Leerzeichen ersetzen:'' <charinsert><div_class="kreuzwort-quiz">+</div></charinsert> || <charinsert><div_class="lueckentext-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="memo-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="multiplechoice-quiz">+</div></charinsert> | 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<charinsert><popup>+</popup></charinsert> | ''Achtung: Unterstrich durch Leerzeichen ersetzen:'' <charinsert><popup_name="Lösung">+</popup></charinsert> <br> '''Interaktive Übungen:''' ''Achtung: Unterstrich durch Leerzeichen ersetzen:'' <charinsert><div_class="kreuzwort-quiz">+</div></charinsert> || <charinsert><div_class="lueckentext-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="memo-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="multiplechoice-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="schuettel-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="zuordnungs-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><quiz_display="simple">+</quiz></charinsert> <br> '''Math und mehr:''' <charinsert><big>+</big></charinsert> | <charinsert><blockquote>+</blockquote></charinsert> | <charinsert><center>+</center></charinsert> | <charinsert><code>+</code></charinsert> | <charinsert><gallery>+</gallery></charinsert> | <charinsert><includeonly>+</includeonly></charinsert> <charinsert><math>+</math></charinsert> | <charinsert><noinclude>+</noinclude></charinsert> | <charinsert><poem>+</poem></charinsert> | <charinsert><pre>+</pre></charinsert> | <charinsert><ref>+</ref></charinsert> <charinsert><references/></charinsert> | <charinsert><small>+</small></charinsert> | <charinsert><tt>+</tt></charinsert> | <br> '''Mathematik-digital:''' <charinsert>{{Lernpfad-M-digital|+}}</charinsert> <charinsert>{{Lernpfadlink-DMUW|+}}</charinsert> <charinsert>{{Lernpfadlink-M-digital|+}}</charinsert> <charinsert>{{Lernpfadlink-Medienvielfalt|+}}</charinsert> <br> '''Farbige Hervorhebung:''' <charinsert>{{Hintergrund_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Hintergrund_orange|+}}</charinsert> <charinsert>{{Schrift_grün|+}}</charinsert> <charinsert>{{Schrift_orange|+}}</charinsert> <br> '''Betr. Wikipedia:''' <charinsert>{{wpde|+}}</charinsert> <charinsert>{{wpen|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kopie_wpde|+Name|Datum}}</charinsert> <charinsert>{{Zitat_wpde|+|Name|Datum}}</charinsert> <br> '''Seiten und Kategorien:''' <charinsert>[[Kategorie:+]]</charinsert> <charinsert>{{SORTIERUNG:+}}</charinsert> <charinsert>{{SORTIERUNG:{{PAGENAME}}}}</charinsert> <charinsert>{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}</charinsert> · <charinsert>{{Siehe|+}}</charinsert> · <charinsert>#Weiterleitung[[+]]</charinsert> <br> '''Oft benötigt:''' <charinsert>{{Beispiel|1=+|2=<pre></pre>}}</charinsert> · <charinsert>{{code|+}}</charinsert> · <charinsert>{{#ev:youtube|+}}</charinsert> · <charinsert>{{Kasten_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blass|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blau|+}}</charinsert> <charinsert>{{Meinung|+_-~~~~}}</charinsert> · <charinsert>{{#widget:YouTube|id=+}}</charinsert> · <charinsert>{{Zeile|+}}</charinsert> · <charinsert>{{Zitat|+|}}</charinsert> <!--<charinsert>{{Audio}}</charinsert> <charinsert>{{Video}}</charinsert>--> <!--'''''Beim Hochladen:''''' <charinsert>{{aus_commons|+http://...}}</charinsert> <charinsert>{{aus_wpde|+Bild:...}}</charinsert>--> · <charinsert>{{löschen|+}}--~~~~</charinsert> <br> ---- '''Admin-Vorlagen:''' <charinsert>{{subst:willkommen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Bitte_vorstellen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Regeln_beachten}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{Angaben_fehlen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Dateiangaben_ergänzen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Datei_sinnvoll_benennen}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Unterseite_verschoben|+|}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Werbelink|+}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Grundsätze beachten}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Benutzer_gesperrt}}--~~~~</charinsert> </div> 694 10 2012-06-01T18:54:07Z Karl Kirst 2 aktualisiert (wie im ZUM-Wiki) wikitext text/x-wiki <!-- Dieser Text wird unter dem „Bearbeiten“-Formular sowie dem "Hochladen"-Formular angezeigt. --> <div class="plainlinks" id="editpage-copywarn-plainlinks" style="margin-top:10px;border-width:1px;border-style:solid;border-color:#aaaaaa;padding:2px;font-size:90%;"> '''Sonderzeichen:''' <charinsert>É é </charinsert> | <charinsert>À à È è Ù ù</charinsert> | <charinsert> â Ê ê Î î</charinsert> | <charinsert>Ä ä Ë ë Ö ö Ü ü</charinsert> | <charinsert>Æ æ Œ œ Å å Ø ø</charinsert> | <charinsert>Ç ç Ġ ġ Ṣ ṣ</charinsert> | <charinsert>Ñ ñ </charinsert> | <charinsert>„+“ ’ ‚+‘ “+” «+» »+« ›+‹ –</charinsert> | <!--<charinsert>„+“ ′ –</charinsert> |--> <charinsert>· × ² ³ ½ € † ß</charinsert> | <charinsert>&amp;nbsp; [[+]] [[+|]] | {{+}} {{+|}} ~~~~</charinsert> | <charinsert>→ </charinsert> | <charinsert> · </charinsert> <br> '''Für die Schule:''' <charinsert>{{Aufgabe|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben|+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgabe-M|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Aufgaben-M|+|2=}}</charinsert> <charinsert>{{Definition|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Idee|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Merke|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Merke-M|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Übung|1=+}}</charinsert> <charinsert>{{Versuch|1=+}}</charinsert> <br> '''Kurzinfo / Tabellen:''' <charinsert>{{Kurzinfo-1|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kurzinfo-2|+|}}</charinsert> | <charinsert>{| class="wikitable" !+ !! |- | || |}</charinsert> <br> '''PopUp:''' <charinsert><popup>+</popup></charinsert> | ''Achtung: Unterstrich durch Leerzeichen ersetzen:'' <charinsert><popup_name="Lösung">+</popup></charinsert> <br> '''Interaktive Übungen:''' ''Achtung: Unterstrich durch Leerzeichen ersetzen:'' <charinsert><div_class="kreuzwort-quiz">+</div></charinsert> || <charinsert><div_class="lueckentext-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="memo-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="multiplechoice-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="schuettel-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="zuordnungs-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><quiz_display="simple">+</quiz></charinsert> <br> '''Math und mehr:''' <charinsert><big>+</big></charinsert> | <charinsert><blockquote>+</blockquote></charinsert> | <charinsert><center>+</center></charinsert> | <charinsert><code>+</code></charinsert> | <charinsert><gallery>+</gallery></charinsert> | <charinsert><includeonly>+</includeonly></charinsert> <charinsert><math>+</math></charinsert> | <charinsert><noinclude>+</noinclude></charinsert> | <charinsert><poem>+</poem></charinsert> | <charinsert><pre>+</pre></charinsert> | <charinsert><ref>+</ref></charinsert> <charinsert><references/></charinsert> | <charinsert><small>+</small></charinsert> | <charinsert><tt>+</tt></charinsert> | <br> '''Betr. Mathematik-digital:''' <charinsert>{{Lernpfadlink-DMUW|+}}</charinsert> <charinsert>{{Lernpfadlink-M-digital|+}}</charinsert> <charinsert>{{Lernpfadlink-Medienvielfalt|+}}</charinsert> <br> '''Farbige Hervorhebung:''' <charinsert>{{Hintergrund_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Hintergrund_orange|+}}</charinsert> <charinsert>{{Schrift_grün|+}}</charinsert> <charinsert>{{Schrift_orange|+}}</charinsert> <br> '''Betr. Wikipedia:''' <charinsert>{{wpd|+}}</charinsert> <charinsert>{{wpde|+|}}</charinsert> <charinsert>{{Zitat_wpde|+|Name|Datum}}</charinsert> <br> '''Seiten und Kategorien:''' <charinsert>[[Kategorie:+]]</charinsert> <charinsert>{{SORTIERUNG:+}}</charinsert> · <charinsert>{{Siehe|+}}</charinsert> · <charinsert>#Weiterleitung[[+]]</charinsert> <br> '''Oft benötigt:''' <charinsert>{{Beispiel|1=+|2=<pre></pre>}}</charinsert> · <charinsert>{{code|+}}</charinsert> · <charinsert>{{#ev:youtube|+}}</charinsert> · <charinsert>{{Kasten_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blass|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blau|+}}</charinsert> <charinsert>{{Meinung|+_-~~~~}}</charinsert> · <charinsert>{{#widget:YouTube|id=+}}</charinsert> · <charinsert>{{Zitat|+|}}</charinsert> <!--<charinsert>{{Audio}}</charinsert> <charinsert>{{Video}}</charinsert>--> <!--'''''Beim Hochladen:''''' <charinsert>{{aus_commons|+http://...}}</charinsert> <charinsert>{{aus_wpde|+Bild:...}}</charinsert>--> <br> ---- '''Admin-Vorlagen:''' <charinsert>{{subst:willkommen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Bitte_vorstellen}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{Angaben_fehlen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Dateiangaben_ergänzen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Datei_sinnvoll_benennen}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Unterseite_verschoben|+|}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Werbelink|+}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Grundsätze beachten}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Benutzer_gesperrt}}--~~~~</charinsert> </div> 10 9 2012-02-01T13:32:53Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <!-- Dieser Text wird unter dem „Bearbeiten“-Formular sowie dem "Hochladen"-Formular angezeigt. --> <div class="plainlinks" id="editpage-copywarn-plainlinks" style="margin-top:10px;border-width:1px;border-style:solid;border-color:#aaaaaa;padding:2px;font-size:90%;"> '''[[Hilfe:Sonderzeichen|Sonderzeichen]]:''' <charinsert>É é </charinsert> | <charinsert>À à È è Ù ù</charinsert> | <charinsert> â Ê ê Î î</charinsert> | <charinsert>Ä ä Ë ë Ö ö Ü ü</charinsert> | <charinsert>Æ æ Œ œ Å å Ø ø</charinsert> | <charinsert>Ç ç Ġ ġ Ṣ ṣ</charinsert> | <charinsert>Ñ ñ </charinsert> | <charinsert>„+“ ’ ‚+‘ “+” «+» »+« ›+‹ –</charinsert> | <!--<charinsert>„+“ ′ –</charinsert> |--> <charinsert>· × ² ³ ½ € † ß</charinsert> | <charinsert>&amp;nbsp; [[+]] [[+|]] | {{+}} {{+|}} ~~~~</charinsert> | <charinsert>→ </charinsert> <br> '''[[Hilfe:Vorlagen für die Schule|Für die Schule]]:''' <charinsert>{+{Idee}}</charinsert> <charinsert>{+{Aufgabe|}}</charinsert> <charinsert>{+{Aufgabe-M|}}</charinsert> <charinsert>{+{Aufgaben-M||}}</charinsert> <charinsert>{+{Übung|}}</charinsert> <charinsert>{+{Versuch|}}</charinsert> <charinsert>{+{Merke|}}</charinsert> <charinsert>{+{Merke-M|}}</charinsert> <charinsert>{+{Definition|}}</charinsert> <br> '''[[Interaktive Übungen]]:''' <charinsert><div_class="lueckentext-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="zuordnungs-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="multiplechoice-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="memo-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="schuettel-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="kreuzwort-quiz">+</div></charinsert> || <charinsert><quiz_display="simple">+</quiz></charinsert> <br> '''[[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfo]]:''' <charinsert>{+{Kurzinfo-1|Idee}}</charinsert> <charinsert>{+{Kurzinfo-2|Software|Links}}</charinsert> <br> '''[[Hilfe:PopUp|PopUp]]:''' <charinsert><popup>+</popup></charinsert> | <charinsert><popup_name="Lösung">+</popup></charinsert> <br> '''Tags:''' <charinsert><math>+</math></charinsert> | <charinsert><poem>+</poem></charinsert> | <charinsert><pre>+</pre></charinsert> | <charinsert><ref>+</ref></charinsert> | <charinsert><tt>+</tt></charinsert> | <charinsert><noinclude>+</noinclude></charinsert> | <charinsert><includeonly>+</includeonly></charinsert> <br> '''Farbige Hervorhebung:''' <charinsert>{{Schrift_grün|+}}</charinsert> <charinsert>{{Schrift_orange|+}}</charinsert> <charinsert>{{Hintergrund_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Hintergrund_orange|+}}</charinsert> <br> '''Oft benötigt:''' <charinsert>{{code|+}}</charinsert> <charinsert>{{Meinung|+_-~~~~}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blass|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blau|+}}</charinsert> <charinsert>{{wpde|+|}}</charinsert> <charinsert>{{wpd|+}}</charinsert> <!--<charinsert>{{Audio}}</charinsert> <charinsert>{{Video}}</charinsert>--> <charinsert>[[Kategorie:+]]</charinsert> <charinsert>#Weiterleitung[[+]]</charinsert> <charinsert>{{Zitat|+|}}</charinsert> <charinsert>{{Zitat_wpde|+|Name|Datum}}</charinsert> · <charinsert>{{Siehe|+}}</charinsert> · <!--'''''Beim Hochladen:''''' <charinsert>{+{aus_commons|http://...}}</charinsert> <charinsert>{+{aus_wpde|Bild:...}}</charinsert>--> <br> ---- '''Admin-Vorlagen:''' <charinsert>{{subst:willkommen}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{Angaben_fehlen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Dateiangaben}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Unterseite_verschoben|+|}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Werbelink|+|}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Benutzer_gesperrt}}--~~~~</charinsert> </div> 9 2010-11-07T10:20:39Z Karl Kirst 2 Benutzer gesperrt wikitext text/x-wiki <!-- Dieser Text wird unter dem „Bearbeiten“-Formular sowie dem "Hochladen"-Formular angezeigt. --> <div class="plainlinks" id="editpage-copywarn-plainlinks" style="margin-top:10px;border-width:1px;border-style:solid;border-color:#aaaaaa;padding:2px;font-size:90%;"> '''[[Hilfe:Sonderzeichen|Sonderzeichen]]:''' <charinsert>É é </charinsert> | <charinsert>À à È è Ù ù</charinsert> | <charinsert> â Ê ê Î î</charinsert> | <charinsert>Ä ä Ë ë Ö ö Ü ü</charinsert> | <charinsert>Æ æ Œ œ Å å Ø ø</charinsert> | <charinsert>Ç ç Ġ ġ Ṣ ṣ</charinsert> | <charinsert>Ñ ñ </charinsert> | <charinsert>„+“ ’ ‚+‘ “+” «+» »+« ›+‹ –</charinsert> | <!--<charinsert>„+“ ′ –</charinsert> |--> <charinsert>· × ² ³ ½ € † ß</charinsert> | <charinsert>&amp;nbsp; [[+]] [[+|]] | {{+}} {{+|}} ~~~~</charinsert> | <charinsert>→ </charinsert> <br> '''[[Hilfe:Vorlagen für die Schule|Für die Schule]]:''' <charinsert>{+{Idee}}</charinsert> <charinsert>{+{Aufgabe|}}</charinsert> <charinsert>{+{Aufgabe-M|}}</charinsert> <charinsert>{+{Aufgaben-M||}}</charinsert> <charinsert>{+{Übung|}}</charinsert> <charinsert>{+{Versuch|}}</charinsert> <charinsert>{+{Merke|}}</charinsert> <charinsert>{+{Merke-M|}}</charinsert> <charinsert>{+{Definition|}}</charinsert> <br> '''[[Interaktive Übungen]]:''' <charinsert><div_class="lueckentext-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="zuordnungs-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="multiplechoice-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="memo-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="schuettel-quiz">+</div></charinsert> | <charinsert><div_class="kreuzwort-quiz">+</div></charinsert> || <charinsert><quiz_display="simple">+</quiz></charinsert> <br> '''[[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfo]]:''' <charinsert>{+{Kurzinfo-1|Idee}}</charinsert> <charinsert>{+{Kurzinfo-2|Software|Links}}</charinsert> <br> '''[[Hilfe:PopUp|PopUp]]:''' <charinsert><popup>+</popup></charinsert> | <charinsert><popup_name="Lösung">+</popup></charinsert> <br> '''Tags:''' <charinsert><math>+</math></charinsert> | <charinsert><poem>+</poem></charinsert> | <charinsert><pre>+</pre></charinsert> | <charinsert><ref>+</ref></charinsert> | <charinsert><tt>+</tt></charinsert> | <charinsert><noinclude>+</noinclude></charinsert> | <charinsert><includeonly>+</includeonly></charinsert> <br> '''Farbige Hervorhebung:''' <charinsert>{{Schrift_grün|+}}</charinsert> <charinsert>{{Schrift_orange|+}}</charinsert> <charinsert>{{Hintergrund_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Hintergrund_orange|+}}</charinsert> <br> '''Oft benötigt:''' <charinsert>{{code|+}}</charinsert> <charinsert>{{Meinung|+_-~~~~}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_gelb|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blass|+}}</charinsert> <charinsert>{{Kasten_blau|+}}</charinsert> <charinsert>{{wpde|+|}}</charinsert> <charinsert>{{wpd|+}}</charinsert> <!--<charinsert>{{Audio}}</charinsert> <charinsert>{{Video}}</charinsert>--> <charinsert>[[Kategorie:+]]</charinsert> <charinsert>#Weiterleitung[[+]]</charinsert> <charinsert>{{Zitat|+|}}</charinsert> <charinsert>{{Zitat_wpde|+|Name|Datum}}</charinsert> · <charinsert>{{Siehe|+}}</charinsert> · <!--'''''Beim Hochladen:''''' <charinsert>{+{aus_commons|http://...}}</charinsert> <charinsert>{+{aus_wpde|Bild:...}}</charinsert>--> <br> ---- '''Admin-Vorlagen:''' <charinsert>{{subst:willkommen}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{Angaben_fehlen}}--~~~~</charinsert> <charinsert>{{subst:Dateiangaben}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Unterseite_verschoben|+|}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Werbelink|+|}}--~~~~</charinsert> · <charinsert>{{subst:Benutzer_gesperrt}}--~~~~</charinsert> </div> 8 196 504 2012-02-10T15:31:42Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „{{Kasten grau|Der Benutzername sollte wie das Schullogin lauten:<br /> ''Nachname + erster und letzter Buchstabe des Vornamen''<br /> also z.B. '''NachnameVe''' f…“ wikitext text/x-wiki {{Kasten grau|Der Benutzername sollte wie das Schullogin lauten:<br /> ''Nachname + erster und letzter Buchstabe des Vornamen''<br /> also z.B. '''NachnameVe''' für '''Vorname Nachname'''<br /> <small>Achtung auf Groß- und Kleinschreibung!</small>}} Du hast bereits ein Benutzerkonto? '''$1'''. 8 456 1606 2015-05-12T17:28:58Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „{{:zum:MediaWiki:IframeAllowedDomains}}“ wikitext text/x-wiki {{:zum:MediaWiki:IframeAllowedDomains}} da4d63d02e9d1b3a1338b9eb7aeec4125acc4162 8 179 1198 395 2013-02-08T22:16:06Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki *Selbst erstellte Dateien (keine Scans, Fotos oder Bearbeitungen fremder Werke!) - oder Dateien, die unter derselben Lizenz weiterverwendet werden **Bild-frei|public domain und unbeschränktes Nutzungsrecht für jedermann ohne jegliche Bedingungen **Bild-CC-by-sa/3.0/de|Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland -> Standard in der ZUM-Wiki-Family! **Bild-CC-by-sa/3.0|Creative-Commons-Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 (Unported) *Dateien fremder Urheber **Dateiüberprüfung|Ich bin unsicher, unter welche Lizenz der Urheber das Bild gestellt hat (Quelle angeben). **Bild-PD-alt|Der Urheber ist vor mehr als 70 Jahren gestorben (Todesjahr angeben). **Bild-PD-alt-100|Der Urheber ist unbekannt, das Bild ist älter als 100 Jahre (Quelle und Datierung angeben). 395 394 2012-02-01T17:08:01Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki *Selbst erstellte Bilder (keine Scans, Fotos oder Bearbeitungen fremder Werke!) **Bild-frei|selbst erstellt, public domain und unbeschränktes Nutzungsrecht für jedermann ohne jegliche Bedingungen **Bild-GFDL|selbst erstellt, lizenziert mit der GNU-Lizenz für freie Dokumentation (GFDL) **Bild-CC-by-sa/3.0/de|selbst erstellt, lizenziert mit der Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland *Bilder fremder Urheber **Dateiüberprüfung|Ich bin unsicher, unter welche Lizenz der Urheber das Bild gestellt hat (Quelle angeben). **Bild-PD-alt|Der Urheber ist vor mehr als 70 Jahren gestorben (Todesjahr angeben). **Bild-PD-alt-100|Der Urheber ist unbekannt, das Bild ist älter als 100 Jahre (Quelle und Datierung angeben). 394 2008-10-16T17:53:55Z Karl.Kirst 0 übernommen aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki *Selbst erstellte Bilder (keine Scans, Fotos oder Bearbeitungen fremder Werke!) **Bild-frei|selbst erstellt, public domain und unbeschränktes Nutzungsrecht für jedermann ohne jegliche Bedingungen **Bild-GFDL|selbst erstellt, lizenziert mit der GNU-Lizenz für freie Dokumentation (GFDL) **Bild-CC-by-sa/3.0/de|selbst erstellt, lizenziert mit der Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland *Bilder fremder Urheber **Dateiüberprüfung|Ich bin unsicher, unter welche Lizenz der Urheber das Bild gestellt hat (Quelle angeben). **Bild-PD-alt|Der Urheber ist vor mehr als 70 Jahren gestorben (Todesjahr angeben). **Bild-PD-alt-100|Der Urheber ist unbekannt, das Bild ist älter als 100 Jahre (Quelle und Datierung angeben). 8 195 503 502 2012-02-10T15:28:30Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki Zur Anmeldung müssen Cookies aktiviert sein. 502 2012-02-10T15:24:10Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „Zur Anmeldung müssen Cookies aktiviert sein. Der Benutzername sollte wie das Schullogin lauten:<br /> ''Nachname + erster und letzter Buchstabe des Vornamen''<b…“ wikitext text/x-wiki Zur Anmeldung müssen Cookies aktiviert sein. Der Benutzername sollte wie das Schullogin lauten:<br /> ''Nachname + erster und letzter Buchstabe des Vornamen''<br /> also z.B. '''NachnameVe''' für '''Vorname Nachname'''<br /> <small>Achtung auf Groß- und Kleinschreibung!</small> 8 180 397 396 2012-02-01T17:08:09Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki bitte AUSWÄHLEN (alternativ: Lizenz direkt im Beschreibungsfeld einfügen) 396 2008-10-16T17:55:54Z Karl.Kirst 0 übernommen aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki bitte AUSWÄHLEN (alternativ: Lizenz direkt im Beschreibungsfeld einfügen) 8 194 1349 1348 2014-01-12T09:08:50Z Karl Kirst 2 1 Version wikitext text/x-wiki Mehr zum Thema im 80573683c2a6e76238fcc9f278945c8bc66cc9d2 1348 495 2013-12-06T18:10:58Z Karl Kirst 2 Mehr zum Thema im wikitext text/x-wiki Mehr zum Thema im 80573683c2a6e76238fcc9f278945c8bc66cc9d2 495 2012-02-09T16:43:40Z Karl Kirst 2 Mehr zum Thema im ... wikitext text/x-wiki Mehr zum Thema im ... 8 197 510 2012-02-17T09:23:24Z Karl Kirst 2 nur ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki Auf dieser Seite kannst du die letzten Änderungen auf '''{{SITENAME}}''' nachverfolgen. <!-- In der Wiki-Family --> [[zum-wiki:Spezial:Letzte_Änderungen]] 8 183 493 492 2012-02-09T16:39:01Z Karl Kirst 2 zufällige Seite aktiviert; Sprachen vor Toolbox wikitext text/x-wiki * SEARCH * navigation ** mainpage|mainpage-description <!--** portal-url|portal--> ** http://www.fsg-marbach.de/|fsg-marbach.de ** currentevents-url|currentevents ** recentchanges-url|recentchanges ** randompage-url|randompage ** helppage|help * LANGUAGES * TOOLBOX 492 414 2012-02-09T16:38:02Z Karl Kirst 2 Schulhomepage wikitext text/x-wiki * SEARCH * navigation ** mainpage|mainpage-description <!--** portal-url|portal--> ** http://www.fsg-marbach.de/|fsg-marbach.de ** currentevents-url|currentevents ** recentchanges-url|recentchanges <!--** randompage-url|randompage--> ** helppage|help * TOOLBOX * LANGUAGES 414 2012-02-01T17:56:19Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „* SEARCH * navigation ** mainpage|mainpage-description ** portal-url|portal ** currentevents-url|currentevents ** recentchanges-url|recentchanges <!--** randompag…“ wikitext text/x-wiki * SEARCH * navigation ** mainpage|mainpage-description ** portal-url|portal ** currentevents-url|currentevents ** recentchanges-url|recentchanges <!--** randompage-url|randompage--> ** helppage|help * TOOLBOX * LANGUAGES 8 385 1313 1311 2013-12-01T21:41:11Z Karl Kirst 2 - wikitext text/x-wiki - 3bc15c8aae3e4124dd409035f32ea2fd6835efc9 1311 1310 2013-11-29T12:39:49Z Karl Kirst 2 1 Version wikitext text/x-wiki <br> {{ZUM-Wiki-Kasten|Am '''Samstag, den 30.11.2013''', wird dieses Wiki zusammen mit allen '''[[:wikis:|Wikis auf ZUM.de]]''' <br>auf einen neuen Server in eine aktuellere MediaWiki-Installation umziehen. Der '''Schreibzugriff''' ist Samstag '''ab 12:00 Uhr gesperrt'''. Je nach Umstellungsdauer sind alle Wikis <br>entweder am späten Samstagabend oder '''im Laufe des Sonntags wieder wie gewohnt erreichbar'''.}} 1310 1309 2013-11-29T12:28:44Z Karl Kirst 2 wikitext text/x-wiki <br> {{ZUM-Wiki-Kasten|Am '''Samstag, den 30.11.2013''', wird dieses Wiki zusammen mit allen '''[[:wikis:|Wikis auf ZUM.de]]''' <br>auf einen neuen Server in eine aktuellere MediaWiki-Installation umziehen. Der '''Schreibzugriff''' ist Samstag '''ab 12:00 Uhr gesperrt'''. Je nach Umstellungsdauer sind alle Wikis <br>entweder am späten Samstagabend oder '''im Laufe des Sonntags wieder wie gewohnt erreichbar'''.}} 1309 1308 2013-11-28T14:51:57Z Karl Kirst 2 1 Version wikitext text/x-wiki <br> {{ZUM-Wiki-Kasten|Am '''Samstag, 30.11.2013,''' wird dieses Wiki zusammen mit allen Wikis auf ZUM.de <br>auf einen neuen Server in eine gemeinsame und aktuellere MediaWiki-Installation umziehen. Der '''Schreibzugriff''' auf alle Wikis der ZUM-Wiki-Family ist Samstag '''ab 12:00 Uhr gesperrt'''. Die Wikis auf ZUM.de werden je nach Umstellungsdauer entweder am späten Samstagabend oder '''im Laufe des Sonntags wieder wie gewohnt erreichbar''' sein.}} 1308 1305 2013-11-28T14:31:21Z Karl Kirst 2 wikitext text/x-wiki <br> {{ZUM-Wiki-Kasten|Am '''Samstag, 30.11.2013,''' wird dieses Wiki zusammen mit allen Wikis auf ZUM.de <br>auf einen neuen Server in eine gemeinsame und aktuellere MediaWiki-Installation umziehen. Der '''Schreibzugriff''' auf alle Wikis der ZUM-Wiki-Family ist Samstag '''ab 12:00 Uhr gesperrt'''. Die Wikis auf ZUM.de werden je nach Umstellungsdauer entweder am späten Samstagabend oder '''im Laufe des Sonntags wieder wie gewohnt erreichbar''' sein.}} 1305 1304 2013-11-27T22:38:24Z Karl Kirst 2 1 Version: Umzug wikitext text/x-wiki <br> {{ZUM-Wiki-Kasten|'''Am Samstag, 20.11.2013,''' wird dieses Wiki zusammen mit allen Wikis auf ZUM.de <br>auf einen neuen Server in eine gemeinsame und aktuellere MediaWiki-Installation umziehen. Der '''Schreibzugriff auf alle Wikis der ZUM-Wiki-Family''' ist voraussichtlich '''den ganzen Samstag (ab 0 Uhr) gesperrt'''. Die Wikis auf ZUM.de werden je nach Umstellungsdauer entweder am Samstagabend oder im Laufe des Sonntags wieder wie gewohnt erreichbar sein.}} 1304 2013-11-27T22:21:35Z Karl Kirst 2 wikitext text/x-wiki <br> {{ZUM-Wiki-Kasten|'''Am Samstag, 20.11.2013,''' wird dieses Wiki zusammen mit allen Wikis auf ZUM.de <br>auf einen neuen Server in eine gemeinsame und aktuellere MediaWiki-Installation umziehen. Der '''Schreibzugriff auf alle Wikis der ZUM-Wiki-Family''' ist voraussichtlich '''den ganzen Samstag (ab 0 Uhr) gesperrt'''. Die Wikis auf ZUM.de werden je nach Umstellungsdauer entweder am Samstagabend oder im Laufe des Sonntags wieder wie gewohnt erreichbar sein.}} 8 4 6 5 2012-02-01T13:30:55Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki Die TEX Box 5 2011-09-06T09:11:39Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „Die TEX Box“ wikitext text/x-wiki Die TEX Box 10 9 51 50 2012-02-01T16:52:38Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki |<noinclude>{{Dokumentation}} </noinclude> 50 2011-01-05T15:56:33Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki |<noinclude>{{Dokumentation}} </noinclude> 10 399 1353 1352 2014-01-21T00:50:29Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki <br style="clear:both" /><noinclude> {{documentation}} </noinclude> 5c9068efb1023033f0247dab92c57ef2c72a2abb 1352 2014-01-17T20:05:47Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki <br style="clear:both" /><noinclude> {{documentation}} </noinclude> 5c9068efb1023033f0247dab92c57ef2c72a2abb 10 10 1578 1396 2014-02-08T21:50:26Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#FFA4A4}}}; 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Bitte '''überprüfe''' selbst, '''welche Angaben fehlen!''' Und '''ergänze''' die fehlenden Angaben '''möglichst umgehend.''' Denn Bilder ohne ausreichende Angabe müssen wir leider wieder löschen, um [[ZUM-Wiki:Urheberrechte beachten|Urheberrechtsverletzungen]] zu vermeiden. Notwendig sind auf jeden Fall folgende Angaben: # '''Quelle''': Woher stammt die Datei? # '''Urheber''': Wer ist Urheber (Autor/in) der Datei? # '''Lizenz''': Unter welchen Bedingungen darf die Datei weiterverwendet werden? Siehe dazu auch die Seite [[Spezial:Hochladen]]. Auch bei selbst erstellten Fotos und Zeichnungen darf ein Text wie ''selbst fotografiert, selbst gezeichnet'' und eine Lizenzangabe nicht fehlen. Welche möglich sind, siehst Du unter '''[[ZUM-Wiki:Lizenzvorlagen für Bilder]]'''. Standard im ZUM-Wiki ist die [[ZUM-Wiki:Lizenzbestimmungen|ZUM-Wiki-Lizenz (CC-by-sa/3.0/de)]], die Du mit dem folgenden Quellcode hier einfügen kannst: <pre>{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}</pre> Besten Dank für Deine Unterstützung!}} Gruß <includeonly> [[Kategorie:ZUM-Wiki:Dateiüberprüfung]]</includeonly><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Angaben fehlen}} --~~~~</pre> ;Anwendung: Dateien, auf deren Beschreibungsseite diese Vorlage eingefügt wird, erscheinen in der [[:Kategorie:ZUM-Wiki:Dateiüberprüfung]]. Über den Verbleib der Dateien im ZUM-Wiki wird nach etwa zwei Wochen entschieden. ;Siehe auch: [[Vorlage:Dateiangaben]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|!]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Angaben fehlen]] </noinclude> 54 2010-11-06T12:37:45Z Karl Kirst 2 kat wikitext text/x-wiki {{ZUM-Wiki|Auf dieser Dateibeschreibungsseite fehlen notwendige Angaben. Bitte '''überprüfe''' selbst, '''welche Angaben fehlen!''' Und '''ergänze''' die fehlenden Angaben '''möglichst umgehend.''' Denn Bilder ohne ausreichende Angabe müssen wir leider wieder löschen, um [[ZUM-Wiki:Urheberrechte beachten|Urheberrechtsverletzungen]] zu vermeiden. Notwendig sind auf jeden Fall folgende Angaben: # '''Quelle''': Woher stammt die Datei? # '''Urheber''': Wer ist Urheber (Autor/in) der Datei? # '''Lizenz''': Unter welchen Bedingungen darf die Datei weiterverwendet werden? Siehe dazu auch die Seite [[Spezial:Hochladen]]. Auch bei selbst erstellten Fotos und Zeichnungen darf ein Text wie ''selbst fotografiert, selbst gezeichnet'' und eine Lizenzangabe nicht fehlen. Welche möglich sind, siehst Du unter '''[[ZUM-Wiki:Lizenzvorlagen für Bilder]]'''. Standard im ZUM-Wiki ist die [[ZUM-Wiki:Lizenzbestimmungen|ZUM-Wiki-Lizenz (CC-by-sa/3.0/de)]], die Du mit dem folgenden Quellcode hier einfügen kannst: <pre>{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}</pre> Besten Dank für Deine Unterstützung!}} Gruß <includeonly> [[Kategorie:ZUM-Wiki:Dateiüberprüfung]]</includeonly><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Angaben fehlen}} --~~~~</pre> ;Anwendung: Dateien, auf deren Beschreibungsseite diese Vorlage eingefügt wird, erscheinen in der [[:Kategorie:ZUM-Wiki:Dateiüberprüfung]]. Über den Verbleib der Dateien im ZUM-Wiki wird nach etwa zwei Wochen entschieden. ;Siehe auch: [[Vorlage:Dateiangaben]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|!]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Angaben fehlen]] </noinclude> 10 12 57 56 2012-02-01T16:52:38Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{#if: {{{1|}}} | {{Anker/code|{{{1|}}}}}{{#if: {{{2|}}} | {{Anker/code|{{{2|}}}}}{{#if: {{{3|}}} | {{Anker/code|{{{3|}}}}}{{#if: {{{4|}}} | {{Anker/code|{{{4|}}}}} {{#if: {{{5|}}} | {{Anker/code|{{{5|}}}}}{{#if: {{{6|}}} | {{Anker/code|{{{6|}}}}} }} }}}} }} }} }}<noinclude> {{Dokumentation}}</noinclude> 56 2011-01-05T15:56:33Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki {{#if: {{{1|}}} | {{Anker/code|{{{1|}}}}}{{#if: {{{2|}}} | {{Anker/code|{{{2|}}}}}{{#if: {{{3|}}} | {{Anker/code|{{{3|}}}}}{{#if: {{{4|}}} | {{Anker/code|{{{4|}}}}} {{#if: {{{5|}}} | {{Anker/code|{{{5|}}}}}{{#if: {{{6|}}} | {{Anker/code|{{{6|}}}}} }} }}}} }} }} }}<noinclude> {{Dokumentation}}</noinclude> 10 13 59 58 2012-02-01T16:52:38Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Dokumentation/Unterseite}} <onlyinclude><span id="{{anchorencode:{{{1|{{{anchor|anchor}}}}}}}}"><span id="Anker:{{anchorencode:{{{1|{{{anchor|anchor}}}}}}}}"></span></span></onlyinclude> 58 2011-01-05T15:56:33Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki {{Dokumentation/Unterseite}} <onlyinclude><span id="{{anchorencode:{{{1|{{{anchor|anchor}}}}}}}}"><span id="Anker:{{anchorencode:{{{1|{{{anchor|anchor}}}}}}}}"></span></span></onlyinclude> 10 419 1482 1481 2014-02-08T21:27:57Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#FF0000}}}; 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[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe]]</noinclude> 9304683ff6b86b6833157ee20eeb75f51904bc97 1483 515 2013-04-10T05:15:47Z Abrafix 0 Englischer Titel hinzugefügt wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; '''{{#switch: {{{lang|{{SUBPAGENAME}}}}} | de = Aufgabe | en = Task | Aufgabe }}''' </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}</pre> ;Alternative: Die [[Vorlage:Aufgabe float]] hat eine variable Seitenbreite. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe]]</noinclude> 9304683ff6b86b6833157ee20eeb75f51904bc97 515 67 2012-02-18T10:02:46Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Emblem-pen-new.svg|30px]] &nbsp; Aufgabe </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}</pre> ;Alternative: Die [[Vorlage:Aufgabe float]] hat eine variable Seitenbreite. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe]]</noinclude> 67 66 2012-02-01T16:52:39Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}</pre> ;Alternative: Die [[Vorlage:Aufgabe float]] hat eine variable Seitenbreite. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe]]</noinclude> 66 2010-03-01T21:32:40Z Karl Kirst 2 Alternative wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}</pre> ;Alternative: Die [[Vorlage:Aufgabe float]] hat eine variable Seitenbreite. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe]]</noinclude> 10 19 71 70 2012-02-01T16:52:39Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">&nbsp; [[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe </div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Aufgabe-M|<Aufgabentext>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe-M]]</noinclude> 70 2010-01-04T08:55:25Z Karl Kirst 2 Orange (Aufgabenfarbe) sieht doch besser aus wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">&nbsp; [[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe </div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Aufgabe-M|<Aufgabentext>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe-M]]</noinclude> 10 18 69 68 2012-02-01T16:52:39Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; <!--width: {{{Breite|100%}}}; -->background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Aufgabe float|<Text der Aufgabe>}}</pre> ;Alternative: Die [[Vorlage:Aufgabe]] hat eine feste Seitenbreite von 100 %. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe float]]</noinclude> 68 2010-03-01T21:31:37Z Karl Kirst 2 pre wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; <!--width: {{{Breite|100%}}}; -->background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Aufgabe float|<Text der Aufgabe>}}</pre> ;Alternative: Die [[Vorlage:Aufgabe]] hat eine feste Seitenbreite von 100 %. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgabe float]]</noinclude> 10 20 1486 1485 2014-02-08T21:27:58Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> ;Syntax: <nowiki>{{Aufgaben|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</nowiki> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben]]</noinclude> 99f406fce1eb32c6a7b4beed5339bdc7b7ab65f7 1485 73 2012-05-20T21:45:59Z Konstantin Kowalski 0 Syntax korrigiert wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> ;Syntax: <nowiki>{{Aufgaben|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</nowiki> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben]]</noinclude> 99f406fce1eb32c6a7b4beed5339bdc7b7ab65f7 73 72 2012-02-01T16:52:40Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> ;Syntax: <nowiki>{{Aufgabe|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</nowiki> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben]]</noinclude> 72 2010-01-04T08:46:01Z Karl Kirst 2 orangener Balken links wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> ;Syntax: <nowiki>{{Aufgabe|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</nowiki> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben]]</noinclude> 10 21 75 74 2012-02-01T16:52:40Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">&nbsp; [[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Aufgaben-M|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben-M]]</noinclude> 74 2010-01-03T22:24:55Z Karl Kirst 2 linker Balekn wie in Vorlage:Aufgabe-M wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#FFE7BA}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">&nbsp; [[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Aufgaben-M|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben-M]]</noinclude> 10 352 1488 1191 2014-02-08T21:27:58Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <onlyinclude> <div style="border:2px solid #4682B4; {{#if: {{{3|}}} | width:{{{3}}}; }} {{#if: {{{4|}}} | float: {{{4}}}; }} margin: 6px 0; -webkit-border-radius: 8px; -moz-border-radius: 8px; border-radius: 8px; overflow: hidden;"> <div style="border-left: 10px solid #B0C4DE; background-color:white"> <div style="font: 12pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Bleistift_35fach.jpg{{!}}30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> <div style="padding:5px; font-size:11pt;"> {{{2}}} </div></div></div></onlyinclude><noinclude> ==Syntax== <pre> {{Aufgaben-blau |<ggf. Nummer der Aufgabe: 1> |<Text der Aufgabe: Kopiere den Syntax dieser Vorlage in Deinen Artikel!> |<ggf. Breite in px oder Prozent: 50%> |<ggf. float left oder right: right> }} </pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1191 1190 2013-02-08T20:52:34Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <onlyinclude> <div style="border:2px solid #4682B4; {{#if: {{{3|}}} | width:{{{3}}}; }} {{#if: {{{4|}}} | float: {{{4}}}; }} margin: 6px 0; -webkit-border-radius: 8px; -moz-border-radius: 8px; border-radius: 8px; overflow: hidden;"> <div style="border-left: 10px solid #B0C4DE; background-color:white"> <div style="font: 12pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Bleistift_35fach.jpg{{!}}30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> <div style="padding:5px; font-size:11pt;"> {{{2}}} </div></div></div></onlyinclude><noinclude> ==Syntax== <pre> {{Aufgaben-blau |<ggf. Nummer der Aufgabe: 1> |<Text der Aufgabe: Kopiere den Syntax dieser Vorlage in Deinen Artikel!> |<ggf. Breite in px oder Prozent: 50%> |<ggf. float left oder right: right> }} </pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Aufgaben]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1190 2013-02-03T12:42:25Z Karl Kirst 2 Kategorie:Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki <onlyinclude> <div style="border:2px solid #4682B4; {{#if: {{{3|}}} | width:{{{3}}}; }} {{#if: {{{4|}}} | float: {{{4}}}; }} margin: 6px 0; -webkit-border-radius: 8px; -moz-border-radius: 8px; border-radius: 8px; overflow: hidden;"> <div style="border-left: 10px solid #B0C4DE; background-color:white"> <div style="font: 12pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Bleistift_35fach.jpg{{!}}30px]] &nbsp; Aufgabe {{{1}}} </div> <div style="padding:5px; font-size:11pt;"> {{{2}}} </div></div></div></onlyinclude><noinclude> ==Syntax== <pre> {{Aufgaben-blau |<ggf. 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Aug. 2009 (UTC)}} {{Vorlagenbox | Typ = Hinweis | Bild = [[Datei:Question copyright.svg|45px|link=]] | Text = Zu diesem Bild fehlen [[Vorlage:Information|ausreichende und korrekte Angaben]] über die '''Quelle''', den/die '''Urheber''' und/oder die '''[[Wikiversity:Vorlagen#Lizenzvorlagen|Lizenz]]''', unter der das Bild veröffentlicht wurde. Wir bitten diejenigen, die Genaueres über dieses Bild wissen, diese Angaben nachzutragen. Werden diese drei Informationen nicht '''vollständig und nachvollziehbar''' nachgereicht, so muss dieses Bild aus lizenzrechtlichen Gründen leider gelöscht werden. <br />Solange die notwendigen Angaben fehlen, darf das Bild in keine Wikiversity-Seiten eingebunden werden. Wir bitten um Verständnis. }} '''Die Person, welche die Datei hochgeladen hat, wurde darüber informiert: ''' {{{1|''(Signatur)''}}} {{#if: {{{1|}}} ||<includeonly>[[Kategorie:BLU-Nicht Informiert|{{PAGENAME}}]]</includeonly>}} <includeonly>[[Kategorie:BLU|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> [[w:Wikipedia:Lizenzierung für Anfänger#Warum wird bei Wikipedia so ein Wind um Lizenzen gemacht.3F|Warum wird so ein Wind um Lizenzen gemacht?]] Wenn du das Bild selbst erstellt hast, gehe bitte wie folgt vor: # Geh auf die [[:Bild:Beispiel-Bild für BLU-Erläuterungen.png{{!}}Bildbeschreibungsseite]] und klicke auf „Bearbeiten“. # Dann füge den Baustein ''{{[[Vorlage:Bild-GFDL|Bild-GFDL]]}}'' oder ''{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa-2.0-de|Bild-CC-by-sa-2.0-de]]}}'' hinzu. # Weiterführende Informationen, was diese Lizenzen bedeuten, findest du in der Wikipedia unter {{w|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU-Lizenz für freie Dokumentation}} bzw. auf [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/ Creative Commons]. # Trage bitte anschließend die fehlenden Daten nach. # Anschließend kannst du den Baustein <nowiki>{{BLU}}</nowiki> entfernen. Viele Grüße 154 2009-08-17T20:35:22Z Karl Kirst 2 nicht verwenden! wikitext text/x-wiki {{Achtung|Diese Vorlage bitte (noch) nicht verwenden! --[[Benutzer:Karl.Kirst|Karl.Kirst]] 20:35, 17. Aug. 2009 (UTC)}} {{Vorlagenbox | Typ = Hinweis | Bild = [[Datei:Question copyright.svg|45px|link=]] | Text = Zu diesem Bild fehlen [[Vorlage:Information|ausreichende und korrekte Angaben]] über die '''Quelle''', den/die '''Urheber''' und/oder die '''[[Wikiversity:Vorlagen#Lizenzvorlagen|Lizenz]]''', unter der das Bild veröffentlicht wurde. Wir bitten diejenigen, die Genaueres über dieses Bild wissen, diese Angaben nachzutragen. Werden diese drei Informationen nicht '''vollständig und nachvollziehbar''' nachgereicht, so muss dieses Bild aus lizenzrechtlichen Gründen leider gelöscht werden. <br />Solange die notwendigen Angaben fehlen, darf das Bild in keine Wikiversity-Seiten eingebunden werden. Wir bitten um Verständnis. }} '''Die Person, welche die Datei hochgeladen hat, wurde darüber informiert: ''' {{{1|''(Signatur)''}}} {{#if: {{{1|}}} ||<includeonly>[[Kategorie:BLU-Nicht Informiert|{{PAGENAME}}]]</includeonly>}} <includeonly>[[Kategorie:BLU|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> [[w:Wikipedia:Lizenzierung für Anfänger#Warum wird bei Wikipedia so ein Wind um Lizenzen gemacht.3F|Warum wird so ein Wind um Lizenzen gemacht?]] Wenn du das Bild selbst erstellt hast, gehe bitte wie folgt vor: # Geh auf die [[:Bild:Beispiel-Bild für BLU-Erläuterungen.png{{!}}Bildbeschreibungsseite]] und klicke auf „Bearbeiten“. # Dann füge den Baustein ''{{[[Vorlage:Bild-GFDL|Bild-GFDL]]}}'' oder ''{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa-2.0-de|Bild-CC-by-sa-2.0-de]]}}'' hinzu. # Weiterführende Informationen, was diese Lizenzen bedeuten, findest du in der Wikipedia unter {{w|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU-Lizenz für freie Dokumentation}} bzw. auf [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/ Creative Commons]. # Trage bitte anschließend die fehlenden Daten nach. # Anschließend kannst du den Baustein <nowiki>{{BLU}}</nowiki> entfernen. Viele Grüße 10 22 77 76 2012-02-01T16:52:40Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki align="center" border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background-color: #f9f9f9; border: 2px solid #e9e9e9; font-size: 95%; margin-top: 2px; margin-bottom: 2px" 76 2006-03-20T16:41:55Z Karl Kirst 2 übernommen aus Schwiki wikitext text/x-wiki align="center" border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background-color: #f9f9f9; border: 2px solid #e9e9e9; font-size: 95%; margin-top: 2px; margin-bottom: 2px" 10 23 79 78 2012-02-01T16:52:40Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <code><onlyinclude>cellspacing="8" cellpadding="0" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe2" style="clear:both; margin:0.5em auto; background-color:#eeeeee; border:4px solid #dedede; position:relative;"</onlyinclude></code> {{Dokumentation}} 78 2011-01-05T15:56:43Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki <code><onlyinclude>cellspacing="8" cellpadding="0" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe2" style="clear:both; margin:0.5em auto; background-color:#eeeeee; border:4px solid #dedede; position:relative;"</onlyinclude></code> {{Dokumentation}} 10 392 1331 1330 2014-01-08T18:51:16Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki width="100%" border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background-color: #f9f9f9; border-top: 1px solid #aaaaaa; font-size: 95%; margin-top: 1em; clear: both" f805fe13dc742a31e31e0e4a5de3c4cd577e14c2 1330 2005-11-22T18:22:38Z Karl Kirst 2 übernommen aus Wikipedia.de wikitext text/x-wiki width="100%" border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background-color: #f9f9f9; border-top: 1px solid #aaaaaa; font-size: 95%; margin-top: 1em; clear: both" f805fe13dc742a31e31e0e4a5de3c4cd577e14c2 10 336 1153 1152 2013-02-08T20:52:31Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <code><onlyinclude>cellspacing="8" cellpadding="0" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 {{{class|}}}" style="font-size: 100%; border-style: solid; margin-top: 2px; margin-bottom: 2px; position:relative; {{{1|}}}"</onlyinclude></code><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> {{Dokumentation}} 1152 2013-01-04T00:01:57Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <code><onlyinclude>cellspacing="8" cellpadding="0" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 {{{class|}}}" style="font-size: 100%; border-style: solid; margin-top: 2px; margin-bottom: 2px; position:relative; {{{1|}}}"</onlyinclude></code><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> {{Dokumentation}} 10 337 1155 1154 2013-02-08T20:52:31Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> Diese Vorlage dient der Formatierung von [[Wikipedia:Textbausteine|Textbausteine]]n. Sie wird im Kopf einer Tabelle entnommen. == Kopiervorlage == <pre style="white-space:pre-wrap;"> {| {{Bausteindesign3}} | |} </pre> == Parameter == keine == Beispiele == <pre style="white-space:pre-wrap;"> {| {{Bausteindesign3}} | Es grünt so grün wenn Spaniens Blüten blüh’n. |} </pre> bewirkt: {| {{Bausteindesign3}} | Es grünt so grün wenn Spaniens Blüten blüh’n. |} == Siehe auch == * [[Wikipedia:Textbausteine/Formatierungshilfen]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] 1154 2013-01-04T07:55:10Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> Diese Vorlage dient der Formatierung von [[Wikipedia:Textbausteine|Textbausteine]]n. 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''Hinweis'': Die Formulierung „Für ... siehe ...“ sollte vermieden werden, da sie von vielen als sprachlich unschöne [[Anglizismus|Entlehnung aus dem Englischen]] („For ... see ...“) angesehen wird. <!--[[Kategorie:Vorlage:Begriffsklärung|!Begriffsklärung]]--> </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|.]]</noinclude> ac8e88f6c0379696ecf3a8464061f217eeaf53ee 1332 2008-10-02T08:59:47Z Ludwig-Dern-Schule 0 wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Begriffsklaerung"> {| {{Bausteindesign2}} | style="width: 30px; vertical-align: top" | [[Bild:Disambig-dark.svg|30px]] | Diese Seite ist eine '''[[Wikipedia:Begriffsklärung|Begriffsklärung]]''' zur Unterscheidung mehrerer mit demselben Wort bezeichneter Begriffe. |} </div> <includeonly>[[Kategorie:Begriffsklärung|{{SUBJECTPAGENAME}}]]</includeonly> <noinclude> ---- ;Zur Verwendung dieser Vorlage siehe [[ZUM-Wiki:Begriffsklärung]]. ''Hinweis'': Die Formulierung „Für ... siehe ...“ sollte vermieden werden, da sie von vielen als sprachlich unschöne [[Anglizismus|Entlehnung aus dem Englischen]] („For ... see ...“) angesehen wird. <!--[[Kategorie:Vorlage:Begriffsklärung|!Begriffsklärung]]--> </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|.]]</noinclude> ac8e88f6c0379696ecf3a8464061f217eeaf53ee 10 420 1490 1489 2014-02-08T21:27:59Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| width="100%" class="wikitable" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{{1}}} | width="50%" | {{{2}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <tt><nowiki>{{Beispiel|<Quellcode>|<pre><Quellcode></pre>}}</nowiki></tt> [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Beispiel]]</noinclude> 3e3fc681fcce810c295ae2198fb0110dcedcf78a 1489 2013-02-14T19:03:25Z Karl Kirst 2 wikitext text/x-wiki {| width="100%" class="wikitable" |- ! Das sieht man !! 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padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen oder anders zu verwerten sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen und diese zu verwerten.<br clear="left" /> '''Der Urheber oder Rechteinhaber knüpft daran keine Bedingungen.''' <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-Zero|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[en:Template:Cc-zero]] {{commons|Template:Cc-zero|Template:Cc-zero|die entsprechende Vorlage auf Commons}} <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/" /> </Work> <License rdf:about="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1137 1136 2013-02-08T20:52:30Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-0/1.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei ohne Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Zero“''<br /> in Version 1.0 (abgekürzt „CC-0 1.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-Zero-badge.svg|100px|link=|CC-Zero]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">1.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen oder anders zu verwerten sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen und diese zu verwerten.<br clear="left" /> '''Der Urheber oder Rechteinhaber knüpft daran keine Bedingungen.''' <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-Zero|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[en:Template:Cc-zero]] {{commons|Template:Cc-zero|Template:Cc-zero|die entsprechende Vorlage auf Commons}} <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/" /> </Work> <License rdf:about="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1136 2013-01-03T23:29:12Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-0/1.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei ohne Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Zero“''<br /> in Version 1.0 (abgekürzt „CC-0 1.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-Zero-badge.svg|100px|link=|CC-Zero]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">1.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen oder anders zu verwerten sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen und diese zu verwerten.<br clear="left" /> '''Der Urheber oder Rechteinhaber knüpft daran keine Bedingungen.''' <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-Zero|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[en:Template:Cc-zero]] {{commons|Template:Cc-zero|Template:Cc-zero|die entsprechende Vorlage auf Commons}} <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/" /> </Work> <License rdf:about="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1397 1137 2013-01-03T11:39:45Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-0/1.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei ohne Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Zero“''<br /> in Version 1.0 (abgekürzt „CC-0 1.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-Zero-badge.svg|100px|link=|CC-Zero]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">1.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen oder anders zu verwerten sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen und diese zu verwerten.<br clear="left" /> '''Der Urheber oder Rechteinhaber knüpft daran keine Bedingungen.''' <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-Zero|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[en:Template:Cc-zero]] {{commons|Template:Cc-zero|Template:Cc-zero|die entsprechende Vorlage auf Commons}} <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/" /> </Work> <License rdf:about="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> bad9cd7aa23ce6580e8c794b9acbfebeab840cbd 10 41 115 114 2012-02-01T16:52:45Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa-2.5"> {| {{Lizenzdesign1}} | style="width: 90px" | [[Bild:CC some rights reserved.svg|90px|CC-Logo]]<br><div align="center">[[Bild:Cc-sa.svg|20px]]</div> | [[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] wird unter den Bedingungen der [[Creative Commons]] [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5 Attribution-ShareAlike License] in der Version 2.5 veröffentlicht (abgekürzt „CC-by-sa“ – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen). |} </div><includeonly>[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]]</includeonly> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 114 2008-09-15T18:01:24Z Karl Kirst 2 linkfix wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa-2.5"> {| {{Lizenzdesign1}} | style="width: 90px" | [[Bild:CC some rights reserved.svg|90px|CC-Logo]]<br><div align="center">[[Bild:Cc-sa.svg|20px]]</div> | [[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] wird unter den Bedingungen der [[Creative Commons]] [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5 Attribution-ShareAlike License] in der Version 2.5 veröffentlicht (abgekürzt „CC-by-sa“ – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen). |} </div><includeonly>[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]]</includeonly> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 10 34 101 100 2012-02-01T16:52:44Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/1.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 1.0 (abgekürzt „CC-by-sa 1.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">1.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 100 2011-01-05T15:25:25Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/1.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 1.0 (abgekürzt „CC-by-sa 1.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">1.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 35 1400 1125 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1125 1124 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1124 103 2013-01-03T20:17:29Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1399 1125 2013-01-03T11:34:47Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 4cefe3ae3d82af56fa3fb713ed571e5c7df872c8 103 102 2012-02-01T16:52:44Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 102 2011-01-05T15:25:25Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 36 1402 1123 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1123 1122 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1122 105 2013-01-03T20:16:09Z Karl Kirst 2 hat „[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.5/de]]“ nach „[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0/de]]“ verschoben: typo wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1401 1123 2013-01-03T11:33:40Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 5b5d2b3589426292440f53bff4c5459ddcf566b8 105 104 2012-02-01T16:52:44Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 104 2011-01-05T15:25:25Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by-sa 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 37 1404 1121 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by-sa 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1121 1120 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by-sa 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1120 107 2013-01-03T20:13:37Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by-sa 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1403 1121 2013-01-03T11:32:58Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by-sa 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 79a06059937feb31132bb9a34efefbe2bc461849 107 106 2012-02-01T16:52:44Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by-sa 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 106 2011-01-05T15:25:25Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by-sa 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 38 1406 1115 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1115 1114 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1114 109 2013-01-03T14:56:01Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1405 1115 2013-01-03T11:28:25Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 2a852c10e377653d151a8e76d892f9f8cda1004b 109 108 2012-02-01T16:52:44Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 108 2011-01-05T15:25:25Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 10 39 111 110 2012-02-01T16:52:45Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/at"> {| {{Lizenzdesign1}} | align="center" | [[Datei:CC some rights reserved.svg|80px|link=|Creative Commons]]<br />[[Datei:Cc-by new.svg|25px|link=|Namensnennung]] [[Datei:Cc-sa.svg|25px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen]] | Diese Datei wurde unter den Bedingungen der „Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Österreich“-Lizenz (abgekürzt „cc-by-sa“) in der Version 3.0 veröffentlicht. <br /> Lizenzvertrag: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/at/legalcode <br /> Eine Zusammenfassung des Lizenzvertrags in allgemeinverständlicher Sprache, ohne juristische Wirkung, befindet sich [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/at/deed.de hier]. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 110 2011-01-05T15:25:25Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/at"> {| {{Lizenzdesign1}} | align="center" | [[Datei:CC some rights reserved.svg|80px|link=|Creative Commons]]<br />[[Datei:Cc-by new.svg|25px|link=|Namensnennung]] [[Datei:Cc-sa.svg|25px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen]] | Diese Datei wurde unter den Bedingungen der „Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Österreich“-Lizenz (abgekürzt „cc-by-sa“) in der Version 3.0 veröffentlicht. <br /> Lizenzvertrag: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/at/legalcode <br /> Eine Zusammenfassung des Lizenzvertrags in allgemeinverständlicher Sprache, ohne juristische Wirkung, befindet sich [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/at/deed.de hier]. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 40 1372 1371 2014-02-03T22:53:24Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flagge von Deutschland.png|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} <!-- svg aus commons hat nicht funktioniert --> ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 9743f04e60ddaff080484a498f0585990ca85cd2 1371 1117 2013-04-03T17:11:58Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flagge von Deutschland.png|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} <!-- svg aus commons hat nicht funktioniert --> ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 9743f04e60ddaff080484a498f0585990ca85cd2 1117 1116 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1116 393 2013-01-03T14:57:36Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 393 113 2012-02-01T17:04:05Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 113 112 2012-02-01T16:52:45Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 112 2011-01-05T15:25:25Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-sa-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 392 113 2008-12-21T17:26:07Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de"> {| {{Lizenzdesign1}} | align="center" | [[Image:CC some rights reserved.svg|80px|Creative Commons]]<br/>[[Image:Cc-by new.svg|25... wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0/de"> {| {{Lizenzdesign1}} | align="center" | [[Image:CC some rights reserved.svg|80px|Creative Commons]]<br/>[[Image:Cc-by new.svg|25px|Namensnennung]] [[Image:Cc-sa.svg|25px|Weitergabe unter gleichen Bedingungen]] | Diese Datei wurde unter den Bedingungen der „[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.de Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen Deutschland]“-Lizenz (abgekürzt „cc-by-sa“) in der Version 3.0 veröffentlicht. |} </div> 10 29 1408 1135 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1135 1134 2013-02-08T20:52:30Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1134 91 2013-01-03T23:28:02Z Karl Kirst 2 kat Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1407 1135 2013-01-03T11:39:04Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 753370ebf42a1f9d042a9161824f454986642821 91 90 2012-02-01T16:52:43Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 90 2011-01-05T15:25:26Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 10 30 1410 1133 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1133 1132 2013-02-08T20:52:30Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1132 93 2013-01-03T23:26:50Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1409 1133 2013-01-03T11:38:19Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> 9f273a1e5dd834c6a4f46c139718a0cb8e4a31e0 93 92 2012-02-01T16:52:43Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> 92 2011-01-05T15:25:26Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 2.0 (abgekürzt „CC-by 2.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> 10 31 1412 1131 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1131 1130 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1130 95 2013-01-03T23:25:21Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1411 1131 2013-01-03T11:37:36Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 83b1157f38b5717d425875fb59594680b48c3187 95 94 2012-02-01T16:52:43Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 94 2011-01-05T15:25:26Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/2.5" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 2.5 (abgekürzt „CC-by 2.5“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">2.5</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 32 1414 1129 2014-02-08T21:27:48Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1129 1128 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1128 97 2013-01-03T23:24:05Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1413 1129 2013-01-03T11:36:51Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 8f0f598e1eb8fdf958c76d476acff6bda9b3dc35 97 96 2012-02-01T16:52:43Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 96 2011-01-05T15:25:26Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 10 33 1416 1127 2014-02-08T21:27:49Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1127 1126 2013-02-08T20:52:29Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1126 99 2013-01-03T23:22:20Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1415 1127 2013-01-03T11:35:49Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 4b48996e25a95b61d8ae7bc8995b7e3015a0bce9 99 98 2012-02-01T16:52:43Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 98 2011-01-05T15:25:26Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen übernehmen wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by/3.0/de" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung Deutschland“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by 3.0/de“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY_icon.svg|100px|link=|CC-by]] [[Datei:Flag of Germany.svg|30px|link=|Deutschland]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:CC-by-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 43 401 119 2012-02-01T17:08:28Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-GFDL"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Bild:Heckert GNU white.svg|75px]] | Diese Datei wurde unter der '''[[GNU-Lizenz für freie Dokumentation]]''' veröffentlicht. Es ist erlaubt, die Datei unter den [[wikipedia:de:Wikipedia:Lizenzbestimmungen|Bedingungen der GNU-Lizenz für freie Dokumentation]], Version 1.2 oder einer späteren Version, veröffentlicht von der [[Free Software Foundation]], zu kopieren, zu verbreiten und/oder zu modifizieren. Es gibt keine unveränderlichen Abschnitte, keinen vorderen Umschlagtext und keinen hinteren Umschlagtext. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:GFDL-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] 119 118 2012-02-01T16:52:46Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-GFDL"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Bild:Heckert GNU white.svg|75px]] | Diese Datei wurde unter der '''[[GNU-Lizenz für freie Dokumentation]]''' veröffentlicht. Es ist erlaubt, die Datei unter den [[wikipedia:de:Wikipedia:Lizenzbestimmungen|Bedingungen der GNU-Lizenz für freie Dokumentation]], Version 1.2 oder einer späteren Version, veröffentlicht von der [[Free Software Foundation]], zu kopieren, zu verbreiten und/oder zu modifizieren. 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Es gibt keine unveränderlichen Abschnitte, keinen vorderen Umschlagtext und keinen hinteren Umschlagtext. |} </div> 118 2008-10-17T13:29:42Z Karl Kirst 2 WP-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-GFDL"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Bild:Heckert GNU white.svg|75px]] | Diese Datei wurde unter der '''[[GNU-Lizenz für freie Dokumentation]]''' veröffentlicht. Es ist erlaubt, die Datei unter den [[wikipedia:de:Wikipedia:Lizenzbestimmungen|Bedingungen der GNU-Lizenz für freie Dokumentation]], Version 1.2 oder einer späteren Version, veröffentlicht von der [[Free Software Foundation]], zu kopieren, zu verbreiten und/oder zu modifizieren. 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Da die [[Deutschland|Bundesrepublik Deutschland]] bzw. die {{wpd|Deutsche Post AG}} Rechtsnachfolgerin der o.g. Organisationen ist, ist diese Briefmarke nach § 5 UrhG '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:Flag of Germany.svg|alt=|link=|55px|Flagge von Deutschland]] |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (Amtliches Werk)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 140 2011-01-05T13:38:20Z Karl Kirst 2 wpde-Links wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage:Vorlage_Bild-PD-Amtliches_Werk_Deutsche_Briefmarke"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:SemiPD-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Diese Briefmarke wurde von der {{wpde|Reichspost|Deutschen Reichspost}}, mindestens einer der [[Besatzungszone|vier Besatzungsmächte]] nach dem Zweiten Weltkrieg in Deutschland, der {{wpde|Deutsche Post der DDR|Deutschen Post der DDR}}, der {{wpde|Deutsche Bundespost|Deutschen Bundespost}} bzw. der {{wpde|Postgeschichte und Briefmarken Berlins|Deutschen Bundespost Berlin}} oder der {{wpde|Deutsche Post AG|Deutschen Post AG}} verausgabt. Da die [[Deutschland|Bundesrepublik Deutschland]] bzw. die {{wpd|Deutsche Post AG}} Rechtsnachfolgerin der o.g. Organisationen ist, ist diese Briefmarke nach § 5 UrhG '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:Flag of Germany.svg|alt=|link=|55px|Flagge von Deutschland]] |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (Amtliches Werk)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 55 143 142 2012-02-01T16:52:50Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Kunst"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Bild:PD-icon.svg|75px]] | Die {{wpde|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für die hier abgebildete zweidimensionale Vorlage ist nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Die vorliegende fotografische Wiedergabe erreicht nicht die nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, um urheberrechtlich geschützt sein zu können. [[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] ist somit '''[[gemeinfrei]]''' („public domain“). |} </div> <includeonly>[[Kategorie:Public-Domain-Bild (Kunst)|{{PAGENAME}}]]</includeonly> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 142 2008-09-28T13:21:15Z Ludwig-Dern-Schule 0 --> Kategorisiert (rückgängig) wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Kunst"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Bild:PD-icon.svg|75px]] | Die {{wpde|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für die hier abgebildete zweidimensionale Vorlage ist nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Die vorliegende fotografische Wiedergabe erreicht nicht die nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, um urheberrechtlich geschützt sein zu können. [[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] ist somit '''[[gemeinfrei]]''' („public domain“). |} </div> <includeonly>[[Kategorie:Public-Domain-Bild (Kunst)|{{PAGENAME}}]]</includeonly> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 56 1426 1105 2014-02-08T21:27:49Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Schöpfungshöhe"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Diese Datei erreicht nicht die für einen urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}. Liegt eine einfache Wiedergabe vor, so erreicht sie ebenfalls nicht das „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>), um den Leistungsschutz als Lichtbild genießen zu können. Die Befugnis zur Nutzung der Datei richtet sich daher nach Befugnis zur Nutzung des Originals. Die Datei ist folglich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Schöpfungshöhe)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1105 1104 2013-02-08T20:52:28Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Schöpfungshöhe"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Diese Datei erreicht nicht die für einen urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}. Liegt eine einfache Wiedergabe vor, so erreicht sie ebenfalls nicht das „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>), um den Leistungsschutz als Lichtbild genießen zu können. Die Befugnis zur Nutzung der Datei richtet sich daher nach Befugnis zur Nutzung des Originals. Die Datei ist folglich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Schöpfungshöhe)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1104 145 2013-01-03T14:21:00Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Schöpfungshöhe"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Diese Datei erreicht nicht die für einen urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}. Liegt eine einfache Wiedergabe vor, so erreicht sie ebenfalls nicht das „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>), um den Leistungsschutz als Lichtbild genießen zu können. Die Befugnis zur Nutzung der Datei richtet sich daher nach Befugnis zur Nutzung des Originals. Die Datei ist folglich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Schöpfungshöhe)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1425 1105 2013-01-03T14:19:51Z Karl Kirst 2 wpd-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Schöpfungshöhe"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Diese Datei erreicht nicht die für einen urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}. Liegt eine einfache Wiedergabe vor, so erreicht sie ebenfalls nicht das „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>), um den Leistungsschutz als Lichtbild genießen zu können. Die Befugnis zur Nutzung der Datei richtet sich daher nach Befugnis zur Nutzung des Originals. Die Datei ist folglich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Schöpfungshöhe)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 7827f818f792dad5ece928cfebd3f984767ca3f1 145 144 2012-02-01T16:52:50Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Schöpfungshöhe"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Diese Datei erreicht nicht die für einen urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}. Liegt eine einfache Wiedergabe vor, so erreicht sie ebenfalls nicht das „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>), um den Leistungsschutz als Lichtbild genießen zu können. Die Befugnis zur Nutzung der Datei richtet sich daher nach Befugnis zur Nutzung des Originals. Die Datei ist folglich '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Schöpfungshöhe)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 144 2011-11-30T01:15:12Z Karl Kirst 2 wpd-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-Schöpfungshöhe"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Diese Datei erreicht nicht die für einen urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}. Liegt eine einfache Wiedergabe vor, so erreicht sie ebenfalls nicht das „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>), um den Leistungsschutz als Lichtbild genießen zu können. Die Befugnis zur Nutzung der Datei richtet sich daher nach Befugnis zur Nutzung des Originals. Die Datei ist folglich '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Schöpfungshöhe)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 57 1428 1113 2014-02-08T21:27:50Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-US"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|alt=|55px|Icon „gemeinfrei“]] | Diese Datei ist in den Vereinigten Staaten „public domain“, da sie von einem Bediensteten einer Bundesbehörde („federal government“) in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten erstellt wurde und somit ein {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}} ist. | [[Datei:Flag of the United States.svg|link=|55px|alt=|Flagge der Vereinigten Staaten]] |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild 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<noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!--[[en:Template:PD-USGov]]--> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1427 1113 2013-01-03T14:37:50Z Karl Kirst 2 wpd-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-US"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|alt=|55px|Icon „gemeinfrei“]] | Diese Datei ist in den Vereinigten Staaten „public domain“, da sie von einem Bediensteten einer Bundesbehörde („federal government“) in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten erstellt wurde und somit ein {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}} ist. | [[Datei:Flag of the United States.svg|link=|55px|alt=|Flagge der Vereinigten Staaten]] |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Werk der Regierung der Vereinigten Staaten)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!--[[en:Template:PD-USGov]]--></noinclude> 23aaaef08472875d771d14d231ae270773806ea7 147 146 2012-02-01T16:52:51Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-US"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|alt=|55px|Icon „gemeinfrei“]] | Diese Datei ist in den Vereinigten Staaten „public domain“, da sie von einem Bediensteten einer Bundesbehörde („federal government“) in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten erstellt wurde und somit ein {{wpde|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}} ist. | [[Datei:Flag of the United States.svg|link=|55px|alt=|Flagge der Vereinigten Staaten]] |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Werk der Regierung der Vereinigten Staaten)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!--[[en:Template:PD-USGov]]--></noinclude> 146 2011-01-05T13:57:57Z Karl Kirst 2 WP-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-US"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|alt=|55px|Icon „gemeinfrei“]] | Diese Datei ist in den Vereinigten Staaten „public domain“, da sie von einem Bediensteten einer Bundesbehörde („federal government“) in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten erstellt wurde und somit ein {{wpde|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}} ist. | [[Datei:Flag of the United States.svg|link=|55px|alt=|Flagge der Vereinigten Staaten]] |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (Werk der Regierung der Vereinigten Staaten)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!--[[en:Template:PD-USGov]]--></noinclude> 10 50 1430 1109 2014-02-08T21:27:50Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist nach den Maßstäben des deutschen, des österreichischen und des schweizerischen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:German-Language-Flag.svg|alt=|link=|55px]] |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um in Deutschland Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (alt)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] vgl: {{wpen|Template:PD-old-70}} (Unterschied: spricht explizit von 70 Jahren) [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1109 1108 2013-02-08T20:52:28Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist nach den Maßstäben des deutschen, des österreichischen und des schweizerischen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:German-Language-Flag.svg|alt=|link=|55px]] |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. 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Es ist daher '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:German-Language-Flag.svg|alt=|link=|55px]] |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um in Deutschland Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (alt)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] vgl: {{wpen|Template:PD-old-70}} (Unterschied: spricht explizit von 70 Jahren) [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1429 1109 2013-01-03T14:25:44Z Karl Kirst 2 wpd-Links wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist nach den Maßstäben des deutschen, des österreichischen und des schweizerischen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:German-Language-Flag.svg|alt=|link=|55px]] |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. 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Es ist daher '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:German-Language-Flag.svg|alt=|link=|55px]] |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als [[Lichtbildwerk]] nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um in Deutschland Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (alt)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] vgl: {{wpe|Template:PD-old-70}} (Unterschied: spricht explizit von 70 Jahren)</noinclude> 133 132 2012-02-01T16:52:49Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die [[Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für das von dieser Datei gezeigte Werk ist nach den Maßstäben des deutschen, des österreichischen und des schweizerischen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:German-Language-Flag.svg|alt=|link=|55px]] |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als [[Lichtbildwerk]] nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um in Deutschland Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (alt)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] vgl: {{wpe|Template:PD-old-70}} (Unterschied: spricht explizit von 70 Jahren)</noinclude> 132 2011-11-30T01:14:09Z Karl Kirst 2 wpd-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die [[Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für das von dieser Datei gezeigte Werk ist nach den Maßstäben des deutschen, des österreichischen und des schweizerischen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | [[Datei:German-Language-Flag.svg|alt=|link=|55px]] |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als [[Lichtbildwerk]] nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um in Deutschland Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (alt)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] vgl: {{wpe|Template:PD-old-70}} (Unterschied: spricht explizit von 70 Jahren)</noinclude> 402 133 2009-04-23T22:12:29Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt"> {| {{Lizenzdesign2}} | <imagemap> Bild:PD-icon.svg|75px default [[Gemeinfreiheit]] desc none </imagemap> | Die [[wikipedia:de:Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für die Vorlage dieser Datei ist nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen, somit ist die Datei '''[[wikipedia:de:Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. | <imagemap> Bild:Flag of Germany.svg|75px rect 1 1 1 1 [[Gemeinfreiheit]] desc none </imagemap> |} </div> 10 51 1432 1095 2014-02-08T21:27:50Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die älter als 100 Jahre sind|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass das {{SITENAME}} wie die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt derjenige, der die Datei einstellt.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe des Originals vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei im {{SITENAME}} bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor mindestens 100 Jahren '''hergestellt''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biografischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. |} </div> {{#ifeq:{{lc:{{{Commons|}}}}}|ja||{{NoCommons}}}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (100 Jahre)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly></onlyinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] 1095 1094 2013-02-08T20:52:27Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die älter als 100 Jahre sind|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass das {{SITENAME}} wie die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt derjenige, der die Datei einstellt.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe des Originals vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei im {{SITENAME}} bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor mindestens 100 Jahren '''hergestellt''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biografischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. |} </div> {{#ifeq:{{lc:{{{Commons|}}}}}|ja||{{NoCommons}}}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (100 Jahre)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly></onlyinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] 1431 1095 2013-01-03T13:48:00Z Karl Kirst 2 - kat wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die älter als 100 Jahre sind|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass das {{SITENAME}} wie die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt derjenige, der die Datei einstellt.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe des Originals vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei im {{SITENAME}} bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor mindestens 100 Jahren '''hergestellt''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biografischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. |} </div> {{#ifeq:{{lc:{{{Commons|}}}}}|ja||{{NoCommons}}}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (100 Jahre)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly></onlyinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] a722ef850475e8643b5d56fc23fca4f9f3224672 1094 405 2013-01-03T13:46:36Z Karl Kirst 2 linkfix wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die älter als 100 Jahre sind|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass das {{SITENAME}} wie die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt derjenige, der die Datei einstellt.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe des Originals vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei im {{SITENAME}} bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor mindestens 100 Jahren '''hergestellt''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biografischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. |} </div> {{#ifeq:{{lc:{{{Commons|}}}}}|ja||{{NoCommons}}}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (100 Jahre)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly></onlyinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] 405 135 2012-02-01T17:08:49Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|link=|55px]] | Die [[Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die älter als 100 Jahre sind|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia - und ebenso das ZUM-Wiki - trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt derjenige, der die Datei einstellt.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als [[Lichtbildwerk]] nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor mehr als 100 Jahren '''hergestellt''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biografischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (100 Jahre)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 135 134 2012-02-01T16:52:50Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|link=|55px]] | Die [[Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die älter als 100 Jahre sind|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia - und ebenso das ZUM-Wiki - trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt derjenige, der die Datei einstellt.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als [[Lichtbildwerk]] nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor mehr als 100 Jahren '''hergestellt''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biografischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (100 Jahre)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 134 2011-11-30T01:16:56Z Karl Kirst 2 wpd-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|link=|55px]] | Die [[Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die älter als 100 Jahre sind|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia - und ebenso das ZUM-Wiki - trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt derjenige, der die Datei einstellt.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als [[Lichtbildwerk]] nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor mehr als 100 Jahren '''hergestellt''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biografischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Public-Domain-Bild (100 Jahre)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 404 135 2009-04-23T22:14:44Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-100"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Bild:PDmaybe-icon.svg|55px]] | Die [[wikipedia:de:Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für die Vorlage dieser Datei ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen, die Datei wird deshalb als '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]''' behandelt. |- | valign="middle" | [[Bild:Nuvola apps important.svg|50px]] | '''Achtung''': Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen Regelung. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass das ZUM-Wiki (so wie die [[wikipedia:de:Vorlage:Bild-PD-alt-100|deutschsprachige Wikipedia]]) die Datei duldet. Damit ist das Bestehen eines urheberrechtlichen Schutzes nicht ausgeschlossen. Verantwortlich für diese Veröffentlichung ist die Person, die diese Datei hochlädt. Dieser Baustein sollte bei Dateien verwendet werden, deren ursprüngliche Vorlagen zwischen 100 und 150 Jahre alt sind und deren Urheber bzw. dessen Todesdatum nicht bekannt ist (für ältere Bilder bitte [[Vorlage:Bild-PD-alt]] verwenden). |} </div> 10 52 1434 1103 2014-02-08T21:27:50Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-1923"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|alt=|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die vor 1923 veröffentlicht wurden|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt der Uploader.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor 1923 '''veröffentlicht''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biographischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. {{#if: {{{1|}}} |Eine Diskussion zu dieser Datei hat [{{{1}}} hier] stattgefunden.}} |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| {{#if: {{{1|}}} | [[Kategorie:Public-Domain-Bild (1923)|{{PAGENAME}}]] | [[Kategorie:Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923/Ohne Diskussion|{{PAGENAME}}]]}} }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1103 1102 2013-02-08T20:52:28Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-1923"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|alt=|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die vor 1923 veröffentlicht wurden|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt der Uploader.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor 1923 '''veröffentlicht''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biographischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. {{#if: {{{1|}}} |Eine Diskussion zu dieser Datei hat [{{{1}}} hier] stattgefunden.}} |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| {{#if: {{{1|}}} | [[Kategorie:Public-Domain-Bild (1923)|{{PAGENAME}}]] | [[Kategorie:Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923/Ohne Diskussion|{{PAGENAME}}]]}} }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1102 137 2013-01-03T14:18:51Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-1923"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|alt=|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die vor 1923 veröffentlicht wurden|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt der Uploader.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor 1923 '''veröffentlicht''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biographischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. {{#if: {{{1|}}} |Eine Diskussion zu dieser Datei hat [{{{1}}} hier] stattgefunden.}} |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| {{#if: {{{1|}}} | [[Kategorie:Public-Domain-Bild (1923)|{{PAGENAME}}]] | [[Kategorie:Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923/Ohne Diskussion|{{PAGENAME}}]]}} }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1433 1103 2013-01-03T14:17:13Z Karl Kirst 2 wpd-Links wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-1923"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|alt=|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die vor 1923 veröffentlicht wurden|pragmatischen Regelung}}. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt der Uploader.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als {{wpd|Lichtbildwerk}} nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als {{wpd|Lichtbild}} genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor 1923 '''veröffentlicht''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biographischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. {{#if: {{{1|}}} |Eine Diskussion zu dieser Datei hat [{{{1}}} hier] stattgefunden.}} |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| {{#if: {{{1|}}} | [[Kategorie:Public-Domain-Bild (1923)|{{PAGENAME}}]] | [[Kategorie:Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923/Ohne Diskussion|{{PAGENAME}}]]}} }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 43113c6ad0ca42a1cd9cb725f4cb1c7e2f870340 137 136 2012-02-01T16:52:50Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-1923"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die [[Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. 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BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor 1923 '''veröffentlicht''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biographischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. {{#if: {{{1|}}} |Eine Diskussion zu dieser Datei hat [{{{1}}} hier] stattgefunden.}} |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| {{#if: {{{1|}}} | [[Kategorie:Public-Domain-Bild (1923)|{{PAGENAME}}]] | [[Kategorie:Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923/Ohne Diskussion|{{PAGENAME}}]]}} }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 136 2011-11-30T01:18:07Z Karl Kirst 2 wpd-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-alt-1923"> {| {{Lizenzdesign2}} | valign="top" | [[Datei:PDmaybe-icon.svg|alt=|link=|55px]] | Die [[Regelschutzfrist|Schutzdauer]] für das von dieser Datei gezeigte Werk ist vermutlich nach den Maßstäben des deutschen Urheberrechts abgelaufen. Es ist daher vermutlich '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |- | valign="middle" | [[Datei:Nuvola apps important.svg|alt=|link=|55px]] | <small>Achtung: Diese Annahme entspricht nicht exakt der gesetzlichen, sondern einer [[Wikipedia:Bildrechte#Pragmatische Regelung bei Bildern, die vor 1923 veröffentlicht wurden|pragmatischen Regelung]]. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verfolgung durch einen Rechtsinhaber ist jedoch so gering, dass die deutschsprachige Wikipedia trotz eines möglichen Schutzes die Datei duldet. Die Verantwortung trägt der Uploader.</small> |- | valign="middle" | |Liegt eine triviale Wiedergabe vor, so erreicht diese weder die für einen urheberrechtlichen Schutz als [[Lichtbildwerk]] nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}}, noch weist sie ein „Mindestmaß an persönlicher Leistung“ (<small>vgl. BGH GRUR 90, 669 - Bibelreproduktion</small>) auf, um Leistungsschutz als [[Lichtbild]] genießen zu können. ---- Damit diese Datei in der Wikipedia bleiben kann, muss nachgewiesen sein, dass * das Bild vor 1923 '''veröffentlicht''' wurde und * das Todesdatum des Urhebers auch nach gründlicher Recherche in Suchmaschinen, Datenbanken und biographischen Nachschlagewerken nicht herausgefunden werden kann. {{#if: {{{1|}}} |Eine Diskussion zu dieser Datei hat [{{{1}}} hier] stattgefunden.}} |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| {{#if: {{{1|}}} | [[Kategorie:Public-Domain-Bild (1923)|{{PAGENAME}}]] | [[Kategorie:Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923/Ohne Diskussion|{{PAGENAME}}]]}} }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 49 1436 1099 2014-02-08T21:27:50Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk ist vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 von einer {{wpd|juristische Person|juristischen Person}} des öffentlichen Rechts veröffentlicht worden, ohne dass der Verfasser auf dem Titelblatt, in der Widmung, in dem Vorwort oder am Ende genannt wurde. Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public-Domain-Bild (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1099 1098 2013-02-08T20:52:28Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk ist vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. 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Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public-Domain-Bild (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1435 1099 2013-01-03T13:53:41Z Karl Kirst 2 linkfix wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk ist vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 von einer {{wpd|juristische Person|juristischen Person}} des öffentlichen Rechts veröffentlicht worden, ohne dass der Verfasser auf dem Titelblatt, in der Widmung, in dem Vorwort oder am Ende genannt wurde. Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public-Domain-Bild (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> f449629e5304efaee2dc36604c351195e3d0287b 1098 131 2013-01-03T13:52:46Z Karl Kirst 2 kat Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk ist vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 von einer {{wpd|juristische Person|juristischen Person}} des öffentlichen Rechts veröffentlicht worden, ohne dass der Verfasser auf dem Titelblatt, in der Widmung, in dem Vorwort oder am Ende genannt wurde. Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public-Domain-Bild (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 131 130 2012-02-01T16:52:48Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk ist vor dem Inkrafttreten des {{wpde|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 von einer {{wpde|juristische Person|juristischen Person}} des öffentlichen Rechts veröffentlicht worden, ohne dass der Verfasser auf dem Titelblatt, in der Widmung, in dem Vorwort oder am Ende genannt wurde. Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public-Domain-Bild (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 130 2011-01-05T13:53:39Z Karl Kirst 2 WP-Links wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk ist vor dem Inkrafttreten des {{wpde|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 von einer {{wpde|juristische Person|juristischen Person}} des öffentlichen Rechts veröffentlicht worden, ohne dass der Verfasser auf dem Titelblatt, in der Widmung, in dem Vorwort oder am Ende genannt wurde. Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''[[Gemeinfreiheit|gemeinfrei]]'''. |} </div> {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public-Domain-Bild (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 329 1438 1101 2014-02-08T21:27:50Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134-KUG"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk, das den Namen des Urhebers nicht angibt, hat vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 eine {{wpd|juristische Person des öffentlichen Rechts}} als Herausgeber erscheinen lassen ([http://www.fotorecht.de/publikationen/kug.html § 5 KUG]; zu Details siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)|Wikipedia:Bildrechte}}). Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §&nbsp;134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {| {{Lizenzdesign4}} |<small>Dieser Baustein ist in der Wikipedia derzeit (Stand Juli 2012) nur für folgende Werkarten zugelassen: * Briefmarken Andere Werkarten müssen zuvor {{wpd|Wikipedia:Urheberrechtsfragen|hier}} diskutiert werden und können erst nach positivem Diskussionsergebnis ergänzt werden.</small> In jedem Fall müssen die Werke '''vor mindestens 70 Jahren veröffentlicht worden sein.''' |} {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> Diese Vorlage fügt Dateien der [[:Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)]] hinzu. Die Diskussion zur Einfügung des §-134-Abschnitts in [[Wikipedia:Bildrechte]] findet sich [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Urheberrechtsfragen&oldid=84447555#Schutz_f.C3.BCr_Karten_der_K.C3.B6niglich_Preu.C3.9Fischen_Landesaufnahme hier]. [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1101 1100 2013-02-08T20:52:28Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134-KUG"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk, das den Namen des Urhebers nicht angibt, hat vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. 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Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §&nbsp;134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {| {{Lizenzdesign4}} |<small>Dieser Baustein ist in der Wikipedia derzeit (Stand Juli 2012) nur für folgende Werkarten zugelassen: * Briefmarken Andere Werkarten müssen zuvor {{wpd|Wikipedia:Urheberrechtsfragen|hier}} diskutiert werden und können erst nach positivem Diskussionsergebnis ergänzt werden.</small> In jedem Fall müssen die Werke '''vor mindestens 70 Jahren veröffentlicht worden sein.''' |} {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> Diese Vorlage fügt Dateien der [[:Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)]] hinzu. Die Diskussion zur Einfügung des §-134-Abschnitts in [[Wikipedia:Bildrechte]] findet sich [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Urheberrechtsfragen&oldid=84447555#Schutz_f.C3.BCr_Karten_der_K.C3.B6niglich_Preu.C3.9Fischen_Landesaufnahme hier]. [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1100 2013-01-03T14:02:51Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134-KUG"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk, das den Namen des Urhebers nicht angibt, hat vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 eine {{wpd|juristische Person des öffentlichen Rechts}} als Herausgeber erscheinen lassen ([http://www.fotorecht.de/publikationen/kug.html § 5 KUG]; zu Details siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)|Wikipedia:Bildrechte}}). Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §&nbsp;134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {| {{Lizenzdesign4}} |<small>Dieser Baustein ist in der Wikipedia derzeit (Stand Juli 2012) nur für folgende Werkarten zugelassen: * Briefmarken Andere Werkarten müssen zuvor {{wpd|Wikipedia:Urheberrechtsfragen|hier}} diskutiert werden und können erst nach positivem Diskussionsergebnis ergänzt werden.</small> In jedem Fall müssen die Werke '''vor mindestens 70 Jahren veröffentlicht worden sein.''' |} {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> Diese Vorlage fügt Dateien der [[:Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)]] hinzu. Die Diskussion zur Einfügung des §-134-Abschnitts in [[Wikipedia:Bildrechte]] findet sich [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Urheberrechtsfragen&oldid=84447555#Schutz_f.C3.BCr_Karten_der_K.C3.B6niglich_Preu.C3.9Fischen_Landesaufnahme hier]. [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1437 1101 2013-01-03T14:00:58Z Karl Kirst 2 wpd-Link wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-PD-134-KUG"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:PD-icon.svg|link=|55px]] | Dieses Werk, das den Namen des Urhebers nicht angibt, hat vor dem Inkrafttreten des {{wpd|Gesetz über Urheberrecht und verwandte Schutzrechte|Urheberrechtsgesetzes}} am 1. Januar 1966 eine {{wpd|juristische Person des öffentlichen Rechts}} als Herausgeber erscheinen lassen ([http://www.fotorecht.de/publikationen/kug.html § 5 KUG]; zu Details siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)|Wikipedia:Bildrechte}}). Für die Berechnung der Schutzfrist gilt daher nach [http://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__134.html §&nbsp;134 Satz 2 UrhG], dass sie 70 Jahre nach Veröffentlichung läuft. | [[Datei:Flag of Germany.svg|link=|55px]] |- | valign="middle" | | Nach dieser Berechnung der Schutzfrist ist diese Datei '''{{wpd|Gemeinfreiheit|gemeinfrei}}'''. |} </div> {| {{Lizenzdesign4}} |<small>Dieser Baustein ist in der Wikipedia derzeit (Stand Juli 2012) nur für folgende Werkarten zugelassen: * Briefmarken Andere Werkarten müssen zuvor {{wpd|Wikipedia:Urheberrechtsfragen|hier}} diskutiert werden und können erst nach positivem Diskussionsergebnis ergänzt werden.</small> In jedem Fall müssen die Werke '''vor mindestens 70 Jahren veröffentlicht worden sein.''' |} {{NoCommons}} <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> Diese Vorlage fügt Dateien der [[:Kategorie:Datei:Public Domain (§134 Satz 2 UrhG)]] hinzu. 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Verwendung für jeden Zweck, Aufführung, Weiterverbreitung, kommerzielle Nutzung, Bearbeitung) weltweit und zeitlich unbeschränkt unter der Bedingung der '''angemessenen Nennung seiner Urheberschaft''' (z.&nbsp;B. in der Bildunterschrift). |}</div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:By|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] {{Commons|Template:Attribution}} {{Bild-by/Meta}} [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1147 1146 2013-02-08T20:52:31Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-by"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Datei:Green copyright.svg|link=|alt=|55px]] | Diese Datei ist '''urheberrechtlich geschützt'''. Der Urheberrechtsinhaber gestattet {{wpde|Linux-Klausel|jedermann}} (auch außerhalb und völlig unabhängig vom {{SITENAME}} oder von der Wikipedia) jegliche Nutzung, so weitreichend, wie dies gesetzlich möglich ist (u.&nbsp;a. Verwendung für jeden Zweck, Aufführung, Weiterverbreitung, kommerzielle Nutzung, Bearbeitung) weltweit und zeitlich unbeschränkt unter der Bedingung der '''angemessenen Nennung seiner Urheberschaft''' (z.&nbsp;B. in der Bildunterschrift). |}</div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:By|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] {{Commons|Template:Attribution}} {{Bild-by/Meta}} [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1146 89 2013-01-03T23:52:21Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-by"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Datei:Green copyright.svg|link=|alt=|55px]] | Diese Datei ist '''urheberrechtlich geschützt'''. Der Urheberrechtsinhaber gestattet {{wpde|Linux-Klausel|jedermann}} (auch außerhalb und völlig unabhängig vom {{SITENAME}} oder von der Wikipedia) jegliche Nutzung, so weitreichend, wie dies gesetzlich möglich ist (u.&nbsp;a. Verwendung für jeden Zweck, Aufführung, Weiterverbreitung, kommerzielle Nutzung, Bearbeitung) weltweit und zeitlich unbeschränkt unter der Bedingung der '''angemessenen Nennung seiner Urheberschaft''' (z.&nbsp;B. in der Bildunterschrift). |}</div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:By|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] {{Commons|Template:Attribution}} {{Bild-by/Meta}} [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1441 1147 2013-01-03T23:51:30Z Karl Kirst 2 wpde-Link; Sitename wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-by"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Datei:Green copyright.svg|link=|alt=|55px]] | Diese Datei ist '''urheberrechtlich geschützt'''. Der Urheberrechtsinhaber gestattet {{wpde|Linux-Klausel|jedermann}} (auch außerhalb und völlig unabhängig vom {{SITENAME}} oder von der Wikipedia) jegliche Nutzung, so weitreichend, wie dies gesetzlich möglich ist (u.&nbsp;a. Verwendung für jeden Zweck, Aufführung, Weiterverbreitung, kommerzielle Nutzung, Bearbeitung) weltweit und zeitlich unbeschränkt unter der Bedingung der '''angemessenen Nennung seiner Urheberschaft''' (z.&nbsp;B. in der Bildunterschrift). |}</div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:By|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] {{Commons|Template:Attribution}} {{Bild-by/Meta}} </noinclude> bc08ea778d5fb95416876897b6baf178f7b4af55 89 88 2012-02-01T16:52:40Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-by"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Datei:Green copyright.svg|link=|alt=|55px]] | Diese Datei ist '''urheberrechtlich geschützt'''. Der Urheberrechtsinhaber gestattet {{wpde|Linux-Klausel|jedermann}} (auch außerhalb und völlig unabhängig vom ZUM-Wiki - oder von der Wikipedia) jegliche Nutzung, so weitreichend, wie dies gesetzlich möglich ist (u.&nbsp;a. Verwendung für jeden Zweck, Aufführung, Weiterverbreitung, kommerzielle Nutzung, Bearbeitung) weltweit und zeitlich unbeschränkt unter der Bedingung der '''angemessenen Nennung seiner Urheberschaft''' (z.&nbsp;B. in der Bildunterschrift). |}</div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:By-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!--{{Commons|Template:Attribution}}--> </noinclude> 88 2011-01-05T15:37:42Z Karl Kirst 2 WP-Link; Anpassung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-by"> {| {{Lizenzdesign1}} | [[Datei:Green copyright.svg|link=|alt=|55px]] | Diese Datei ist '''urheberrechtlich geschützt'''. Der Urheberrechtsinhaber gestattet {{wpde|Linux-Klausel|jedermann}} (auch außerhalb und völlig unabhängig vom ZUM-Wiki - oder von der Wikipedia) jegliche Nutzung, so weitreichend, wie dies gesetzlich möglich ist (u.&nbsp;a. Verwendung für jeden Zweck, Aufführung, Weiterverbreitung, kommerzielle Nutzung, Bearbeitung) weltweit und zeitlich unbeschränkt unter der Bedingung der '''angemessenen Nennung seiner Urheberschaft''' (z.&nbsp;B. in der Bildunterschrift). |}</div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:By-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!--{{Commons|Template:Attribution}}--> </noinclude> 10 334 1149 1148 2013-02-08T20:52:31Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Metaseite}} </noinclude><includeonly> [[ar:قالب:عزو]] [[ca:Plantilla:Atribució]] [[en:Template:Attribution]] [[eo:Ŝablono:Atribuo]] [[fr:Modèle:Attribution]] [[it:Template:CopyrightedAttribution]] [[lv:Veidne:Attribution]] [[mk:Шаблон:Припишување]] [[ru:Шаблон:Attribution]] [[sr:Шаблон:Приписивање]] [[uk:Шаблон:Attribution]] </includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1148 2013-01-03T23:55:40Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Metaseite}} </noinclude><includeonly> [[ar:قالب:عزو]] [[ca:Plantilla:Atribució]] [[en:Template:Attribution]] [[eo:Ŝablono:Atribuo]] [[fr:Modèle:Attribution]] [[it:Template:CopyrightedAttribution]] [[lv:Veidne:Attribution]] [[mk:Шаблон:Припишување]] [[ru:Шаблон:Attribution]] [[sr:Шаблон:Приписивање]] [[uk:Шаблон:Attribution]] </includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 10 42 1444 1145 2014-02-08T21:27:51Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-frei"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:SemiPD-icon.svg|link=|alt=|55px]] | Der Urheberrechtsinhaber dieser Datei hat ein '''unentgeltliches, bedingungsloses Nutzungsrecht für jedermann ohne zeitliche, räumliche und inhaltliche Beschränkung''' eingeräumt. <small>Bei der Einräumung dieses Nutzungsrechtes ist nur der wirkliche Wille des Urhebers und nicht der buchstäbliche Sinn des Ausdrucks erheblich. 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Daher wird dieses Nutzungsrecht insbesondere auch bei der rechtlich in Deutschland nicht möglichen Übergabe durch den Urheber in die ''Gemeinfreiheit'' bzw. ''Public Domain'' angewendet.</small> |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Frei|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude> {{Dokumentation}} [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1144 399 2013-01-03T23:47:49Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-frei"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:SemiPD-icon.svg|link=|alt=|55px]] | Der Urheberrechtsinhaber dieser Datei hat ein '''unentgeltliches, bedingungsloses Nutzungsrecht für jedermann ohne zeitliche, räumliche und inhaltliche Beschränkung''' eingeräumt. <small>Bei der Einräumung dieses Nutzungsrechtes ist nur der wirkliche Wille des Urhebers und nicht der buchstäbliche Sinn des Ausdrucks erheblich. 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Das Nutzungsrecht wurde ausdrücklich oder – aufgrund einer noch weitergehenden, in Deutschland und Österreich aber rechtlich nicht möglichen Übergabe in die „public domain“ oder der rechtlich ebenfalls nicht möglichen Deklarierung eigener Werke als „gemeinfrei“ – [[Konkludentes Handeln|konkludent]] eingeräumt. In der Schweiz ist es möglich, auf sein Urheberrecht zu verzichten, wodurch das Urheberrecht am betreffenden Werk erlischt. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Frei-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]<!-- {{Commons|Template:Copyrighted free use}}--></noinclude> 117 116 2012-02-01T16:52:46Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-frei"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Datei:SemiPD-icon.svg|link=|alt=|55px]] | Der Urheberrechtsinhaber dieser Datei hat ein '''unbeschränktes Nutzungsrecht ohne jegliche Bedingungen für jedermann''' eingeräumt. Dieses Nutzungsrecht gilt unabhängig von Ort und Zeit und ist unwiderruflich. Das Nutzungsrecht wurde ausdrücklich oder – aufgrund einer noch weitergehenden, in Deutschland und Österreich aber rechtlich nicht möglichen Übergabe in die „public domain“ oder der rechtlich ebenfalls nicht möglichen Deklarierung eigener Werke als „gemeinfrei“ – [[Konkludentes Handeln|konkludent]] eingeräumt. 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Das Nutzungsrecht wurde ausdrücklich oder – aufgrund einer noch weitergehenden, in Deutschland und Österreich aber rechtlich nicht möglichen Übergabe in die „public domain“ oder der rechtlich ebenfalls nicht möglichen Deklarierung eigener Werke als „gemeinfrei“ – [[Konkludentes Handeln|konkludent]] eingeräumt. In der Schweiz ist es möglich, auf sein Urheberrecht zu verzichten, wodurch das Urheberrecht am betreffenden Werk erlischt. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Frei-Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]<!-- {{Commons|Template:Copyrighted free use}}--></noinclude> 398 117 2009-04-23T22:17:39Z A.Burgermeister 1 wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-frei"> {| {{Lizenzdesign2}} | [[Bild:Green copyright.svg|55px]] | Der Urheberrechtsinhaber dieser Datei hat ein '''unbeschränktes Nutzungsrecht ohne jegliche Bedingungen für jedermann''' eingeräumt. Dieses Nutzungsrecht gilt unabhängig von Ort und Zeit und ist unwiderruflich. Das Nutzungsrecht wurde ausdrücklich oder – aufgrund einer noch weiter gehenden, im deutschen Sprachraum aber rechtlich nicht möglichen Übergabe in die „public domain“ oder der rechtlich ebenfalls nicht möglichen Deklarierung eigener Werke als „gemeinfrei“ – [[wikipedia:de:Konkludentes Handeln|konkludent]] eingeräumt. |} </div> 10 59 151 150 2012-02-01T16:52:52Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div> {| {{Bausteindesign4}} |[[Image:Red_copyright.svg|40px|left|Copyright-Symbol]] | Dieses Bild ist '''vermutlich urheberrechtlich geschützt'''. 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Es wird als Bildzitat gemäß <span class="plainlinks">[http://bundesrecht.juris.de/urhg/__51.html § 51 UrhG]</span> (deutsches Urheberrechtsgesetz) ausschließlich zur inhaltlichen Erläuterung genutzt.<br /> Das Bild darf nicht verändert werden. |} </div><noinclude> Diese Vorlage dient der Markierung von Bildern, die vermutlich urheberrechtlich geschützt sind, aber im Rahmen von ZUM-Wiki als Bildzitat nach § 51 des deutschen Urheberrechtsgesetzes verwendet werden. Eine korrekte und exakte Quellenangabe ist hierbei unerlässlich. [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|Bildzitat]] </noinclude><includeonly>[[Kategorie:ZUM-Wiki:Bildzitat|{{PAGENAME}}]]</includeonly> 10 60 153 152 2012-02-01T16:52:52Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki == Bitte vorstellen! == Hallo {{PAGENAME}}, es ist erfreulich, dass Du im ZUM-Wiki aktiv mitarbeitest. Damit die Zusammenarbeit noch besser klappt, bitten wir Dich, Dich [[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]] kurz vorzustellen. Wichtig wäre uns dabei, dass Du kurz schreibst, ob und welchen Bezug zu Schule und Unterricht du hast. Dein wirklicher Name braucht nicht genannt zu werden, erleichtert aber natürlich auch die Kommunikation untereinander. Mit freundlichen Grüßen im Namen der [[ZUM-Wiki:Administratoren|ZUM-Wiki-AdministratorInnen]] <noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Bitte vorstellen]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Bitte vorstellen]] </noinclude> 152 2010-11-14T17:22:42Z Karl Kirst 2 Schützte „[[Vorlage:Bitte vorstellen]]“: Wichtig für die Projektorganisation ([edit=sysop] (unbeschränkt) [move=sysop] (unbeschränkt)) wikitext text/x-wiki == Bitte vorstellen! == Hallo {{PAGENAME}}, es ist erfreulich, dass Du im ZUM-Wiki aktiv mitarbeitest. Damit die Zusammenarbeit noch besser klappt, bitten wir Dich, Dich [[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]] kurz vorzustellen. Wichtig wäre uns dabei, dass Du kurz schreibst, ob und welchen Bezug zu Schule und Unterricht du hast. Dein wirklicher Name braucht nicht genannt zu werden, erleichtert aber natürlich auch die Kommunikation untereinander. 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padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 2a852c10e377653d151a8e76d892f9f8cda1004b 1346 2014-01-12T08:47:50Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-by-sa/3.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei unter folgenden Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen“''<br /> in Version 3.0 (abgekürzt „CC-by-sa 3.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-BY-SA_icon.svg|100px|link=|CC-by-sa]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">3.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten und öffentlich zugänglich zu machen sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen,<br clear="left" /> '''sofern Sie folgende Bedingungen einhalten:''' :[[Datei:Cc-by new.svg|22px|link=|Namensnennung|left]] ''Namensnennung:'' Sie müssen den Urheber bzw. den Rechteinhaber in der von ihm festgelegten Weise, die URI (z.&nbsp;B. die Internetadresse dieser Seite) sowie den Titel des Werkes und bei einer Abwandlung einen Hinweis darauf angeben. :[[Datei:Cc-sa.svg|22px|link=|Weitergabe unter gleichen Bedingungen|left]] ''Weitergabe unter gleichen Bedingungen:'' Wenn Sie das lizenzierte Werk bearbeiten, abwandeln oder als Vorlage für ein neues Werk verwenden, dürfen Sie die neu entstandenen Werke nur unter dieser oder einer zu dieser kompatiblen Lizenz nutzen und weiterverbreiten. :[[Datei:Cc.logo.circle.svg|22px|link=|Lizenzangabe|left]] ''Lizenzangabe:'' Sie müssen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die für dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-by-sa|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/" /> </Work> <License rdf:about="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 2a852c10e377653d151a8e76d892f9f8cda1004b 10 69 171 170 2012-02-01T16:52:57Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| align="center" style="background-color:#f8f8f8; border:2px solid #e0e0e0; padding:5px;" |- | align="center" | [[Image:CC SomeRightsReserved.png|Creative Commons License]]<br> [[Image:Cc-by white.png|24px|Creative Commons Attribution icon]][[Image:Cc-sa white.png|24px|Creative Commons Share Alike icon]] | align="center" | ''[[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] ist lizensiert unter der [[Creative Commons]]-Lizenz <br>"[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.de Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland]."'' |} <includeonly>[[Kategorie:CC-BY-SA-DE|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 170 2008-10-07T13:50:18Z ZUM-Wiki-Bot 0 katfix wikitext text/x-wiki {| align="center" style="background-color:#f8f8f8; border:2px solid #e0e0e0; padding:5px;" |- | align="center" | [[Image:CC SomeRightsReserved.png|Creative Commons License]]<br> [[Image:Cc-by white.png|24px|Creative Commons Attribution icon]][[Image:Cc-sa white.png|24px|Creative Commons Share Alike icon]] | align="center" | ''[[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] ist lizensiert unter der [[Creative Commons]]-Lizenz <br>"[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.de Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland]."'' |} <includeonly>[[Kategorie:CC-BY-SA-DE|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 70 173 172 2012-02-01T16:52:58Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| align="center" style="background-color:#f8f8f8; border:2px solid #e0e0e0; padding:5px;" |- | align="center" | [[Image:CC SomeRightsReserved.png|Creative Commons License]]<br> [[Image:Cc-by white.png|24px|Creative Commons Attribution icon]][[Image:Cc-sa white.png|24px|Creative Commons Share Alike icon]] | align="center" | ''[[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] ist lizensiert unter der [[Creative Commons]]-Lizenz <br>"[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported]."'' |}<includeonly>[[Kategorie:CC-BY-SA-DE/3.0|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 172 2008-10-07T13:54:07Z ZUM-Wiki-Bot 0 kat wikitext text/x-wiki {| align="center" style="background-color:#f8f8f8; border:2px solid #e0e0e0; padding:5px;" |- | align="center" | [[Image:CC SomeRightsReserved.png|Creative Commons License]]<br> [[Image:Cc-by white.png|24px|Creative Commons Attribution icon]][[Image:Cc-sa white.png|24px|Creative Commons Share Alike icon]] | align="center" | ''[[Media:{{PAGENAME}}|Diese Datei]] ist lizensiert unter der [[Creative Commons]]-Lizenz <br>"[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported]."'' |}<includeonly>[[Kategorie:CC-BY-SA-DE/3.0|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 10 412 1384 1383 2014-02-08T21:27:47Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-0/1.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei ohne Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Zero“''<br /> in Version 1.0 (abgekürzt „CC-0 1.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-Zero-badge.svg|100px|link=|CC-Zero]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">1.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen oder anders zu verwerten sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen und diese zu verwerten.<br clear="left" /> '''Der Urheber oder Rechteinhaber knüpft daran keine Bedingungen.''' <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-Zero|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] {{commons|Template:Cc-zero|Template:Cc-zero|die entsprechende Vorlage auf Commons}} <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/" /> </Work> <License rdf:about="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 9e84a917bc03d22ff9d2589c31e7b4edec80fcaa 1383 2014-01-14T19:07:44Z Karl Kirst 2 Schützte „[[Vorlage:Cc-zero]]“: Wichtig für die Projektorganisation ([Bearbeiten=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt) [Verschieben=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt)) wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Bild-CC-0/1.0" style="width: 90%; clear:both; margin:0.5em auto; padding:0.5em; background-color:#F0FFF0; border:3px solid #E0EEE0; padding-left:2em; padding-right:2em;"> {|style="background-color:transparent;width:100%;" |style="padding-right: 20px; text-align: center;"|'''Sie können diese Datei ohne Bedingungen weiterverwenden:'''<br /> Die Datei wurde unter der Lizenz<br /> ''„Creative Commons Zero“''<br /> in Version 1.0 (abgekürzt „CC-0 1.0“) veröffentlicht. |style="width:200px;text-align:center;"|[[Datei:CC-Zero-badge.svg|100px|link=|CC-Zero]]&ensp;<span style="font-size:larger; font-weight:bold">1.0</span> |} ---- <div style="padding:0.5em; padding-left:2em; padding-right:2em;"> <p>Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter [http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/legalcode]. </p> <p>Es folgt eine ''vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags'' in allgemeinverständlicher Sprache ohne juristische Wirkung.</p> </div> ---- '''Es ist Ihnen gestattet,''' :[[Datei:Share.svg|22px|link=|Weiterverwendung erlaubt|left]]&nbsp;das Werk zu vervielfältigen, zu verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen oder anders zu verwerten sowie<br clear="left" /> :[[Datei:Remix.svg|22px|link=|Bearbeitung erlaubt|left]]&nbsp;Abwandlungen und Bearbeitungen des Werkes anzufertigen und diese zu verwerten.<br clear="left" /> '''Der Urheber oder Rechteinhaber knüpft daran keine Bedingungen.''' <center> <small>Bitte beachten Sie, dass andere Rechte die Weiterverwendung einschränken können.</small> </center> </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:CC-Zero|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|{{PAGENAME}}]] {{commons|Template:Cc-zero|Template:Cc-zero|die entsprechende Vorlage auf Commons}} <!-- Creative Commons License --> <!-- <rdf:RDF xmlns="http://web.resource.org/cc/" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"> <Work rdf:about=""> <license rdf:resource="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/" /> </Work> <License rdf:about="https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/"> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Reproduction" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Distribution" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Notice" /> <requires rdf:resource="http://web.resource.org/cc/Attribution" /> <permits rdf:resource="http://web.resource.org/cc/DerivativeWorks" /> </License> </rdf:RDF> --> </noinclude> 9e84a917bc03d22ff9d2589c31e7b4edec80fcaa 10 442 1546 1545 2014-02-08T21:29:37Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <noinclude>This shows an example of the localized colon<span style="background:yellow"></noinclude>{{#switch:{{LangSwitch | lang = {{#if: {{{lang|}}} | {{{lang|}}} | {{int:lang}} }} | default = Zinh-Po-space | am = Ethi | br = Zinh-nbsp-Po-space | co = Zinh-nbsp-Po-space | ca = Zinh-nbsp-Po-space | es = Zinh-nbsp-Po-space | fr = Zinh-nbsp-Po-space | gl = Zinh-nbsp-Po-space | he = Hebr | hi = Deva | ii = Yiii | ja = Jpan | km = Khmr | ko = Hang | oc = Zinh-nbsp-Po-space | pt = Zinh-nbsp-Po-space | pt-br = Zinh-nbsp-Po-space | ro = Zinh-nbsp-Po-space | ti = Ethi | yi = Hebr | yue = Hant | zh = Hans | zh-hans = Hans | zh-hant = Hant }} |Ethi = &#x1365;&#32;<!-- Ethiopic punctuation sign colon --> |Bpmf|Phpa|Tale|Talu|Yiii<!-- Indo-Sinitic scripts used along with Chinese --> |Hani|Hans|Hant|Jpan = &#xFF1A;<!-- CJK punctuation double-width colon (rotated if vertical layout) --> |Deva<!-- avoids confusion with U+0903 Devanagari combining sign Visarga --> |Hebr<!-- avoids confusion with U+05C3 Hebrew punctuation sign Sof Pasuk --> |Khmr<!-- avoids confusion with U+17C8 Khmer combining sign Yukaleakpintu --> |Hang |Zinh-nbsp-Po-space = <span style="font-size:50%">&nbsp;</span>&#x3A;&#32; |Zinh-Po-space|#default = &#x3A;&#32; }}<noinclude></span>text immediately after it... {{documentation}} [[Category:Internationalization templates using LangSwitch]] </noinclude> ba302932cfa697a6c99bb650f46f3161dfbeba7d 1545 2014-02-08T20:58:40Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizardp wikitext text/x-wiki <noinclude>This shows an example of the localized colon<span style="background:yellow"></noinclude>{{#switch:{{LangSwitch | lang = {{#if: {{{lang|}}} | {{{lang|}}} | {{int:lang}} }} | default = Zinh-Po-space | am = Ethi | br = Zinh-nbsp-Po-space | co = Zinh-nbsp-Po-space | ca = Zinh-nbsp-Po-space | es = Zinh-nbsp-Po-space | fr = Zinh-nbsp-Po-space | gl = Zinh-nbsp-Po-space | he = Hebr | hi = Deva | ii = Yiii | ja = Jpan | km = Khmr | ko = Hang | oc = Zinh-nbsp-Po-space | pt = Zinh-nbsp-Po-space | pt-br = Zinh-nbsp-Po-space | ro = Zinh-nbsp-Po-space | ti = Ethi | yi = Hebr | yue = Hant | zh = Hans | zh-hans = Hans | zh-hant = Hant }} |Ethi = &#x1365;&#32;<!-- Ethiopic punctuation sign colon --> |Bpmf|Phpa|Tale|Talu|Yiii<!-- Indo-Sinitic scripts used along with Chinese --> |Hani|Hans|Hant|Jpan = &#xFF1A;<!-- CJK punctuation double-width colon (rotated if vertical layout) --> |Deva<!-- avoids confusion with U+0903 Devanagari combining sign Visarga --> |Hebr<!-- avoids confusion with U+05C3 Hebrew punctuation sign Sof Pasuk --> |Khmr<!-- avoids confusion with U+17C8 Khmer combining sign Yukaleakpintu --> |Hang |Zinh-nbsp-Po-space = <span style="font-size:50%">&nbsp;</span>&#x3A;&#32; |Zinh-Po-space|#default = &#x3A;&#32; }}<noinclude></span>text immediately after it... {{documentation}} [[Category:Internationalization templates using LangSwitch]] </noinclude> ba302932cfa697a6c99bb650f46f3161dfbeba7d 10 333 1335 1139 2014-01-08T18:51:17Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;">[[Datei:Commons-logo.svg|x16px|alt=|link=|Commons]]&nbsp;'''<span class="plainlinks">[{{fullurl:Commons:{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}|uselang={{INT:Lang}}}} Commons: {{#if:{{{2|}}}|{{{2}}}|{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}}}]</span>'''{{#switch:{{{3|}}} |X|x= |= &nbsp;– {{#ifeq:{{NAMESPACE:{{{1|{{PAGENAME}}}}}}}|{{ns:14}}|Sammlung von|Album mit}} Bildern, Videos und Audiodateien |#default= &nbsp;– {{{3}}} }}</div></onlyinclude><noinclude> {{Dokumentation}} </noinclude><noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1139 1138 2013-02-08T20:52:31Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;">[[Datei:Commons-logo.svg|x16px|alt=|link=|Commons]]&nbsp;'''<span class="plainlinks">[{{fullurl:Commons:{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}|uselang={{INT:Lang}}}} Commons: {{#if:{{{2|}}}|{{{2}}}|{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}}}]</span>'''{{#switch:{{{3|}}} |X|x= |= &nbsp;– {{#ifeq:{{NAMESPACE:{{{1|{{PAGENAME}}}}}}}|{{ns:14}}|Sammlung von|Album mit}} Bildern, Videos und Audiodateien |#default= &nbsp;– {{{3}}} }}</div></onlyinclude><noinclude> {{Dokumentation}} </noinclude><noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1138 2013-01-03T23:31:08Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;">[[Datei:Commons-logo.svg|x16px|alt=|link=|Commons]]&nbsp;'''<span class="plainlinks">[{{fullurl:Commons:{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}|uselang={{INT:Lang}}}} Commons: {{#if:{{{2|}}}|{{{2}}}|{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}}}]</span>'''{{#switch:{{{3|}}} |X|x= |= &nbsp;– {{#ifeq:{{NAMESPACE:{{{1|{{PAGENAME}}}}}}}|{{ns:14}}|Sammlung von|Album mit}} Bildern, Videos und Audiodateien |#default= &nbsp;– {{{3}}} }}</div></onlyinclude><noinclude> {{Dokumentation}} </noinclude><noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1334 1139 2013-01-03T23:30:23Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus der deutschen Wikipedia wikitext text/x-wiki <onlyinclude><div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;">[[Datei:Commons-logo.svg|x16px|alt=|link=|Commons]]&nbsp;'''<span class="plainlinks">[{{fullurl:Commons:{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}|uselang={{INT:Lang}}}} Commons: {{#if:{{{2|}}}|{{{2}}}|{{#if:{{{1|}}}|{{{1}}}|{{PAGENAME}}}}}}]</span>'''{{#switch:{{{3|}}} |X|x= |= &nbsp;– {{#ifeq:{{NAMESPACE:{{{1|{{PAGENAME}}}}}}}|{{ns:14}}|Sammlung von|Album mit}} Bildern, Videos und Audiodateien |#default= &nbsp;– {{{3}}} }}</div></onlyinclude><noinclude> {{Dokumentation}} </noinclude> fbed343ddeaf56ffab5e4b266808cb154eabacfd 10 72 177 176 2012-02-01T16:52:58Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div class="noprint" style="float:right; border:1px solid blue; width:220px; background-color:#ffffff; color: black; padding:3px;"> [[Bild:Danke.jpg|left|80px|Blaue Blume]] '''Einfach mal ein kleines Dankeschön...''' <br style="clear:both;"/><small>für {{{1}}}. <br />Liebe Grüße, {{{2}}}</small> </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]</noinclude> 176 2008-09-28T22:45:43Z Ludwig-Dern-Schule 0 --> Kategorisiert wikitext text/x-wiki <div class="noprint" style="float:right; border:1px solid blue; width:220px; background-color:#ffffff; color: black; padding:3px;"> [[Bild:Danke.jpg|left|80px|Blaue Blume]] '''Einfach mal ein kleines Dankeschön...''' <br style="clear:both;"/><small>für {{{1}}}. <br />Liebe Grüße, {{{2}}}</small> </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]</noinclude> 10 73 179 178 2012-02-01T16:52:58Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki == Bitte Datei(en) sinnvoll benennen! == {{ZUM-Wiki|Hallo, Du hat in letzter Zeit eine oder mehrere Dateien hochgeladen; siehe '''[[Spezial:Beiträge/{{PAGENAME}}|Deine Beiträge]]'''. Leider hast Du dabei (zumindest einmal) keinen sinnvollen Dateinamen gewählt. Beachte aber, dass Dateinamen gleichzeitig Linknamen sind. Deshalb ist ein sinnvoller Name sehr hilfreich, sodass andere Benutzer und auch Du selbst (auch später noch) die Datei anhand ihres Namens wiederfinden können! Vermeide insbesondere Dateinamen, die von einer Digitalkamera vergeben werden, wie "IMG007.jpg", aber auch "Bild1.png" und dergleichen. Siehe hierzu auch den '''[[MediaWiki:Uploadtext|Text auf der Hochladen-Seite]]'''.}}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Datei sinnvoll benennen]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Datei sinnvoll benennen]] </noinclude> 178 2010-12-05T07:47:37Z Karl Kirst 2 Hervorhebung wikitext text/x-wiki == Bitte Datei(en) sinnvoll benennen! == {{ZUM-Wiki|Hallo, Du hat in letzter Zeit eine oder mehrere Dateien hochgeladen; siehe '''[[Spezial:Beiträge/{{PAGENAME}}|Deine Beiträge]]'''. Leider hast Du dabei (zumindest einmal) keinen sinnvollen Dateinamen gewählt. Beachte aber, dass Dateinamen gleichzeitig Linknamen sind. Deshalb ist ein sinnvoller Name sehr hilfreich, sodass andere Benutzer und auch Du selbst (auch später noch) die Datei anhand ihres Namens wiederfinden können! Vermeide insbesondere Dateinamen, die von einer Digitalkamera vergeben werden, wie "IMG007.jpg", aber auch "Bild1.png" und dergleichen. Siehe hierzu auch den '''[[MediaWiki:Uploadtext|Text auf der Hochladen-Seite]]'''.}}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Datei sinnvoll benennen]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Datei sinnvoll benennen]] </noinclude> 10 74 1386 1385 2014-02-08T21:27:47Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki == Bitte Dateiangaben ergänzen! == {{ZUM-Wiki|Hallo, Du hat in letzter Zeit eine oder mehrere Dateien hochgeladen; siehe '''[[Spezial:Beiträge/{{PAGENAME}}|Deine Beiträge]]'''. Leider fehlen noch einige Angaben auf zumindest einer der Dateibeschreibungsseiten. Bitte ergänze diese möglichst umgehend. Denn Bilder ohne ausreichende Angabe müssen wir leider wieder löschen, um [[ZUM-Wiki:Urheberrechte beachten|Urheberrechtsverletzungen]] zu vermeiden. Notwendig sind auf jeden Fall folgende Angaben: # '''Quelle''': Woher stammt die Datei? # '''Urheber''': Wer ist Urheber (Autor/in) der Datei? # '''Lizenz''': Unter welchen Bedingungen darf die Datei weiterverwendet werden? Siehe dazu auch die Seite [[Spezial:Hochladen]]. Auch bei selbst erstellten Fotos und Zeichnungen darf ein Text wie ''selbst fotografiert, selbst gezeichnet'' und eine Lizenzangabe nicht fehlen. Welche möglich sind, siehst Du unter '''[[ZUM-Wiki:Lizenzvorlagen für Bilder]]'''. Standard im {{SITENAME}} ist die [[ZUM-Wiki:Lizenzbestimmungen|ZUM-Wiki-Lizenz (CC-by-sa/3.0/de)]], die Du mit dem folgenden Quellcode hier einfügen kannst: <pre>{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}</pre> Besten Dank für Deine Unterstützung!}} Gruß <noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Dateiangaben}} --~~~~</pre> ;Anwendung: Über den Verbleib der Dateien im ZUM-Wiki wird nach etwa zwei Wochen entschieden. ;Siehe auch: [[Vorlage:Angaben fehlen]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Dateiangaben]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Dateiangaben]] </noinclude> 13588fdbe0307233c3d890fc32d84aed432edab6 1385 181 2014-01-22T21:45:12Z Karl Kirst 2 SITENAME wikitext text/x-wiki == Bitte Dateiangaben ergänzen! == {{ZUM-Wiki|Hallo, Du hat in letzter Zeit eine oder mehrere Dateien hochgeladen; siehe '''[[Spezial:Beiträge/{{PAGENAME}}|Deine Beiträge]]'''. Leider fehlen noch einige Angaben auf zumindest einer der Dateibeschreibungsseiten. Bitte ergänze diese möglichst umgehend. Denn Bilder ohne ausreichende Angabe müssen wir leider wieder löschen, um [[ZUM-Wiki:Urheberrechte beachten|Urheberrechtsverletzungen]] zu vermeiden. Notwendig sind auf jeden Fall folgende Angaben: # '''Quelle''': Woher stammt die Datei? # '''Urheber''': Wer ist Urheber (Autor/in) der Datei? # '''Lizenz''': Unter welchen Bedingungen darf die Datei weiterverwendet werden? Siehe dazu auch die Seite [[Spezial:Hochladen]]. Auch bei selbst erstellten Fotos und Zeichnungen darf ein Text wie ''selbst fotografiert, selbst gezeichnet'' und eine Lizenzangabe nicht fehlen. Welche möglich sind, siehst Du unter '''[[ZUM-Wiki:Lizenzvorlagen für Bilder]]'''. Standard im {{SITENAME}} ist die [[ZUM-Wiki:Lizenzbestimmungen|ZUM-Wiki-Lizenz (CC-by-sa/3.0/de)]], die Du mit dem folgenden Quellcode hier einfügen kannst: <pre>{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}</pre> Besten Dank für Deine Unterstützung!}} Gruß <noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Dateiangaben}} --~~~~</pre> ;Anwendung: Über den Verbleib der Dateien im ZUM-Wiki wird nach etwa zwei Wochen entschieden. ;Siehe auch: [[Vorlage:Angaben fehlen]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Dateiangaben]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Dateiangaben]] </noinclude> 13588fdbe0307233c3d890fc32d84aed432edab6 181 180 2012-02-01T16:52:58Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki == Bitte Dateiangaben ergänzen! == {{ZUM-Wiki|Hallo, Du hat in letzter Zeit eine oder mehrere Dateien hochgeladen; siehe '''[[Spezial:Beiträge/{{PAGENAME}}|Deine Beiträge]]'''. Leider fehlen noch einige Angaben auf zumindest einer der Dateibeschreibungsseiten. Bitte ergänze diese möglichst umgehend. Denn Bilder ohne ausreichende Angabe müssen wir leider wieder löschen, um [[ZUM-Wiki:Urheberrechte beachten|Urheberrechtsverletzungen]] zu vermeiden. Notwendig sind auf jeden Fall folgende Angaben: # '''Quelle''': Woher stammt die Datei? # '''Urheber''': Wer ist Urheber (Autor/in) der Datei? # '''Lizenz''': Unter welchen Bedingungen darf die Datei weiterverwendet werden? Siehe dazu auch die Seite [[Spezial:Hochladen]]. Auch bei selbst erstellten Fotos und Zeichnungen darf ein Text wie ''selbst fotografiert, selbst gezeichnet'' und eine Lizenzangabe nicht fehlen. Welche möglich sind, siehst Du unter '''[[ZUM-Wiki:Lizenzvorlagen für Bilder]]'''. Standard im ZUM-Wiki ist die [[ZUM-Wiki:Lizenzbestimmungen|ZUM-Wiki-Lizenz (CC-by-sa/3.0/de)]], die Du mit dem folgenden Quellcode hier einfügen kannst: <pre>{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}</pre> Besten Dank für Deine Unterstützung!}} Gruß <noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Dateiangaben}} --~~~~</pre> ;Anwendung: Über den Verbleib der Dateien im ZUM-Wiki wird nach etwa zwei Wochen entschieden. ;Siehe auch: [[Vorlage:Angaben fehlen]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Dateiangaben]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Dateiangaben]] </noinclude> 180 2011-01-18T22:59:01Z Karl Kirst 2 hat „[[Vorlage:Dateiangaben]]“ nach „[[Vorlage:Dateiangaben ergänzen]]“ verschoben:&#32;eindeutiger wikitext text/x-wiki == Bitte Dateiangaben ergänzen! == {{ZUM-Wiki|Hallo, Du hat in letzter Zeit eine oder mehrere Dateien hochgeladen; siehe '''[[Spezial:Beiträge/{{PAGENAME}}|Deine Beiträge]]'''. Leider fehlen noch einige Angaben auf zumindest einer der Dateibeschreibungsseiten. Bitte ergänze diese möglichst umgehend. Denn Bilder ohne ausreichende Angabe müssen wir leider wieder löschen, um [[ZUM-Wiki:Urheberrechte beachten|Urheberrechtsverletzungen]] zu vermeiden. Notwendig sind auf jeden Fall folgende Angaben: # '''Quelle''': Woher stammt die Datei? # '''Urheber''': Wer ist Urheber (Autor/in) der Datei? # '''Lizenz''': Unter welchen Bedingungen darf die Datei weiterverwendet werden? Siehe dazu auch die Seite [[Spezial:Hochladen]]. Auch bei selbst erstellten Fotos und Zeichnungen darf ein Text wie ''selbst fotografiert, selbst gezeichnet'' und eine Lizenzangabe nicht fehlen. Welche möglich sind, siehst Du unter '''[[ZUM-Wiki:Lizenzvorlagen für Bilder]]'''. Standard im ZUM-Wiki ist die [[ZUM-Wiki:Lizenzbestimmungen|ZUM-Wiki-Lizenz (CC-by-sa/3.0/de)]], die Du mit dem folgenden Quellcode hier einfügen kannst: <pre>{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}</pre> Besten Dank für Deine Unterstützung!}} Gruß <noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Dateiangaben}} --~~~~</pre> ;Anwendung: Über den Verbleib der Dateien im ZUM-Wiki wird nach etwa zwei Wochen entschieden. ;Siehe auch: [[Vorlage:Angaben fehlen]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Dateiangaben]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Dateiangaben]] </noinclude> 10 181 407 406 2012-02-01T17:08:58Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| {{Lizenzdesign3}} | [[Bild:Nuvola apps important.svg|55px]] | Zu dieser Datei fehlen noch ausreichende, nachvollziehbare und korrekte Angaben über die rechtliche Situation. Ich, der Benutzer, der diesen Baustein gesetzt hat, bin mir unsicher, welche Angaben passend sind. Diese Informationen werden innerhalb von 14 Tagen vollständig und nachvollziehbar nachgereicht. Andernfalls kann diese Datei gelöscht werden. - Zu finden ist diese Datei solange in der [[:Kategorie:ZUM-Wiki:Dateiüberprüfung|Dateiüberprüfung]]. |} 406 2008-12-17T18:20:29Z Karl.Kirst 0 weniger Quellcode wikitext text/x-wiki {| {{Lizenzdesign3}} | [[Bild:Nuvola apps important.svg|55px]] | Zu dieser Datei fehlen noch ausreichende, nachvollziehbare und korrekte Angaben über die rechtliche Situation. Ich, der Benutzer, der diesen Baustein gesetzt hat, bin mir unsicher, welche Angaben passend sind. Diese Informationen werden innerhalb von 14 Tagen vollständig und nachvollziehbar nachgereicht. Andernfalls kann diese Datei gelöscht werden. - Zu finden ist diese Datei solange in der [[:Kategorie:ZUM-Wiki:Dateiüberprüfung|Dateiüberprüfung]]. |} 10 398 1351 1350 2014-01-21T00:50:29Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki {{description|1=de|2={{{1|<noinclude>abc</noinclude>}}}|3=Deutsch|inline={{{inline|}}}}}{{#if:{{{1|}}}||{{#switch:{{NAMESPACENUMBER}}|0|6|14=[[Category:Template:De with no text displayed]]}}}}<noinclude>{{internationalization template doc}}</noinclude> 1f4f9e73d9828e3ba16b2d991c00383d13822932 1350 2014-01-17T20:05:47Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki {{description|1=de|2={{{1|<noinclude>abc</noinclude>}}}|3=Deutsch|inline={{{inline|}}}}}{{#if:{{{1|}}}||{{#switch:{{NAMESPACENUMBER}}|0|6|14=[[Category:Template:De with no text displayed]]}}}}<noinclude>{{internationalization template doc}}</noinclude> 1f4f9e73d9828e3ba16b2d991c00383d13822932 10 75 183 182 2012-02-01T16:52:58Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="border: 1px solid #50ad50; 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Wahrscheinlich fehlt <code>&lt;noinclude&gt;</code> in einer eingebundenen Vorlage oder die Kapselung ist fehlerhaft. Bitte {{Bearbeiten|text=entferne diesen Fehler}}.</strong>| <div id="framedocumentation"><div class="rahmenfarbe1" style="margin-bottom:0.5em; padding:0.5em; padding-top:0; clear:left; border-style:solid;" id="Vorlage_Dokumentation"> <div style="float:right; clear:left;">[[Datei:Information icon.svg|frameless|18px|link=#Dokumentation.Info|Informationen zu dieser Dokumentation|alt=]]</div> {{Überschriftensimulation 4|1=<span class="editsection">&#x5b;<span class="plainlinks">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]</span>&#x5d;</span> Dokumentation}} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Doku| {{{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku}} <br /><hr style="border:none; height:0.7ex; clear:both;" /> {{{!}} {{Bausteindesign5}} {{!}} Bei Fragen zu dieser [[Hilfe:Vorlagen|Vorlage]] kannst Du Dich an die [[ZUM-Wiki:Vorlagenwerkstatt|Vorlagenwerkstatt]] wenden. {{!}}} {{{!}} cellspacing="8" cellpadding="0" class="plainlinks" style="background:transparent; margin: 2px 0;" id="Dokumentation.Info" {{!}} style="position:relative; width:35px; vertical-align:top;" {{!}} [[Datei:Information icon.svg|30px|Information|alt=]] {{!}} style="width: 100%;" {{!}} <ul> <li>{{#switch:{{ParmPart|1|{{{nr|<noinclude>10</noinclude>}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. | #default = {{Verwendung}} der Vorlage in Artikeln. }}</li> <li>{{#switch:{{ParmPart|2|{{{nr|}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. }}</li> <li> Diese Dokumentation befindet sich [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|auf einer eingebundenen Unterseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Doku|/[[{{TALKPAGENAME}}/Doku|Diskussion]]}})</span>.</li> {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung | <li>Für diese Vorlage existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|Wartungsseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Wartung|/[[{{TALKPAGENAME}}/Wartung|Diskussion]]}})</span> zum Auffinden fehlerhafter Verwendungen.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-wartung}} Wartungsseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/XML | <li>Für diese Vorlage existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/XML|XML-Beschreibung]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/XML|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/XML|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/XML|/[[{{TALKPAGENAME}}/XML|Diskussion]]}})</span> für den [[ZUM-Wiki:Helferlein/Vorlagen-Meister|Vorlagenmeister]].</li> | <li class="metadata metadata-label">[[tools:~revolus/Template-Master/index.de.html|XML-Beschreibungsseite erstellen]]</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test | <li>Anwendungsbeispiele und Funktionalitätsprüfungen befinden sich auf der [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|Testseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Test|/[[{{TALKPAGENAME}}/Test|Diskussion]]}})</span>.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck | <li>Es existiert eine spezielle [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|Druckversion]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Druck|/[[{{TALKPAGENAME}}/Druck|Diskussion]]}})</span> für die [[Hilfe:Buchfunktion|Buchfunktion]].</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-druck}} Druckversion erstellen].</li> }} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta | <li>Die Metadaten ([[Hilfe:Kategorien|Kategorien]] und [[Hilfe:Internationalisierung|Interwikis]]) {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}} | in [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta]] werden '''nicht''' eingebunden, weil sich die Vorlage im [[Hilfe:Benutzernamensraum|Benutzernamensraum]] befindet | werden [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|von einer Unterseite eingebunden]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Meta|/[[{{TALKPAGENAME}}/Meta|Diskussion]]}})</span> }}.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice | <li>Es existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|Editnotice]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Editnotice|/[[{{TALKPAGENAME}}/Editnotic|Diskussion]]}})</span>, die beim Bearbeiten angezeigt wird.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-editnotice}} Editnotice erstellen].</li> }} <li>[[Spezial:Präfixindex/{{SUBJECTPAGENAME}}/|Liste der Unterseiten]].</li> </ul> {{!}}} |<span class="plainlinks" style="font-size:150%;"> * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-doku}} Dokumentation erstellen] {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-wartung}} Wartungsseite erstellen]}} </span>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:10}}| [[Kategorie:Vorlage:nicht dokumentiert|{{PAGENAME}}]] }} }} <div style="clear:both;"></div> </div></div>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}}||{{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|{{{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta}} }}}} }}<hr class="rulerdocumentation hintergrundfarbe6" style="margin:1em 0.5em; height:0.7ex; " /></onlyinclude> ff37e6e8f14caedee252cdd32042bdc45d8f7b5d 1326 185 2013-11-03T13:25:07Z Abrafix 0 wikitext text/x-wiki {{Tausendfach verwendet}}<onlyinclude><hr class="rulerdocumentation hintergrundfarbe6" style="margin:1em 0.5em; height:0.7ex; " /> {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:0}}|<strong class="error">Achtung: Die {{Vorlage|Dokumentation}} wird im Hauptnamensraum verwendet. Wahrscheinlich fehlt <code>&lt;noinclude&gt;</code> in einer eingebundenen Vorlage oder die Kapselung ist fehlerhaft. Bitte {{Bearbeiten|text=entferne diesen Fehler}}.</strong>| <div id="framedocumentation"><div class="rahmenfarbe1" style="margin-bottom:0.5em; padding:0.5em; padding-top:0; clear:left; border-style:solid;" id="Vorlage_Dokumentation"> <div style="float:right; clear:left;">[[Datei:Information icon.svg|frameless|18px|link=#Dokumentation.Info|Informationen zu dieser Dokumentation|alt=]]</div> {{Überschriftensimulation 4|1=<span class="editsection">&#x5b;<span class="plainlinks">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]</span>&#x5d;</span> Dokumentation}} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Doku| {{{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku}} <br /><hr style="border:none; height:0.7ex; clear:both;" /> {{{!}} {{Bausteindesign5}} {{!}} Bei Fragen zu dieser [[Hilfe:Vorlagen|Vorlage]] kannst Du Dich an die [[ZUM-Wiki:Vorlagenwerkstatt|Vorlagenwerkstatt]] wenden. {{!}}} {{{!}} cellspacing="8" cellpadding="0" class="plainlinks" style="background:transparent; margin: 2px 0;" id="Dokumentation.Info" {{!}} style="position:relative; width:35px; vertical-align:top;" {{!}} [[Datei:Information icon.svg|30px|Information|alt=]] {{!}} style="width: 100%;" {{!}} <ul> <li>{{#switch:{{ParmPart|1|{{{nr|<noinclude>10</noinclude>}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. | #default = {{Verwendung}} der Vorlage in Artikeln. }}</li> <li>{{#switch:{{ParmPart|2|{{{nr|}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. }}</li> <li> Diese Dokumentation befindet sich [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|auf einer eingebundenen Unterseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Doku|/[[{{TALKPAGENAME}}/Doku|Diskussion]]}})</span>.</li> {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung | <li>Für diese Vorlage existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|Wartungsseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=history}} 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[[{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|Testseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Test|/[[{{TALKPAGENAME}}/Test|Diskussion]]}})</span>.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck | <li>Es existiert eine spezielle [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|Druckversion]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Druck|/[[{{TALKPAGENAME}}/Druck|Diskussion]]}})</span> für die [[Hilfe:Buchfunktion|Buchfunktion]].</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-druck}} Druckversion erstellen].</li> }} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta | <li>Die Metadaten ([[Hilfe:Kategorien|Kategorien]] und [[Hilfe:Internationalisierung|Interwikis]]) {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}} | in [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta]] werden '''nicht''' eingebunden, weil sich die Vorlage im [[Hilfe:Benutzernamensraum|Benutzernamensraum]] befindet | werden [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|von einer Unterseite eingebunden]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Meta|/[[{{TALKPAGENAME}}/Meta|Diskussion]]}})</span> }}.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice | <li>Es existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|Editnotice]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Editnotice|/[[{{TALKPAGENAME}}/Editnotic|Diskussion]]}})</span>, die beim Bearbeiten angezeigt wird.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-editnotice}} Editnotice erstellen].</li> }} <li>[[Spezial:Präfixindex/{{SUBJECTPAGENAME}}/|Liste der Unterseiten]].</li> </ul> {{!}}} |<span class="plainlinks" style="font-size:150%;"> * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-doku}} Dokumentation erstellen] {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-wartung}} Wartungsseite erstellen]}} </span>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:10}}| [[Kategorie:Vorlage:nicht dokumentiert|{{PAGENAME}}]] }} }} <div style="clear:both;"></div> </div></div>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}}||{{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|{{{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta}} }}}} }}<hr class="rulerdocumentation hintergrundfarbe6" style="margin:1em 0.5em; height:0.7ex; " /></onlyinclude> ff37e6e8f14caedee252cdd32042bdc45d8f7b5d 185 184 2012-02-01T16:52:59Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Tausendfach verwendet}}<onlyinclude><hr class="rulerdocumentation hintergrundfarbe6" style="margin:1em 0.5em; height:0.7ex; " /> {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:0}}|<strong class="error">Achtung: Die {{Vorlage|Dokumentation}} wird im Artikelnamensraum verwendet. Wahrscheinlich fehlt <code>&lt;noinclude&gt;</code> in einer eingebundenen Vorlage oder die Kapselung ist fehlerhaft. Bitte {{Bearbeiten|text=entferne diesen Fehler}}.</strong>| <div id="framedocumentation"><div class="rahmenfarbe1" style="margin-bottom:0.5em; padding:0.5em; padding-top:0; clear:left; border-style:solid;" id="Vorlage_Dokumentation"> <div style="float:right; clear:left;">[[Datei:Information icon.svg|frameless|18px|link=#Dokumentation.Info|Informationen zu dieser Dokumentation|alt=]]</div> {{Überschriftensimulation 4|1=<span class="editsection">&#x5b;<span class="plainlinks">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]</span>&#x5d;</span> Dokumentation}} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Doku| {{{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku}} <br /><hr style="border:none; height:0.7ex; clear:both;" /> {{{!}} {{Bausteindesign5}} {{!}} Bei Fragen zu dieser [[Hilfe:Vorlagen|Vorlage]] kannst Du Dich an die [[Wikipedia:WikiProjekt Vorlagen/Werkstatt|Vorlagenwerkstatt]] wenden. {{!}}} {{{!}} cellspacing="8" cellpadding="0" class="plainlinks" style="background:transparent; margin: 2px 0;" id="Dokumentation.Info" {{!}} style="position:relative; width:35px; vertical-align:top;" {{!}} [[Datei:Information icon.svg|30px|Information|alt=]] {{!}} style="width: 100%;" {{!}} <ul> <li>{{#switch:{{ParmPart|1|{{{nr|<noinclude>10</noinclude>}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. | #default = {{Verwendung}} der Vorlage in Artikeln. }}</li> <li>{{#switch:{{ParmPart|2|{{{nr|<noinclude>10</noinclude>}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. }}</li> <li> Diese Dokumentation befindet sich [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|auf einer eingebundenen Unterseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Doku|/[[{{TALKPAGENAME}}/Doku|Diskussion]]}})</span>.</li> {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung | <li>Für diese Vorlage existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|Wartungsseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit}} 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<li>Anwendungsbeispiele und Funktionalitätsprüfungen befinden sich auf der [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|Testseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Test|/[[{{TALKPAGENAME}}/Test|Diskussion]]}})</span>.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck | <li>Es existiert eine spezielle [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|Druckversion]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Druck|/[[{{TALKPAGENAME}}/Druck|Diskussion]]}})</span> für die [[Hilfe:Buchfunktion|Buchfunktion]].</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-druck}} Druckversion erstellen].</li> }} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta | <li>Die Metadaten ([[Hilfe:Kategorien|Kategorien]] und [[Hilfe:Internationalisierung|Interwikis]]) {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}} | in [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta]] werden '''nicht''' eingebunden, weil sich die Vorlage im [[Hilfe:Benutzernamensraum|Benutzernamensraum]] befindet | werden [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|von einer Unterseite eingebunden]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Meta|/[[{{TALKPAGENAME}}/Meta|Diskussion]]}})</span> }}.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice | <li>Es existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|Editnotice]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Editnotice|/[[{{TALKPAGENAME}}/Editnotic|Diskussion]]}})</span>, die beim Bearbeiten angezeigt wird.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-editnotice}} Editnotice erstellen].</li> }} <li>[[Spezial:Präfixindex/{{SUBJECTPAGENAME}}/|Liste der Unterseiten]].</li> </ul> {{!}}} |<span class="plainlinks" style="font-size:150%;"> * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-doku}} Dokumentation erstellen] {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-wartung}} Wartungsseite erstellen]}} </span>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:10}}| [[Kategorie:Vorlage:nicht dokumentiert|{{PAGENAME}}]] }} }} <div style="clear:both;" /> </div></div>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}}||{{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|{{{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta}} }}}} }}<hr class="rulerdocumentation hintergrundfarbe6" style="margin:1em 0.5em; height:0.7ex; " /></onlyinclude> 184 2011-01-05T15:56:40Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki {{Tausendfach verwendet}}<onlyinclude><hr class="rulerdocumentation hintergrundfarbe6" style="margin:1em 0.5em; height:0.7ex; " /> {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:0}}|<strong class="error">Achtung: Die {{Vorlage|Dokumentation}} wird im Artikelnamensraum verwendet. Wahrscheinlich fehlt <code>&lt;noinclude&gt;</code> in einer eingebundenen Vorlage oder die Kapselung ist fehlerhaft. Bitte {{Bearbeiten|text=entferne diesen Fehler}}.</strong>| <div id="framedocumentation"><div class="rahmenfarbe1" style="margin-bottom:0.5em; padding:0.5em; padding-top:0; clear:left; border-style:solid;" id="Vorlage_Dokumentation"> <div style="float:right; clear:left;">[[Datei:Information icon.svg|frameless|18px|link=#Dokumentation.Info|Informationen zu dieser Dokumentation|alt=]]</div> {{Überschriftensimulation 4|1=<span class="editsection">&#x5b;<span class="plainlinks">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]</span>&#x5d;</span> Dokumentation}} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Doku| {{{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku}} <br /><hr style="border:none; height:0.7ex; clear:both;" /> {{{!}} {{Bausteindesign5}} {{!}} Bei Fragen zu dieser [[Hilfe:Vorlagen|Vorlage]] kannst Du Dich an die [[Wikipedia:WikiProjekt Vorlagen/Werkstatt|Vorlagenwerkstatt]] wenden. {{!}}} {{{!}} cellspacing="8" cellpadding="0" class="plainlinks" style="background:transparent; margin: 2px 0;" id="Dokumentation.Info" {{!}} style="position:relative; width:35px; vertical-align:top;" {{!}} [[Datei:Information icon.svg|30px|Information|alt=]] {{!}} style="width: 100%;" {{!}} <ul> <li>{{#switch:{{ParmPart|1|{{{nr|<noinclude>10</noinclude>}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. | #default = {{Verwendung}} der Vorlage in Artikeln. }}</li> <li>{{#switch:{{ParmPart|2|{{{nr|<noinclude>10</noinclude>}}}}} | 1 = {{Verwendung|ns=1}} der Vorlage auf Artikel-Diskussionsseiten. | 2 = {{Verwendung|ns=2}} der Vorlage auf Benutzerseiten. | 3 = {{Verwendung|ns=3}} der Vorlage auf Benutzer-Diskussionsseiten. | 4 = {{Verwendung|ns=4}} der Vorlage auf Systemseiten. | 6 = {{Verwendung|ns=6}} der Vorlage bei Dateien. | 10 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagenseiten. | 11 = {{Verwendung|ns=10}} der Vorlage auf Vorlagen-Diskussionsseiten. | 14 = {{Verwendung|ns=14}} der Vorlage auf Kategorieseiten. }}</li> <li> Diese Dokumentation befindet sich [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|auf einer eingebundenen Unterseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Doku|/[[{{TALKPAGENAME}}/Doku|Diskussion]]}})</span>.</li> {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung | <li>Für diese Vorlage existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|Wartungsseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Wartung|/[[{{TALKPAGENAME}}/Wartung|Diskussion]]}})</span> zum Auffinden fehlerhafter Verwendungen.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-wartung}} Wartungsseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/XML | <li>Für diese Vorlage existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/XML|XML-Beschreibung]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/XML|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/XML|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/XML|/[[{{TALKPAGENAME}}/XML|Diskussion]]}})</span> für den [[Wikipedia:Helferlein/Vorlagen-Meister|Vorlagenmeister]].</li> | <li class="metadata metadata-label">[[tools:~revolus/Template-Master/index.de.html|XML-Beschreibungsseite erstellen]]</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test | <li>Anwendungsbeispiele und Funktionalitätsprüfungen befinden sich auf der [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|Testseite]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Test|/[[{{TALKPAGENAME}}/Test|Diskussion]]}})</span>.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck | <li>Es existiert eine spezielle [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|Druckversion]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Druck|/[[{{TALKPAGENAME}}/Druck|Diskussion]]}})</span> für die [[Hilfe:Buchfunktion|Buchfunktion]].</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Druck|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-druck}} Druckversion erstellen].</li> }} {{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta | <li>Die Metadaten ([[Hilfe:Kategorien|Kategorien]] und [[Hilfe:Internationalisierung|Interwikis]]) {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}} | in [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta]] werden '''nicht''' eingebunden, weil sich die Vorlage im [[Hilfe:Benutzernamensraum|Benutzernamensraum]] befindet | werden [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|von einer Unterseite eingebunden]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Meta|/[[{{TALKPAGENAME}}/Meta|Diskussion]]}})</span> }}.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen].</li> }} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice | <li>Es existiert eine [[{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|Editnotice]]<span class="metadata metadata-inline"> ([{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit}} Bearbeiten]/[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=history}} Versionen]{{#ifexist:{{TALKPAGENAME}}/Editnotice|/[[{{TALKPAGENAME}}/Editnotic|Diskussion]]}})</span>, die beim Bearbeiten angezeigt wird.</li> | <li class="metadata metadata-label">[{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Editnotice|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-editnotice}} Editnotice erstellen].</li> }} <li>[[Spezial:Präfixindex/{{SUBJECTPAGENAME}}/|Liste der Unterseiten]].</li> </ul> {{!}}} |<span class="plainlinks" style="font-size:150%;"> * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Doku|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-doku}} Dokumentation erstellen] {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-meta}} Metadatenseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Test|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-test}} Test-/Beispielseite erstellen]}} {{#ifexist:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|| * [{{fullurl:{{SUBJECTPAGENAME}}/Wartung|action=edit&preload=Vorlage:Dokumentation/preload-wartung}} Wartungsseite erstellen]}} </span>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:10}}| [[Kategorie:Vorlage:nicht dokumentiert|{{PAGENAME}}]] }} }} <div style="clear:both;" /> </div></div>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:2}}||{{#ifexist: {{SUBJECTPAGENAME}}/Meta|{{{{SUBJECTPAGENAME}}/Meta}} }}}} }}<hr class="rulerdocumentation hintergrundfarbe6" style="margin:1em 0.5em; height:0.7ex; " /></onlyinclude> 10 338 1157 1156 2013-02-08T20:52:31Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{| {{Bausteindesign3}} | [[Datei:Information icon.svg|30px|Dokumentations-Unterseite|link=]] | style="width: 100%;" | Diese Seite ist <includeonly>{{#ifeq:{{#titleparts:{{PAGENAME}}|1|-1}}|Doku|</includeonly>die <includeonly>|eine}}</includeonly> Dokumentations-Unterseite der {{#ifeq:{{NAMESPACENUMBER}}|2|Seite}} '''[[{{#rel2abs:{{FULLPAGENAME}}/..}}]]'''. |}<includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:10}}| [[Kategorie:Vorlage:nur Dokumentation|{{PAGENAME}}]] <!--Wartung-->{{#ifexist:{{#rel2abs:{{FULLPAGENAME}}/..}}|<!--nichts-->| <span style="display:none;">[[Vorlage:Dokumentation/Wartung/Doku verwaist]]</span> }}}}</includeonly></onlyinclude> [[Kategorie:Vorlage:für Vorlagen| {{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlage:mit Kategorisierung]]<noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1156 2013-01-04T07:57:49Z Karl Kirst 2 - Sprachversionen wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{| {{Bausteindesign3}} | [[Datei:Information icon.svg|30px|Dokumentations-Unterseite|link=]] | style="width: 100%;" | Diese Seite ist <includeonly>{{#ifeq:{{#titleparts:{{PAGENAME}}|1|-1}}|Doku|</includeonly>die <includeonly>|eine}}</includeonly> 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padding-bottom: 1em; font-size: 90%;"> * [[Hilfe:Spickzettel|Spickzettel]] * [[Hilfe:Mentoren|Mentoren]] * [[ZUM-Wiki:Hilfe|Hilfe]] - im Überblick </div> <div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-top:1px solid #aaaaaa;"> * [[Hilfe:MediaWiki|Handbuch zur Software]] </div></div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]] [[Kategorie:Vorlage:Navigationsblöcke|Erste Hilfe]]</noinclude> 10 391 1329 1328 2014-01-08T18:51:15Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki <div style="float:right;background:#ffffff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:13em"> <div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-bottom:1px solid #aaaaaa;"> [[Datei:ZUM-Logo.png|right|25px]]'''[[Hilfe:Erweiterungen|Seiten bearbeiten:<br>Erweiterungen]]''' </div> <div style="background:#fff;padding: .5em; padding-bottom: 1em; font-size: 90%;"> * [[Hilfe:CategoryTree|CategoryTree (Kategorienbaum)]] * [[Hilfe:GeoGebra|GeoGebra]] * [[Hilfe:Graphviz|Graphviz]] * [[Hilfe:ImageMap|ImageMap]] * [[Hilfe:LaTeX|LaTeX]] * [[Hilfe:Notensatz|Notensatz]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz]] * [[Hilfe:Schach|Schach]] * [[Hilfe:Timeline|Timeline]] * [[Hilfe:Twitter|Twitter]] * [[Hilfe:Widgets|Widgets]] ** [[Hilfe:SlideShare|SlideShare]] : ''[[Hilfe:Erweiterungen|... mehr]]'' </div> <div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-top:1px solid #aaaaaa;"> * [[Hilfe:MediaWiki|Handbuch zur Software]] </div></div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Navigationsblöcke|.]]</noinclude> 893e9aaa29bcbf357645ab27f96adf45387600e1 1328 2014-01-07T19:58:02Z Karl Kirst 2 Widgets wikitext text/x-wiki <div style="float:right;background:#ffffff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:13em"> <div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-bottom:1px solid #aaaaaa;"> [[Datei:ZUM-Logo.png|right|25px]]'''[[Hilfe:Erweiterungen|Seiten bearbeiten:<br>Erweiterungen]]''' </div> <div style="background:#fff;padding: .5em; padding-bottom: 1em; font-size: 90%;"> * [[Hilfe:CategoryTree|CategoryTree (Kategorienbaum)]] * [[Hilfe:GeoGebra|GeoGebra]] * [[Hilfe:Graphviz|Graphviz]] * [[Hilfe:ImageMap|ImageMap]] * [[Hilfe:LaTeX|LaTeX]] * [[Hilfe:Notensatz|Notensatz]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz]] * [[Hilfe:Schach|Schach]] * [[Hilfe:Timeline|Timeline]] * [[Hilfe:Twitter|Twitter]] * [[Hilfe:Widgets|Widgets]] ** [[Hilfe:SlideShare|SlideShare]] : ''[[Hilfe:Erweiterungen|... mehr]]'' </div> <div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-top:1px solid #aaaaaa;"> * [[Hilfe:MediaWiki|Handbuch zur Software]] </div></div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Navigationsblöcke|.]]</noinclude> 893e9aaa29bcbf357645ab27f96adf45387600e1 10 78 189 188 2012-02-01T16:52:59Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#9acd32}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps edu science.png|30px]] &nbsp; Experiment </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Experiment|<Versuchsbeschreibung>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage ist bis auf den Titel "Experiment" (statt "Versuch") mit der [[Vorlage:Versuch]] identisch. <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Experiment]]</noinclude> 188 2009-09-14T19:02:07Z Karl Kirst 2 Hinweis wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#9acd32}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps edu science.png|30px]] &nbsp; Experiment </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Experiment|<Versuchsbeschreibung>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage ist bis auf den Titel "Experiment" (statt "Versuch") mit der [[Vorlage:Versuch]] identisch. <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Experiment]]</noinclude> 10 371 1388 1387 2014-02-08T21:27:47Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <noinclude>This page was automatically created. It serves as an anchor page for all '''[[Special:WhatLinksHere/Template:Extension_DPL|invocations]]''' of [http://mediawiki.org/wiki/Extension:DynamicPageList Extension:DynamicPageList (DPL)].</noinclude> e9d9e47b855388c75d49138192d12f5e15d748c2 1387 1232 2013-11-30T14:52:25Z Janboehme 0 Vorlage:Extension DPL wikitext text/x-wiki <noinclude>This page was automatically created. It serves as an anchor page for all '''[[Special:WhatLinksHere/Template:Extension_DPL|invocations]]''' of [http://mediawiki.org/wiki/Extension:DynamicPageList Extension:DynamicPageList (DPL)].</noinclude> e9d9e47b855388c75d49138192d12f5e15d748c2 1232 2013-03-05T12:29:34Z Dennodenno 82 Vorlage:Extension DPL wikitext text/x-wiki <noinclude>This page was automatically created. It serves as an anchor page for all '''[[Special:WhatLinksHere/Template:Extension_DPL|invocations]]''' of [http://mediawiki.org/wiki/Extension:DynamicPageList Extension:DynamicPageList (DPL)].</noinclude> 10 79 191 190 2012-02-01T16:53:00Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#cc0000}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Datei:Fragezeichen.gif|25px]] &nbsp; Frage </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Frage|<Frage(stellung)>}}</pre> ;Vergleiche: [[Vorlage:Antwort]] <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Frage]]</noinclude> 190 2010-01-04T08:56:15Z Karl Kirst 2 weißer Hintergrund wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#cc0000}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Datei:Fragezeichen.gif|25px]] &nbsp; Frage </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Frage|<Frage(stellung)>}}</pre> ;Vergleiche: [[Vorlage:Antwort]] <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Frage]]</noinclude> 10 80 193 192 2012-02-01T16:53:00Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Kasten mit kleinem Bild links farbig| BORDER = lightgrey| BACKGROUND = #c6d745| BREITE =100%| INHALT = {{{1}}}| HINTERGRUND = #ececec| BILD = Mathematik-digital Pfeil-3d.png| ÜBERSCHRIFT = Grundwissen| }}<includeonly> [[Kategorie:Lernpfad für Mathematik]] [[Kategorie:Grundwissen Mathematik]] </includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen|Grundwissen-M]] ;Das schreibt man: <pre>{{Grundwissen-M|<text>}}</pre> ;Hinweise: # Mit dem Einfügen dieser Vorlage in einen Artikel wird dieser auch der [[:Kategorie:Lernpfad für Mathematik]] und der [[:Kategorie:Grundwissen Mathematik]] zugeordnet. 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A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#BEF28C}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; <!--width: {{{Breite|100%}}}; -->background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps edu miscellaneous.png|30px]] &nbsp; Unterrichtsidee </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <pre>{{Idee|<Text der Unterrichtsidee>}}</pre><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Idee]] ;Hinweis: Wie [[Vorlage:Idee]], aber die Breite der Vorlage passt sich dem zur Verfügung stehenden Platz an. 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Außerdem ist beim Hochladen einer Datei sichergestellt, das alle relevanten Informationen genannt werden, da diese Vorlage als "Checkliste" dienen kann. Ein weiterere Vorteil dieser Vorlage ist, dass eine automatische Auswertung der Informationen – beispielsweise durch [[WP:BOT|Bots]] – möglich ist. == Verwendung == {{Information/Verwendung}} <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1084 207 2012-10-07T21:47:12Z Karl Kirst 2 Kategorie:Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> Diese [[Hilfe:Vorlagen|Vorlage]] wird auf Bildbeschreibungsseiten verwendet, um ihnen ein einheitliches Layout zugeben, außerdem ist durch diese Vorlage eine eindeutige Zuordnung der Informationen zu den einzelnen Stichpunkten gegeben. Außerdem ist beim Hochladen einer Datei sichergestellt, das alle relevanten Informationen genannt werden, da diese Vorlage als "Checkliste" dienen kann. Ein weiterere Vorteil dieser Vorlage ist, dass eine automatische Auswertung der Informationen – beispielsweise durch [[WP:BOT|Bots]] – möglich ist. == Verwendung == {{Information/Verwendung}} <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 207 206 2012-02-01T16:53:01Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> Diese [[Hilfe:Vorlagen|Vorlage]] wird auf Bildbeschreibungsseiten verwendet, um ihnen ein einheitliches Layout zugeben, außerdem ist durch diese Vorlage eine eindeutige Zuordnung der Informationen zu den einzelnen Stichpunkten gegeben. Außerdem ist beim Hochladen einer Datei sichergestellt, das alle relevanten Informationen genannt werden, da diese Vorlage als "Checkliste" dienen kann. Ein weiterer Vorteil dieser Vorlage ist, dass eine automatische Auswertung der Informationen – beispielsweise durch [[WP:BOT|Bots]] – möglich ist. == Verwendung == {{Information/Verwendung}} 206 2011-12-03T23:32:34Z A.Burgermeister 1 typo wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> Diese [[Hilfe:Vorlagen|Vorlage]] wird auf Bildbeschreibungsseiten verwendet, um ihnen ein einheitliches Layout zugeben, außerdem ist durch diese Vorlage eine eindeutige Zuordnung der Informationen zu den einzelnen Stichpunkten gegeben. Außerdem ist beim Hochladen einer Datei sichergestellt, das alle relevanten Informationen genannt werden, da diese Vorlage als "Checkliste" dienen kann. Ein weiterer Vorteil dieser Vorlage ist, dass eine automatische Auswertung der Informationen – beispielsweise durch [[WP:BOT|Bots]] – möglich ist. == Verwendung == {{Information/Verwendung}} 10 88 1087 1086 2013-02-08T20:52:27Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Metaseite}} </noinclude><includeonly> [[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder]] </includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1086 209 2012-10-07T21:47:33Z Karl Kirst 2 Kategorie:Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Metaseite}} </noinclude><includeonly> [[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder]] </includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 209 208 2012-02-01T16:53:01Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Metaseite}} </noinclude><includeonly> [[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder]] </includeonly> 208 2011-01-06T00:29:06Z Karl Kirst 2 - Sprachversionen wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Metaseite}} </noinclude><includeonly> [[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder]] </includeonly> 10 89 1089 1088 2013-02-08T20:52:27Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> {| {{Bausteindesign11}} |- | width="20%" | <small><pre><nowiki> {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}</nowiki></pre></small> | width="80%" | * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? (Was ist auf dem Foto zu sehen und wo wurde es aufgenommen?) * '''Quelle''': Woher stammt die Datei, bzw. das was die Datei zeigt?<ref>Anm. zur Quelle: Werden Bilder mit einem Graphikprogramm ab- oder nachgezeichnet, so muss auch die Quelle des Ursprungsbildes angegeben werden.</ref> (z. B. eine URL oder „selbst fotografiert“) * '''Urheber''': Wer hat sie erstellt, bzw. wer hat den Inhalt angefertigt?<ref>Anm. zum Urheber: Bitte beachte, dass man durch Abzeichnen oder Fotografieren eines urheberrechtlich geschützten Gegenstandes in der Regel kein Urheberrecht erwirbt. Daher ist in einem solchen Fall die Genehmigung desjenigen einzuholen, der das Urheberrecht an dem Ursprungsgegenstand besitzt. Dazu bitte die Seite [[Wikipedia:Bildrechte|Bildrechte]] lesen.</ref> (wenn du Urheber bist, deinen Benutzernamen eintragen oder mit <nowiki>~~~</nowiki> signieren) * '''Datum''': Wann ist die Datei entstanden und falls zutreffend wann wurde sie erstveröffentlicht? * '''Genehmigung''' ''(nur ausfüllen, wenn du nicht der Urheber bist, ansonsten frei lassen)'': Woher weißt du, dass du die Datei überhaupt benutzen darfst? Hat es dir der Urheber explizit erlaubt? Leite die Erlaubnis unbedingt zusätzlich an [mailto:permissions-de@wikimedia.org?subject=Upload-Formular permissions-de@wikimedia.org] weiter und vergiss dabei bitte nicht, den Dateinamen zu nennen! * '''Andere Versionen''' ''(nur ausfüllen, wenn andere Versionen hochgeladen wurden, ansonsten frei lassen)'': Wie lautet der Name für eine andere Version dieser Datei? * '''Anmerkungen''' ''(nur ausfüllen, wenn du etwas anmerken willst, ansonsten frei lassen)'': Sonstige Anmerkungen |} <references /> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1088 409 2012-10-07T21:47:53Z Karl Kirst 2 Kategorie:Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> {| {{Bausteindesign11}} |- | width="20%" | <small><pre><nowiki> {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}</nowiki></pre></small> | width="80%" | * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? (Was ist auf dem Foto zu sehen und wo wurde es aufgenommen?) * '''Quelle''': Woher stammt die Datei, bzw. das was die Datei zeigt?<ref>Anm. zur Quelle: Werden Bilder mit einem Graphikprogramm ab- oder nachgezeichnet, so muss auch die Quelle des Ursprungsbildes angegeben werden.</ref> (z. B. eine URL oder „selbst fotografiert“) * '''Urheber''': Wer hat sie erstellt, bzw. wer hat den Inhalt angefertigt?<ref>Anm. zum Urheber: Bitte beachte, dass man durch Abzeichnen oder Fotografieren eines urheberrechtlich geschützten Gegenstandes in der Regel kein Urheberrecht erwirbt. Daher ist in einem solchen Fall die Genehmigung desjenigen einzuholen, der das Urheberrecht an dem Ursprungsgegenstand besitzt. Dazu bitte die Seite [[Wikipedia:Bildrechte|Bildrechte]] lesen.</ref> (wenn du Urheber bist, deinen Benutzernamen eintragen oder mit <nowiki>~~~</nowiki> signieren) * '''Datum''': Wann ist die Datei entstanden und falls zutreffend wann wurde sie erstveröffentlicht? * '''Genehmigung''' ''(nur ausfüllen, wenn du nicht der Urheber bist, ansonsten frei lassen)'': Woher weißt du, dass du die Datei überhaupt benutzen darfst? Hat es dir der Urheber explizit erlaubt? Leite die Erlaubnis unbedingt zusätzlich an [mailto:permissions-de@wikimedia.org?subject=Upload-Formular permissions-de@wikimedia.org] weiter und vergiss dabei bitte nicht, den Dateinamen zu nennen! * '''Andere Versionen''' ''(nur ausfüllen, wenn andere Versionen hochgeladen wurden, ansonsten frei lassen)'': Wie lautet der Name für eine andere Version dieser Datei? * '''Anmerkungen''' ''(nur ausfüllen, wenn du etwas anmerken willst, ansonsten frei lassen)'': Sonstige Anmerkungen |} <references /> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 409 211 2012-02-01T17:15:05Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> {| {{Bausteindesign11}} |- | width="20%" | <small><pre><nowiki> {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}</nowiki></pre></small> | width="80%" | * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? (Was ist auf dem Foto zu sehen und wo wurde es aufgenommen?) * '''Quelle''': Woher stammt die Datei, bzw. das was die Datei zeigt?<ref>Anm. zur Quelle: Werden Bilder mit einem Graphikprogramm ab- oder nachgezeichnet, so muss auch die Quelle des Ursrpungsbildes angegeben werden.</ref> (z. B. eine URL oder „selbst fotografiert“) * '''Urheber''': Wer hat sie erstellt, bzw. wer hat den Inhalt angefertigt?<ref>Anm. zum Urheber: Bitte beachte, dass man durch Abzeichnen oder Fotografieren eines urheberrechtlich geschützten Gegenstandes in der Regel kein Urheberrecht erwirbt. Daher ist in einem solchen Fall die Genehmigung desjenigen einzuholen, der das Urheberrecht an dem Ursprungsgegenstand besitzt. Dazu bitte die Seite [[Wikipedia:Bildrechte|Bildrechte]] lesen.</ref> (wenn du Urheber bist, deinen Benutzernamen eintragen oder mit <nowiki>~~~</nowiki> signieren) * '''Datum''': Wann ist die Datei entstanden und falls zutreffend wann wurde sie erstveröffentlicht? * '''Genehmigung''' ''(nur ausfüllen, wenn du nicht der Urheber bist, ansonsten frei lassen)'': Woher weißt du, dass du die Datei überhaupt benutzen darfst? Hat es dir der Urheber explizit erlaubt? Leite die Erlaubnis unbedingt zusätzlich an [mailto:permissions-de@wikimedia.org?subject=Upload-Formular permissions-de@wikimedia.org] weiter und vergiss dabei bitte nicht, den Dateinamen zu nennen! * '''Andere Versionen''' ''(nur ausfüllen, wenn andere Versionen hochgeladen wurden, ansonsten frei lassen)'': Wie lautet der Name für eine andere Version dieser Datei? * '''Anmerkungen''' ''(nur ausfüllen, wenn du etwas anmerken willst, ansonsten frei lassen)'': Sonstige Anmerkungen |} <references /> 211 210 2012-02-01T16:53:01Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> {| {{Bausteindesign11}} |- | width="20%" | <small><pre><nowiki> {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}</nowiki></pre></small> | width="80%" | * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? (Was ist auf dem Foto zu sehen und wo wurde es aufgenommen?) * '''Quelle''': Woher stammt die Datei, bzw. das was die Datei zeigt?<ref>Anm. zur Quelle: Werden Bilder mit einem Graphikprogramm ab- oder nachgezeichnet, so muss auch die Quelle des Ursrpungsbildes angegeben werden.</ref> (z. B. eine URL oder „selbst fotografiert“) * '''Urheber''': Wer hat sie erstellt, bzw. wer hat den Inhalt angefertigt?<ref>Anm. zum Urheber: Bitte beachte, dass man durch Abzeichnen oder Fotografieren eines urheberrechtlich geschützten Gegenstandes in der Regel kein Urheberrecht erwirbt. Daher ist in einem solchen Fall die Genehmigung desjenigen einzuholen, der das Urheberrecht an dem Ursprungsgegenstand besitzt. Dazu bitte die Seite [[Wikipedia:Bildrechte|Bildrechte]] lesen.</ref> (wenn du Urheber bist, deinen Benutzernamen eintragen oder mit <nowiki>~~~</nowiki> signieren) * '''Datum''': Wann ist die Datei entstanden und falls zutreffend wann wurde sie erstveröffentlicht? * '''Genehmigung''' ''(nur ausfüllen, wenn du nicht der Urheber bist, ansonsten frei lassen)'': Woher weißt du, dass du die Datei überhaupt benutzen darfst? Hat es dir der Urheber explizit erlaubt? Leite die Erlaubnis unbedingt zusätzlich an [mailto:permissions-de@wikimedia.org?subject=Upload-Formular permissions-de@wikimedia.org] weiter und vergiss dabei bitte nicht, den Dateinamen zu nennen! * '''Andere Versionen''' ''(nur ausfüllen, wenn andere Versionen hochgeladen wurden, ansonsten frei lassen)'': Wie lautet der Name für eine andere Version dieser Datei? * '''Anmerkungen''' ''(nur ausfüllen, wenn du etwas anmerken willst, ansonsten frei lassen)'': Sonstige Anmerkungen |} <references /> 408 211 2011-01-18T19:00:18Z Leyo 0 Tippfehler wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> {| {{Bausteindesign11}} |- | width="20%" | <small><pre><nowiki> {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}</nowiki></pre></small> | width="80%" | * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? (Was ist auf dem Foto zu sehen und wo wurde es aufgenommen?) * '''Quelle''': Woher stammt die Datei, bzw. das was die Datei zeigt?<ref>Anm. zur Quelle: Werden Bilder mit einem Graphikprogramm ab- oder nachgezeichnet, so muss auch die Quelle des Ursprungsbildes angegeben werden.</ref> (z. B. eine URL oder „selbst fotografiert“) * '''Urheber''': Wer hat sie erstellt, bzw. wer hat den Inhalt angefertigt?<ref>Anm. zum Urheber: Bitte beachte, dass man durch Abzeichnen oder Fotografieren eines urheberrechtlich geschützten Gegenstandes in der Regel kein Urheberrecht erwirbt. Daher ist in einem solchen Fall die Genehmigung desjenigen einzuholen, der das Urheberrecht an dem Ursprungsgegenstand besitzt. 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Leite die Erlaubnis unbedingt zusätzlich an [mailto:permissions-de@wikimedia.org?subject=Upload-Formular permissions-de@wikimedia.org] weiter und vergiss dabei bitte nicht, den Dateinamen zu nennen! * '''Andere Versionen''' ''(nur ausfüllen, wenn andere Versionen hochgeladen wurden, ansonsten frei lassen)'': Wie lautet der Name für eine andere Version dieser Datei? * '''Anmerkungen''' ''(nur ausfüllen, wenn du etwas anmerken willst, ansonsten frei lassen)'': Sonstige Anmerkungen |} <references /> 210 2011-01-05T15:56:44Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Dokumentation/Dokuseite}}</noinclude> {| {{Bausteindesign11}} |- | width="20%" | <small><pre><nowiki> {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}</nowiki></pre></small> | width="80%" | * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? (Was ist auf dem Foto zu sehen und wo wurde es aufgenommen?) * '''Quelle''': Woher stammt die Datei, bzw. das was die Datei zeigt?<ref>Anm. zur Quelle: Werden Bilder mit einem Graphikprogramm ab- oder nachgezeichnet, so muss auch die Quelle des Ursrpungsbildes angegeben werden.</ref> (z. B. eine URL oder „selbst fotografiert“) * '''Urheber''': Wer hat sie erstellt, bzw. wer hat den Inhalt angefertigt?<ref>Anm. zum Urheber: Bitte beachte, dass man durch Abzeichnen oder Fotografieren eines urheberrechtlich geschützten Gegenstandes in der Regel kein Urheberrecht erwirbt. Daher ist in einem solchen Fall die Genehmigung desjenigen einzuholen, der das Urheberrecht an dem Ursprungsgegenstand besitzt. 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See also: [[Commons:Localization]].<!-- -->{{internationalization template doc/|{{{1|}}}|{{{2|}}}|{{{3|}}}|{{{4|}}}|{{{5|}}}|{{{6|}}}|{{{7|}}}|{{{8|}}}}}<noinclude> == Documentation == The above is what this template creates if the name of this page was [[Template:En]]. When transcluded, <nowiki>{{PAGENAME}}</nowiki> is used to generate the name of the language either by using {{x|language}} or a language specific template like the English one {{tl|language}}. It's a quick way to add documentation to {{c|internationalization templates}}, specifically the language ones like {{tl|es}} and {{tl|de}} that use {{tl|description}}. If a translation exists in the local language, this will be placed before the English version. See {{tl|fr}} for an example. Only the English and the local language's documentation (if exists) show up default. Up to 8 other translations can be added (these will be in the order specified underneath the local and English translations. For example: <nowiki>{{internationalization template doc|de|es|fr|ja|...}}</nowiki> Add the following immediately after the template; do not start a new line: &lt;noinclude>&#123;{internationalization template doc}&#125;&lt;/noinclude> This will also categorize the template into [[:Category:Language templates]] and Category:Commons-''ISO_code'' if it exists. The latter can be changed or removed using <code>localcat=</code> followed by one or more completely linked category, sortkey included, such as: : <code><nowiki>&lt;noinclude>&#123;{internationalization template doc|localcat=[[Category:Foo|{{PAGENAME}}]][[Category:Bar|{{PAGENAME}}]]}&#125;&lt;/noinclude></nowiki></code> == Adding translations == There's not much to translate here. Just copy and paste the following, translate the English parts, and save. It will create a template loop, but that's ok since they'll work right when called by this template (they shouldn't be used or viewed directly). There's no /lang page to edit. The '<code>inline</code>' must stay the same, the "yes" can be whatever. {{pre2|<nowiki> == Usage == * &lt;nowiki>{{&lt;/nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation''}} * &lt;nowiki>{{&lt;/nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation''|inline=yes}} Result: {{{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation}} or {{{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation|inline=yes}}. See also: [[Commons:Multilinguality]].&lt;noinclude> [[Category:Template documentation|{{PAGENAME}}]] &lt;/noinclude> </nowiki>}} ;Current translation subpages<nowiki>:</nowiki> {{Special:PrefixIndex/Template:Internationalization_template_doc/}} == See also == * {{x|language}} - Returns the local language name of a language code. * {{tl|language}} - Returns the translated language name of a language code. [[Category:Template namespace templates|{{PAGENAME}}]] [[Category:Internationalization templates|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 6ea9ebd7e12d7fa6f767df851bb8e1a48008522d 1360 2014-01-17T20:05:48Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki {{documentation subpage}} <includeonly>{{-}} {{#ifexist:Template:Internationalization template doc/{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{internationalization template doc/{{lc:{{PAGENAME}}}}}}}} {{{localcat|{{#ifexist:Category:Commons-{{lc:{{BASEPAGENAME}}}}|[[Category:Commons-{{lc:{{BASEPAGENAME}}}}|{{PAGENAME}}]]}}}}}[[Category:Language templates|{{PAGENAME}}]]</includeonly> <!-- Translators: Do not include the part above --> == Usage == * <nowiki>{{</nowiki><includeonly>{{lc:{{PAGENAME}}}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>|''{{language|<includeonly>{{lc:{{PAGENAME}}}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>}} translation''}} * <nowiki>{{</nowiki><includeonly>{{lc:{{PAGENAME}}}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>|1=''{{language|<includeonly>{{lc:{{PAGENAME}}}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>}} translation with links''}} * <nowiki>{{</nowiki><includeonly>{{lc:{{PAGENAME}}}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>|''{{language|<includeonly>{{lc:{{PAGENAME}}}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>}} translation''|inline=yes}} Result: {{{{lc:<includeonly>{{PAGENAME}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>}}|{{language|{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation}} or {{{{lc:<includeonly>{{PAGENAME}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>}}|{{language|{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation with links}} or {{{{lc:<includeonly>{{PAGENAME}}</includeonly><noinclude>en</noinclude>}}|{{language|{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation|inline=yes}}. See also: [[Commons:Localization]].<!-- -->{{internationalization template doc/|{{{1|}}}|{{{2|}}}|{{{3|}}}|{{{4|}}}|{{{5|}}}|{{{6|}}}|{{{7|}}}|{{{8|}}}}}<noinclude> == Documentation == The above is what this template creates if the name of this page was [[Template:En]]. When transcluded, <nowiki>{{PAGENAME}}</nowiki> is used to generate the name of the language either by using {{x|language}} or a language specific template like the English one {{tl|language}}. It's a quick way to add documentation to {{c|internationalization templates}}, specifically the language ones like {{tl|es}} and {{tl|de}} that use {{tl|description}}. If a translation exists in the local language, this will be placed before the English version. See {{tl|fr}} for an example. Only the English and the local language's documentation (if exists) show up default. Up to 8 other translations can be added (these will be in the order specified underneath the local and English translations. For example: <nowiki>{{internationalization template doc|de|es|fr|ja|...}}</nowiki> Add the following immediately after the template; do not start a new line: &lt;noinclude>&#123;{internationalization template doc}&#125;&lt;/noinclude> This will also categorize the template into [[:Category:Language templates]] and Category:Commons-''ISO_code'' if it exists. The latter can be changed or removed using <code>localcat=</code> followed by one or more completely linked category, sortkey included, such as: : <code><nowiki>&lt;noinclude>&#123;{internationalization template doc|localcat=[[Category:Foo|{{PAGENAME}}]][[Category:Bar|{{PAGENAME}}]]}&#125;&lt;/noinclude></nowiki></code> == Adding translations == There's not much to translate here. Just copy and paste the following, translate the English parts, and save. It will create a template loop, but that's ok since they'll work right when called by this template (they shouldn't be used or viewed directly). There's no /lang page to edit. The '<code>inline</code>' must stay the same, the "yes" can be whatever. {{pre2|<nowiki> == Usage == * &lt;nowiki>{{&lt;/nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation''}} * &lt;nowiki>{{&lt;/nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation''|inline=yes}} Result: {{{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation}} or {{{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} translation|inline=yes}}. See also: [[Commons:Multilinguality]].&lt;noinclude> [[Category:Template documentation|{{PAGENAME}}]] &lt;/noinclude> </nowiki>}} ;Current translation subpages<nowiki>:</nowiki> {{Special:PrefixIndex/Template:Internationalization_template_doc/}} == See also == * {{x|language}} - Returns the local language name of a language code. * {{tl|language}} - Returns the translated language name of a language code. [[Category:Template namespace templates|{{PAGENAME}}]] [[Category:Internationalization templates|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 6ea9ebd7e12d7fa6f767df851bb8e1a48008522d 10 404 1363 1362 2014-01-21T00:50:31Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki <!-- -->{{#if:{{{1|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{1}}}}}<!-- -->{{#if:{{{2|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{2}}}}}<!-- -->{{#if:{{{3|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{3}}}}}<!-- -->{{#if:{{{4|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{4}}}}}<!-- -->{{#if:{{{5|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{5}}}}}<!-- -->{{#if:{{{6|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{6}}}}}<!-- -->{{#if:{{{7|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{7}}}}}<!-- -->{{#if:{{{8|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{8}}}}}<!-- -->}}}}}}}}}}}}}}}}<noinclude> [[Category:Helper templates|{{PAGENAME}}]] </noinclude> d2f611ac923db5f6ed03ccd6140b5e3ba9ee45c6 1362 2014-01-17T20:05:48Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki <!-- -->{{#if:{{{1|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{1}}}}}<!-- -->{{#if:{{{2|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{2}}}}}<!-- -->{{#if:{{{3|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{3}}}}}<!-- -->{{#if:{{{4|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{4}}}}}<!-- -->{{#if:{{{5|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{5}}}}}<!-- -->{{#if:{{{6|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{6}}}}}<!-- -->{{#if:{{{7|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{7}}}}}<!-- -->{{#if:{{{8|}}}|<br /> {{Internationalization template doc/{{{8}}}}}<!-- -->}}}}}}}}}}}}}}}}<noinclude> [[Category:Helper templates|{{PAGENAME}}]] </noinclude> d2f611ac923db5f6ed03ccd6140b5e3ba9ee45c6 10 405 1365 1364 2014-01-21T00:50:31Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki == Verwendung == * <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung''}} * <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung''|inline=yes}} Resultat: <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung}} oder <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung|inline=y}}. Siehe auch: [[Commons:Sprache]].<noinclude> {{DEFAULTSORT:{{PAGENAME}}}} [[Category:Commons Vorlagen-de]] [[Category:Template documentation]] </noinclude> d15b8bedc11eb3e3cc9dfdfe318f627304ee3229 1364 2014-01-17T20:05:48Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki == Verwendung == * <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung''}} * <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|''{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung''|inline=yes}} Resultat: <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung}} oder <nowiki>{{</nowiki>{{lc:{{PAGENAME}}}}|{{#language:{{lc:{{PAGENAME}}}}}} Übersetzung|inline=y}}. Siehe auch: [[Commons:Sprache]].<noinclude> {{DEFAULTSORT:{{PAGENAME}}}} [[Category:Commons Vorlagen-de]] [[Category:Template documentation]] </noinclude> d15b8bedc11eb3e3cc9dfdfe318f627304ee3229 10 341 1165 1164 2013-02-08T20:52:32Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki [[Datei:Kas.png|20px|KAS-Wiki|verweis=:kas:]]<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{kas-wiki}}</pre> ;Achtung: Schreibe bitte mit Kleinbuchstaben. [[Kategorie:Vorlage:Logo-Link|KAS-Wiki]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1164 2013-01-08T00:48:12Z Karl Kirst 2 typo wikitext text/x-wiki [[Datei:Kas.png|20px|KAS-Wiki|verweis=:kas:]]<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{kas-wiki}}</pre> ;Achtung: Schreibe bitte mit Kleinbuchstaben. 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'''<Alt Gr> + <0>'''. * Den '''senkrechten Strich &#124;''' erzeugt man mit der Tastenkombination '''<Alt Gr> + <>>'''. ;Sonderzeichen und Gleichheitszeichen innerhalb von Vorlagen * Bitte '''''in den Kästen'' keine Vorlagen''' benutzen! * Das '''Gleichheitszeichen ''im Text''''' kann mit der Zeichenkombination '''& # 61 ;''' (ohne Leerzeichen) dargestellt werden. * Gibt es ein '''Gleichheitszeichen ''in einem Link''''', so muss man z.B. an der Position <nowiki>{{{2}}}</nowiki> das Folgende eingeben: '''<nowiki>2=<Link></nowiki>'''. * Der '''senkrechte Strich &#124;''' kann mit der Zeichenkombination '''& # 124 ;''' (ohne Leerzeichen) dargestellt werden.}} <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]</noinclude> 222 2008-10-02T09:01:29Z Ludwig-Dern-Schule 0 wikitext text/x-wiki {{Kasten ZUM-Wiki| ;Sonderzeichen schreiben * Die '''geschweiften Klammern { und }''' erzeugt man mit den Tastenkombinationen '''<Alt Gr> + <7>''' bzw. '''<Alt Gr> + <0>'''. * Den '''senkrechten Strich &#124;''' erzeugt man mit der Tastenkombination '''<Alt Gr> + <>>'''. ;Sonderzeichen und Gleichheitszeichen innerhalb von Vorlagen * Bitte '''''in den Kästen'' keine Vorlagen''' benutzen! * Das '''Gleichheitszeichen ''im Text''''' kann mit der Zeichenkombination '''& # 61 ;''' (ohne Leerzeichen) dargestellt werden. * Gibt es ein '''Gleichheitszeichen ''in einem Link''''', so muss man z.B. an der Position <nowiki>{{{2}}}</nowiki> das Folgende eingeben: '''<nowiki>2=<Link></nowiki>'''. * Der '''senkrechte Strich &#124;''' kann mit der Zeichenkombination '''& # 124 ;''' (ohne Leerzeichen) dargestellt werden.}} <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]</noinclude> 10 93 219 218 2012-02-01T16:53:01Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Vorlage:ZUM-Wiki]] 218 2006-11-04T18:24:54Z Karl Kirst 2 Vorlage:Kasten ZUM-Wiki wurde nach Vorlage:ZUM-Wiki verschoben: kürzer wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Vorlage:ZUM-Wiki]] 10 90 213 212 2012-02-01T16:53:01Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="border: 2px solid #dfdfdf; 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Auch wenn diese Datei unter einer {{wpde|Freie Lizenz|freien Lizenz}} steht oder nicht urheberrechtlich geschützt ist, kann ihre Verbreitung, Veränderung oder sonstige Verwertung durch besondere rechtliche Bestimmungen innerhalb und außerhalb des Urheberrechts eingeschränkt sein. |} </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]]{{Commons|Template:Nazi symbol}}</noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1179 1178 2013-02-08T20:52:33Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Kennzeichen_verfassungswidriger_Organisationen"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen ein Symbol dar, das von einer nach Artikel 21 Absatz 2 GG vom Bundesverfassungsgericht für verfassungswidrig erklärten Organisation verwendet wurde oder das nach seinem Inhalt dazu bestimmt ist, Bestrebungen einer ehemaligen nationalsozialistischen Organisation fortzusetzen, oder ähnelt einem solchen. 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[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo DHG]] </noinclude><includeonly> [[Kategorie:Deutschhaus-Gymnasium|{{PAGENAME}}]]</includeonly> 234 2011-02-05T21:21:34Z Karl Kirst 2 mehr wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #003397 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#B9CFFF" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:dhg.jpg|70px|center|Deutschhaus-Gymnasium]] | style="font-size:9pt;padding:4pt;line-height:1.25em" |[[Deutschhaus-Gymnasium| Deutschhaus-Gymnasium]] Würzburg <br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Deutschhaus-Gymnasium|... mehr DHG-Seiten]]''</div></small> |} </div><noinclude> [[Kategorie:Deutschhaus-Gymnasium]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo DHG]] </noinclude><includeonly> [[Kategorie:Deutschhaus-Gymnasium|{{PAGENAME}}]]</includeonly> 10 100 233 232 2012-02-01T16:53:02Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div 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style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin ein <br>'''[[Eltern|Elternteil]]''' bzw. '''erziehungsberechtigt'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Eltern|... mehr Eltern]]''</div></small> Bitte beachte die [[ZUM-Wiki:Hinweise für Eltern|Hinweise für Eltern]]. |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Eltern]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Eltern ohne Bild]]</noinclude> 236 2010-01-09T12:34:37Z Uptojoe 0 angelegt - bitte durchsehen - werde es im Forum vermerken wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin ein <br>'''[[Eltern|Elternteil]]''' bzw. '''erziehungsberechtigt'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Eltern|... mehr Eltern]]''</div></small> Bitte beachte die [[ZUM-Wiki:Hinweise für Eltern|Hinweise für Eltern]]. |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Eltern]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Eltern ohne Bild]]</noinclude> 10 106 245 244 2012-02-01T16:53:03Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #003397 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#B9CFFF" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:GG1.jpg|70px|center|Gymnasium Gerabronn]] | style="font-size:9pt;padding:4pt;line-height:1.25em" |Meine Schule: <br>[[Gymnasium Gerabronn]] <br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Gymnasium Gerabronn|... mehr GG-Seiten]]''</div></small> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Gymnasium Gerabronn|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Gymnasium Gerabronn]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo GG]] ;Das schreibt man: <pre>{{Kurzinfo-1|GG}}</pre> </noinclude> 244 2011-03-23T21:22:50Z Karl Kirst 2 Änderung 203841 von [[Benutzer:Karl Kirst|Karl Kirst]] ([[Spezial:Contributions/Karl Kirst|Beiträge]] | [[Benutzer Diskussion:Karl Kirst|Diskussion]]) wurde rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #003397 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#B9CFFF" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:GG1.jpg|70px|center|Gymnasium Gerabronn]] | style="font-size:9pt;padding:4pt;line-height:1.25em" |Meine Schule: <br>[[Gymnasium Gerabronn]] <br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Gymnasium Gerabronn|... mehr GG-Seiten]]''</div></small> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Gymnasium Gerabronn|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Gymnasium Gerabronn]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo GG]] ;Das schreibt man: <pre>{{Kurzinfo-1|GG}}</pre> </noinclude> 10 107 247 246 2012-02-01T16:53:03Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Mensch.png|40px|center|ICQ]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Dieser Benutzer ist per '''[[ICQ]]''' erreichbar. |} </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo ICQ]]</noinclude> 246 2008-10-02T05:49:48Z Ludwig-Dern-Schule 0 wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Mensch.png|40px|center|ICQ]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Dieser Benutzer ist per '''[[ICQ]]''' erreichbar. |} </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo ICQ]]</noinclude> 10 108 249 248 2012-02-01T16:53:03Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Kurzinfo Schule|BILD = Logo.jpg|SCHULLINK = [http://www.khs-mg.de/ Kath. Hauptschule Stadtmitte <br>Mönchengladbach]}}<noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo KHSM]]</noinclude> 248 2010-10-11T09:05:31Z Karl Kirst 2 kat wikitext text/x-wiki {{Kurzinfo Schule|BILD = Logo.jpg|SCHULLINK = [http://www.khs-mg.de/ Kath. Hauptschule Stadtmitte <br>Mönchengladbach]}}<noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo KHSM]]</noinclude> 10 109 251 250 2012-02-01T16:53:04Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Lempel.gif|40px|center|Lehrer]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin <br>'''[[Lehrer]]''' bzw. '''[[Lehrer|Lehrerin]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Lehrer|... mehr Lehrer und Lehrerinnen]]''</div></small> <small><center>Ich beachte die [[ZUM-Wiki:Hinweise für Lehrer|Hinweise für Lehrer/innen]].</center></small> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Lehrer]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Lehrer]]</noinclude> 250 2009-12-30T12:12:54Z Karl Kirst 2 Ich beachte wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Lempel.gif|40px|center|Lehrer]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin <br>'''[[Lehrer]]''' bzw. '''[[Lehrer|Lehrerin]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Lehrer|... mehr Lehrer und Lehrerinnen]]''</div></small> <small><center>Ich beachte die [[ZUM-Wiki:Hinweise für Lehrer|Hinweise für Lehrer/innen]].</center></small> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Lehrer]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Lehrer]]</noinclude> 10 110 253 252 2012-02-01T16:53:04Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin <br>'''[[Lehrer]]''' bzw. '''[[Lehrer|Lehrerin]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Lehrer|... mehr Lehrer und Lehrerinnen]]''</div></small> Bitte beachte die [[ZUM-Wiki:Hinweise für Lehrer|Hinweise für Lehrer]]. |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Lehrer]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Lehrer ohne Bild]]</noinclude> 252 2009-12-31T16:46:00Z Uptojoe 0 Bitte wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin <br>'''[[Lehrer]]''' bzw. '''[[Lehrer|Lehrerin]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Lehrer|... mehr Lehrer und Lehrerinnen]]''</div></small> Bitte beachte die [[ZUM-Wiki:Hinweise für Lehrer|Hinweise für Lehrer]]. |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Lehrer]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Lehrer ohne Bild]]</noinclude> 10 111 255 254 2012-02-01T16:53:04Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #ed8917 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#FFFFFF" |- | style="width:45px;height:45px;background-color:#ececec;text-align:center;font-size:14pt" | [[Datei:Mathematik-digital Logo4.png|45px|center|Pentagrammwiki]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em;color:#003366" | Mitarbeit bei '''[[mathematik-digital/Uni Koblenz-Landau|mathematik-digital]]''' Gruppe Landau <br>''<div align="right">[[:Kategorie:Mathematik-digital-MitarbeiterIn|mehr 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| style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diese Seite gehört zu den [[Materialien aus Mathematik-Seminaren]]. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo MMS]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren]]</includeonly> 10 113 259 258 2012-02-01T16:53:04Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Datei:MMS-S1.png|40px|center|MMS, Sek. 1]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diese Seite gehört zu den <br>[[Materialien aus Mathematik-Seminaren für die Sekundarstufe I]]. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo MMS/S1]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SI]]</includeonly> 258 2011-11-29T17:06:01Z Karl Kirst 2 br wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Datei:MMS-S1.png|40px|center|MMS, Sek. 1]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diese Seite gehört zu den <br>[[Materialien aus Mathematik-Seminaren für die Sekundarstufe I]]. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo MMS/S1]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SI]]</includeonly> 10 114 261 260 2012-02-01T16:53:05Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Datei:MMS-S2.png|40px|center|MMS, Sek. 2]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diese Seite gehört zu den <br>[[Materialien aus Mathematik-Seminaren für die Sekundarstufe II]]. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo MMS/S2]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SII]]</includeonly> 260 2011-11-29T17:06:20Z Karl Kirst 2 br wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Datei:MMS-S2.png|40px|center|MMS, Sek. 2]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diese Seite gehört zu den <br>[[Materialien aus Mathematik-Seminaren für die Sekundarstufe II]]. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo MMS/S2]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SII]]</includeonly> 10 115 263 262 2012-02-01T16:53:05Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Kurzinfo Schule|BILD = RMG.gif|SCHULLINK = [[Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt]]}} <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo RMG]]</noinclude> 262 2008-10-02T05:49:31Z Ludwig-Dern-Schule 0 wikitext text/x-wiki {{Kurzinfo Schule|BILD = RMG.gif|SCHULLINK = [[Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt]]}} <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo RMG]]</noinclude> 10 117 267 266 2012-02-01T16:53:05Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:{{{BILD}}}|40px|center|Schullogo]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Meine Schule: <br> '''{{{SCHULLINK}}}''' |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Kurzinfo Schule]]</noinclude> 266 2008-10-01T21:43:33Z Ludwig-Dern-Schule 0 wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:{{{BILD}}}|40px|center|Schullogo]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Meine Schule: <br> '''{{{SCHULLINK}}}''' |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Kurzinfo Schule]]</noinclude> 10 116 265 264 2012-02-01T16:53:05Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:SchwikiLogo.png|40px|center|Schüler]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin '''Schüler''' bzw. '''Schülerin'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Schüler|... mehr Schüler und Schülerinnen]]''</div></small> <small>Bitte beachte die '''[[ZUM-Wiki:Hinweise für Schüler|Hinweise für Schüler]]'''.</small> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Schüler|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Schüler]]</noinclude> 264 2009-12-30T05:23:36Z Uptojoe 0 defensiver & 2 x ICH sieht auch nicht so gut aus meine ich wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:SchwikiLogo.png|40px|center|Schüler]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin '''Schüler''' bzw. '''Schülerin'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer ist Schüler|... mehr Schüler und Schülerinnen]]''</div></small> <small>Bitte beachte die '''[[ZUM-Wiki:Hinweise für Schüler|Hinweise für Schüler]]'''.</small> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Benutzer ist Schüler|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Schüler]]</noinclude> 10 118 269 268 2012-02-01T16:53:05Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Sek1.png|40px|center|Sek I]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diesen Benutzer interessiert die '''[[Sekundarstufe I]]'''. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo SekI]]</noinclude> 268 2008-10-01T07:53:12Z Karl Kirst 2 alphabet. Einordnung wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Sek1.png|40px|center|Sek I]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diesen Benutzer interessiert die '''[[Sekundarstufe I]]'''. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo SekI]]</noinclude> 10 119 271 270 2012-02-01T16:53:06Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Sek2.png|40px|center|Sek II]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diesen Benutzer interessiert die '''[[Sekundarstufe II]]''' <br>('''[[Sekundarstufe II|gymnasiale Oberstufe]]'''). |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo SekII]]</noinclude> 270 2008-10-01T07:50:34Z Karl Kirst 2 alphabet. Einordnung wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Sek2.png|40px|center|Sek II]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Diesen Benutzer interessiert die '''[[Sekundarstufe II]]''' <br>('''[[Sekundarstufe II|gymnasiale Oberstufe]]'''). |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo SekII]]</noinclude> 10 120 273 272 2012-02-01T16:53:06Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Doktorhut.gif|30px|center|Schüler]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Dieser [[ZUM-Wiki:Benutzer|Benutzer]] ist '''Student''' bzw. '''Studentin'''. |} </div><noinclude> ;Syntax: Einfügen als Kurzinfo-Baustein, z.B. so: <nowiki>{{Kurzinfo-1|Student}}</nowiki> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Student]]</noinclude> 272 2008-10-01T08:02:29Z Karl Kirst 2 alphabet. Einordnung wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#c0ffc0" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Doktorhut.gif|30px|center|Schüler]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Dieser [[ZUM-Wiki:Benutzer|Benutzer]] ist '''Student''' bzw. '''Studentin'''. |} </div><noinclude> ;Syntax: Einfügen als Kurzinfo-Baustein, z.B. so: <nowiki>{{Kurzinfo-1|Student}}</nowiki> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Student]]</noinclude> 10 121 275 274 2012-02-01T16:53:06Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#FFDEAD" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Crystal 128 three.png|40px|center|Team]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin <br>'''[[ZUM-Wiki:Benutzer|aktive BenutzerIn]]''' im '''[[ZUM-Wiki:Über ZUM-Wiki|ZUM-Wiki]]'''. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Team]]</noinclude> 274 2008-10-01T08:03:56Z Karl Kirst 2 alphabet. Einordnung wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #50ff50 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#FFDEAD" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#fff;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Crystal 128 three.png|40px|center|Team]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Ich bin <br>'''[[ZUM-Wiki:Benutzer|aktive BenutzerIn]]''' im '''[[ZUM-Wiki:Über ZUM-Wiki|ZUM-Wiki]]'''. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Team]]</noinclude> 10 122 277 276 2012-02-01T16:53:07Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid blue 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#eeeeee" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#ececec;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Ruud_de_Moor.png|40px|center|D-NLl]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em;color:#003366" | Ich arbeite mit bei <br>'''[[Deutsch in den Niederlanden]]'''. <br>''<div align="right">[[:Kategorie:Deutsch in den Niederlanden (Mitarbeit)|mehr Mitarbeiter/innen ...]]''</div> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Deutsch in den Niederlanden (Mitarbeit)]]</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Team DaF/NL]]</noinclude> 276 2008-10-01T08:05:33Z Karl Kirst 2 alphabet. Einordnung wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid blue 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#eeeeee" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:#ececec;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:Ruud_de_Moor.png|40px|center|D-NLl]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em;color:#003366" | Ich arbeite mit bei <br>'''[[Deutsch in den Niederlanden]]'''. <br>''<div align="right">[[:Kategorie:Deutsch in den Niederlanden (Mitarbeit)|mehr Mitarbeiter/innen ...]]''</div> |} </div><includeonly>[[Kategorie:Deutsch in den Niederlanden (Mitarbeit)]]</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Team DaF/NL]]</noinclude> 10 123 279 278 2012-02-01T16:53:07Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #ed8917 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#FFFFFF" |- | style="width:45px;height:45px;background-color:#ececec;text-align:center;font-size:14pt" | [[Datei:Mathematik-digital Logo4.png|45px|center|Pentagrammwiki]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em;color:#003366" | Mitarbeit bei <br>'''[[mathematik-digital]]''' <br>''<div align="right">[[:Kategorie:Mathematik-digital-MitarbeiterIn|mehr MitarbeiterInnen ...]]''</div> |}</div><includeonly>[[Kategorie:Mathematik-digital-MitarbeiterIn]]</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Team M-digital]]</noinclude> 278 2011-01-04T16:04:58Z Maria Eirich 0 layout angepasst wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid #ed8917 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:#FFFFFF" |- | style="width:45px;height:45px;background-color:#ececec;text-align:center;font-size:14pt" | [[Datei:Mathematik-digital Logo4.png|45px|center|Pentagrammwiki]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em;color:#003366" | Mitarbeit bei <br>'''[[mathematik-digital]]''' <br>''<div align="right">[[:Kategorie:Mathematik-digital-MitarbeiterIn|mehr MitarbeiterInnen ...]]''</div> |}</div><includeonly>[[Kategorie:Mathematik-digital-MitarbeiterIn]]</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Team M-digital]]</noinclude> 10 421 1494 1493 2014-02-08T21:28:01Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {{Kurzinfodesign | ZUM-Wiki-Logo.png | 2= <br>Diese Seite enthält ein '''[[:Kategorie:Hilfe:Tutorial|Tutorial]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Hilfe:Tutorial|... mehr Tutorials]]''</div></small> }}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Kurzinfo Tutorial]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:Hilfe:Tutorial]]</includeonly> 64e68bb798c08dcbe0297a699a1d90e15eca1fd5 1493 2013-02-27T20:08:16Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „{{Kurzinfodesign | ZUM-Wiki-Logo.png | 2= <br>Diese Seite enthält ein '''[[:Kategorie:Hilfe:Tutorial|Tutorial]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:H…“ wikitext text/x-wiki {{Kurzinfodesign | ZUM-Wiki-Logo.png | 2= <br>Diese Seite enthält ein '''[[:Kategorie:Hilfe:Tutorial|Tutorial]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Hilfe:Tutorial|... mehr Tutorials]]''</div></small> }}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Kurzinfo Tutorial]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:Hilfe:Tutorial]]</includeonly> 64e68bb798c08dcbe0297a699a1d90e15eca1fd5 10 124 281 280 2012-02-01T16:53:07Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Kurzinfodesign | Lempel.gif |2= Ich bin im <br>'''[[Vorbereitungsdienst|Vorbereitungsdienst]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer im Vorbereitungsdienst|... mehr Benutzer im Vorbereitungsdienst]]''</div></small>}}<includeonly>[[Kategorie:Benutzer im Vorbereitungsdienst]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Vorbereitungsdienst]]</noinclude> 280 2009-09-07T07:18:52Z Karl Kirst 2 Kurzinfodesign; mehr Benutzer; kat wikitext text/x-wiki {{Kurzinfodesign | Lempel.gif |2= Ich bin im <br>'''[[Vorbereitungsdienst|Vorbereitungsdienst]]'''.<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:Benutzer im Vorbereitungsdienst|... mehr Benutzer im Vorbereitungsdienst]]''</div></small>}}<includeonly>[[Kategorie:Benutzer im Vorbereitungsdienst]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo Vorbereitungsdienst]]</noinclude> 10 125 283 282 2012-02-01T16:53:07Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid lightyellow 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:lightyellow" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:lightyellow;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:zum.gif|45px|center|ZUM-Mitglied]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Dieser Benutzer ist Mitglied in der <br>'''[[Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet|ZUM Internet e. V.]]'''<br><small><div align="right">''[[:Kategorie:ZUM-Mitglieder|... mehr ZUM-Mitglieder]]''</div></small> |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Kurzinfo ZUM]]</noinclude><includeonly>[[Kategorie:ZUM-Mitglieder]]</includeonly> 282 2012-01-24T19:13:29Z Karl Kirst 2 lightyellow wikitext text/x-wiki <div style="float:left;border:solid lightyellow 1px;margin:1px"> {| cellpadding="1" cellspacing="0" style="width:238px;background-color:lightyellow" |- | style="width:45px;height:50px;background-color:lightyellow;text-align:center;font-size:14pt" | [[Bild:zum.gif|45px|center|ZUM-Mitglied]] | style="font-size:8pt;padding:4pt;line-height:1.25em" | Dieser Benutzer ist Mitglied in der <br>'''[[Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet|ZUM Internet e. 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Verwende dieses Logo im ZUM-Wiki ausschließlich zu {{wpde|Enzyklopädie|enzyklopädischen Zwecken}} und ausschließlich in Artikeln mit einem Thema, das mit dem Logo im Zusammenhang steht. Stelle sicher, dass Du dabei keinen Rechtsverstoß begehst und beachte, dass neben Marken- und Namensrecht auch noch weitere Rechte bestehen können, an die Du Dich halten musst. |}<includeonly> [[Kategorie:LogoSH-Bild|{{PAGENAME}}]]</includeonly><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder|!]] </noinclude> 300 2008-02-02T10:04:57Z Karl Kirst 2 wp-Links wikitext text/x-wiki {| {{Lizenzdesign5}} | [[Bild:Orange trademark.svg|55px]] | Diese Datei zeigt ein {{wpde|Logografie|Logo}}, das dem {{wpd|Markenrecht}} und/oder dem {{wpd|Namensrecht}} unterliegt. Es ist '''gesetzlich verboten''', diese Rechte zu verletzen. Verwende dieses Logo im ZUM-Wiki ausschließlich zu {{wpde|Enzyklopädie|enzyklopädischen Zwecken}} und ausschließlich in Artikeln mit einem Thema, das mit dem Logo im Zusammenhang steht. 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<noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Lösung versteckt rechts]]</noinclude> 10 139 311 310 2012-02-01T16:53:09Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Information icon.svg|20px]] '''Lösung''' {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Lösungen|<Nummer der Lösung>|<Lösungstext>}}</pre> </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Lösungen]]</noinclude> 310 2009-06-12T12:29:50Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto;...“ wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Information icon.svg|20px]] '''Lösung''' {{{1}}} </div> {{{2}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Lösungen|<Nummer der Lösung>|<Lösungstext>}}</pre> </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Lösungen]]</noinclude> 10 427 1512 1511 2014-02-08T21:28:06Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#F9FAD1}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#FCFCE8}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Noia_64_apps_kontour.png|20px]] &nbsp; Meinung </div> {{{1}}} ---- <small>''Bitte ändere den Inhalt dieses Beitrags nicht. Denn er gibt eine [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen#Meinung|persönliche Meinung]] wieder.''</small> |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Meinung|<Text des Beitrags und Unterschrift>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage nimmt immer 100 % der Breite einer Artikelseite ein. :Eine flexible Seitenbreite hat die [[Vorlage:Meinung float]]. [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Meinung]]</noinclude> a0f6cb31a1a8e13536538a75860996d691e9db83 1511 2013-03-27T19:23:35Z Karl Kirst 2 10 px Rand wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#F9FAD1}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#FCFCE8}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Noia_64_apps_kontour.png|20px]] &nbsp; Meinung </div> {{{1}}} ---- <small>''Bitte ändere den Inhalt dieses Beitrags nicht. Denn er gibt eine [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen#Meinung|persönliche Meinung]] wieder.''</small> |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Meinung|<Text des Beitrags und Unterschrift>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage nimmt immer 100 % der Breite einer Artikelseite ein. :Eine flexible Seitenbreite hat die [[Vorlage:Meinung float]]. [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Meinung]]</noinclude> a0f6cb31a1a8e13536538a75860996d691e9db83 10 428 1514 1513 2014-02-08T21:28:06Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#F9FAD1}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#FCFCE8}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Noia_64_apps_kontour.png|20px]] &nbsp; '''Deine Meinung ist gefragt!''' </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <nowiki>{{Meinungsseite|<Text des Beitrags und Unterschrift>}}</nowiki></noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Meinungsseite]]</noinclude> becc35c5310fdec0753e1938ea73a32df413f472 1513 2009-03-22T12:44:36Z Karl Kirst 2 ohne Balken - mit breitem Farbrand links wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#F9FAD1}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#FCFCE8}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Noia_64_apps_kontour.png|20px]] &nbsp; '''Deine Meinung ist gefragt!''' </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <nowiki>{{Meinungsseite|<Text des Beitrags und Unterschrift>}}</nowiki></noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Meinungsseite]]</noinclude> becc35c5310fdec0753e1938ea73a32df413f472 10 429 1516 1515 2014-02-08T21:28:07Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <onlyinclude> <div style="border:none;margin:0 0 0 20pt;padding:4pt; width:{{{width}}}pt; min-width:120pt; float: right;" id="{{{titel|Titel}}}"> <div style="padding: 6pt; margin: 0 3pt 0 3pt;position:relative;top:18pt;color: #000000;font-size: 10pt;height: 10pt;background: #cccccc; background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, from(#eeeeee), to(#cccccc)); background: -moz-linear-gradient(top, #eeeeee, #cccccc);z-index:2; overflow:hidden;font-variant:small-caps;font-weight:bold;">{{{titel}}}</div> <div style="height: 2pt;background:#cfcfcf; border-left-width: 3pt; border-left-style: double; border-left-color: #cccccc; border-right-width: 3pt; border-right-style: double; border-right-color: #cccccc; padding: 0pt; margin: 0 3pt 0 3pt;position:relative;top:18pt;z-index:2;"></div> <div style="position:relative;top:-20pt;color:#000000;background:#ffffff; border: 3pt double #cfcfcf; padding: 15pt; margin: 0pt;z-index:1;border-top-right-radius:10pt;-moz-border-radius-topright:10pt;-webkit-border-top-right-radius:10pt;border-bottom-left-radius:10pt;-moz-border-radius-bottomleft:10pt;-webkit-border-bottom-left-radius:10pt;box-shadow: 3px 3px 4px #c0c0c0;-webkit-box-shadow: 3px 3px 4px #c0c0c0;-moz-box-shadow: 3px 3px 4px #c0c0c0;"> <div style="height:30pt;padding:0pt;margin:0pt;overflow: hidden;"></div> {{{inhalt}}} </div></div></onlyinclude><noinclude> === Benutzung === <b><u>Kopiervorlage</u></b> <code><pre>{{Vorlage:Merkbox |titel=Titel |width=Breite ohne Einheit |inhalt=Inhalt }}</pre></code> === Quelle === Diese Vorlage ist von [http://wiki.piratenpartei.de/Vorlage:Textbox wiki.piratenpartei.de] übernommen und angepasst. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merkbox]] </noinclude> 5519c2ae3dab2fe59d39dda84bb3b48e0b5c3f79 1515 2012-05-03T11:46:12Z Karl Kirst 2 Merkbox wikitext text/x-wiki <onlyinclude> <div style="border:none;margin:0 0 0 20pt;padding:4pt; width:{{{width}}}pt; min-width:120pt; float: right;" id="{{{titel|Titel}}}"> <div style="padding: 6pt; margin: 0 3pt 0 3pt;position:relative;top:18pt;color: #000000;font-size: 10pt;height: 10pt;background: #cccccc; background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, from(#eeeeee), to(#cccccc)); background: -moz-linear-gradient(top, #eeeeee, #cccccc);z-index:2; overflow:hidden;font-variant:small-caps;font-weight:bold;">{{{titel}}}</div> <div style="height: 2pt;background:#cfcfcf; border-left-width: 3pt; border-left-style: double; border-left-color: #cccccc; border-right-width: 3pt; border-right-style: double; border-right-color: #cccccc; padding: 0pt; margin: 0 3pt 0 3pt;position:relative;top:18pt;z-index:2;"></div> <div style="position:relative;top:-20pt;color:#000000;background:#ffffff; border: 3pt double #cfcfcf; padding: 15pt; margin: 0pt;z-index:1;border-top-right-radius:10pt;-moz-border-radius-topright:10pt;-webkit-border-top-right-radius:10pt;border-bottom-left-radius:10pt;-moz-border-radius-bottomleft:10pt;-webkit-border-bottom-left-radius:10pt;box-shadow: 3px 3px 4px #c0c0c0;-webkit-box-shadow: 3px 3px 4px #c0c0c0;-moz-box-shadow: 3px 3px 4px #c0c0c0;"> <div style="height:30pt;padding:0pt;margin:0pt;overflow: hidden;"></div> {{{inhalt}}} </div></div></onlyinclude><noinclude> === Benutzung === <b><u>Kopiervorlage</u></b> <code><pre>{{Vorlage:Merkbox |titel=Titel |width=Breite ohne Einheit |inhalt=Inhalt }}</pre></code> === Quelle === Diese Vorlage ist von [http://wiki.piratenpartei.de/Vorlage:Textbox wiki.piratenpartei.de] übernommen und angepasst. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merkbox]] </noinclude> 5519c2ae3dab2fe59d39dda84bb3b48e0b5c3f79 10 140 313 312 2012-02-01T16:53:10Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#ffd700}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps kig.png|30px]] &nbsp; Merke </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Merke|<Merktext>}}</pre> ;Hinweis: Die [[Vorlage:Merke float]] hat keine feste Seitenbreite und erlaubt umfließenden Text. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merke]]</noinclude> 312 2011-01-07T15:42:44Z Karl Kirst 2 Hinweise und Regeln wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#ffd700}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps kig.png|30px]] &nbsp; Merke </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Merke|<Merktext>}}</pre> ;Hinweis: Die [[Vorlage:Merke float]] hat keine feste Seitenbreite und erlaubt umfließenden Text. 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[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merke-M]]</noinclude> 41693e26d8559b1659670c7bac58d0137e5c3f91 317 316 2012-02-01T16:53:10Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#ca1321}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}; border-left: 10px solid {{{RandLinks|#ca1321}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}" |- | <div style="float:right; margin:0px; margin-top:5px">[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]</div> <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Merke:</div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Merke-M|<Merktext>}}</pre> ;Hinweis: Die [[Vorlage:Merke-M float]] hat keine feste Seitenbreite und erlaubt umfließenden Text. 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[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merke float]]</noinclude> 314 2011-01-07T15:55:41Z Karl Kirst 2 ohne float:left wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#ffd700}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps kig.png|30px]] &nbsp; Merke </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Merke float|<Merktext>}}</pre> ;Hinweis: Die [[Vorlage:Merke]] hat eine feste Seitenbreite (100 %) und erlaubt keinen umfließenden Text. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merke float]]</noinclude> 10 144 321 320 2012-02-01T16:53:10Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#ca1321}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}; border-left: 10px solid {{{RandLinks|#ca1321}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}" |- | <div style="float:right; margin:0px; margin-top:5px">[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]</div> <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Merke:</div> {{{MERK}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Merken|MERK=<Aufgabentext>}}</pre> </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merken]]</noinclude> 320 2009-04-02T20:49:59Z Karl Kirst 2 10px; Quellcode wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#ca1321}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}; border-left: 10px solid {{{RandLinks|#ca1321}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}" |- | <div style="float:right; margin:0px; margin-top:5px">[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]</div> <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Merke:</div> {{{MERK}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Merken|MERK=<Aufgabentext>}}</pre> </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merken]]</noinclude> 10 430 1520 1519 2014-02-08T21:28:07Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#ca1321}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}; border-left: 5px solid {{{RandLinks|#ca1321}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}" |- | <div style="float:right; margin:0px; margin-top:5px">[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]</div> <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Merke:</div> {{{MERK}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Merksatz|MERK=<Merktext>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merksatz]]</noinclude> b0b841abbc065549917009cb4de50f5167297c6d 1519 2011-12-15T23:23:00Z Karl Kirst 2 Syntax; kat wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#ca1321}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}; border-left: 5px solid {{{RandLinks|#ca1321}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}" |- | <div style="float:right; margin:0px; margin-top:5px">[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]</div> <div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Merke:</div> {{{MERK}}} |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Merksatz|MERK=<Merktext>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Merksatz]]</noinclude> b0b841abbc065549917009cb4de50f5167297c6d 10 146 325 324 2012-02-01T16:53:10Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <!--- Hinweis: Vorlage so nutzen: {{Methode|interner Link zur Methode}} ---> <div style="border: 1px solid #dfdfdf; background-color:#dfdfdf; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #dfdfdf;"></div> <div style="border:1px solid #dfdfdf; background-color:#FEFEFE; align:center; padding:7px;"> [[Bild:Vista-package settings.png|30px]]''' Methodenvorschlag:''''' {{{1}}} </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Methode]]</noinclude> 324 2010-12-27T10:14:13Z Karl Kirst 2 alphabet. Einordnung wikitext text/x-wiki <!--- Hinweis: Vorlage so nutzen: {{Methode|interner Link zur Methode}} ---> <div style="border: 1px solid #dfdfdf; background-color:#dfdfdf; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #dfdfdf;"></div> <div style="border:1px solid #dfdfdf; background-color:#FEFEFE; align:center; padding:7px;"> [[Bild:Vista-package settings.png|30px]]''' Methodenvorschlag:''''' {{{1}}} </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Methode]]</noinclude> 10 147 327 326 2012-02-01T16:53:11Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_NoCommons"> {| {{Lizenzdesign4}} | [[Bild:NoCommons.svg|55px|alt=|link=|Do not move this file to Wikimedia Commons without an individual review]] | Diese Datei ist möglicherweise [[Wikipedia:Nicht commonsfähig|nicht mit den Richtlinien von Wikimedia Commons]] kompatibel. Es sollte individuell geprüft werden, ob sie nach Wikimedia Commons verschoben werden darf. ----- <big>'''Do not transfer this file to Wikimedia Commons without an individual review!'''</big> |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|Datei|[[Kategorie:Datei:NoCommons]]}}</includeonly><noinclude> {{Dokumentation}} </noinclude> 326 2011-01-05T15:56:26Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_NoCommons"> {| {{Lizenzdesign4}} | [[Bild:NoCommons.svg|55px|alt=|link=|Do not move this file to Wikimedia Commons without an individual review]] | Diese Datei ist möglicherweise [[Wikipedia:Nicht commonsfähig|nicht mit den Richtlinien von Wikimedia Commons]] kompatibel. Es sollte individuell geprüft werden, ob sie nach Wikimedia Commons verschoben werden darf. ----- <big>'''Do not transfer this file to Wikimedia Commons without an individual review!'''</big> |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|Datei|[[Kategorie:Datei:NoCommons]]}}</includeonly><noinclude> {{Dokumentation}} </noinclude> 10 351 1458 1189 2014-02-08T21:27:54Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Benutzerbild"> {| {{Lizenzdesign4}} | [[Datei:NoCommons.svg|55px|This personal user image is requested not to be transferred to Wikimedia Commons.]] | Dieses Bild zeigt einen oder mehrere Benutzer dieses oder eines anderen Wikis. Der Hochlader der Datei bittet (nicht als lizenzrechtliche Bedingung, sondern als unverbindliche Bitte zu verstehen) darum, dass sie nicht auf Wikimedia Commons hochgeladen wird. ----- This image depicts one or more users of this or another wiki. 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This is not a required part of the licence but a non-binding personal request. |} </div>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:Benutzerbild|{{PAGENAME}}]]}}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Benutzer:Benutzerbild]]</noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1188 2013-01-08T19:04:37Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Benutzerbild"> {| {{Lizenzdesign4}} | [[Datei:NoCommons.svg|55px|This personal user image is requested not to be transferred to Wikimedia Commons.]] | Dieses Bild zeigt einen oder mehrere Benutzer dieses oder eines anderen Wikis. Der Hochlader der Datei bittet (nicht als lizenzrechtliche Bedingung, sondern als unverbindliche Bitte zu verstehen) darum, dass sie nicht auf Wikimedia Commons hochgeladen wird. ----- This image depicts one or more users of this or another wiki. 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Auch wenn diese Datei unter einer {{wpde|Freie Lizenz|freien Lizenz}} steht oder nicht urheberrechtlich geschützt ist, kann ihre Verbreitung, Veränderung oder sonstige Verwertung durch besondere rechtliche Bestimmungen innerhalb und außerhalb des Urheberrechts eingeschränkt sein. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]] </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1183 1182 2013-02-08T20:52:33Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Olympische_Ringe"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen das [http://bundesrecht.juris.de/olympschg/anlage_1_11.html olympische Emblem] (sog. {{wpde|Olympische Ringe}}) dar. 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Parameter: Linienfarbe, hexadezimal ohne '#' * 2. Parameter: Überschrifttext * 3. Parameter: Hintergrundfarbe, hexadezimal ohne '#', optional, Standard: durchsichtig * 4. Parameter: Schriftfarbe, hexadezimal ohne '#', optional, Standard: schwarz * 5. Parameter: Schriftgröße, in Prozent, optional, Standard: 120% === Beispiele === * <code><nowiki>{{Portal-head2|00a0cb|Überschrift ohne Hintergrundfarbe}}</nowiki></code> erzeugt {{Portal-head2|00a0cb|Überschrift ohne Hintergrund}} * <code><nowiki>{{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrundfarbe|afd2db}}</nowiki></code> erzeugt {{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrund|afd2db}} * <code><nowiki>{{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrund- und Schriftfarbe|00a0cb|FFFFFF}}</nowiki></code> erzeugt {{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrund|00a0cb|FFFFFF}} <!--[[Kategorie:Vorlage:Portal:|Head2]]--> [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Portal-head2]] </noinclude> 340a76d9dcd89ec02648589bb115915e74d0831c 1463 2009-05-11T13:40:45Z Karl Kirst 2 -kat wikitext text/x-wiki <includeonly><div style="padding:3px 3px 0px 3px; text-align: left; font-family: Gill Sans, Futura, sans-serif; font-size: {{#if:{{{5|}}}|#{{{5|}}}|120%}}; font-stretch: condensed; border-bottom: solid 1px #{{{1}}}; background-color: {{#if:{{{3|}}}|#{{{3|}}}|transparent}}; color: {{#if:{{{4|}}}|#{{{4|}}}|black}};">{{{2}}}</div></includeonly><noinclude> Diese Vorlage erzeugt Überschriften für Portale wie in [[Portal:Halbleiter]] == Anwendung == * 1. Parameter: Linienfarbe, hexadezimal ohne '#' * 2. Parameter: Überschrifttext * 3. Parameter: Hintergrundfarbe, hexadezimal ohne '#', optional, Standard: durchsichtig * 4. Parameter: Schriftfarbe, hexadezimal ohne '#', optional, Standard: schwarz * 5. Parameter: Schriftgröße, in Prozent, optional, Standard: 120% === Beispiele === * <code><nowiki>{{Portal-head2|00a0cb|Überschrift ohne Hintergrundfarbe}}</nowiki></code> erzeugt {{Portal-head2|00a0cb|Überschrift ohne Hintergrund}} * <code><nowiki>{{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrundfarbe|afd2db}}</nowiki></code> erzeugt {{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrund|afd2db}} * <code><nowiki>{{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrund- und Schriftfarbe|00a0cb|FFFFFF}}</nowiki></code> erzeugt {{Portal-head2|00a0cb|Überschrift mit Hintergrund|00a0cb|FFFFFF}} <!--[[Kategorie:Vorlage:Portal:|Head2]]--> [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Portal-head2]] </noinclude> 340a76d9dcd89ec02648589bb115915e74d0831c 10 149 331 330 2012-02-01T16:53:11Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <br> '''{{Hintergrund_grün|Das schreibt man:}}'''<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Quellcode}}</pre> ;Hinweise Der Quellcode selbst steht zwischen den pre-Tags: ;Syntax des pre-Tags <nowiki><pre></nowiki> Hierhin einfach den Text des Quellcodes kopieren. <nowiki></pre></nowiki> ;Ergebnis des pre-Tags <pre> Hierhin einfach den Text des Quellcodes kopieren. </pre> [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Quellcode]] [[Kategorie:Vorlage:Vorlagenbausteine|Quellcode]] </noinclude> 330 2009-09-06T09:26:40Z Karl Kirst 2 Änderung 151491 von [[Benutzer:Karl.Kirst|Karl.Kirst]] ([[Spezial:Contributions/Karl.Kirst|Beiträge]] | [[Benutzer Diskussion:Karl.Kirst|Diskussion]]) wurde rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki <br> '''{{Hintergrund_grün|Das schreibt man:}}'''<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Quellcode}}</pre> ;Hinweise Der Quellcode selbst steht zwischen den pre-Tags: ;Syntax des pre-Tags <nowiki><pre></nowiki> Hierhin einfach den Text des Quellcodes kopieren. <nowiki></pre></nowiki> ;Ergebnis des pre-Tags <pre> Hierhin einfach den Text des Quellcodes kopieren. </pre> [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|Quellcode]] [[Kategorie:Vorlage:Vorlagenbausteine|Quellcode]] </noinclude> 10 450 1580 1579 2014-02-08T21:50:26Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki [[Datei:RMG.jpg|20px|RMG-Wiki|verweis=:rmgi:]]<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{rmg-wiki}}</pre> ;Achtung: Schreibe bitte mit Kleinbuchstaben. [[Kategorie:Vorlage:Logo-Link|RMG-Wiki]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 0c9c1b9865d3ed9a8fb49b045c6377d118e0e346 1579 2013-03-28T18:24:16Z Karl Kirst 2 hat „[[Vorlage:Rmg-wiki]]“ nach „[[Vorlage:RMG-Wiki]]“ verschoben: normale Schreibweise wikitext text/x-wiki [[Datei:RMG.jpg|20px|RMG-Wiki|verweis=:rmgi:]]<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{rmg-wiki}}</pre> ;Achtung: Schreibe bitte mit Kleinbuchstaben. [[Kategorie:Vorlage:Logo-Link|RMG-Wiki]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 0c9c1b9865d3ed9a8fb49b045c6377d118e0e346 10 150 333 332 2012-02-01T16:53:11Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#87CEFF}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Rechenweg (Lösungsskizze)</div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Rechnung|1= <Rechenweg (Lösungsskizze)> }}</pre> ;Hinweis Die Eingabe "1=" ''(Parameter-Definition)'' ist immer dann erforderlich, wenn der Text ein Gleichheitszeichen ( ... = ...) enthält. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Rechnung]]</noinclude> 332 2010-03-21T13:18:02Z Sandra Burger 0 typo wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#87CEFF}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Stift.gif|30px]] &nbsp; Rechenweg (Lösungsskizze)</div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}} <pre>{{Rechnung|1= <Rechenweg (Lösungsskizze)> }}</pre> ;Hinweis Die Eingabe "1=" ''(Parameter-Definition)'' ist immer dann erforderlich, wenn der Text ein Gleichheitszeichen ( ... = ...) enthält. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Rechnung]]</noinclude> 10 347 1466 1181 2014-02-08T21:27:55Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Recht_am_eigenen_Bild"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen ein Bildnis einer oder mehrerer lebenden oder seit weniger als 10 Jahren toten Person(en) dar. Auch wenn diese Datei unter einer {{wpde|Freie Lizenz|freien Lizenz}} steht oder nicht urheberrechtlich geschützt ist, kann ihre Verbreitung, Veränderung oder sonstige Verwertung durch besondere rechtliche Bestimmungen innerhalb und außerhalb des Urheberrechts eingeschränkt sein. |} </div> <includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}|[[Kategorie:Datei:Recht am eigenen Bild|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]] {{Commons|Template:Personality rights}} {{InterProjekt|commons=Template:Personality rights}}</noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1181 1180 2013-02-08T20:52:33Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Recht_am_eigenen_Bild"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen ein Bildnis einer oder mehrerer lebenden oder seit weniger als 10 Jahren toten Person(en) dar. 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spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Register|<Text>}}</pre> ;Hinweis: Dieser Textbaustein soll Registerkarten darstellen. <tt><nowiki>{{Register|Beobachten}}</nowiki></tt> ergibt: {{Register|Beobachten}} [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Register]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 73f12ee25ccdc2f0b3773fef6aa18c77c56f6067 1587 1159 2013-02-11T23:22:17Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung der Vorlagen wikitext text/x-wiki <span style="border-bottom: 0.04em solid #A0A0A0; spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><span style="color: #000000; border: 0.1em solid #A0A0A0; border-bottom-color: #A0A0A0; padding: 0 0.333em; background:{{{2|white}}};">&nbsp;{{{1|Register}}}&nbsp;</span><span style="border-bottom: 0.04em solid #A0A0A0; spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Register|<Text>}}</pre> ;Hinweis: Dieser Textbaustein soll Registerkarten darstellen. <tt><nowiki>{{Register|Beobachten}}</nowiki></tt> ergibt: {{Register|Beobachten}} [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Register]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 73f12ee25ccdc2f0b3773fef6aa18c77c56f6067 1159 1158 2013-02-08T20:52:31Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <span style="border-bottom: 0.04em solid #A0A0A0; 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spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Register|<Text>}}</pre> ;Hinweis: Dieser Textbaustein soll Registerkarten darstellen. <tt><nowiki>{{Register|Beobachten}}</nowiki></tt> ergibt: {{Register|Beobachten}} [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Register]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 335 334 2012-02-01T16:53:11Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <span style="border-bottom: 0.04em solid #A0A0A0; spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><span style="color: #000000; border: 0.1em solid #A0A0A0; border-bottom-color: #A0A0A0; padding: 0 0.333em; background:{{{2|white}}};">&nbsp;{{{1|Register}}}&nbsp;</span><span style="border-bottom: 0.04em solid #A0A0A0; spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Register|<Text>}}</pre> ;Hinweis: Dieser Textbaustein soll Registerkarten darstellen. <tt><nowiki>{{Register|Beobachten}}</nowiki></tt> ergibt: {{Register|Beobachten}} [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Register]] </noinclude> 334 2010-05-03T17:52:12Z Karl Kirst 2 typo wikitext text/x-wiki <span style="border-bottom: 0.04em solid #A0A0A0; spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><span style="color: #000000; border: 0.1em solid #A0A0A0; border-bottom-color: #A0A0A0; padding: 0 0.333em; background:{{{2|white}}};">&nbsp;{{{1|Register}}}&nbsp;</span><span style="border-bottom: 0.04em solid #A0A0A0; spacing: 0; padding: 0;">&nbsp;&nbsp;</span><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Register|<Text>}}</pre> ;Hinweis: Dieser Textbaustein soll Registerkarten darstellen. <tt><nowiki>{{Register|Beobachten}}</nowiki></tt> ergibt: {{Register|Beobachten}} [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Register]] </noinclude> 10 413 1390 1389 2014-02-08T21:27:47Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Template:Uwlsubst]] d6f0b31a27106d509fc8bdf1a8de7087ce177e9f 1389 2014-02-07T19:58:24Z Karl Kirst 2 Schützte „[[Vorlage:Remove this line and insert a license instead]]“: Wichtig für die Projektorganisation ([Bearbeiten=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt) [Verschieben=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt)) wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Template:Uwlsubst]] d6f0b31a27106d509fc8bdf1a8de7087ce177e9f 10 339 1582 1581 2014-02-08T21:50:26Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Vorlage:RMG-Wiki]] 516cf8b67645fbc59da934fb78bc4940b27ce883 1581 1161 2013-03-28T18:24:16Z Karl Kirst 2 hat „[[Vorlage:Rmg-wiki]]“ nach „[[Vorlage:RMG-Wiki]]“ verschoben: normale Schreibweise wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Vorlage:RMG-Wiki]] 516cf8b67645fbc59da934fb78bc4940b27ce883 1161 1160 2013-02-08T20:52:32Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki [[Datei:RMG.jpg|20px|RMG-Wiki|verweis=:rmgi:]]<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{rmg-wiki}}</pre> ;Achtung: Schreibe bitte mit Kleinbuchstaben. [[Kategorie:Vorlage:Logo-Link|RMG-Wiki]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1160 2013-01-08T00:44:45Z Karl Kirst 2 linkfix wikitext text/x-wiki [[Datei:RMG.jpg|20px|RMG-Wiki|verweis=:rmgi:]]<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{rmg-wiki}}</pre> ;Achtung: Schreibe bitte mit Kleinbuchstaben. [[Kategorie:Vorlage:Logo-Link|RMG-Wiki]] </noinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 10 350 1468 1187 2014-02-08T21:27:55Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Schutzlandprinzip"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei ist im Entstehungsland wahrscheinlich urheberrechtlich geschützt. 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Auch wenn diese Datei unter einer {{wpde|Freie Lizenz|freien Lizenz}} steht oder nicht urheberrechtlich geschützt ist, kann ihre Verbreitung, Veränderung oder sonstige Verwertung durch besondere rechtliche Bestimmungen innerhalb und außerhalb des Urheberrechts eingeschränkt sein. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]] </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1185 1184 2013-02-08T20:52:33Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Schutzzeichen"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen ein {{wpde|Schutzzeichen}} nach verschiedenen Abkommen, insbesondere die {{wpde|Haager Landkriegsordnung|Haager Landkriegsordnung}} von 1899 und 1907, die {{wpde|Genfer Konventionen|Genfer Konventionen}} von 1949 sowie ihre Zusatzprotokolle von 1977 und 2005 und weitere Regeln des {{wpde|Humanitäres Völkerrecht|humanitären Völkerrechts}} dar. Auch wenn diese Datei unter einer {{wpde|Freie Lizenz|freien Lizenz}} steht oder nicht urheberrechtlich geschützt ist, kann ihre Verbreitung, Veränderung oder sonstige Verwertung durch besondere rechtliche Bestimmungen innerhalb und außerhalb des Urheberrechts eingeschränkt sein. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]] </noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1184 2013-01-08T18:55:21Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Schutzzeichen"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen ein {{wpde|Schutzzeichen}} nach verschiedenen Abkommen, insbesondere die {{wpde|Haager Landkriegsordnung|Haager Landkriegsordnung}} von 1899 und 1907, die {{wpde|Genfer Konventionen|Genfer Konventionen}} von 1949 sowie ihre Zusatzprotokolle von 1977 und 2005 und weitere Regeln des {{wpde|Humanitäres Völkerrecht|humanitären Völkerrechts}} dar. 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Auch wenn diese Datei unter einer {{wpde|Freie Lizenz|freien Lizenz}} steht oder nicht urheberrechtlich geschützt ist, kann ihre Verbreitung, Veränderung oder sonstige Verwertung durch besondere rechtliche Bestimmungen innerhalb und außerhalb des Urheberrechts eingeschränkt sein. |} </div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 6011e750e8a3cdb0a084e38de27542f160db217b 10 445 1552 1551 2014-02-08T21:29:38Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki #Redirect [[:Template:cat see also]] 892352322da6c4424fc5b9e64e354d7b0001f0b2 1551 2014-02-08T20:58:46Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizardp wikitext text/x-wiki #Redirect [[:Template:cat see also]] 892352322da6c4424fc5b9e64e354d7b0001f0b2 10 396 1343 1342 2014-01-09T21:47:38Z Karl Kirst 2 1 Version wikitext text/x-wiki <br> {| style="margin:0.5em auto; background-color: #f0f0f0; border: 2px solid #aaaaaa; padding: 2px" | style="text-align:center" | '''''Ich, der Urheber dieses Werkes,''' veröffentliche es unter der folgenden Lizenz:'' |--- | style="text-align:center" | {{{{{1}}}}} |}<includeonly>[[Category:Self-published work|{{PAGENAME}}]]</includeonly> [[Kategorie:Self-published work]] b7d10db68be0cfc665444cd39423e259d022ebdb 1342 2014-01-09T17:57:21Z Karl Kirst 2 Schützte „[[Vorlage:Self]]“: Wichtig für die Projektorganisation ([Bearbeiten=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt) [Verschieben=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt)) wikitext text/x-wiki <br> {| style="margin:0.5em auto; background-color: #f0f0f0; border: 2px solid #aaaaaa; padding: 2px" | style="text-align:center" | '''''Ich, der Urheber dieses Werkes,''' veröffentliche es unter der folgenden Lizenz:'' |--- | style="text-align:center" | {{{{{1}}}}} |}<includeonly>[[Category:Self-published work|{{PAGENAME}}]]</includeonly> [[Kategorie:Self-published work]] b7d10db68be0cfc665444cd39423e259d022ebdb 10 418 1472 1471 2014-02-08T21:27:55Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="shortcut" class="shortcut" align="right">[[ZUM-Wiki:Abkürzungen|Abkürzung]]: {{{1}}}</div> da120eb7991c59e4ae993eac8f568081157ff442 1471 2005-12-05T13:49:31Z Karl Kirst 2 span -> div; +align="right" wikitext text/x-wiki <div id="shortcut" class="shortcut" align="right">[[ZUM-Wiki:Abkürzungen|Abkürzung]]: {{{1}}}</div> da120eb7991c59e4ae993eac8f568081157ff442 10 414 1584 1392 2014-02-08T21:50:26Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki : ''→&nbsp;[[{{{1}}}]]''<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{siehe|<Name der Seite>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Seitenbausteine|Siehe]] </noinclude> 1a461c852f513665807f1f6dda6a8eb2b91865aa 1392 1391 2014-02-08T21:27:47Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki : ''→&nbsp;[[{{{1}}}]]''<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{siehe|<Name der Seite>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Seitenbausteine|Siehe]] </noinclude> 1a461c852f513665807f1f6dda6a8eb2b91865aa 1583 1392 2014-02-08T21:02:17Z Karl Kirst 2 1 Version wikitext text/x-wiki : ''→&nbsp;[[{{{1}}}]]''<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{siehe|<Name der Seite>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Seitenbausteine|Siehe]] </noinclude> 1a461c852f513665807f1f6dda6a8eb2b91865aa 1391 2014-01-22T22:22:05Z Karl Kirst 2 Artikel -> Seiten wikitext text/x-wiki : ''→&nbsp;[[{{{1}}}]]''<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{siehe|<Name der Seite>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Seitenbausteine|Siehe]] </noinclude> 1a461c852f513665807f1f6dda6a8eb2b91865aa 10 152 337 336 2012-02-01T16:53:11Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <!--- Hinweis: Vorlage so nutzen: {{Stunde|Thema|Erläuterung|Lernziele}} ---> <div style="border: 1px solid #dfdfdf; background-color:#dfdfdf; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #dfdfdf;"></div> <div style="border:1px solid #dfdfdf; background-color:#FEFEFE; align:center; padding:7px;"> [[Bild:Uhr20px.gif]]''' Unterrichtsstunde zum Thema:''''' {{{1}}} ---- ;Erläuterung {{{2}}} ---- ;Lernziele {{{3}}} </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Stunde]]</noinclude> 336 2010-12-27T10:14:39Z Karl Kirst 2 alphabet. Einordnung wikitext text/x-wiki <!--- Hinweis: Vorlage so nutzen: {{Stunde|Thema|Erläuterung|Lernziele}} ---> <div style="border: 1px solid #dfdfdf; background-color:#dfdfdf; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #dfdfdf;"></div> <div style="border:1px solid #dfdfdf; background-color:#FEFEFE; align:center; padding:7px;"> [[Bild:Uhr20px.gif]]''' Unterrichtsstunde zum Thema:''''' {{{1}}} ---- ;Erläuterung {{{2}}} ---- ;Lernziele {{{3}}} </div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Stunde]]</noinclude> 10 431 1522 1521 2014-02-08T21:28:14Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{#switch: {{{1}}} | Plenum = [[Datei:Farm-Fresh plenum.png|50px|verweis=]] | | Alle = [[Datei:Farm-Fresh all.png|49px|verweis=]] | Gruppe5 = [[Datei:Farm-Fresh_gruppe5.png|40px|verweis=]] | Gruppe4 = [[Datei:Farm-Fresh_gruppe4.png|40px|verweis=]] | Gruppe3 = [[Datei:Farm-Fresh_gruppe3.png|40px|verweis=]] | Tandem = [[Datei:Farm-Fresh_tandem.png|verweis=]] | Einzel = [[Datei:Farm-Fresh_user.png|verweis=]] | {{{1|}}} }} </onlyinclude><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in der Variablen (form) durch Piktogramme. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- |Plenum || [[Datei:Farm-Fresh plenum.png|50px|verweis=]] || Frontalunterricht |- |Alle || [[Datei:Farm-Fresh_all.png|49px|verweis=]] || Alle gemeinsam |- |Gruppe5 || [[Datei:Farm-Fresh gruppe5.png|40px|verweis=]] || 5er-Gruppen |- |Gruppe4 || [[Datei:Farm-Fresh gruppe4.png|40px|verweis=]] || 4er-Gruppen |- |Gruppe3 || [[Datei:Farm-Fresh gruppe3.png|40px|verweis=]] || 3er-Gruppen |- |Tandem || [[Datei:Farm-Fresh tandem.png|verweis=]] || Partnerarbeit |- |Einzel || [[Datei:Farm-Fresh_user.png|verweis=]] || Einzelarbeit |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Sozialform]] </noinclude> c133af400e0f381996a6ce768a328e9646a4847e 1521 2012-06-12T15:52:05Z Konstantin Kowalski 0 wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{#switch: {{{1}}} | Plenum = [[Datei:Farm-Fresh plenum.png|50px|verweis=]] | | Alle = [[Datei:Farm-Fresh all.png|49px|verweis=]] | Gruppe5 = [[Datei:Farm-Fresh_gruppe5.png|40px|verweis=]] | Gruppe4 = [[Datei:Farm-Fresh_gruppe4.png|40px|verweis=]] | Gruppe3 = [[Datei:Farm-Fresh_gruppe3.png|40px|verweis=]] | Tandem = [[Datei:Farm-Fresh_tandem.png|verweis=]] | Einzel = [[Datei:Farm-Fresh_user.png|verweis=]] | {{{1|}}} }} </onlyinclude><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in der Variablen (form) durch Piktogramme. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- |Plenum || [[Datei:Farm-Fresh plenum.png|50px|verweis=]] || Frontalunterricht |- |Alle || [[Datei:Farm-Fresh_all.png|49px|verweis=]] || Alle gemeinsam |- |Gruppe5 || [[Datei:Farm-Fresh gruppe5.png|40px|verweis=]] || 5er-Gruppen |- |Gruppe4 || [[Datei:Farm-Fresh gruppe4.png|40px|verweis=]] || 4er-Gruppen |- |Gruppe3 || [[Datei:Farm-Fresh gruppe3.png|40px|verweis=]] || 3er-Gruppen |- |Tandem || [[Datei:Farm-Fresh tandem.png|verweis=]] || Partnerarbeit |- |Einzel || [[Datei:Farm-Fresh_user.png|verweis=]] || Einzelarbeit |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Sozialform]] </noinclude> c133af400e0f381996a6ce768a328e9646a4847e 10 432 1524 1523 2014-02-08T21:28:14Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <noinclude>{| |- |Hier steht die Unterrichtsplanung</noinclude> <onlyinclude> |} <span class="_toggler-table1" style="font-size:xx-small;">Bearbeitungshilfe ein- bzw. ausblenden. </span> {| class="toptextcells table1" style="text-indent:0px; width:100%; background-color:#4682B4; display:none;" {{Vorlage:Stundenverlauf/Legende}} </onlyinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|!]] Diese Seite ist Teil der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht einzeln genutzt werden.<br /> Diese Vorlage schließt die Tabelle und fügt die Bearbeitungshilfe ein. </noinclude> fd0da14ed6bb4efa8e8114341a56e28dd7001f74 1523 2012-06-12T16:04:03Z Konstantin Kowalski 0 wikitext text/x-wiki <noinclude>{| |- |Hier steht die Unterrichtsplanung</noinclude> <onlyinclude> |} <span class="_toggler-table1" style="font-size:xx-small;">Bearbeitungshilfe ein- bzw. ausblenden. </span> {| class="toptextcells table1" style="text-indent:0px; width:100%; background-color:#4682B4; display:none;" {{Vorlage:Stundenverlauf/Legende}} </onlyinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|!]] Diese Seite ist Teil der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht einzeln genutzt werden.<br /> Diese Vorlage schließt die Tabelle und fügt die Bearbeitungshilfe ein. </noinclude> fd0da14ed6bb4efa8e8114341a56e28dd7001f74 10 433 1526 1525 2014-02-08T21:28:20Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{| class="toptextcells" style="width:100%; border-spacing:1px; border:1px solid #4682B4;" |- style="background-color: #B0C4DE; vertical-align:middle;" |style="width:2em;padding:4px;vertical-align:middle; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh time.png|24px|verweis=]]||style="width:6em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_database.png|24px|verweis=]] Phase||style="padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Progressbar.png|verweis=]] Unterrichtsschritt||style="width: 8em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_group_gear.png|24px|verweis=]] Sozialform||style="width: 8em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_multitool.png|verweis=]] Methode||style="width: 10em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_film.png|24px|verweis=]] Medium</onlyinclude><noinclude> |} Diese Vorlage ist Teil der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht einzeln genutzt werden. Diese Vorlage erstellt den Tabellenkopf. [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf]] </noinclude><onlyinclude>[[Kategorie:Stundenverlauf]]</onlyinclude> 91c42af662d1b8609d0fef32fe11947288bc7a0d 1525 2012-08-31T23:01:58Z Konstantin Kowalski 0 wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{| class="toptextcells" style="width:100%; border-spacing:1px; border:1px solid #4682B4;" |- style="background-color: #B0C4DE; vertical-align:middle;" |style="width:2em;padding:4px;vertical-align:middle; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh time.png|24px|verweis=]]||style="width:6em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_database.png|24px|verweis=]] Phase||style="padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Progressbar.png|verweis=]] Unterrichtsschritt||style="width: 8em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_group_gear.png|24px|verweis=]] Sozialform||style="width: 8em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_multitool.png|verweis=]] Methode||style="width: 10em; padding:4px; vertical-align:middle; font-weight: bold; border:2px solid #4682B4;"|[[Datei:Farm-Fresh_film.png|24px|verweis=]] Medium</onlyinclude><noinclude> |} Diese Vorlage ist Teil der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht einzeln genutzt werden. Diese Vorlage erstellt den Tabellenkopf. [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf]] </noinclude><onlyinclude>[[Kategorie:Stundenverlauf]]</onlyinclude> 91c42af662d1b8609d0fef32fe11947288bc7a0d 10 434 1528 1527 2014-02-08T21:29:02Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <noinclude> {| class="toptextcells table1" style="text-indent:0px; width:100%; background-color:#4682B4;" </noinclude><onlyinclude> |- style="vertical-align:middle; font-weight: bold; background-color: #B0C4DE;" | style=" padding: 2px;"| Feld || style=" padding: 2px;"| mögliche Parameter mit Vorschau |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|form | style=" padding: 2px;"|Plenum&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh plenum.png|30px|verweis=]] &nbsp; Alle&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh all.png|30px|verweis=]] &nbsp; Gruppe5&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_gruppe5.png|25px|verweis=]] &nbsp; Gruppe4&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_gruppe4.png|25px|verweis=]] &nbsp; Gruppe3&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_gruppe3.png|25px|verweis=]] &nbsp; Tandem&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_tandem.png|25px|verweis=]] &nbsp; Einzel&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_user.png|20px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|medium - medium7 | style=" padding: 2px;"|Atlas&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh book atlas.png|18px|verweis=]] &nbsp; Bild&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_picture.png|18px|verweis=]] &nbsp; Buch&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_books.png|18px|verweis=]] &nbsp; Card&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_index-cards.png|18px|verweis=]] &nbsp; Computer&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_terminal.png|18px|verweis=]] &nbsp; Cut&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_cut.png|18px|verweis=]] &nbsp; Edding&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_marker.png|18px|verweis=]] &nbsp; Film&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_film.png|18px|verweis=]] &nbsp; Flip&nbsp;[[Datei:Flipchart.svg|12px|verweis=]] &nbsp; Folder&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|20px|verweis=]] &nbsp; Pin&nbsp;[[Datei:Pin blue right.png|10px|verweis=]] &nbsp; Placemat&nbsp;[[Datei:Placemat.jpg|20px|verweis=]] &nbsp; SB&nbsp;[[Datei:Smartboard.png|20px|verweis=]] &nbsp; Tafel&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_blackboard_drawing.png|18px|verweis=]] &nbsp; Key&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_keyboard.png|18px|verweis=]] &nbsp; WS&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh Document image ver.png|18px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|methode | style=" padding: 2px;"| Placemat&nbsp;[[Datei:Placemat.jpg|20px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|phase | style=" padding: 2px;"|Hinweis&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_note.png|18px|verweis=]] &nbsp; Pause&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_cup.png|18px|verweis=]] &nbsp; PW&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|18px|verweis=]] &nbsp; GS&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|18px|verweis=]] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Agenda&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh sheduled task.png|18px|verweis=]] &nbsp; WarmUp&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_temperature_4.png|18px|verweis=]] &nbsp; Einstieg&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_door_in.png|18px|verweis=]] &nbsp; Auftrag&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_pencil_add.png|18px|verweis=]] &nbsp; Erarbeitung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_brain.png|18px|verweis=]] &nbsp; Vertiefung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_arrow_down.png|18px|verweis=]] &nbsp; Sicherung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_lock.png|18px|verweis=]] &nbsp; &nbsp; Leistung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|18px|verweis=]] &nbsp; Würdigung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_rosette.png|18px|verweis=]] &nbsp; Übung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_link_add.png|18px|verweis=]] &nbsp; Vorschau&nbsp;[[Datei:Gnome-edit-find.svg|28px|verweis=]] &nbsp; Wdh&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_arrow_rotate_clockwise.png|18px|verweis=]] &nbsp; HA&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_house.png|18px|verweis=]] &nbsp; nachholen&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_clock_history_frame.png|18px|verweis=]] &nbsp; Ausstieg&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_door_out.png|18px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|step | style=" padding: 2px;"| Eine Aufgabe eingeben: <pre>{{Stundenverlauf/Aufgaben|1=GGF. NUMMER DER AUFGABE|2=TEXT DER AUFGABE}}</pre> Eine Hausaufgabe eingeben: <pre>{{Stundenverlauf/Hausaufgaben|1=GGF. NUMMER DER HausaufgabeUFGABE|2=TEXT DER AUFGABE}}</pre> |} </onlyinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|!]] Diese Seite ist Teil der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht einzeln genutzt werden.<br /> Diese Vorlage fügt die Legende mit Bearbeitungshilfe ein. </noinclude> 5649d983fe9bcbb3bbe96a8e4cce1764e553a03d 1527 2012-08-31T22:35:52Z Konstantin Kowalski 0 wikitext text/x-wiki <noinclude> {| class="toptextcells table1" style="text-indent:0px; width:100%; background-color:#4682B4;" </noinclude><onlyinclude> |- style="vertical-align:middle; font-weight: bold; background-color: #B0C4DE;" | style=" padding: 2px;"| Feld || style=" padding: 2px;"| mögliche Parameter mit Vorschau |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|form | style=" padding: 2px;"|Plenum&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh plenum.png|30px|verweis=]] &nbsp; Alle&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh all.png|30px|verweis=]] &nbsp; Gruppe5&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_gruppe5.png|25px|verweis=]] &nbsp; Gruppe4&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_gruppe4.png|25px|verweis=]] &nbsp; Gruppe3&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_gruppe3.png|25px|verweis=]] &nbsp; Tandem&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_tandem.png|25px|verweis=]] &nbsp; Einzel&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_user.png|20px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|medium - medium7 | style=" padding: 2px;"|Atlas&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh book atlas.png|18px|verweis=]] &nbsp; Bild&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_picture.png|18px|verweis=]] &nbsp; Buch&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_books.png|18px|verweis=]] &nbsp; Card&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_index-cards.png|18px|verweis=]] &nbsp; Computer&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_terminal.png|18px|verweis=]] &nbsp; Cut&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_cut.png|18px|verweis=]] &nbsp; Edding&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_marker.png|18px|verweis=]] &nbsp; Film&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_film.png|18px|verweis=]] &nbsp; Flip&nbsp;[[Datei:Flipchart.svg|12px|verweis=]] &nbsp; Folder&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|20px|verweis=]] &nbsp; Pin&nbsp;[[Datei:Pin blue right.png|10px|verweis=]] &nbsp; Placemat&nbsp;[[Datei:Placemat.jpg|20px|verweis=]] &nbsp; SB&nbsp;[[Datei:Smartboard.png|20px|verweis=]] &nbsp; Tafel&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_blackboard_drawing.png|18px|verweis=]] &nbsp; Key&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_keyboard.png|18px|verweis=]] &nbsp; WS&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh Document image ver.png|18px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|methode | style=" padding: 2px;"| Placemat&nbsp;[[Datei:Placemat.jpg|20px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|phase | style=" padding: 2px;"|Hinweis&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_note.png|18px|verweis=]] &nbsp; Pause&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_cup.png|18px|verweis=]] &nbsp; PW&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|18px|verweis=]] &nbsp; GS&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|18px|verweis=]] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Agenda&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh sheduled task.png|18px|verweis=]] &nbsp; WarmUp&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_temperature_4.png|18px|verweis=]] &nbsp; Einstieg&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_door_in.png|18px|verweis=]] &nbsp; Auftrag&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_pencil_add.png|18px|verweis=]] &nbsp; Erarbeitung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_brain.png|18px|verweis=]] &nbsp; Vertiefung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_arrow_down.png|18px|verweis=]] &nbsp; Sicherung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_lock.png|18px|verweis=]] &nbsp; &nbsp; Leistung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|18px|verweis=]] &nbsp; Würdigung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_rosette.png|18px|verweis=]] &nbsp; Übung&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_link_add.png|18px|verweis=]] &nbsp; Vorschau&nbsp;[[Datei:Gnome-edit-find.svg|28px|verweis=]] &nbsp; Wdh&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_arrow_rotate_clockwise.png|18px|verweis=]] &nbsp; HA&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_house.png|18px|verweis=]] &nbsp; nachholen&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_clock_history_frame.png|18px|verweis=]] &nbsp; Ausstieg&nbsp;[[Datei:Farm-Fresh_door_out.png|18px|verweis=]] |- style="background-color: #eee; font-size:small;" | style=" padding: 2px; font-weight:bold;"|step | style=" padding: 2px;"| Eine Aufgabe eingeben: <pre>{{Stundenverlauf/Aufgaben|1=GGF. NUMMER DER AUFGABE|2=TEXT DER AUFGABE}}</pre> Eine Hausaufgabe eingeben: <pre>{{Stundenverlauf/Hausaufgaben|1=GGF. NUMMER DER HausaufgabeUFGABE|2=TEXT DER AUFGABE}}</pre> |} </onlyinclude><noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|!]] Diese Seite ist Teil der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht einzeln genutzt werden.<br /> Diese Vorlage fügt die Legende mit Bearbeitungshilfe ein. </noinclude> 5649d983fe9bcbb3bbe96a8e4cce1764e553a03d 10 435 1530 1529 2014-02-08T21:29:15Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{#switch: {{{1}}} | Atlas = [[Datei:Farm-Fresh book atlas.png|verweis=]] |Bild = [[Datei:Farm-Fresh_picture.png|verweis=]] | Buch = [[Datei:Farm-Fresh_books.png|verweis=]] | Card = [[Datei:Farm-Fresh_index-cards.png|verweis=]] | Computer = [[Datei:Farm-Fresh_terminal.png|verweis=]] | Cut = [[Datei:Farm-Fresh_cut.png|verweis=]] | Edding = [[Datei:Farm-Fresh_marker.png|verweis=]] | Film = [[Datei:Farm-Fresh_film.png|verweis=]] | Flip = [[Datei:Flipchart.svg|22px|verweis=]] | Folder = [[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|verweis=]] | Mappe = [[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|verweis=]] | Key = [[Datei:Farm-Fresh_keyboard.png|verweis=]] |Leistung = [[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|verweis=]] | Pin = [[Datei:Pin blue right.png|16px|verweis=]] | Placemat = [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] | SB = [[Datei:Smartboard.png|40px|verweis=]] | Tafel = [[Datei:Farm-Fresh_blackboard_drawing.png|verweis=]] | WS = [[Datei:Farm-Fresh Document image ver.png|verweis=]] | {{{1|}}} }} </onlyinclude><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in den Variablen (medien1, ... , medien5) durch Piktogramme. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- |Atlas || [[Datei:Farm-Fresh book atlas.png|verweis=]] || Atlas |- |Bild || [[Datei:Farm-Fresh_picture.png|verweis=]] ||Bild |- |Buch || [[Datei:Farm-Fresh_books.png|verweis=]] || Buch |- |Card || [[Datei:Farm-Fresh_index-cards.png|verweis=]] || Karteikarten |- |Computer || [[Datei:Farm-Fresh_terminal.png|verweis=]] || Computer (-Raum) |- |Cut || [[Datei:Farm-Fresh_cut.png|verweis=]] || Schere |- |Edding || [[Datei:Farm-Fresh_marker.png|verweis=]] || Eddinge |- |Film || [[Datei:Farm-Fresh_film.png|verweis=]] || Film |- |Flip || [[Datei:Flipchart.svg|22px|verweis=]] || Flipchart |- |Folder || [[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|verweis=]] || Mappe |- |Pin || [[Datei:Pin blue right.png|16px|verweis=]] || Pinnwand |- |Placemat || [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] || Placemat |- |SB || [[Datei:Smartboard.png|40px|verweis=]] || SmartBoard |- |Tafel || [[Datei:Farm-Fresh_blackboard_drawing.png|verweis=]] || Tafel |- |Key || [[Datei:Farm-Fresh_keyboard.png|verweis=]] || (Funk-) Tastatur |- |WS || [[Datei:Farm-Fresh Document image ver.png|verweis=]] || Arbeitsblatt (Worksheet) |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> Benötigt man mehrere Medien in einer Phase, so kann man weitere Medien mit dem folgenden Code einfügen:<br /> <pre>|medium1=Beispiel |medium2=Fernseher ... |medium5=Mappe </pre> Will man mehrere Medien nutzen, die nicht als Schlüsselbegriff existieren, so kann man diese in einem Eintrag zusammenfassen und dort einfach per Komma trennen. [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Medium]] </noinclude> 1f4707eefcde2e7c875ff0a01715c9df9fe4c629 1529 2012-05-28T18:46:24Z Konstantin Kowalski 0 wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{#switch: {{{1}}} | Atlas = [[Datei:Farm-Fresh book atlas.png|verweis=]] |Bild = [[Datei:Farm-Fresh_picture.png|verweis=]] | Buch = [[Datei:Farm-Fresh_books.png|verweis=]] | Card = [[Datei:Farm-Fresh_index-cards.png|verweis=]] | Computer = [[Datei:Farm-Fresh_terminal.png|verweis=]] | Cut = [[Datei:Farm-Fresh_cut.png|verweis=]] | Edding = [[Datei:Farm-Fresh_marker.png|verweis=]] | Film = [[Datei:Farm-Fresh_film.png|verweis=]] | Flip = [[Datei:Flipchart.svg|22px|verweis=]] | Folder = [[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|verweis=]] | Mappe = [[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|verweis=]] | Key = [[Datei:Farm-Fresh_keyboard.png|verweis=]] |Leistung = [[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|verweis=]] | Pin = [[Datei:Pin blue right.png|16px|verweis=]] | Placemat = [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] | SB = [[Datei:Smartboard.png|40px|verweis=]] | Tafel = [[Datei:Farm-Fresh_blackboard_drawing.png|verweis=]] | WS = [[Datei:Farm-Fresh Document image ver.png|verweis=]] | {{{1|}}} }} </onlyinclude><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in den Variablen (medien1, ... , medien5) durch Piktogramme. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- |Atlas || [[Datei:Farm-Fresh book atlas.png|verweis=]] || Atlas |- |Bild || [[Datei:Farm-Fresh_picture.png|verweis=]] ||Bild |- |Buch || [[Datei:Farm-Fresh_books.png|verweis=]] || Buch |- |Card || [[Datei:Farm-Fresh_index-cards.png|verweis=]] || Karteikarten |- |Computer || [[Datei:Farm-Fresh_terminal.png|verweis=]] || Computer (-Raum) |- |Cut || [[Datei:Farm-Fresh_cut.png|verweis=]] || Schere |- |Edding || [[Datei:Farm-Fresh_marker.png|verweis=]] || Eddinge |- |Film || [[Datei:Farm-Fresh_film.png|verweis=]] || Film |- |Flip || [[Datei:Flipchart.svg|22px|verweis=]] || Flipchart |- |Folder || [[Datei:Farm-Fresh_open_folder.png|verweis=]] || Mappe |- |Pin || [[Datei:Pin blue right.png|16px|verweis=]] || Pinnwand |- |Placemat || [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] || Placemat |- |SB || [[Datei:Smartboard.png|40px|verweis=]] || SmartBoard |- |Tafel || [[Datei:Farm-Fresh_blackboard_drawing.png|verweis=]] || Tafel |- |Key || [[Datei:Farm-Fresh_keyboard.png|verweis=]] || (Funk-) Tastatur |- |WS || [[Datei:Farm-Fresh Document image ver.png|verweis=]] || Arbeitsblatt (Worksheet) |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> Benötigt man mehrere Medien in einer Phase, so kann man weitere Medien mit dem folgenden Code einfügen:<br /> <pre>|medium1=Beispiel |medium2=Fernseher ... |medium5=Mappe </pre> Will man mehrere Medien nutzen, die nicht als Schlüsselbegriff existieren, so kann man diese in einem Eintrag zusammenfassen und dort einfach per Komma trennen. [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Medium]] </noinclude> 1f4707eefcde2e7c875ff0a01715c9df9fe4c629 10 436 1532 1531 2014-02-08T21:29:16Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{#switch: {{{1}}} | Placemat = [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] | {{{1|}}} }} </onlyinclude><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in der Variablen methode durch Piktogramme. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- |Placemat || [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] || Placemat |- | ||yet to come || |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Medium]] </noinclude> 9bb226cb1edb9deb7d0c2682fbb916c0c40b4e25 1531 2012-05-28T15:17:40Z Konstantin Kowalski 0 Die Seite wurde neu angelegt: „<onlyinclude>{{#switch: {{{1}}} | Placemat = [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] | {{{1|}}} }} </onlyinclude><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:…“ wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{#switch: {{{1}}} | Placemat = [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] | {{{1|}}} }} </onlyinclude><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in der Variablen methode durch Piktogramme. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- |Placemat || [[Datei:Placemat.jpg|40px|verweis=]] || Placemat |- | ||yet to come || |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Medium]] </noinclude> 9bb226cb1edb9deb7d0c2682fbb916c0c40b4e25 10 437 1534 1533 2014-02-08T21:29:33Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <includeonly> {{#switch: {{{1}}} | Agenda = [[Datei:Farm-Fresh sheduled task.png|verweis=]] | WarmUp = [[Datei:Farm-Fresh_temperature_4.png|verweis=]] | Einstieg = [[Datei:Farm-Fresh_door_in.png|verweis=]] | Auftrag = [[Datei:Farm-Fresh_pencil_add.png|25px|verweis=]] | Erarbeitung = [[Datei:Farm-Fresh_brain.png|verweis=]] | Vertiefung = [[Datei:Farm-Fresh_arrow_down.png|verweis=]] | Sicherung = [[Datei:Farm-Fresh_lock.png|verweis=]] | Leistung = [[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|verweis=]] | Würdigung = [[Datei:Farm-Fresh_rosette.png|verweis=]] | Übung = [[Datei:link_add|verweis=]] | Vorschau = [[Datei:Gnome-edit-find.svg|32px|verweis=]] | Wdh = [[Datei:Farm-Fresh_arrow_rotate_clockwise.png|verweis=]] | HA = [[Datei:Farm-Fresh_house.png|verweis=]] | nachholen = [[Datei:Farm-Fresh_clock_history_frame.png|verweis=]] | Ausstieg = [[Datei:Farm-Fresh_door_out.png|verweis=]] | {{{1|}}} }} </includeonly><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in der Variablen (Phase) durch Piktogramme - wenn dies nicht bereits vorher passiert ist. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- | Hinweis || [[Datei:Farm-Fresh_note.png|verweis=]] || Ein Hinweis |- | Pause || [[Datei:Farm-Fresh_cup.png|verweis=]] || Eine Pause |- | PW || [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|verweis=]] || Ein Phasenwechsel |- | GS || [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|verweis=]] || Eine Gelenkstelle |- | Agenda || [[Datei:Farm-Fresh sheduled task.png|verweis=]] || Begrüßung, Planung |- | WarmUp || [[Datei:Farm-Fresh_temperature_4.png|verweis=]] || Aufwärmen |- | Einstieg || [[Datei:Farm-Fresh_door_in.png|verweis=]] ||Einstieg |- | Auftrag || [[Datei:Farm-Fresh_pencil_add.png|25px|verweis=]] || Arbeitsauftrag erteilen |- | Erarbeitung || [[Datei:Farm-Fresh_brain.png|verweis=]] || Erarbeitung |- | Vertiefung || [[Datei:Farm-Fresh_arrow_down.png|verweis=]] || Vertiefung |- | Sicherung || [[Datei:Farm-Fresh_lock.png|verweis=]] || Sicherung |- |Leistung || [[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|verweis=]] || Leistung |- | Würdigung || [[Datei:Farm-Fresh_rosette.png|verweis=]] || Würdigung |- | Übung || [[Datei:Farm-Fresh_link_add.png|verweis=]] || Übungsphase |- | Vorschau || [[Datei:Gnome-edit-find.svg|32px|verweis=]] || Ausblick |- | Wdh || [[Datei:Farm-Fresh_arrow_rotate_clockwise.png|verweis=]] || Wiederholung |- | HA || [[Datei:Farm-Fresh_house.png|verweis=]] || Hausaufgabe erteilen |- | nachholen || [[Datei:Farm-Fresh_clock_history_frame.png|verweis=]] || Nacharbeiten |- | Ausstieg || [[Datei:Farm-Fresh_door_out.png|verweis=]] || Stundenende |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Phase]] </noinclude> 272fd6eb109f20fa9cc5d0e0280a24d502e0f985 1533 2012-12-06T20:34:12Z Konstantin Kowalski 0 wikitext text/x-wiki <includeonly> {{#switch: {{{1}}} | Agenda = [[Datei:Farm-Fresh sheduled task.png|verweis=]] | WarmUp = [[Datei:Farm-Fresh_temperature_4.png|verweis=]] | Einstieg = [[Datei:Farm-Fresh_door_in.png|verweis=]] | Auftrag = [[Datei:Farm-Fresh_pencil_add.png|25px|verweis=]] | Erarbeitung = [[Datei:Farm-Fresh_brain.png|verweis=]] | Vertiefung = [[Datei:Farm-Fresh_arrow_down.png|verweis=]] | Sicherung = [[Datei:Farm-Fresh_lock.png|verweis=]] | Leistung = [[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|verweis=]] | Würdigung = [[Datei:Farm-Fresh_rosette.png|verweis=]] | Übung = [[Datei:link_add|verweis=]] | Vorschau = [[Datei:Gnome-edit-find.svg|32px|verweis=]] | Wdh = [[Datei:Farm-Fresh_arrow_rotate_clockwise.png|verweis=]] | HA = [[Datei:Farm-Fresh_house.png|verweis=]] | nachholen = [[Datei:Farm-Fresh_clock_history_frame.png|verweis=]] | Ausstieg = [[Datei:Farm-Fresh_door_out.png|verweis=]] | {{{1|}}} }} </includeonly><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. Diese Vorlage ersetzt die Schlüsselworte in der Variablen (Phase) durch Piktogramme - wenn dies nicht bereits vorher passiert ist. Die Schlüsselworte sind: {| class="wikitable sortable" |- !Schlüsselwort !! Piktogramm !! Bedeutung |- | Hinweis || [[Datei:Farm-Fresh_note.png|verweis=]] || Ein Hinweis |- | Pause || [[Datei:Farm-Fresh_cup.png|verweis=]] || Eine Pause |- | PW || [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|verweis=]] || Ein Phasenwechsel |- | GS || [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|verweis=]] || Eine Gelenkstelle |- | Agenda || [[Datei:Farm-Fresh sheduled task.png|verweis=]] || Begrüßung, Planung |- | WarmUp || [[Datei:Farm-Fresh_temperature_4.png|verweis=]] || Aufwärmen |- | Einstieg || [[Datei:Farm-Fresh_door_in.png|verweis=]] ||Einstieg |- | Auftrag || [[Datei:Farm-Fresh_pencil_add.png|25px|verweis=]] || Arbeitsauftrag erteilen |- | Erarbeitung || [[Datei:Farm-Fresh_brain.png|verweis=]] || Erarbeitung |- | Vertiefung || [[Datei:Farm-Fresh_arrow_down.png|verweis=]] || Vertiefung |- | Sicherung || [[Datei:Farm-Fresh_lock.png|verweis=]] || Sicherung |- |Leistung || [[Datei:Farm-Fresh_speedometer.png|verweis=]] || Leistung |- | Würdigung || [[Datei:Farm-Fresh_rosette.png|verweis=]] || Würdigung |- | Übung || [[Datei:Farm-Fresh_link_add.png|verweis=]] || Übungsphase |- | Vorschau || [[Datei:Gnome-edit-find.svg|32px|verweis=]] || Ausblick |- | Wdh || [[Datei:Farm-Fresh_arrow_rotate_clockwise.png|verweis=]] || Wiederholung |- | HA || [[Datei:Farm-Fresh_house.png|verweis=]] || Hausaufgabe erteilen |- | nachholen || [[Datei:Farm-Fresh_clock_history_frame.png|verweis=]] || Nacharbeiten |- | Ausstieg || [[Datei:Farm-Fresh_door_out.png|verweis=]] || Stundenende |} Es ist dabei darauf zu achten, dass pro Zeile nur exakt ein Schlüsselbegriff stehen darf. Stehen mehrere Schlüsselbegriffe da, kann das Wiki das leider nicht erkennen. (Wer das durch ergänzen eines regulären Ausdrucks ändern kann ist dazu herzlich eingeladen - allerdings fürchte ich, dass das Wiki das derzeit noch nicht kann).<br /> [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Phase]] </noinclude> 272fd6eb109f20fa9cc5d0e0280a24d502e0f985 10 438 1536 1535 2014-02-08T21:29:33Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <includeonly>|-style="background-color:#fff;" {{#if: {{{phase}}} | {{#switch: {{{phase}}} | Pause= {{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} {{#if: {{{t|}}} | {{{t}}} | 5'}} {{!}}{{!}} colspan="5" style="background-color:#eee; text-align:center; vertical-align:middle; font-weight:bold; padding:20px 2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} [[Datei:Farm-Fresh_cup.png|24px|verweis=]] &nbsp; Pause | PW= {{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|24px|verweis=]] {{!}}{{!}} colspan="5" style="background-color:#eee; text-align:center; vertical-align:middle; font-weight:bold; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} Phasenwechsel <br /> {{#if:{{{step|}}}| (<span style="font-weight:normal;">{{{step}}}</span>)|}} | GS= {{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} {{{t}}} {{!}}{{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|24px|verweis=]] {{!}}{{!}} colspan="4" style="background-color:#eee; vertical-align:middle; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} '''Gelenkstelle:'''<br /> {{#if:{{{step|}}}| {{{step}}} |}} | Hinweis= {{!}} class="lehrerhinweis" style="background-color:#eee; text-align:center; vertical-align:middle; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} [[Datei:Farm-Fresh_note.png|24px|verweis=]] {{!}}{{!}} colspan="5" style="background-color:#eee; text-align:left; vertical-align:middle; font-weight:bold; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid; padding-left:7.3em;" {{!}} Hinweis {{#if:{{{step|}}}| (<span style="font-weight:normal;">{{{step}}}</span>)|}} | {{Stundenverlauf/Zeileninhalt |t={{#if:{{{t|}}}|{{{t}}}|}} |phase={{#if:{{{phase|}}}|{{Stundenverlauf/Phase|{{{phase}}} }} }} |step={{{step}}} |form={{#if:{{{form|}}}|{{Stundenverlauf/Form|{{{form}}} }} }} |methode={{#if:{{{methode|}}}|{{Stundenverlauf/Methode|{{{methode}}} }} }} |medium={{#if:{{{medium|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium}}} }} }} |medium1={{#if:{{{medium1|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium1}}} }} }} |medium2={{#if:{{{medium2|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium2}}} }} }} |medium3={{#if:{{{medium3|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium3}}} }} }} |medium4={{#if:{{{medium4|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium4}}} }} }} |medium5={{#if:{{{medium5|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium5}}} }} }} |medium6={{#if:{{{medium6|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium6}}} }} }} |medium7={{#if:{{{medium7|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium7}}} }} }} }} }} | {{Stundenverlauf/Zeileninhalt |t={{#if:{{{t|}}}|{{{t}}}|}} |phase={{#if:{{{phase|}}}|{{Stundenverlauf/Phase|{{{phase}}} }} }} |step={{{step}}} |form={{#if:{{{form|}}}|{{Stundenverlauf/Form|{{{form}}} }} }} |methode={{#if:{{{methode|}}}|{{{methode}}} }} |medium={{#if:{{{medium|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium}}} }} }} |medium1={{#if:{{{medium1|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium1}}} }} }} |medium2={{#if:{{{medium2|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium2}}} }} }} |medium3={{#if:{{{medium3|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium3}}} }} }} |medium4={{#if:{{{medium4|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium4}}} }} }} |medium5={{#if:{{{medium5|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium5}}} }} }} |medium6={{#if:{{{medium6|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium6}}} }} }} |medium7={{#if:{{{medium7|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium7}}} }} }} }} }}</includeonly><noinclude> Deise Vorlage ist ein Baustein der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon genutzt werden.<br/ > Diese Vorlage erzeugt eine neue Spalte, stellt fest, ob es sich um eine spezielle Phase handelt (Pause, Phasenwechsel) und fügt diese dann ein oder ruft die [[:Vorlage:Stundenverlauf/Zeileninhalt]] auf. [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Zeile]] </noinclude> b84b7521ab34e18fa993d13dbff24386c693b724 1535 2012-09-01T13:41:51Z Konstantin Kowalski 0 wikitext text/x-wiki <includeonly>|-style="background-color:#fff;" {{#if: {{{phase}}} | {{#switch: {{{phase}}} | Pause= {{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} {{#if: {{{t|}}} | {{{t}}} | 5'}} {{!}}{{!}} colspan="5" style="background-color:#eee; text-align:center; vertical-align:middle; font-weight:bold; padding:20px 2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} [[Datei:Farm-Fresh_cup.png|24px|verweis=]] &nbsp; Pause | PW= {{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|24px|verweis=]] {{!}}{{!}} colspan="5" style="background-color:#eee; text-align:center; vertical-align:middle; font-weight:bold; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} Phasenwechsel <br /> {{#if:{{{step|}}}| (<span style="font-weight:normal;">{{{step}}}</span>)|}} | GS= {{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} {{{t}}} {{!}}{{!}} style="background-color:#eee; vertical-align:middle; text-align:center; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} [[Datei:Farm-Fresh_routing_intersection_right.png|24px|verweis=]] {{!}}{{!}} colspan="4" style="background-color:#eee; vertical-align:middle; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} '''Gelenkstelle:'''<br /> {{#if:{{{step|}}}| {{{step}}} |}} | Hinweis= {{!}} class="lehrerhinweis" style="background-color:#eee; text-align:center; vertical-align:middle; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;"{{!}} [[Datei:Farm-Fresh_note.png|24px|verweis=]] {{!}}{{!}} colspan="5" style="background-color:#eee; text-align:left; vertical-align:middle; font-weight:bold; padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid; padding-left:7.3em;" {{!}} Hinweis {{#if:{{{step|}}}| (<span style="font-weight:normal;">{{{step}}}</span>)|}} | {{Stundenverlauf/Zeileninhalt |t={{#if:{{{t|}}}|{{{t}}}|}} |phase={{#if:{{{phase|}}}|{{Stundenverlauf/Phase|{{{phase}}} }} }} |step={{{step}}} |form={{#if:{{{form|}}}|{{Stundenverlauf/Form|{{{form}}} }} }} |methode={{#if:{{{methode|}}}|{{Stundenverlauf/Methode|{{{methode}}} }} }} |medium={{#if:{{{medium|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium}}} }} }} |medium1={{#if:{{{medium1|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium1}}} }} }} |medium2={{#if:{{{medium2|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium2}}} }} }} |medium3={{#if:{{{medium3|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium3}}} }} }} |medium4={{#if:{{{medium4|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium4}}} }} }} |medium5={{#if:{{{medium5|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium5}}} }} }} |medium6={{#if:{{{medium6|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium6}}} }} }} |medium7={{#if:{{{medium7|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium7}}} }} }} }} }} | {{Stundenverlauf/Zeileninhalt |t={{#if:{{{t|}}}|{{{t}}}|}} |phase={{#if:{{{phase|}}}|{{Stundenverlauf/Phase|{{{phase}}} }} }} |step={{{step}}} |form={{#if:{{{form|}}}|{{Stundenverlauf/Form|{{{form}}} }} }} |methode={{#if:{{{methode|}}}|{{{methode}}} }} |medium={{#if:{{{medium|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium}}} }} }} |medium1={{#if:{{{medium1|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium1}}} }} }} |medium2={{#if:{{{medium2|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium2}}} }} }} |medium3={{#if:{{{medium3|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium3}}} }} }} |medium4={{#if:{{{medium4|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium4}}} }} }} |medium5={{#if:{{{medium5|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium5}}} }} }} |medium6={{#if:{{{medium6|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium6}}} }} }} |medium7={{#if:{{{medium7|}}}|{{Stundenverlauf/Medium|{{{medium7}}} }} }} }} }}</includeonly><noinclude> Deise Vorlage ist ein Baustein der [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon genutzt werden.<br/ > Diese Vorlage erzeugt eine neue Spalte, stellt fest, ob es sich um eine spezielle Phase handelt (Pause, Phasenwechsel) und fügt diese dann ein oder ruft die [[:Vorlage:Stundenverlauf/Zeileninhalt]] auf. [[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Zeile]] </noinclude> b84b7521ab34e18fa993d13dbff24386c693b724 10 439 1538 1537 2014-02-08T21:29:34Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <includeonly> {{#if: {{{t}}} | {{!}} style="padding:2px; text-align:center; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} {{{t}}} | {{!}} style="padding:2px; text-align:center; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} 0' }} {{#if: {{{phase}}} | {{!}} style="padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid; text-align:center;" {{!}} {{{phase}}} | {{!}} style="border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} }} {{#if: {{{step}}} | {{!}} style="padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} {{{step}}} | {{!}} style="border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} }} {{#if: {{{form}}} | {{!}} style="padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid; text-align:center;" {{!}} {{{form}}} | {{!}} style="border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} }} {{#if: {{{methode}}} | {{!}} style="padding:2px; text-align:center; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} {{{methode}}} | {{!}} style="border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} }} {{#if: {{{medium}}} | {{!}} style="padding:2px; border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} {{{medium}}} | {{!}} style="border:1px solid #4682B4; page-break-inside:avoid;" {{!}} }} {{#if: {{{medium1}}} | {{{medium1}}} | }} {{#if: {{{medium2}}} | {{{medium2}}} | }} {{#if: {{{medium3}}} | {{{medium3}}} | }} {{#if: {{{medium4}}} | {{{medium4}}} | }} {{#if: {{{medium5}}} | {{{medium5}}} | }} {{#if: {{{medium6}}} | {{{medium6}}} | }} {{#if: {{{medium7}}} | {{{medium7}}} | }} </includeonly><noinclude> Diese Vorlage ist ein Baustein von [[:Vorlage:Stundenverlauf]] und sollte nicht unabhängig davon eingesetzt werden. 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[[Kategorie:Vorlage:Stundenverlauf|Zeileninhalt]] </noinclude> b70364a2d847647f665d424f446bac1025bde032 10 153 339 338 2012-02-01T16:53:12Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| {{Bausteindesign4}} | [[Bild:Zeichen 206.svg|32px]] | Diese Vorlage ist <span class="plainlinks">[{{fullurl:Spezial:Linkliste|target={{SUBJECTPAGENAMEE}}&hideredirs=1&hidelinks=1}} '''vielfach eingebunden''']. Wenn du die Auswirkungen genau kennst, kannst du sie [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} bearbeiten]</span>. Bitte berücksichtige den [[Spezial:Statistik|aktuellen Stand]] der [[mw:Manual:Job queue/de|Auftragswarteschlange]]. |}<noinclude> Diese Vorlage bitte '''immer''' mit <tt>&#60;noinclude&#62;&#123;{Tausendfach verwendet}&#125;&#60;/noinclude&#62;</tt> in andere Vorlagen einbauen! [[Kategorie:Vorlage:Hinweisbaustein|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlage:Vorlagenbausteine|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 338 2009-05-17T10:42:49Z Karl Kirst 2 katfix wikitext text/x-wiki {| {{Bausteindesign4}} | [[Bild:Zeichen 206.svg|32px]] | Diese Vorlage ist <span class="plainlinks">[{{fullurl:Spezial:Linkliste|target={{SUBJECTPAGENAMEE}}&hideredirs=1&hidelinks=1}} '''vielfach eingebunden''']. Wenn du die Auswirkungen genau kennst, kannst du sie [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} bearbeiten]</span>. Bitte berücksichtige den [[Spezial:Statistik|aktuellen Stand]] der [[mw:Manual:Job queue/de|Auftragswarteschlange]]. |}<noinclude> Diese Vorlage bitte '''immer''' mit <tt>&#60;noinclude&#62;&#123;{Tausendfach verwendet}&#125;&#60;/noinclude&#62;</tt> in andere Vorlagen einbauen! [[Kategorie:Vorlage:Hinweisbaustein|{{PAGENAME}}]] [[Kategorie:Vorlage:Vorlagenbausteine|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 10 154 341 340 2012-02-01T16:53:12Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Kasten mit kleinem Bild links farbig| BORDER = cornflowerblue| BACKGROUND = cornflowerblue| BREITE =100%| INHALT = {{{1}}}| HINTERGRUND = #eeeeee| BILD = Crystal 128 forward.png| ÜBERSCHRIFT = Test-Lernpfad| }}<includeonly>[[Kategorie:Test-Lernpfad für Mathematik]]</includeonly><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Test-Lernpfad-M|<text>}}</pre> ;Hinweise: # Mit dem Einfügen dieser Vorlage in einen Artikel wird dieser auch der [[:Kategorie:Test-Lernpfad für Mathematik]] zugeordnet. # Wie [[Vorlage:Lernpfad-M]] [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|-Test-Lernpfad-M]]</noinclude> 340 2010-04-08T13:39:43Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „{{Kasten mit kleinem Bild links farbig| BORDER = cornflowerblue| BACKGROUND = cornflowerblue| BREITE =100%| INHALT = {{{1}}}| HINTERGRUND = #eeeeee| BILD = Crys…“ wikitext text/x-wiki {{Kasten mit kleinem Bild links farbig| BORDER = cornflowerblue| BACKGROUND = cornflowerblue| BREITE =100%| INHALT = {{{1}}}| HINTERGRUND = #eeeeee| BILD = Crystal 128 forward.png| ÜBERSCHRIFT = Test-Lernpfad| }}<includeonly>[[Kategorie:Test-Lernpfad für Mathematik]]</includeonly><noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Test-Lernpfad-M|<text>}}</pre> ;Hinweise: # Mit dem Einfügen dieser Vorlage in einen Artikel wird dieser auch der [[:Kategorie:Test-Lernpfad für Mathematik]] zugeordnet. # Wie [[Vorlage:Lernpfad-M]] [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|-Test-Lernpfad-M]]</noinclude> 10 155 343 342 2012-02-01T16:53:12Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <div style="border: 2px solid #dfdfdf; 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padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:13em"> <div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-bottom:1px solid #aaaaaa;"> [[Bild:ZUM-Wiki-Logo.png|right|25px]] '''[[Hilfe:Unterricht|Unterricht]]''' </div> <div style="background:#fff;padding: .5em; padding-bottom: 1em; font-size: 90%;"> * [[Interaktive Übungen]] * [[ZUM-Wiki:Kurs- und Klassenseiten|Kurs- und Klassenseiten]] * [[Hilfe:Transklusion|Transklusion (Verkettung)]] * [[Hilfe:Verstecken und Anzeigen|Verstecken und Anzeigen]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen für die Schule|Vorlagen für die Schule]] </div> <div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-top:1px solid #aaaaaa;"> * [[Hilfe:MediaWiki|Handbuch zur Software]] </div></div> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]</noinclude> 350 2009-02-08T17:34:45Z Karl Kirst 2 linkfix wikitext text/x-wiki <div style="float:right;background:#ffffff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:13em"> <div style="font-size:100%; 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Im ZUM-Wiki ist es üblich, diese zu [[Hilfe:Unterschreiben|unterschreiben (signieren)]]. Dazu schreibst du einfach <code>--&#126;&#126;&#126;&#126;</code> dahinter. Alternativ kannst du auch mit dem Signatur-Icon (&nbsp;[[Bild:Signature_icon.png]]&nbsp;) an der Oberseite des Eingabefeldes die Zeichen für deine Unterschrift einfügen. Die Software wandelt die Zeichen beim Speichern automatisch in deinen Benutzernamen und einen Zeitstempel um.}} <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]</noinclude> 352 2008-10-02T07:42:36Z Ludwig-Dern-Schule 0 wikitext text/x-wiki {{Kasten ZUM-Wiki|Hallo, vielen Dank für deine Diskussionsbeiträge. Im ZUM-Wiki ist es üblich, diese zu [[Hilfe:Unterschreiben|unterschreiben (signieren)]]. Dazu schreibst du einfach <code>--&#126;&#126;&#126;&#126;</code> dahinter. Alternativ kannst du auch mit dem Signatur-Icon (&nbsp;[[Bild:Signature_icon.png]]&nbsp;) an der Oberseite des Eingabefeldes die Zeichen für deine Unterschrift einfügen. 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Files are categorized in [[:Category:Media uploaded without a license]] *Current ({{ISOdate|2011-11-25}}) discussion: [[Commons_talk:Upload_Wizard#New UW version deployed (Multi-file selection and more)]] * {{see also cat|Media uploaded without a license|banner=no}} [[Category:Problem tags|{{PAGENAME}}]] This is added to files:<br /> </noinclude><includeonly>{</includeonly><noinclude>&#123;</noinclude>{Remove this line and insert a license instead|year={{<includeonly>subst:</includeonly>CURRENTYEAR}}|month={{<includeonly>subst:</includeonly>CURRENTMONTH}}|day={{<includeonly>subst:</includeonly>CURRENTDAY2}}}} 7fdba26b1b174b7a27b534f7ad4d286e5e1dd65b 1373 2014-02-03T22:27:45Z Karl Kirst 2 übernommen aus Wikimedia Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/Template:Uwl wikitext text/x-wiki <noinclude> This template (uploaded without license tag) is used to tag files uploaded (but not by using the basic form apparently). Usually [[:User:Nikbot]] (it ignores this template) will come by after some time and add a {{tl|no license since}} and inform the uploader. This template is added (substed) by UW (but not by the basic upload form) for uploads without a license: {{tl|Remove this line and insert a license instead}} with time parameters filled in (see below). 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margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps edu science.png|30px]] &nbsp; Versuch </div> {{{1}}} |}<noinclude> ;Syntax: <nowiki>{{Versuch|<Versuchsbeschreibung>}}</nowiki> ;Hinweis: Während diese Vorlage eine feste Seitenbreite hat, ist die Breite der [[Vorlage:Versuch float]] flexibel und passt sich Beispiel einem Bild am Seitenrand an. <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Versuch]]</noinclude> 358 2009-12-17T19:48:47Z Karl Kirst 2 Hinweis auf Vorlage:Versuch float wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#9acd32}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; 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margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; float:left; -->background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps edu science.png|30px]] &nbsp; Versuch </div> {{{1}}} |}<noinclude> <br> <br> <br> <br> <br> ;Das schreibt man: <pre>{{Versuch float|<Versuchsbeschreibung>}}</pre> ;Hinweis: Während diese Vorlage eine flexible Breite hat und sich zum Beispiel einem Bild am Seitenrand anpasst, hat die [[Vorlage:Versuch]] eine feste Seitenbreite. <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Versuch float]]</noinclude> 10 165 363 362 2012-02-01T16:53:13Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <includeonly><span class="plainlinks">[{{fullurl:Spezial:Linkliste|limit=200&hideredirs=1&hidelinks=1&target={{#if: {{{seite|}}}|{{urlencode:{{{seite}}} }}|{{FULLPAGENAMEE}} }}&namespace={{{ns|0}}}}} {{{text|Verwendung}}}]</span></includeonly><noinclude> {{Tausendfach verwendet}} {{Dokumentation}} </noinclude> 362 2011-01-05T15:56:42Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki <includeonly><span class="plainlinks">[{{fullurl:Spezial:Linkliste|limit=200&hideredirs=1&hidelinks=1&target={{#if: {{{seite|}}}|{{urlencode:{{{seite}}} }}|{{FULLPAGENAMEE}} }}&namespace={{{ns|0}}}}} {{{text|Verwendung}}}]</span></includeonly><noinclude> {{Tausendfach verwendet}} {{Dokumentation}} </noinclude> 10 440 1542 1541 2014-02-08T21:29:35Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div style="float:right;background:#ffffff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:13em"> <div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-bottom:1px solid #aaaaaa;"> [[Datei:ZUM-Logo.png|right|25px]]'''[[ZUM-Wiki:Vorlagen|Vorlagen (Bausteine)]]''' </div> <div style="background:#fff;padding: .5em; padding-bottom: 1em; font-size: 90%;"> '''[[Vorlage:Kasten-Hinweis|Kasten-Hinweis]]''' beachten! ---- * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Augenmerk|Augenmerk]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Baukastendesign|Baukastendesign]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Formatierungshilfen|Formatierungshilfen]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen für die Schule|Für die Schule]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Hinweise|Hinweise]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen|Kästen]] * [[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfo]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Links|Links]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Medien|Medien & Symbole]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Navigation|Navigation]] ---- * [[Hilfe:Listen und Tabellen|Listen und Tabellen]] </div> <div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-top:1px solid #aaaaaa;"> * [[ZUM-Wiki:Richtlinien|Regeln und Konventionen]] </div></div> 82504fb5fadc6f7df6d7f32903827b1303b975be 1541 2012-11-06T22:32:35Z Karl Kirst 2 Datei:ZUM-Logo.png wikitext text/x-wiki <div style="float:right;background:#ffffff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:13em"> <div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-bottom:1px solid #aaaaaa;"> [[Datei:ZUM-Logo.png|right|25px]]'''[[ZUM-Wiki:Vorlagen|Vorlagen (Bausteine)]]''' </div> <div style="background:#fff;padding: .5em; padding-bottom: 1em; font-size: 90%;"> '''[[Vorlage:Kasten-Hinweis|Kasten-Hinweis]]''' beachten! ---- * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Augenmerk|Augenmerk]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Baukastendesign|Baukastendesign]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Formatierungshilfen|Formatierungshilfen]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen für die Schule|Für die Schule]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Hinweise|Hinweise]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen|Kästen]] * [[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfo]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Links|Links]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Medien|Medien & Symbole]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Navigation|Navigation]] ---- * [[Hilfe:Listen und Tabellen|Listen und Tabellen]] </div> <div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#f9f9f9; border-top:1px solid #aaaaaa;"> * [[ZUM-Wiki:Richtlinien|Regeln und Konventionen]] </div></div> 82504fb5fadc6f7df6d7f32903827b1303b975be 10 166 365 364 2012-02-01T16:53:13Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <includeonly>{| class="plainlinks vorlagenbox vorlagenbox-{{{Typ|Notiz}}} {{{Klasse|}}}" style="margin: -1px 10%; border-collapse: collapse; background: #fbfbfb; border: 1px solid #aaaaaa; {{#switch: {{{Typ|}}} | Warnung = border-left: 1em solid #b22222; | Hinweis = border-left: 1em solid #f57900; | Auszeichnung = border-left: 1em solid #cba135; background: #fcf4dc; | Nuetzlich = border-left: 1em solid #73d216; | Gesperrt = border-left: 1em solid #bbbbaa; | Lizenz = border-left: 1em solid #8888aa; background: #e1e1ea; | Rechtlich = border-left: 1em solid #666666; | Notiz | #default = border-left: 1em solid #608EC2; background: #fbfcff; }} {{{Gestaltung|}}}" {{#ifeq:{{{Bild|}}}|keins| {{!}} class="vorlagenbox-Kein_Bild" style="border: none; padding: 0; width: 1px;" {{!}} | {{!}} class="vorlagenbox-Bild_links" style="border: none; padding: 2px 2px 2px 0.9em; text-align: center;" {{!}} {{#if:{{{Bild|}}} | {{#ifeq:{{{Bild|}}}|leer| <div class="vorlagenbox-Bildplatzhalter" style="width:45px;"> &nbsp; </div> | {{{Bild}}} }} | {{#switch:{{{Typ|}}} | Warnung = [[Datei:Gnome-emblem-important.svg|45px|link=]] | Hinweis = [[Datei:Commons-emblem-issue.svg|45px|link=]] | Auszeichnung = [[Datei:Gnome-emblem-new.svg|45px|link=]] | Nuetzlich = [[Datei:Gnome-emblem-default.svg|45px|link=]] | Gesperrt = [[Datei:Gnome-emblem-readonly.svg|45px|link=]] | Lizenz = [[Datei:Commons-emblem-copyright.svg|45px|link=]] | Rechtlich = [[Datei:Commons-emblem-legal.svg|45px|link=]] | Notiz | #default = [[Datei:Commons-emblem-notice.svg|45px|link=]] }} }} }} | class="vorlagenbox-Textgestaltung" style="border: none; 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Denn dies erleichtert die Zusammenarbeit. Bitte stelle Dich doch kurz vor, so wie es in der [[#Begrüßung|Begrüßung]] genannt wird. - Und natürlich darfst Du auch gerne noch Anderes über Dich schreiben. Viele Grüße <noinclude> ;Das schreibt man: <!--<pre> {{Vorstellen}} ~~~~</pre> :oder besser:--> <pre> {{subst:Vorstellen}} ~~~~</pre> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine]] [[Kategorie:ZUM-Wiki]] </noinclude> 366 2010-09-15T14:44:47Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „Hallo {{PAGENAME}}, es wäre nett zu wissen, mit wem wir es zu tun haben. Denn dies erleichtert die Zusammenarbeit. Bitte stelle Dich doch kurz vor, so wie es …“ wikitext text/x-wiki Hallo {{PAGENAME}}, es wäre nett zu wissen, mit wem wir es zu tun haben. Denn dies erleichtert die Zusammenarbeit. Bitte stelle Dich doch kurz vor, so wie es in der [[#Begrüßung|Begrüßung]] genannt wird. - Und natürlich darfst Du auch gerne noch Anderes über Dich schreiben. Viele Grüße <noinclude> ;Das schreibt man: <!--<pre> {{Vorstellen}} ~~~~</pre> :oder besser:--> <pre> {{subst:Vorstellen}} ~~~~</pre> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine]] [[Kategorie:ZUM-Wiki]] </noinclude> 10 168 369 368 2012-02-01T16:53:13Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <!--- Hinweis: Vorlage so nutzen: {{w|<Text>|<Artikel>}} ---> [[wikipedia:w:de:{{{1}}}|{{{2}}}]] 368 2006-10-18T11:18:23Z Karl Kirst 2 +w wikitext text/x-wiki <!--- Hinweis: Vorlage so nutzen: {{w|<Text>|<Artikel>}} ---> [[wikipedia:w:de:{{{1}}}|{{{2}}}]] 10 343 1474 1169 2014-02-08T21:27:55Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Wappenrecht"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen eine {{wpde|Flagge}}, ein {{wpde|Wappen}}, ein {{wpde|Siegel}} oder ein anderes {{wpde|Hoheitszeichen}} dar. Auch wenn diese Datei unter einer {{wpde|Freie Lizenz|freien Lizenz}} steht oder nicht urheberrechtlich geschützt ist, kann ihre Verbreitung, Veränderung oder sonstige Verwertung durch besondere rechtliche Bestimmungen innerhalb und außerhalb des Urheberrechts eingeschränkt sein. |} </div><includeonly>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|{{ns:6}}| [[Kategorie:Datei:Hoheitszeichen|{{PAGENAME}}]] }}</includeonly> <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Hinweis für Bilder|{{PAGENAME}}]]{{Commons|Template:Coat of Arms}}{{Commons|Template:Insignia}} </noinclude> <noinclude> [[Kategorie:Vorlagen-Export]] </noinclude> 1169 1168 2013-02-08T20:52:33Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki <div id="Vorlage_Wappenrecht"> {| {{Lizenzdesign4}} | Diese Datei oder Bestandteile davon stellen eine {{wpde|Flagge}}, ein {{wpde|Wappen}}, ein {{wpde|Siegel}} oder ein anderes {{wpde|Hoheitszeichen}} dar. 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Kurse oder Projekte, in denen Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. * Die wichtigsten Hilfen findest du unter: [http://wikis.zum.de/projektwiki/images/8/86/Kurzanleitung_Projektwiki_2012.pdf Kurzanleitung] - [[Hilfe:Layout|Layout]] - [[Hilfe:Multimedia|Multimedia]] - [[Hilfe:Quiz|Quiz]] - [[Hilfe:Tabellen|Tabellen]] * Wenn du nicht mehr weiter weißt, helfen wir gerne weiter. Bitte stell deine Fragen bei einem [[Spezial:Benutzer/sysop|Admin]] unter {{Register|Diskussion}}. Unterschreibe deine Beiträge mit einem Klick auf das Symbol [[Datei:Button - Unterschrift.png|Signatur und Zeitstempel]] im WikiEditor unter "Erweitert". * Bitte beachte die [[Hilfe:Richtlinien im Wiki|Richtlinien im Wiki]]. '''Viel Spaß''' und eine '''gute Zusammenarbeit ''' wünschen die '''''[[Spezial:Benutzer/sysop|Admins]]''''' im ''{{SITENAME}}'' </div> 155cdad558cea8c55ee4ae7d9aec51175e3c4a6d 1574 1573 2014-02-08T21:50:25Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <big><span style="color:#FFC125">&nbsp;'''Herzlich Willkommen im {{SITENAME}} '''</span> </big> * Bitte stelle Dich doch [[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]] vor. ** Bist Du Schüler/in (Studierende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und Deine Lehrkraft, in deren Unterricht Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. ** Bist Du Lehrer/in (Lehrende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und/oder Unterrichtsfächer bzw. Kurse oder Projekte, in denen Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. * Die wichtigsten Hilfen findest du unter: [http://wikis.zum.de/projektwiki/images/8/86/Kurzanleitung_Projektwiki_2012.pdf Kurzanleitung] - [[Hilfe:Layout|Layout]] - [[Hilfe:Multimedia|Multimedia]] - [[Hilfe:Quiz|Quiz]] - [[Hilfe:Tabellen|Tabellen]] * Wenn du nicht mehr weiter weißt, helfen wir gerne weiter. Bitte stell deine Fragen bei einem [[Spezial:Benutzer/sysop|Admin]] unter {{Register|Diskussion}}. Unterschreibe deine Beiträge mit einem Klick auf das Symbol [[Bild:Button sig.png]]. * Bitte beachte die [[Hilfe:Richtlinien im Wiki|Richtlinien im Wiki]]. '''Viel Spaß''' und eine '''gute Zusammenarbeit ''' wünschen die '''''[[Spezial:Benutzer/sysop|Admins]]''''' im ''{{SITENAME}}'' </div> 774ac94ce2155d5e2520601b584d3563fdfe78ab 1573 1197 2014-02-07T21:14:58Z Karl Kirst 2 - kat wikitext text/x-wiki <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <big><span style="color:#FFC125">&nbsp;'''Herzlich Willkommen im {{SITENAME}} '''</span> </big> * Bitte stelle Dich doch [[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]] vor. ** Bist Du Schüler/in (Studierende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und Deine Lehrkraft, in deren Unterricht Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. ** Bist Du Lehrer/in (Lehrende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und/oder Unterrichtsfächer bzw. Kurse oder Projekte, in denen Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. * Die wichtigsten Hilfen findest du unter: [http://wikis.zum.de/projektwiki/images/8/86/Kurzanleitung_Projektwiki_2012.pdf Kurzanleitung] - [[Hilfe:Layout|Layout]] - [[Hilfe:Multimedia|Multimedia]] - [[Hilfe:Quiz|Quiz]] - [[Hilfe:Tabellen|Tabellen]] * Wenn du nicht mehr weiter weißt, helfen wir gerne weiter. Bitte stell deine Fragen bei einem [[Spezial:Benutzer/sysop|Admin]] unter {{Register|Diskussion}}. Unterschreibe deine Beiträge mit einem Klick auf das Symbol [[Bild:Button sig.png]]. * Bitte beachte die [[Hilfe:Richtlinien im Wiki|Richtlinien im Wiki]]. '''Viel Spaß''' und eine '''gute Zusammenarbeit ''' wünschen die '''''[[Spezial:Benutzer/sysop|Admins]]''''' im ''{{SITENAME}}'' </div> 774ac94ce2155d5e2520601b584d3563fdfe78ab 1197 1196 2013-02-08T20:52:52Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Wiki-Family-Portal wikitext text/x-wiki <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <big><span style="color:#FFC125">&nbsp;'''Herzlich Willkommen im {{SITENAME}} '''</span> </big> * Bitte stelle Dich doch [[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]] vor. ** Bist Du Schüler/in (Studierende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und Deine Lehrkraft, in deren Unterricht Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. ** Bist Du Lehrer/in (Lehrende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und/oder Unterrichtsfächer bzw. Kurse oder Projekte, in denen Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. * Die wichtigsten Hilfen findest du unter: [http://wikis.zum.de/projektwiki/images/8/86/Kurzanleitung_Projektwiki_2012.pdf Kurzanleitung] - [[Hilfe:Layout|Layout]] - [[Hilfe:Multimedia|Multimedia]] - [[Hilfe:Quiz|Quiz]] - [[Hilfe:Tabellen|Tabellen]] * Wenn du nicht mehr weiter weißt, helfen wir gerne weiter. Bitte stell deine Fragen bei einem [[Spezial:Benutzer/sysop|Admin]] unter {{Register|Diskussion}}. Unterschreibe deine Beiträge mit einem Klick auf das Symbol [[Bild:Button sig.png]]. * Bitte beachte die [[Hilfe:Richtlinien im Wiki|Richtlinien im Wiki]]. '''Viel Spaß''' und eine '''gute Zusammenarbeit ''' wünschen die '''''[[Spezial:Benutzer/sysop|Admins]]''''' im ''{{SITENAME}}'' </div> <noinclude>[[Kategorie:Zentraler Vorlagen-Export]]</noinclude> 1196 2013-01-06T19:23:58Z Karl Kirst 2 http://wikis.zum.de/projektwiki/images/8/86/Kurzanleitung_Projektwiki_2012.pdf wikitext text/x-wiki <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <big><span style="color:#FFC125">&nbsp;'''Herzlich Willkommen im {{SITENAME}} '''</span> </big> * Bitte stelle Dich doch [[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]] vor. ** Bist Du Schüler/in (Studierende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und Deine Lehrkraft, in deren Unterricht Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. ** Bist Du Lehrer/in (Lehrende/r), dann nenne auch Deine Schule (Institution) und/oder Unterrichtsfächer bzw. Kurse oder Projekte, in denen Du das ''{{SITENAME}}'' nutzt. * Die wichtigsten Hilfen findest du unter: [http://wikis.zum.de/projektwiki/images/8/86/Kurzanleitung_Projektwiki_2012.pdf Kurzanleitung] - [[Hilfe:Layout|Layout]] - [[Hilfe:Multimedia|Multimedia]] - [[Hilfe:Quiz|Quiz]] - [[Hilfe:Tabellen|Tabellen]] * Wenn du nicht mehr weiter weißt, helfen wir gerne weiter. Bitte stell deine Fragen bei einem [[Spezial:Benutzer/sysop|Admin]] unter {{Register|Diskussion}}. Unterschreibe deine Beiträge mit einem Klick auf das Symbol [[Bild:Button sig.png]]. * Bitte beachte die [[Hilfe:Richtlinien im Wiki|Richtlinien im Wiki]]. '''Viel Spaß''' und eine '''gute Zusammenarbeit ''' wünschen die '''''[[Spezial:Benutzer/sysop|Admins]]''''' im ''{{SITENAME}}'' </div> <noinclude>[[Kategorie:Zentraler Vorlagen-Export]]</noinclude> 10 169 371 370 2012-02-01T16:53:13Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki == Keine Werbelinks == {{ZUM-Wiki| Hallo {{PAGENAME}}, Du hast auf der Seite [[{{{1}}}]] einen Link eingefügt, der ganz offensichtlich (zumindest) vorwiegend werbenden Charakter hat. Im ZUM-Wiki sind [[ZUM-Wiki:Werbelinks|Werbelinks nicht erwünscht]]. Deshalb wurde Dein Eintrag wieder rückgängig gemacht. (Dies gilt gegebenenfalls auch für weitere derartige Beiträge auf anderen Seiten.) Inhaltliche Beiträge sind natürlich weiterhin willkommen.}} Mit freundlichen Grüßen <noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Werbelink|<int. Link>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Werbelink]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Werbelink]]</noinclude> 370 2011-02-27T12:44:10Z Karl Kirst 2 typo wikitext text/x-wiki == Keine Werbelinks == {{ZUM-Wiki| Hallo {{PAGENAME}}, Du hast auf der Seite [[{{{1}}}]] einen Link eingefügt, der ganz offensichtlich (zumindest) vorwiegend werbenden Charakter hat. Im ZUM-Wiki sind [[ZUM-Wiki:Werbelinks|Werbelinks nicht erwünscht]]. Deshalb wurde Dein Eintrag wieder rückgängig gemacht. (Dies gilt gegebenenfalls auch für weitere derartige Beiträge auf anderen Seiten.) Inhaltliche Beiträge sind natürlich weiterhin willkommen.}} Mit freundlichen Grüßen <noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Werbelink|<int. Link>}}</pre> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|Werbelink]] [[Kategorie:Vorlage:Hinweis-Bausteine|Werbelink]]</noinclude> 10 170 373 372 2012-02-01T16:53:13Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude>{{häufig benutzt}}</noinclude> == Begrüßung == {{Kastendesign2 farbig ohne Bild| BORDER = #97BF87| BACKGROUND = #F2C18C| HINTERGRUND = #FBFBEF| BREITE =100%| BILD = Crystal 128 three.png| ÜBERSCHRIFT =Willkommen im ZUM-Wiki!| INHALT1= '''''Hallo {{PAGENAME}}! <br>Schön, dass Du zu uns gefunden hast, dass Sie<ref>Das "Du" hier ist freundlich und höflich gemeint. Bitte lesen Sie es als "Sie", wenn Sie dies für angemessener halten. (Siehe dazu auch: [[Hilfe:Anrede]].)</ref> zu uns gefunden haben!''''' Bitte '''stell''' Dich doch gleich (kurz) '''[[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]]''' vor (wenn dies noch nicht geschehen ist) und erläutere dabei auch gerne die Motive für Deine Mitarbeit im ZUM-Wiki. - Zwei Informationen möchten wir von Dir: # Deine schulische (oder anderweitige) Tätigkeit. # Deine institutionelle Anbindung: Welche Schule / Hochschule / Institution? Bist Du Schüler/in, dann nenne neben dieser "Tätigkeit" auch Deine Schule und/oder Deine aktuelle Lehrkraft, in deren Unterricht Du das ZUM-Wiki nutzt: "Ich bin Schüler/in bei Frau/Herrn ... an der ...-Schule ..." Klicke hierzu einfach oben auf {{Register|Benutzerseite}} und dort auf {{Register|bearbeiten}}. ---- <references/> |INHALT2= [[Datei:ZUM-Wiki-Logo.png|right|75px]] Wenn Du '''Fragen''' hast, schreibe sie einfach '''hier auf Deine Diskussionsseite''', indem du oben auf {{Register|bearbeiten}} oder {{Register|+}} klickst. Deine Beiträge auf Diskussionsseiten „'''[[Hilfe:Unterschreiben|unterschreibst]]'''“ Du mit <nowiki>~~~~</nowiki> oder mit einem Klick auf das Symbol [[Bild:Signature icon.png]]. ;Hilfreiche Seiten * [[Hilfe:Textgestaltung]] * Hinweise für [[ZUM-Wiki:Hinweise für Lehrer|Lehrer]] und [[ZUM-Wiki:Hinweise für Schüler|Schüler]] :'''Viel Spaß''' und eine '''gute Zusammenarbeit''' wünschen :''die '''[[ZUM-Wiki:Administratoren|Administratoren]]'''}} Stellvertretend grüßt Dich <noinclude> ;Das schreibt man: <!--<pre> {{Willkommen}} ~~~~</pre> :oder besser:--> <pre> {{subst:Willkommen}} ~~~~</pre> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine]] [[Kategorie:ZUM-Wiki]] </noinclude> 372 2011-04-03T09:50:52Z Karl Kirst 2 typo wikitext text/x-wiki <noinclude>{{häufig benutzt}}</noinclude> == Begrüßung == {{Kastendesign2 farbig ohne Bild| BORDER = #97BF87| BACKGROUND = #F2C18C| HINTERGRUND = #FBFBEF| BREITE =100%| BILD = Crystal 128 three.png| ÜBERSCHRIFT =Willkommen im ZUM-Wiki!| INHALT1= '''''Hallo {{PAGENAME}}! <br>Schön, dass Du zu uns gefunden hast, dass Sie<ref>Das "Du" hier ist freundlich und höflich gemeint. Bitte lesen Sie es als "Sie", wenn Sie dies für angemessener halten. (Siehe dazu auch: [[Hilfe:Anrede]].)</ref> zu uns gefunden haben!''''' Bitte '''stell''' Dich doch gleich (kurz) '''[[Benutzer:{{PAGENAME}}|auf Deiner Benutzerseite]]''' vor (wenn dies noch nicht geschehen ist) und erläutere dabei auch gerne die Motive für Deine Mitarbeit im ZUM-Wiki. - Zwei Informationen möchten wir von Dir: # Deine schulische (oder anderweitige) Tätigkeit. # Deine institutionelle Anbindung: Welche Schule / Hochschule / Institution? Bist Du Schüler/in, dann nenne neben dieser "Tätigkeit" auch Deine Schule und/oder Deine aktuelle Lehrkraft, in deren Unterricht Du das ZUM-Wiki nutzt: "Ich bin Schüler/in bei Frau/Herrn ... an der ...-Schule ..." Klicke hierzu einfach oben auf {{Register|Benutzerseite}} und dort auf {{Register|bearbeiten}}. ---- <references/> |INHALT2= [[Datei:ZUM-Wiki-Logo.png|right|75px]] Wenn Du '''Fragen''' hast, schreibe sie einfach '''hier auf Deine Diskussionsseite''', indem du oben auf {{Register|bearbeiten}} oder {{Register|+}} klickst. Deine Beiträge auf Diskussionsseiten „'''[[Hilfe:Unterschreiben|unterschreibst]]'''“ Du mit <nowiki>~~~~</nowiki> oder mit einem Klick auf das Symbol [[Bild:Signature icon.png]]. ;Hilfreiche Seiten * [[Hilfe:Textgestaltung]] * Hinweise für [[ZUM-Wiki:Hinweise für Lehrer|Lehrer]] und [[ZUM-Wiki:Hinweise für Schüler|Schüler]] :'''Viel Spaß''' und eine '''gute Zusammenarbeit''' wünschen :''die '''[[ZUM-Wiki:Administratoren|Administratoren]]'''}} Stellvertretend grüßt Dich <noinclude> ;Das schreibt man: <!--<pre> {{Willkommen}} ~~~~</pre> :oder besser:--> <pre> {{subst:Willkommen}} ~~~~</pre> [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine]] [[Kategorie:ZUM-Wiki]] </noinclude> 10 171 1476 1475 2014-02-08T21:27:56Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Vorlage:Wpde]] 3a6a22f2f17ecd202e2926eff70248cae07a352b 1475 375 2013-01-03T14:41:45Z Karl Kirst 2 hat „[[Vorlage:Wpd]]“ nach „[[Vorlage:Wpde]]“ verschoben: deutlicher wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Vorlage:Wpde]] 3a6a22f2f17ecd202e2926eff70248cae07a352b 375 374 2012-02-01T16:53:14Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki [[wikipedia:de:{{{1}}}|{{{1}}}]]^{[[Bild:W-Logo.gif|12px]]}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Linkbausteine|Wpd]]</noinclude> 374 2009-12-31T17:00:31Z Karl Kirst 2 wikitext text/x-wiki [[wikipedia:de:{{{1}}}|{{{1}}}]]^{[[Bild:W-Logo.gif|12px]]}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Linkbausteine|Wpd]]</noinclude> 10 172 1478 1097 2014-02-08T21:27:56Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki [[wikipedia:de:{{{1}}}|{{#if: {{{2|}}} | {{{2}}} | {{{1}}} }}]]^{[[Datei:Wikipedia-logo-v2.svg|12px]]}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{wpd|<Artikelname in der Wikipedia#ggf. mit Sprungziel>|<ggf. 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Wenn eine flexible Breite gewünscht ist, damit z.B. ein Bild diese Vorlage umfließen kann, verwende [[Vorlage:Zitat float]]. Weitere Hinweise zur Handhabung dieser Vorlage stehen unter: * [[:zum-wiki:ZUM-Wiki:Vorlagen/Zitat|Vorlagen/Zitat - im ZUM-Wiki]] Beachte bitte auch die Regeln zum richtigen Zitieren unter: * [[:zum-wiki:Zitieren|Zitieren - im ZUM-Wiki]] [[Kategorie:Vorlage:Zitatbausteine|Zitat]] </noinclude><noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1078 2012-10-01T22:05:20Z Karl Kirst 2 Kategorie:Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|silver}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}" |- |<!--[[Bild:ZitatAnfang.gif|12px]]-->{{{1}}}<!--[[Bild:ZitatEnde.gif|12px]]--> ---- <small>{{{2}}}</small> |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Zitat|<Text>|<Quelle>}}</pre> ;Achtung: Diese Vorlage nimmt immer die ganze Seitenbreite ein. Wenn eine flexible Breite gewünscht ist, damit z.B. ein Bild diese Vorlage umfließen kann, verwende [[Vorlage:Zitat float]]. Weitere Hinweise zur Handhabung dieser Vorlage stehen unter: * [[:zum-wiki:ZUM-Wiki:Vorlagen/Zitat|Vorlagen/Zitat - im ZUM-Wiki]] Beachte bitte auch die Regeln zum richtigen Zitieren unter: * [[:zum-wiki:Zitieren|Zitieren - im ZUM-Wiki]] [[Kategorie:Vorlage:Zitatbausteine|Zitat]] </noinclude><noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 10 325 1077 1076 2013-02-08T20:52:26Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|silver}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; <!--width: {{{Breite|100%}}}; -->background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}" |- |<!--[[Bild:ZitatAnfang.gif|12px]]-->{{{1}}}<!--[[Bild:ZitatEnde.gif|12px]]--> ---- <small>{{{2}}}</small> |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Zitat float|<Text>|<Quelle>}}</pre> ;Achtung: Diese Vorlage passt sich in der Seitenbreite z.B. einem rechts stehenden Bild an. Wenn eine feste Breite gewünscht ist, verwende [[Vorlage:Zitat]]. Weitere Hinweise zur Handhabung dieser Vorlage stehen unter: * [[:zum-wiki:ZUM-Wiki:Vorlagen/Zitat|Vorlagen/Zitat - im ZUM-Wiki]] Beachte bitte auch die Regeln zum richtigen Zitieren unter: * [[:zum-wiki:Zitieren|Zitieren - im ZUM-Wiki]] [[Kategorie:Vorlage:Zitatbausteine|Zitat float]] </noinclude><noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 1076 2012-10-01T22:03:34Z Karl Kirst 2 Kategorie:Vorlagen-Export wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|silver}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; <!--width: {{{Breite|100%}}}; -->background-color: {{{Hintergrund|#efefef}}}" |- |<!--[[Bild:ZitatAnfang.gif|12px]]-->{{{1}}}<!--[[Bild:ZitatEnde.gif|12px]]--> ---- <small>{{{2}}}</small> |}<noinclude> ;Das schreibt man: <pre>{{Zitat float|<Text>|<Quelle>}}</pre> ;Achtung: Diese Vorlage passt sich in der Seitenbreite z.B. einem rechts stehenden Bild an. 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Auch Vorschläge auf der Diskussionsseite sind hilfreich.}}<noinclude> [[Kategorie:Vorlage:Bearbeitungsbausteine|Überarbeiten]]</noinclude><includeonly> [[Kategorie:überarbeiten]]</includeonly><noinclude>[[Kategorie:Vorlagen-Export]]</noinclude> 10 156 345 344 2012-02-01T16:53:12Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {{Anker|{{{1}}}}}<div class="Vorlage_Ueberschriftensimulation_4" style="margin:0; margin-bottom:.3em; padding-top:.5em; padding-bottom:.17em; background:none; font-size:116%; color:black; font-weight:bold">{{{1}}}</div><noinclude> ---- Simuliert in ''Diskussionseiten'' eine Überschrift, die nicht im Inhaltsverzeichnis erscheinen soll. In ''Artikeln'' darf diese Vorlage nicht verwendet werden; dafür gibt es andere Lösungen, siehe [[Hilfe:Inhaltsverzeichnis]]. Für Syntax und Anwendung siehe [[Wikipedia:Textbausteine/Formatierungshilfen]]. [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Uberschriftensimulation 4]] </noinclude> 344 2011-01-05T15:56:42Z Karl Kirst 2 1 Version:&#32;Vorlagen importieren wikitext text/x-wiki {{Anker|{{{1}}}}}<div class="Vorlage_Ueberschriftensimulation_4" style="margin:0; margin-bottom:.3em; padding-top:.5em; padding-bottom:.17em; background:none; font-size:116%; color:black; font-weight:bold">{{{1}}}</div><noinclude> ---- Simuliert in ''Diskussionseiten'' eine Überschrift, die nicht im Inhaltsverzeichnis erscheinen soll. In ''Artikeln'' darf diese Vorlage nicht verwendet werden; dafür gibt es andere Lösungen, siehe [[Hilfe:Inhaltsverzeichnis]]. Für Syntax und Anwendung siehe [[Wikipedia:Textbausteine/Formatierungshilfen]]. [[Kategorie:Vorlage:Formatierungshilfe|Uberschriftensimulation 4]] </noinclude> 10 157 347 346 2012-02-01T16:53:12Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}};background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]] &nbsp; Übung </div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}}<pre>{{Übung|<Text der Übung>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage beansprucht immer die volle Seitenbreite. - Eine flexible Breite hat die [[Vorlage:Übung float]]. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Übung]]</noinclude> 346 2009-06-25T18:57:23Z Karl Kirst 2 -> float wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}};background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]] &nbsp; Übung </div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}}<pre>{{Übung|<Text der Übung>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage beansprucht immer die volle Seitenbreite. - Eine flexible Breite hat die [[Vorlage:Übung float]]. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Übung]]</noinclude> 10 158 349 348 2012-02-01T16:53:12Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]] &nbsp; Übung </div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}}<pre>{{Übung|<Text der Übung>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage hat eine flexible Breite. - Eine feste Breite (die volle Seitenbreite) hat die [[Vorlage:Übung]]. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Übung float]]</noinclude> 348 2009-06-25T18:59:05Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto;...“ wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}" |- |<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]] &nbsp; Übung </div> {{{1}}} |}<noinclude> {{Quellcode}}<pre>{{Übung|<Text der Übung>}}</pre> ;Hinweis: Diese Vorlage hat eine flexible Breite. - Eine feste Breite (die volle Seitenbreite) hat die [[Vorlage:Übung]]. [[Kategorie:Vorlage:Aufgabenbausteine|Übung float]]</noinclude> 11 328 1093 1092 2013-02-08T20:52:27Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki #Weiterleitung[[Benutzer:New user message]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] 1092 2012-11-12T22:40:39Z Karl Kirst 2 Weiterleitung nach [[Benutzer:New user message]] erstellt wikitext text/x-wiki #Weiterleitung[[Benutzer:New user message]] [[Kategorie:Vorlagen-Export]] 12 302 1562 1561 2014-02-08T21:50:15Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki Diese Seite hier ist aus dem [[:zum-wiki:|ZUM-Wiki]] eingebunden, und zwar mit dem folgenden Quellcode: <pre>{{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}}</pre> Die aktuelle Lösung ist vorläufig und noch unbefriedigend, da die Seite noch soweit angepasst werden müsste, dass sie (einschließlich der eingebundenen Grafiken) sowohl im ZUM-Wiki wie auch hier sinnvoll, also mit passenden Verlinkungen angezeigt wird. ---- {{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}} 449c57192acbb1bdc7b468556f76449b0edc5a49 1561 1029 2014-02-08T15:44:45Z Karl Kirst 2 - kat wikitext text/x-wiki Diese Seite hier ist aus dem [[:zum-wiki:|ZUM-Wiki]] eingebunden, und zwar mit dem folgenden Quellcode: <pre>{{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}}</pre> Die aktuelle Lösung ist vorläufig und noch unbefriedigend, da die Seite noch soweit angepasst werden müsste, dass sie (einschließlich der eingebundenen Grafiken) sowohl im ZUM-Wiki wie auch hier sinnvoll, also mit passenden Verlinkungen angezeigt wird. ---- {{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}} 449c57192acbb1bdc7b468556f76449b0edc5a49 1029 1028 2013-02-08T20:52:07Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Diese Seite hier ist aus dem [[:zum-wiki:|ZUM-Wiki]] eingebunden, und zwar mit dem folgenden Quellcode: <pre>{{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}}</pre> Die aktuelle Lösung ist vorläufig und noch unbefriedigend, da die Seite noch soweit angepasst werden müsste, dass sie (einschließlich der eingebundenen Grafiken) sowohl im ZUM-Wiki wie auch hier sinnvoll, also mit passenden Verlinkungen angezeigt wird. ---- {{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 1028 2012-10-23T22:47:03Z Karl Kirst 2 Einleitung wikitext text/x-wiki Diese Seite hier ist aus dem [[:zum-wiki:|ZUM-Wiki]] eingebunden, und zwar mit dem folgenden Quellcode: <pre>{{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}}</pre> Die aktuelle Lösung ist vorläufig und noch unbefriedigend, da die Seite noch soweit angepasst werden müsste, dass sie (einschließlich der eingebundenen Grafiken) sowohl im ZUM-Wiki wie auch hier sinnvoll, also mit passenden Verlinkungen angezeigt wird. ---- {{:zum-wiki:Hilfe:Kurzinfo}} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 12 303 1564 1563 2014-02-08T21:50:16Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {| class="wikitable" style="clear:right; margin-top:1em;" | colspan="2" style="background-color:#8DB6CD; text-align:center; padding:0.3em" | '''Textgestaltung''' |- class="hintergrundfarbe8" ! width="50%" | Was du schreibst ! width="50%" | Wie es dargestellt wird |- |<tt>Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile<br /><br />erzeugst du einen Absatz.</tt> | Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile erzeugst du einen Absatz. |- |<tt>&lt;[[:zum-wiki:Hilfe:LaTeX|math]]&gt;c = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;</tt> |<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math> |- | <tt><nowiki>== Überschrift 2 ==</nowiki></tt> <tt><nowiki>=== Überschrift 3 ===</nowiki></tt> <tt><nowiki>==== Überschrift 4 ====</nowiki></tt> | == Überschrift 2 == === Überschrift 3 === ==== Überschrift 4 ==== |- |<tt><nowiki> * eins</nowiki><br/><nowiki> * zwei</nowiki><br/><nowiki> ** zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | * eins * zwei ** zwei-eins |- |<tt><nowiki> # eins</nowiki><br/><nowiki> # zwei</nowiki><br/><nowiki> ## zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | # eins # zwei ## zwei-eins |- |<tt><nowiki> Vom normalen Text</nowiki><br/><nowiki> : eingerückt</nowiki><br/><nowiki> :: doppelt eingerückt</nowiki><br/></tt> | Vom normalen Text : eingerückt :: doppelt eingerückt |- | <tt><nowiki> ;Begriff</nowiki><br/><nowiki> :Definition des Begriffs </nowiki></tt> | ;Begriff : Definition des Begriffs |- | <tt><nowiki> &nbsp;vorformatierter Text</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;&nbsp;mit einem Leerzeichen</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;# am Zeilenanfang </nowiki></tt> | vorformatierter Text mit einem Leerzeichen # am Zeilenanfang |- | <tt>Für Gedichte und ähnliche Texte:<br /> <nowiki><poem></nowiki><br /><nowiki> Ob ich Biblio- was bin?</nowiki><br /><nowiki> phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie?</nowiki><br /><nowiki> Na, und ob ich das bin!</nowiki><br /><nowiki> Ha! und wie!</nowiki><br /><nowiki> </poem></nowiki><br /><nowiki> </nowiki></tt> | <poem> Ob ich Biblio- was bin? phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie? Na, und ob ich das bin! Ha! und wie! </poem> |} fe9a787f756ab4a5ebbf84c3a621002035d3a8ca 1563 1031 2014-02-08T15:46:41Z Karl Kirst 2 - kat wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {| class="wikitable" style="clear:right; margin-top:1em;" | colspan="2" style="background-color:#8DB6CD; text-align:center; padding:0.3em" | '''Textgestaltung''' |- class="hintergrundfarbe8" ! width="50%" | Was du schreibst ! width="50%" | Wie es dargestellt wird |- |<tt>Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile<br /><br />erzeugst du einen Absatz.</tt> | Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile erzeugst du einen Absatz. |- |<tt>&lt;[[:zum-wiki:Hilfe:LaTeX|math]]&gt;c = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;</tt> |<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math> |- | <tt><nowiki>== Überschrift 2 ==</nowiki></tt> <tt><nowiki>=== Überschrift 3 ===</nowiki></tt> <tt><nowiki>==== Überschrift 4 ====</nowiki></tt> | == Überschrift 2 == === Überschrift 3 === ==== Überschrift 4 ==== |- |<tt><nowiki> * eins</nowiki><br/><nowiki> * zwei</nowiki><br/><nowiki> ** zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | * eins * zwei ** zwei-eins |- |<tt><nowiki> # eins</nowiki><br/><nowiki> # zwei</nowiki><br/><nowiki> ## zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | # eins # zwei ## zwei-eins |- |<tt><nowiki> Vom normalen Text</nowiki><br/><nowiki> : eingerückt</nowiki><br/><nowiki> :: doppelt eingerückt</nowiki><br/></tt> | Vom normalen Text : eingerückt :: doppelt eingerückt |- | <tt><nowiki> ;Begriff</nowiki><br/><nowiki> :Definition des Begriffs </nowiki></tt> | ;Begriff : Definition des Begriffs |- | <tt><nowiki> &nbsp;vorformatierter Text</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;&nbsp;mit einem Leerzeichen</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;# am Zeilenanfang </nowiki></tt> | vorformatierter Text mit einem Leerzeichen # am Zeilenanfang |- | <tt>Für Gedichte und ähnliche Texte:<br /> <nowiki><poem></nowiki><br /><nowiki> Ob ich Biblio- was bin?</nowiki><br /><nowiki> phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie?</nowiki><br /><nowiki> Na, und ob ich das bin!</nowiki><br /><nowiki> Ha! und wie!</nowiki><br /><nowiki> </poem></nowiki><br /><nowiki> </nowiki></tt> | <poem> Ob ich Biblio- was bin? phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie? Na, und ob ich das bin! Ha! und wie! </poem> |} fe9a787f756ab4a5ebbf84c3a621002035d3a8ca 1031 1030 2013-02-08T20:52:07Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {| class="wikitable" style="clear:right; margin-top:1em;" | colspan="2" style="background-color:#8DB6CD; text-align:center; padding:0.3em" | '''Textgestaltung''' |- class="hintergrundfarbe8" ! width="50%" | Was du schreibst ! width="50%" | Wie es dargestellt wird |- |<tt>Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile<br /><br />erzeugst du einen Absatz.</tt> | Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile erzeugst du einen Absatz. |- |<tt>&lt;[[:zum-wiki:Hilfe:LaTeX|math]]&gt;c = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;</tt> |<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math> |- | <tt><nowiki>== Überschrift 2 ==</nowiki></tt> <tt><nowiki>=== Überschrift 3 ===</nowiki></tt> <tt><nowiki>==== Überschrift 4 ====</nowiki></tt> | == Überschrift 2 == === Überschrift 3 === ==== Überschrift 4 ==== |- |<tt><nowiki> * eins</nowiki><br/><nowiki> * zwei</nowiki><br/><nowiki> ** zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | * eins * zwei ** zwei-eins |- |<tt><nowiki> # eins</nowiki><br/><nowiki> # zwei</nowiki><br/><nowiki> ## zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | # eins # zwei ## zwei-eins |- |<tt><nowiki> Vom normalen Text</nowiki><br/><nowiki> : eingerückt</nowiki><br/><nowiki> :: doppelt eingerückt</nowiki><br/></tt> | Vom normalen Text : eingerückt :: doppelt eingerückt |- | <tt><nowiki> ;Begriff</nowiki><br/><nowiki> :Definition des Begriffs </nowiki></tt> | ;Begriff : Definition des Begriffs |- | <tt><nowiki> &nbsp;vorformatierter Text</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;&nbsp;mit einem Leerzeichen</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;# am Zeilenanfang </nowiki></tt> | vorformatierter Text mit einem Leerzeichen # am Zeilenanfang |- | <tt>Für Gedichte und ähnliche Texte:<br /> <nowiki><poem></nowiki><br /><nowiki> Ob ich Biblio- was bin?</nowiki><br /><nowiki> phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie?</nowiki><br /><nowiki> Na, und ob ich das bin!</nowiki><br /><nowiki> Ha! und wie!</nowiki><br /><nowiki> </poem></nowiki><br /><nowiki> </nowiki></tt> | <poem> Ob ich Biblio- was bin? phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie? Na, und ob ich das bin! Ha! und wie! </poem> |} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 1030 2013-01-05T22:48:33Z Karl Kirst 2 typo wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {| class="wikitable" style="clear:right; margin-top:1em;" | colspan="2" style="background-color:#8DB6CD; text-align:center; padding:0.3em" | '''Textgestaltung''' |- class="hintergrundfarbe8" ! width="50%" | Was du schreibst ! width="50%" | Wie es dargestellt wird |- |<tt>Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile<br /><br />erzeugst du einen Absatz.</tt> | Normaler Text wird so dargestellt, wie du ihn eingibst. Mit einer Leerzeile erzeugst du einen Absatz. |- |<tt>&lt;[[:zum-wiki:Hilfe:LaTeX|math]]&gt;c = \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;</tt> |<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math> |- | <tt><nowiki>== Überschrift 2 ==</nowiki></tt> <tt><nowiki>=== Überschrift 3 ===</nowiki></tt> <tt><nowiki>==== Überschrift 4 ====</nowiki></tt> | == Überschrift 2 == === Überschrift 3 === ==== Überschrift 4 ==== |- |<tt><nowiki> * eins</nowiki><br/><nowiki> * zwei</nowiki><br/><nowiki> ** zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | * eins * zwei ** zwei-eins |- |<tt><nowiki> # eins</nowiki><br/><nowiki> # zwei</nowiki><br/><nowiki> ## zwei-eins</nowiki><br/><nowiki> </nowiki></tt> | # eins # zwei ## zwei-eins |- |<tt><nowiki> Vom normalen Text</nowiki><br/><nowiki> : eingerückt</nowiki><br/><nowiki> :: doppelt eingerückt</nowiki><br/></tt> | Vom normalen Text : eingerückt :: doppelt eingerückt |- | <tt><nowiki> ;Begriff</nowiki><br/><nowiki> :Definition des Begriffs </nowiki></tt> | ;Begriff : Definition des Begriffs |- | <tt><nowiki> &nbsp;vorformatierter Text</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;&nbsp;mit einem Leerzeichen</nowiki><br/><nowiki> &nbsp;# am Zeilenanfang </nowiki></tt> | vorformatierter Text mit einem Leerzeichen # am Zeilenanfang |- | <tt>Für Gedichte und ähnliche Texte:<br /> <nowiki><poem></nowiki><br /><nowiki> Ob ich Biblio- was bin?</nowiki><br /><nowiki> phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie?</nowiki><br /><nowiki> Na, und ob ich das bin!</nowiki><br /><nowiki> Ha! und wie!</nowiki><br /><nowiki> </poem></nowiki><br /><nowiki> </nowiki></tt> | <poem> Ob ich Biblio- was bin? phile? „Freund von Büchern“ meinen Sie? Na, und ob ich das bin! Ha! und wie! </poem> |} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 12 448 1566 1565 2014-02-08T21:50:21Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki === [[Hilfe:Lernspiele Grundschule|Lernspiele Grundschule]] === === Lückentext-Quiz === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> Andere Möglichkeit: <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> |} ;Beachte: Lücken werden durch die Formatierung als '''fett''' (<nowiki>''' '''</nowiki>) erzeugt. === Zuordnungs-Quiz === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz" > {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div></pre> |} === Multiplechoice-Quiz === {| |width=500px| <div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div></pre> Beachte: Das "!" in den Klammern kennzeichnet die falschen Antworten. |} ===Schüttelwörter=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> </pre> |} === Kreuzworträtsel=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div></pre> |} ===Suchsel=== {| |width=500px; valign="top"| <div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div></pre> |} === Memo-Quiz === {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" lang="es"> {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div></pre> |} === Memo-Quiz mit Bildern (Formeldeditor)=== {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div></pre> |} === Ordne der Größe nach (Formeleditor) === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz" > ''' <math>\frac{6}{32}</math> ''' < ''' <math>\frac{7}{15}</math> ''' < ''' <math>\frac{3}{7} </math> ''' < ''' <math>\frac{18}{26}</math> ''' </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz" > '''<math>\frac{6}{32}</math>''' < '''<math>\frac{7}{15}</math>''' < '''<math>\frac{3}{7}</math>''' < '''<math>\frac{18}{26}</math>''' </div></pre> |} === Addieren und Multiplizieren von Brüchen (Formeleditor)=== {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> || <math>\frac{3}{4} </math> || <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{1}{4} </math> || <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> || <math>\frac{4}{2} </math> ||<math>\frac{6}{3} </math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> | | <math>\frac{3}{4} </math> | | <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> | | <math>\frac{1}{4} </math> | | <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> | | <math>\frac{4}{2} </math> | |<math>\frac{6}{3} </math> |} </div></pre> |} === Zuordnungs-Quiz mit Bildern === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div></pre> |} bc52e2877b8b43ea00f8f53969243ff6bdcc95f0 1565 2014-02-08T15:49:09Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki === [[Hilfe:Lernspiele Grundschule|Lernspiele Grundschule]] === === Lückentext-Quiz === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> Andere Möglichkeit: <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> |} ;Beachte: Lücken werden durch die Formatierung als '''fett''' (<nowiki>''' '''</nowiki>) erzeugt. === Zuordnungs-Quiz === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz" > {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div></pre> |} === Multiplechoice-Quiz === {| |width=500px| <div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div></pre> Beachte: Das "!" in den Klammern kennzeichnet die falschen Antworten. |} ===Schüttelwörter=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> </pre> |} === Kreuzworträtsel=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div></pre> |} ===Suchsel=== {| |width=500px; valign="top"| <div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div></pre> |} === Memo-Quiz === {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" lang="es"> {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div></pre> |} === Memo-Quiz mit Bildern (Formeldeditor)=== {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div></pre> |} === Ordne der Größe nach (Formeleditor) === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz" > ''' <math>\frac{6}{32}</math> ''' < ''' <math>\frac{7}{15}</math> ''' < ''' <math>\frac{3}{7} </math> ''' < ''' <math>\frac{18}{26}</math> ''' </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz" > '''<math>\frac{6}{32}</math>''' < '''<math>\frac{7}{15}</math>''' < '''<math>\frac{3}{7}</math>''' < '''<math>\frac{18}{26}</math>''' </div></pre> |} === Addieren und Multiplizieren von Brüchen (Formeleditor)=== {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> || <math>\frac{3}{4} </math> || <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{1}{4} </math> || <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> || <math>\frac{4}{2} </math> ||<math>\frac{6}{3} </math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> | | <math>\frac{3}{4} </math> | | <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> | | <math>\frac{1}{4} </math> | | <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> | | <math>\frac{4}{2} </math> | |<math>\frac{6}{3} </math> |} </div></pre> |} === Zuordnungs-Quiz mit Bildern === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div></pre> |} bc52e2877b8b43ea00f8f53969243ff6bdcc95f0 12 449 1568 1567 2014-02-08T21:50:21Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki === Zuordnungs-Quiz === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz" > {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div></pre> |} === Lückentext-Quiz === <div class="lueckentext-quiz"> In der <strong> Schule</strong> können die <strong> Kinder</strong> viele wichtige Sachen <strong>lernen</strong>. </div> {| | <pre><div class="lueckentext-quiz"> In der <strong> Schule</strong> können die <strong> Kinder</strong> viele wichtige Sachen <strong>lernen</strong>. </div></pre> Andere Möglichkeit: <pre><div class="lueckentext-quiz"> In der '''Schule''' können die '''Kinder''' viele wichtige Sachen '''lernen'''. </div></pre> |} === Multiplechoice-Quiz === {| |width=500px| <div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!10) (2) (!19) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!10) (2) (!19) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div></pre> Beachte: Das "!" in den Klammern kennzeichnet die falschen Antworten. |} <br> <br> ===Schüttelwörter=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="schuettel-quiz"> Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! Der '''BvB''' spielt in der '''Bundesliga'''. Die '''Mannschaft''' wird von Jürgen '''Klopp''' trainiert. </div> <br> <br> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! Der '''BvB''' spielt in der '''Bundesliga'''. Die '''Mannschaft''' wird von Jürgen '''Klopp''' trainiert. </div> </pre> |} === Kreuzworträtsel=== {| |width=400px; valign="top" | <div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | Emma|| Maskottchen vom BvB |- | Signal Iduna Park|| Name des Stadions vom BvB |- | Klopp|| Trainer beim BvB |- |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | Emma|| Maskottchen vom BvB |- | Signal Iduna Park|| Name des Stadions vom BvB |- | Klopp|| Trainer beim BvB |- |} </div></pre> |} ===Suchsel=== {| |width=500px; valign="top"| <div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Mathe |- |Englisch |- |Deutsch |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Mathe |- |Englisch |- |Deutsch |} </div></pre> |} === Memo-Quiz === {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| | Deutschland|| Berlin |- | England|| London |- | Frankreich ||Paris |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz"> {| | Deutschland|| Berlin |- | England|| London |- | Frankreich ||Paris |} </div></pre> |} 0923067127c2de7ef27f07bd0038288f164fb82a 1567 2014-02-08T15:52:07Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki === Zuordnungs-Quiz === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz" > {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | Adjektive || schön || klein|| gelb |- | Verben || gehen || schwimmen|| lachen |- | Nomen || Haus || Glück || Sonne |} </div></pre> |} === Lückentext-Quiz === <div class="lueckentext-quiz"> In der <strong> Schule</strong> können die <strong> Kinder</strong> viele wichtige Sachen <strong>lernen</strong>. </div> {| | <pre><div class="lueckentext-quiz"> In der <strong> Schule</strong> können die <strong> Kinder</strong> viele wichtige Sachen <strong>lernen</strong>. </div></pre> Andere Möglichkeit: <pre><div class="lueckentext-quiz"> In der '''Schule''' können die '''Kinder''' viele wichtige Sachen '''lernen'''. </div></pre> |} === Multiplechoice-Quiz === {| |width=500px| <div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!10) (2) (!19) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!10) (2) (!19) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div></pre> Beachte: Das "!" in den Klammern kennzeichnet die falschen Antworten. |} <br> <br> ===Schüttelwörter=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="schuettel-quiz"> Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! Der '''BvB''' spielt in der '''Bundesliga'''. Die '''Mannschaft''' wird von Jürgen '''Klopp''' trainiert. </div> <br> <br> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! Der '''BvB''' spielt in der '''Bundesliga'''. Die '''Mannschaft''' wird von Jürgen '''Klopp''' trainiert. </div> </pre> |} === Kreuzworträtsel=== {| |width=400px; valign="top" | <div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | Emma|| Maskottchen vom BvB |- | Signal Iduna Park|| Name des Stadions vom BvB |- | Klopp|| Trainer beim BvB |- |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | Emma|| Maskottchen vom BvB |- | Signal Iduna Park|| Name des Stadions vom BvB |- | Klopp|| Trainer beim BvB |- |} </div></pre> |} ===Suchsel=== {| |width=500px; valign="top"| <div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Mathe |- |Englisch |- |Deutsch |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Mathe |- |Englisch |- |Deutsch |} </div></pre> |} === Memo-Quiz === {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| | Deutschland|| Berlin |- | England|| London |- | Frankreich ||Paris |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz"> {| | Deutschland|| Berlin |- | England|| London |- | Frankreich ||Paris |} </div></pre> |} 0923067127c2de7ef27f07bd0038288f164fb82a 12 307 1376 1039 2014-02-08T21:27:35Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {| class="hintergrundfarbe2 rahmenfarbe1" style="padding: 7.5pt; font-size: 100%; margin-right:3.75pt; border-style: solid; width:100%;" | style="vertical-align:middle;" |<span style="float: left; margin: 30px 10px 10px;"> [[Datei:Checked copyright icon.svg|right|150px|&nbsp;]]</span> {{Portal-head2|547892|Willkommen bei den Lizenzvorlagen für Bilder und Dateien}} Mit '''Lizenzvorlagen''' müssen im {{SITENAME}} (wie in der deutschsprachigen [[Wikipedia]]) alle '''Bilder''' und '''Dateien''' gekennzeichnet sein, um den rechtlichen Status darzustellen. * '''[[Hilfe:Vorlagen]]''' erklärt, wie Vorlagen technisch funktionieren und wie sie eingefügt werden. <!--* '''[[Hilfe:FAQ zu Bildern]]''' beantwortet typische Anfängerfragen zu Lizenzen.--> <!--* '''[[Wikipedia:Musikrechte]]''' enthält die Richtlinien für Musikdateien.--> <!--* '''[[Wikipedia:Bildrechte]]''' enthält die Richtlinien für Bilder.--> <!--* '''[[Wikipedia:Dateiüberprüfung/Anleitung]]''' erklärt, wie man eine Datei mit nicht ausreichender Lizenzierung markiert.--> {{Kasten grau|Die Lizenzangaben für Dateien im {{SITENAME}} orientieren sich an denen in der deutschsprachigen {{wpde|Wikipedia:Hauptseite|Wikipedia}}, da dort mehr Ressourcen für die Überprüfung der Lizenzbedingungen und deren Formulierung zur Verfügung stehen.}} |} __FORCETOC__<br style="clear:both;" /> == [[Gemeinfreiheit]] == {| class="prettytable" width="100%" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-100|Bild-PD-alt-100]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die über 100 (aber weniger als 150) Jahre alt sind und deren Urheber bzw. dessen Todesdatum unbekannt ist</small> | {{Bild-PD-alt-100}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134|Bild-PD-§134]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 veröffentlichte Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134-KUG|Bild-PD-§134-KUG]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 herausgegebene Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134-KUG}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-1923|Bild-PD-alt-1923]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die vor dem Jahr 1923 veröffentlicht wurden und deren Urheber unbekannt ist<br><br>Der Grund für die Einfügung dieser Lizenz und ein Nachweis für vergebliche Recherche sollte unter {{wpd|Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923}} dargelegt werden.</small> | {{Bild-PD-alt-1923}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Schöpfungshöhe|Bild-PD-Schöpfungshöhe]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die nicht die für urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}} erreichen und auch nicht als Lichtbilder zu werten sind</small> | {{Bild-PD-Schöpfungshöhe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Amtliches Werk|Bild-PD-Amtliches Werk]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für {{wpd|Amtliches Werk|amtliche Werke}} (z.&nbsp;B. {{wpd|Amtliche Briefmarke}}, {{wpd|Amtliches Wappen}})</small> | {{Bild-PD-Amtliches Werk}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt|Bild-PD-alt]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für Bilder, deren {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} abgelaufen ist</small> | {{Bild-PD-alt}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-US|Bild-PD-US]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von einem Bediensteten einer Behörde der Bundesregierung der Vereinigten Staaten in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten angefertigt wurden (s. {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}})</small> | {{Bild-PD-US}} |} == [[Creative Commons#Die sechs aktuellen Lizenzen|Creative-Commons-Lizenzen]] == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0|Bild-CC-by-sa/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0/de|Bild-CC-by-sa/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.5|Bild-CC-by-sa/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.5]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0/de|Bild-CC-by-sa/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0|Bild-CC-by-sa/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0/de|Bild-CC-by/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0|Bild-CC-by/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0]</small> | {{Bild-CC-by/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.5|Bild-CC-by/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.5]</small> | {{Bild-CC-by/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0/de|Bild-CC-by/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0|Bild-CC-by/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0]</small> | {{Bild-CC-by/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-0|Bild-CC-0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de Creative Commons – CC0 1.0 Universell, Public Domain Dedication]</small> | {{Bild-CC-0}} |} == Weitere Lizenzen == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL/1.3|Bild-GFDL/1.3]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.3 oder jede spätere Version</small> | {{Bild-GFDL/1.3}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL-Neu|Bild-GFDL-Neu]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.2 oder jede spätere Version</small> {{Achtung|1='''Dieser Bausstein gilt für Dateien, für die die Relizenzierung gemäß {{wpd|Wikipedia:Lizenzumstellung bei Dateien}} nicht möglich ist. Das sind insbesondere solche, die ab dem 1. August 2009 hochgeladen worden sind. Sobald der Lizenzumstellungsprozess beendet sein wird, werden beide GFDL-Bausteine wieder zusammengefasst.}} | {{Bild-GFDL-Neu}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-frei|Bild-frei]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von ihrem Urheber in die Gemeinfreiheit entlassen wurden '''und/oder''' für die ein unbeschränktes Nutzungsrecht für jedermann gewährt wurde (für Benutzer aus Deutschland)</small> | {{Bild-frei}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-by|Bild-by]]}}</code><br /> <small>Freie Nutzung, wenn der Urheber genannt wird</small> | {{Bild-by}} |} == Hinweisbausteine == '''Diese Bausteine sind keine Lizenzen, sie enthalten nur Hinweistexte. {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Panoramafreiheit|Panoramafreiheit]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch §§ 62, 63 UrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Panoramafreiheit}} |- | <code>{{[[Vorlage:Wappenrecht|Wappenrecht]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch namensrechtlichen Bestimmungen ({{wpd|Hoheitszeichen}})</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Wappenrecht}} |- | <code>{{[[Vorlage:Währung|Währung]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 148 ff StGB. Es kann ein Parameter für die Sortierung in der Kategorie angegeben werden.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Währung}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-WikimediaCopyright|Bild-WikimediaCopyright]]}}</code><br /> <small>Von [[Wikimedia]] urheberrechtlich geschützte Logos</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein darf nur für Wikimedia-Logos bei Screenshots verwendet werden. Andere Inhalte des Screenshots müssen allerdings weiterhin frei lizenziert sein.'''}} | {{Bild-WikimediaCopyright}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-LogoSH|Bild-LogoSH]]}}</code><br /> <small>Für Logos unter dem Schutz des Namensrechts/Markenrechts, jedoch ohne urheberrechtliche {{wpd|Schöpfungshöhe}}.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein ist nicht für Fotografien oder Dateien mit anderen Lizenzbausteinen gedacht (dafür ggf. <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code> verwenden).}} | {{Bild-LogoSH}} |- | <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch Marken- bzw. Namensrecht.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Logo}} |- | <code>{{[[Vorlage:Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen|Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 86 StGB</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Recht am eigenen Bild|Recht am eigenen Bild]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 22 ff KunstUrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Recht am eigenen Bild}} |- | <code>{{[[Vorlage:Olympische Ringe|Olympische Ringe]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 2 ff OlympSchG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Olympische Ringe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzzeichen|Schutzzeichen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch das Völkerrecht</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzzeichen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzlandprinzip|Schutzlandprinzip]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf die Anwendung des Schutzlandprinzips</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzlandprinzip}} |- | <code>{{[[Vorlage:NoCommons (Benutzerbild)|NoCommons (Benutzerbild)]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf den Benutzerwunsch, sein Benutzerbild nicht auf Commons zu verschieben (bitte vom Uploader setzen oder auf einen entsprechenden Text vom Uploader verweisen)</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{NoCommons (Benutzerbild)}} |} == Linkliste == * {{wpd|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder}} * {{wpd|Wikipedia:Bildrechte}} * {{wpd|Wikipedia:Musikrechte}} == Siehe auch == * [[Hilfe:Bilder]] * [[Urheberrecht]] {{SORTIERUNG:{{PAGENAME}}}} [[Kategorie:Hilfe:Lizenzen]] [[Kategorie:Hilfe:Dateien]] {{Kopie wpde|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder|03.01.2013}} [[Kategorie:Hilfen-Export]] 1039 1038 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki {| class="hintergrundfarbe2 rahmenfarbe1" style="padding: 7.5pt; font-size: 100%; margin-right:3.75pt; border-style: solid; width:100%;" | style="vertical-align:middle;" |<span style="float: left; margin: 30px 10px 10px;"> [[Datei:Checked copyright icon.svg|right|150px|&nbsp;]]</span> {{Portal-head2|547892|Willkommen bei den Lizenzvorlagen für Bilder und Dateien}} Mit '''Lizenzvorlagen''' müssen im {{SITENAME}} (wie in der deutschsprachigen [[Wikipedia]]) alle '''Bilder''' und '''Dateien''' gekennzeichnet sein, um den rechtlichen Status darzustellen. * '''[[Hilfe:Vorlagen]]''' erklärt, wie Vorlagen technisch funktionieren und wie sie eingefügt werden. <!--* '''[[Hilfe:FAQ zu Bildern]]''' beantwortet typische Anfängerfragen zu Lizenzen.--> <!--* '''[[Wikipedia:Musikrechte]]''' enthält die Richtlinien für Musikdateien.--> <!--* '''[[Wikipedia:Bildrechte]]''' enthält die Richtlinien für Bilder.--> <!--* '''[[Wikipedia:Dateiüberprüfung/Anleitung]]''' erklärt, wie man eine Datei mit nicht ausreichender Lizenzierung markiert.--> {{Kasten grau|Die Lizenzangaben für Dateien im {{SITENAME}} orientieren sich an denen in der deutschsprachigen {{wpde|Wikipedia:Hauptseite|Wikipedia}}, da dort mehr Ressourcen für die Überprüfung der Lizenzbedingungen und deren Formulierung zur Verfügung stehen.}} |} __FORCETOC__<br style="clear:both;" /> == [[Gemeinfreiheit]] == {| class="prettytable" width="100%" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-100|Bild-PD-alt-100]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die über 100 (aber weniger als 150) Jahre alt sind und deren Urheber bzw. dessen Todesdatum unbekannt ist</small> | {{Bild-PD-alt-100}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134|Bild-PD-§134]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 veröffentlichte Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134-KUG|Bild-PD-§134-KUG]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 herausgegebene Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134-KUG}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-1923|Bild-PD-alt-1923]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die vor dem Jahr 1923 veröffentlicht wurden und deren Urheber unbekannt ist<br><br>Der Grund für die Einfügung dieser Lizenz und ein Nachweis für vergebliche Recherche sollte unter {{wpd|Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923}} dargelegt werden.</small> | {{Bild-PD-alt-1923}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Schöpfungshöhe|Bild-PD-Schöpfungshöhe]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die nicht die für urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}} erreichen und auch nicht als Lichtbilder zu werten sind</small> | {{Bild-PD-Schöpfungshöhe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Amtliches Werk|Bild-PD-Amtliches Werk]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für {{wpd|Amtliches Werk|amtliche Werke}} (z.&nbsp;B. {{wpd|Amtliche Briefmarke}}, {{wpd|Amtliches Wappen}})</small> | {{Bild-PD-Amtliches Werk}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt|Bild-PD-alt]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für Bilder, deren {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} abgelaufen ist</small> | {{Bild-PD-alt}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-US|Bild-PD-US]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von einem Bediensteten einer Behörde der Bundesregierung der Vereinigten Staaten in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten angefertigt wurden (s. {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}})</small> | {{Bild-PD-US}} |} == [[Creative Commons#Die sechs aktuellen Lizenzen|Creative-Commons-Lizenzen]] == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0|Bild-CC-by-sa/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0/de|Bild-CC-by-sa/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.5|Bild-CC-by-sa/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.5]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0/de|Bild-CC-by-sa/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0|Bild-CC-by-sa/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0/de|Bild-CC-by/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0|Bild-CC-by/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0]</small> | {{Bild-CC-by/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.5|Bild-CC-by/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.5]</small> | {{Bild-CC-by/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0/de|Bild-CC-by/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0|Bild-CC-by/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0]</small> | {{Bild-CC-by/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-0|Bild-CC-0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de Creative Commons – CC0 1.0 Universell, Public Domain Dedication]</small> | {{Bild-CC-0}} |} == Weitere Lizenzen == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL/1.3|Bild-GFDL/1.3]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.3 oder jede spätere Version</small> | {{Bild-GFDL/1.3}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL-Neu|Bild-GFDL-Neu]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.2 oder jede spätere Version</small> {{Achtung|1='''Dieser Bausstein gilt für Dateien, für die die Relizenzierung gemäß {{wpd|Wikipedia:Lizenzumstellung bei Dateien}} nicht möglich ist. Das sind insbesondere solche, die ab dem 1. August 2009 hochgeladen worden sind. Sobald der Lizenzumstellungsprozess beendet sein wird, werden beide GFDL-Bausteine wieder zusammengefasst.}} | {{Bild-GFDL-Neu}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-frei|Bild-frei]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von ihrem Urheber in die Gemeinfreiheit entlassen wurden '''und/oder''' für die ein unbeschränktes Nutzungsrecht für jedermann gewährt wurde (für Benutzer aus Deutschland)</small> | {{Bild-frei}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-by|Bild-by]]}}</code><br /> <small>Freie Nutzung, wenn der Urheber genannt wird</small> | {{Bild-by}} |} == Hinweisbausteine == '''Diese Bausteine sind keine Lizenzen, sie enthalten nur Hinweistexte. {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Panoramafreiheit|Panoramafreiheit]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch §§ 62, 63 UrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Panoramafreiheit}} |- | <code>{{[[Vorlage:Wappenrecht|Wappenrecht]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch namensrechtlichen Bestimmungen ({{wpd|Hoheitszeichen}})</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Wappenrecht}} |- | <code>{{[[Vorlage:Währung|Währung]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 148 ff StGB. Es kann ein Parameter für die Sortierung in der Kategorie angegeben werden.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Währung}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-WikimediaCopyright|Bild-WikimediaCopyright]]}}</code><br /> <small>Von [[Wikimedia]] urheberrechtlich geschützte Logos</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein darf nur für Wikimedia-Logos bei Screenshots verwendet werden. Andere Inhalte des Screenshots müssen allerdings weiterhin frei lizenziert sein.'''}} | {{Bild-WikimediaCopyright}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-LogoSH|Bild-LogoSH]]}}</code><br /> <small>Für Logos unter dem Schutz des Namensrechts/Markenrechts, jedoch ohne urheberrechtliche {{wpd|Schöpfungshöhe}}.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein ist nicht für Fotografien oder Dateien mit anderen Lizenzbausteinen gedacht (dafür ggf. <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code> verwenden).}} | {{Bild-LogoSH}} |- | <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch Marken- bzw. Namensrecht.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Logo}} |- | <code>{{[[Vorlage:Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen|Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 86 StGB</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Recht am eigenen Bild|Recht am eigenen Bild]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 22 ff KunstUrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Recht am eigenen Bild}} |- | <code>{{[[Vorlage:Olympische Ringe|Olympische Ringe]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 2 ff OlympSchG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Olympische Ringe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzzeichen|Schutzzeichen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch das Völkerrecht</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzzeichen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzlandprinzip|Schutzlandprinzip]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf die Anwendung des Schutzlandprinzips</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzlandprinzip}} |- | <code>{{[[Vorlage:NoCommons (Benutzerbild)|NoCommons (Benutzerbild)]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf den Benutzerwunsch, sein Benutzerbild nicht auf Commons zu verschieben (bitte vom Uploader setzen oder auf einen entsprechenden Text vom Uploader verweisen)</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{NoCommons (Benutzerbild)}} |} == Linkliste == * {{wpd|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder}} * {{wpd|Wikipedia:Bildrechte}} * {{wpd|Wikipedia:Musikrechte}} == Siehe auch == * [[Hilfe:Bilder]] * [[Urheberrecht]] {{SORTIERUNG:{{PAGENAME}}}} [[Kategorie:Hilfe:Lizenzen]] [[Kategorie:Hilfe:Dateien]] {{Kopie wpde|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder|03.01.2013}} [[Kategorie:Hilfen-Export]] 1038 2013-01-08T17:34:49Z Karl Kirst 2 aktuelle Version aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki {| class="hintergrundfarbe2 rahmenfarbe1" style="padding: 7.5pt; font-size: 100%; margin-right:3.75pt; border-style: solid; width:100%;" | style="vertical-align:middle;" |<span style="float: left; margin: 30px 10px 10px;"> [[Datei:Checked copyright icon.svg|right|150px|&nbsp;]]</span> {{Portal-head2|547892|Willkommen bei den Lizenzvorlagen für Bilder und Dateien}} Mit '''Lizenzvorlagen''' müssen im {{SITENAME}} (wie in der deutschsprachigen [[Wikipedia]]) alle '''Bilder''' und '''Dateien''' gekennzeichnet sein, um den rechtlichen Status darzustellen. * '''[[Hilfe:Vorlagen]]''' erklärt, wie Vorlagen technisch funktionieren und wie sie eingefügt werden. <!--* '''[[Hilfe:FAQ zu Bildern]]''' beantwortet typische Anfängerfragen zu Lizenzen.--> <!--* '''[[Wikipedia:Musikrechte]]''' enthält die Richtlinien für Musikdateien.--> <!--* '''[[Wikipedia:Bildrechte]]''' enthält die Richtlinien für Bilder.--> <!--* '''[[Wikipedia:Dateiüberprüfung/Anleitung]]''' erklärt, wie man eine Datei mit nicht ausreichender Lizenzierung markiert.--> {{Kasten grau|Die Lizenzangaben für Dateien im {{SITENAME}} orientieren sich an denen in der deutschsprachigen {{wpde|Wikipedia:Hauptseite|Wikipedia}}, da dort mehr Ressourcen für die Überprüfung der Lizenzbedingungen und deren Formulierung zur Verfügung stehen.}} |} __FORCETOC__<br style="clear:both;" /> == [[Gemeinfreiheit]] == {| class="prettytable" width="100%" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-100|Bild-PD-alt-100]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die über 100 (aber weniger als 150) Jahre alt sind und deren Urheber bzw. dessen Todesdatum unbekannt ist</small> | {{Bild-PD-alt-100}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134|Bild-PD-§134]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 veröffentlichte Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134-KUG|Bild-PD-§134-KUG]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 herausgegebene Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134-KUG}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-1923|Bild-PD-alt-1923]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die vor dem Jahr 1923 veröffentlicht wurden und deren Urheber unbekannt ist<br><br>Der Grund für die Einfügung dieser Lizenz und ein Nachweis für vergebliche Recherche sollte unter {{wpd|Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923}} dargelegt werden.</small> | {{Bild-PD-alt-1923}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Schöpfungshöhe|Bild-PD-Schöpfungshöhe]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die nicht die für urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}} erreichen und auch nicht als Lichtbilder zu werten sind</small> | {{Bild-PD-Schöpfungshöhe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Amtliches Werk|Bild-PD-Amtliches Werk]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für {{wpd|Amtliches Werk|amtliche Werke}} (z.&nbsp;B. {{wpd|Amtliche Briefmarke}}, {{wpd|Amtliches Wappen}})</small> | {{Bild-PD-Amtliches Werk}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt|Bild-PD-alt]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für Bilder, deren {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} abgelaufen ist</small> | {{Bild-PD-alt}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-US|Bild-PD-US]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von einem Bediensteten einer Behörde der Bundesregierung der Vereinigten Staaten in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten angefertigt wurden (s. {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}})</small> | {{Bild-PD-US}} |} == [[Creative Commons#Die sechs aktuellen Lizenzen|Creative-Commons-Lizenzen]] == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0|Bild-CC-by-sa/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0/de|Bild-CC-by-sa/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.5|Bild-CC-by-sa/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.5]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0/de|Bild-CC-by-sa/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0|Bild-CC-by-sa/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0/de|Bild-CC-by/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0|Bild-CC-by/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0]</small> | {{Bild-CC-by/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.5|Bild-CC-by/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.5]</small> | {{Bild-CC-by/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0/de|Bild-CC-by/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0|Bild-CC-by/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0]</small> | {{Bild-CC-by/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-0|Bild-CC-0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de Creative Commons – CC0 1.0 Universell, Public Domain Dedication]</small> | {{Bild-CC-0}} |} == Weitere Lizenzen == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL/1.3|Bild-GFDL/1.3]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.3 oder jede spätere Version</small> | {{Bild-GFDL/1.3}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL-Neu|Bild-GFDL-Neu]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.2 oder jede spätere Version</small> {{Achtung|1='''Dieser Bausstein gilt für Dateien, für die die Relizenzierung gemäß {{wpd|Wikipedia:Lizenzumstellung bei Dateien}} nicht möglich ist. Das sind insbesondere solche, die ab dem 1. August 2009 hochgeladen worden sind. Sobald der Lizenzumstellungsprozess beendet sein wird, werden beide GFDL-Bausteine wieder zusammengefasst.}} | {{Bild-GFDL-Neu}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-frei|Bild-frei]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von ihrem Urheber in die Gemeinfreiheit entlassen wurden '''und/oder''' für die ein unbeschränktes Nutzungsrecht für jedermann gewährt wurde (für Benutzer aus Deutschland)</small> | {{Bild-frei}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-by|Bild-by]]}}</code><br /> <small>Freie Nutzung, wenn der Urheber genannt wird</small> | {{Bild-by}} |} == Hinweisbausteine == '''Diese Bausteine sind keine Lizenzen, sie enthalten nur Hinweistexte. {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Panoramafreiheit|Panoramafreiheit]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch §§ 62, 63 UrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Panoramafreiheit}} |- | <code>{{[[Vorlage:Wappenrecht|Wappenrecht]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch namensrechtlichen Bestimmungen ({{wpd|Hoheitszeichen}})</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Wappenrecht}} |- | <code>{{[[Vorlage:Währung|Währung]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 148 ff StGB. Es kann ein Parameter für die Sortierung in der Kategorie angegeben werden.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Währung}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-WikimediaCopyright|Bild-WikimediaCopyright]]}}</code><br /> <small>Von [[Wikimedia]] urheberrechtlich geschützte Logos</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein darf nur für Wikimedia-Logos bei Screenshots verwendet werden. Andere Inhalte des Screenshots müssen allerdings weiterhin frei lizenziert sein.'''}} | {{Bild-WikimediaCopyright}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-LogoSH|Bild-LogoSH]]}}</code><br /> <small>Für Logos unter dem Schutz des Namensrechts/Markenrechts, jedoch ohne urheberrechtliche {{wpd|Schöpfungshöhe}}.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein ist nicht für Fotografien oder Dateien mit anderen Lizenzbausteinen gedacht (dafür ggf. <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code> verwenden).}} | {{Bild-LogoSH}} |- | <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch Marken- bzw. Namensrecht.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Logo}} |- | <code>{{[[Vorlage:Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen|Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 86 StGB</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Recht am eigenen Bild|Recht am eigenen Bild]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 22 ff KunstUrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Recht am eigenen Bild}} |- | <code>{{[[Vorlage:Olympische Ringe|Olympische Ringe]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 2 ff OlympSchG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Olympische Ringe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzzeichen|Schutzzeichen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch das Völkerrecht</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzzeichen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzlandprinzip|Schutzlandprinzip]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf die Anwendung des Schutzlandprinzips</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzlandprinzip}} |- | <code>{{[[Vorlage:NoCommons (Benutzerbild)|NoCommons (Benutzerbild)]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf den Benutzerwunsch, sein Benutzerbild nicht auf Commons zu verschieben (bitte vom Uploader setzen oder auf einen entsprechenden Text vom Uploader verweisen)</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{NoCommons (Benutzerbild)}} |} == Linkliste == * {{wpd|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder}} * {{wpd|Wikipedia:Bildrechte}} * {{wpd|Wikipedia:Musikrechte}} == Siehe auch == * [[Hilfe:Bilder]] * [[Urheberrecht]] {{SORTIERUNG:{{PAGENAME}}}} [[Kategorie:Hilfe:Lizenzen]] [[Kategorie:Hilfe:Dateien]] {{Kopie wpde|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder|03.01.2013}} [[Kategorie:Hilfen-Export]] 1375 1039 2013-01-03T14:34:56Z Karl Kirst 2 /* Gemeinfreiheit */ linkfix wikitext text/x-wiki {{Shortcut|ZW:LFB, ZW:LVB}} {| class="hintergrundfarbe2 rahmenfarbe1" style="padding: 7.5pt; font-size: 100%; margin-right:3.75pt; border-style: solid; width:100%;" | style="vertical-align:middle;" |<span style="float: left; margin: 30px 10px 10px;"> [[Datei:Checked copyright icon.svg|right|150px|&nbsp;]]</span> {{Portal-head2|547892|Willkommen bei den Lizenzvorlagen für Bilder und Dateien}} Mit '''Lizenzvorlagen''' müssen im {{SITENAME}} (wie in der deutschsprachigen [[Wikipedia]]) alle '''Bilder''' und '''Dateien''' gekennzeichnet sein, um den rechtlichen Status darzustellen. * '''[[Hilfe:Vorlagen]]''' erklärt, wie Vorlagen technisch funktionieren und wie sie eingefügt werden. <!--* '''[[Hilfe:FAQ zu Bildern]]''' beantwortet typische Anfängerfragen zu Lizenzen.--> <!--* '''[[Wikipedia:Musikrechte]]''' enthält die Richtlinien für Musikdateien.--> <!--* '''[[Wikipedia:Bildrechte]]''' enthält die Richtlinien für Bilder.--> <!--* '''[[Wikipedia:Dateiüberprüfung/Anleitung]]''' erklärt, wie man eine Datei mit nicht ausreichender Lizenzierung markiert.--> {{Kasten grau|Die Lizenzangaben für Dateien im {{SITENAME}} orientieren sich an denen in der deutschsprachigen {{wpde|Wikipedia:Hauptseite|Wikipedia}}, da dort mehr Ressourcen für die Überprüfung der Lizenzbedingungen und deren Formulierung zur Verfügung stehen.}} |} __FORCETOC__<br style="clear:both;" /> == [[Gemeinfreiheit]] == {| class="prettytable" width="100%" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-100|Bild-PD-alt-100]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die über 100 (aber weniger als 150) Jahre alt sind und deren Urheber bzw. dessen Todesdatum unbekannt ist</small> | {{Bild-PD-alt-100}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134|Bild-PD-§134]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 veröffentlichte Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-§134-KUG|Bild-PD-§134-KUG]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für von {{wpd|Juristische Person#Juristische Person des öffentlichen Rechts|jur. Personen ''des öffentlichen Rechts''}} vor 1. Juli 1966 herausgegebene Werke, deren Schutzfrist nach alter Berechnung abgelaufen ist. <br /><br /> Nach Diskussionen wurden bislang nur bestimmte Gruppen von Abbildungen festgelegt, für die diese Regelungen zutreffen, siehe {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Sonderfall: Juristische Person als Urheber (bis 1965)}}. Weitere Anwendungsbereiche müssen vorher auf {{wpd|WP:UF}} diskutiert werden.</small> | {{Bild-PD-§134-KUG}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt-1923|Bild-PD-alt-1923]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die vor dem Jahr 1923 veröffentlicht wurden und deren Urheber unbekannt ist<br><br>Der Grund für die Einfügung dieser Lizenz und ein Nachweis für vergebliche Recherche sollte unter {{wpd|Wikipedia:Dateiüberprüfung/1923}} dargelegt werden.</small> | {{Bild-PD-alt-1923}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Schöpfungshöhe|Bild-PD-Schöpfungshöhe]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die nicht die für urheberrechtlichen Schutz nötige {{wpd|Schöpfungshöhe}} erreichen und auch nicht als Lichtbilder zu werten sind</small> | {{Bild-PD-Schöpfungshöhe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-Amtliches Werk|Bild-PD-Amtliches Werk]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für {{wpd|Amtliches Werk|amtliche Werke}} (z.&nbsp;B. {{wpd|Amtliche Briefmarke}}, {{wpd|Amtliches Wappen}})</small> | {{Bild-PD-Amtliches Werk}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-alt|Bild-PD-alt]]}}</code><br /> <small>[[Public domain]] – Für Bilder, deren {{wpd|Regelschutzfrist|Schutzdauer}} abgelaufen ist</small> | {{Bild-PD-alt}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-PD-US|Bild-PD-US]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von einem Bediensteten einer Behörde der Bundesregierung der Vereinigten Staaten in Ausübung seiner dienstlichen Pflichten angefertigt wurden (s. {{wpd|Wikipedia:Bildrechte#Bilder von US-Regierungsbehörden (NASA und andere)|Werk der Regierung der Vereinigten Staaten}})</small> | {{Bild-PD-US}} |} == [[Creative Commons#Die sechs aktuellen Lizenzen|Creative-Commons-Lizenzen]] == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0|Bild-CC-by-sa/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0/de|Bild-CC-by-sa/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.5|Bild-CC-by-sa/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.5]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0/de|Bild-CC-by-sa/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/2.0|Bild-CC-by-sa/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0]</small> | {{Bild-CC-by-sa/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0/de|Bild-CC-by/3.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/3.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/3.0|Bild-CC-by/3.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 3.0]</small> | {{Bild-CC-by/3.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.5|Bild-CC-by/2.5]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.5]</small> | {{Bild-CC-by/2.5}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0/de|Bild-CC-by/2.0/de]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/de/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0 Deutschland]</small> | {{Bild-CC-by/2.0/de}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-by/2.0|Bild-CC-by/2.0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/deed.de Creative Commons – Namensnennung 2.0]</small> | {{Bild-CC-by/2.0}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-CC-0|Bild-CC-0]]}}</code><br /> <small>[http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de Creative Commons – CC0 1.0 Universell, Public Domain Dedication]</small> | {{Bild-CC-0}} |} == Weitere Lizenzen == {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL/1.3|Bild-GFDL/1.3]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.3 oder jede spätere Version</small> | {{Bild-GFDL/1.3}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-GFDL-Neu|Bild-GFDL-Neu]]}}</code><br /> <small>{{wpde|GNU-Lizenz für freie Dokumentation|GNU Free Documentation License}}, Version 1.2 oder jede spätere Version</small> {{Achtung|1='''Dieser Bausstein gilt für Dateien, für die die Relizenzierung gemäß {{wpd|Wikipedia:Lizenzumstellung bei Dateien}} nicht möglich ist. Das sind insbesondere solche, die ab dem 1. August 2009 hochgeladen worden sind. Sobald der Lizenzumstellungsprozess beendet sein wird, werden beide GFDL-Bausteine wieder zusammengefasst.}} | {{Bild-GFDL-Neu}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-frei|Bild-frei]]}}</code><br /> <small>{{wpd|Public domain}} – Für Bilder, die von ihrem Urheber in die Gemeinfreiheit entlassen wurden '''und/oder''' für die ein unbeschränktes Nutzungsrecht für jedermann gewährt wurde (für Benutzer aus Deutschland)</small> | {{Bild-frei}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-by|Bild-by]]}}</code><br /> <small>Freie Nutzung, wenn der Urheber genannt wird</small> | {{Bild-by}} |} == Hinweisbausteine == '''Diese Bausteine sind keine Lizenzen, sie enthalten nur Hinweistexte. {| width="100%" class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! width="25%" | Baustein ! width="75%" | Ergebnis |- | <code>{{[[Vorlage:Panoramafreiheit|Panoramafreiheit]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch §§ 62, 63 UrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Panoramafreiheit}} |- | <code>{{[[Vorlage:Wappenrecht|Wappenrecht]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch namensrechtlichen Bestimmungen ({{wpd|Hoheitszeichen}})</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Wappenrecht}} |- | <code>{{[[Vorlage:Währung|Währung]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 148 ff StGB. Es kann ein Parameter für die Sortierung in der Kategorie angegeben werden.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Währung}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-WikimediaCopyright|Bild-WikimediaCopyright]]}}</code><br /> <small>Von [[Wikimedia]] urheberrechtlich geschützte Logos</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein darf nur für Wikimedia-Logos bei Screenshots verwendet werden. Andere Inhalte des Screenshots müssen allerdings weiterhin frei lizenziert sein.'''}} | {{Bild-WikimediaCopyright}} |- | <code>{{[[Vorlage:Bild-LogoSH|Bild-LogoSH]]}}</code><br /> <small>Für Logos unter dem Schutz des Namensrechts/Markenrechts, jedoch ohne urheberrechtliche {{wpd|Schöpfungshöhe}}.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Lizenzbaustein ist nicht für Fotografien oder Dateien mit anderen Lizenzbausteinen gedacht (dafür ggf. <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code> verwenden).}} | {{Bild-LogoSH}} |- | <code>{{[[Vorlage:Logo|Logo]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch Marken- bzw. Namensrecht.</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Logo}} |- | <code>{{[[Vorlage:Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen|Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 86 StGB</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Kennzeichen verfassungswidriger Organisationen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Recht am eigenen Bild|Recht am eigenen Bild]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 22 ff KunstUrhG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Recht am eigenen Bild}} |- | <code>{{[[Vorlage:Olympische Ringe|Olympische Ringe]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch § 2 ff OlympSchG</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Olympische Ringe}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzzeichen|Schutzzeichen]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf nicht-urheberrechtliche Beschränkungen für die Nutzung des Bildes durch das Völkerrecht</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzzeichen}} |- | <code>{{[[Vorlage:Schutzlandprinzip|Schutzlandprinzip]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf die Anwendung des Schutzlandprinzips</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{Schutzlandprinzip}} |- | <code>{{[[Vorlage:NoCommons (Benutzerbild)|NoCommons (Benutzerbild)]]}}</code><br /> <small>Hinweis auf den Benutzerwunsch, sein Benutzerbild nicht auf Commons zu verschieben (bitte vom Uploader setzen oder auf einen entsprechenden Text vom Uploader verweisen)</small> {{Achtung|1='''Achtung: Dieser Hinweisbaustein ersetzt keinen Lizenzbaustein.'''}} | {{NoCommons (Benutzerbild)}} |} == Linkliste == * {{wpd|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder}} * {{wpd|Wikipedia:Bildrechte}} * {{wpd|Wikipedia:Musikrechte}} == Siehe auch == * [[Hilfe:Bilder]] * [[Urheberrecht]] {{SORTIERUNG:{{PAGENAME}}}} [[Kategorie:Hilfe:Lizenzen]] [[Kategorie:Hilfe:Dateien]] {{Kopie wpde|Wikipedia:Lizenzvorlagen für Bilder|03.01.2013}} c88f5d686d1f6ef9c6793acd9d049b0fdcd2037d 12 306 1570 1569 2014-02-08T21:50:23Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki === YouTube-Video === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:YouTube|id=3jjufIV8CpI}} | width="50%" | <pre>{{#widget:YouTube|id=3jjufIV8CpI}}</pre> |- | {{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}} | <pre>{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}}</pre> |} Die Daten: '''3jjufIV8CpI''' findet man bei YouTube unter: (More info) http://www.youtube.com/watch?v=Teil der YouTube URL → http://www.youtube.com/watch?v=3jjufIV8CpI === Google Maps === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Google Maps |key= |width=600 |height=400 |lat=50.0381 |lng=10.524731 }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Google Maps |key= |width=600 |height=400 |lat=50.0381 |lng=10.524731 }} </pre> |- | width="50%" | {{#widget:Google Maps |key= |maptype=satellite |width=650 |height=400 |lat=24.627045 |lng=29.157715 |maptypecontrol=yes |largemapcontrol=yes |overviewmapcontrol=yes |scalecontrol=yes |zoom=5 |hierarchicalmaptypecontrol=yes }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Google Maps |key= |maptype=satellite |width=650 |height=400 |lat=24.627045 |lng=29.157715 |maptypecontrol=yes |largemapcontrol=yes |overviewmapcontrol=yes |scalecontrol=yes |zoom=5 |hierarchicalmaptypecontrol=yes }} </pre> |} {{Siehe|:zum-wiki:Hilfe:Google Maps}} === Google-Kalender === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=80% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=80% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }} </pre> |} :{{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Google Kalender|Hilfe:Google Kalender - im RMG-Wiki]] :Ein erster Test im {{rmg-wiki}} [[:rmg:P-Seminar/Physik 2010-12|P-Seminar/Physik 2010-12 - im RMG-Wiki]] === Google-Document === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }} | width="50%" | <pre> {{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }} </pre> |- | {{#widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=650 }} | <pre> {{#widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=650 }} </pre> |} === Google - Picasa === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=350 |height=250 |captions=1 |autoplay=0 }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=350 |height=250 |captions=1 |autoplay=0 }} </pre> |} :{{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Picasa|Hilfe:Picasa - im RMG-Wiki]] :Erstellt mit: [http://picasaweb.google.com/home Google - Picasa Webalbum] === SlideShare === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:SlideShare|doc=zum2-131110083140-phpapp02}} | width="50%" | <pre>{{#widget:SlideShare|doc=zum2-131110083140-phpapp02}}</pre> |} ;Mehr: {{zum-wiki}} [[:zum-wiki:Hilfe:SlideShare|Hilfe:SlideShare - im ZUM-Wiki]] === Geogebra-Dateien === {| |width=500px| <ggb_applet width="350" height="274" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/> |width=5px| |valign="top" | ggb hochladen, einbinden mit <pre><ggb_applet height="300" width="350" filename="Lokale Änderungsrate.ggb" /></pre> <u>oder</u> in GeoGebra: :--> Datei :--> Export :--> Dynamisches Arbeitsblatt als Webseite :--> Datei (Zwischenablage Media Wiki wählen) |} === Audio-Dateien === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | [[Datei:Ejemplos castellano.ogg]] | width="50%" | <pre>[[Datei:Ejemplos castellano.ogg]]</pre> |- | [[Datei:Ejemplos castellano.ogg]] *''español'' – Spanisch *''castellano'' – Kastilisch *''hola'' – hallo *''buenos días'' – guten Tag/Morgen (wörtlich: gute Tage) *''buenas tardes'' – guten Tag/Nachmittag (wörtlich: gute Nachmittage) *''buenas noches'' – guten Abend/Nacht (wörtlich: gute Nächte) *''adiós'' – auf Wiedersehen *''por favor'' – bitte (in einer Bitte) (wörtlich: aufgrund (eines) Gefallens) *''gracias'' – danke | <pre> [[Datei:Ejemplos castellano.ogg]] *''español'' – Spanisch *''castellano'' – Kastilisch *''hola'' – hallo *''buenos días'' – guten Tag/Morgen (wörtlich: gute Tage) *''buenas tardes'' – guten Tag/Nachmittag (wörtlich: gute Nachmittage) *''buenas noches'' – guten Abend/Nacht (wörtlich: gute Nächte) *''adiós'' – auf Wiedersehen *''por favor'' – bitte (in einer Bitte) (wörtlich: aufgrund (eines) Gefallens) *''gracias'' – danke </pre> |} {{Achtung|Im Browser Safari unter OS X können die OGG-Dateien aktuell (Februar 2014) nicht gehört werden. - Bitte einen anderen Browser benutzen!}} === Noten einbinden === ;Noten und Text: {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | <score> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> | width="50%" | <pre> <score> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> </pre> |} ;Noten, Text und Ton: {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | <score vorbis="1"> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> | width="50%" | <pre> <score vorbis="1"> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> </pre> |} ;Mehr: {{zum-wiki}} [[:zum-wiki:Hilfe:Notensatz|Hilfe:Notensatz - im ZUM-Wiki]] === Twitter === ;Twitter-Benutzer (user): {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} </pre> |} ;Suche (query): Das Aussehen kann unter [http://twitter.com/about/resources/widgets/widget_profile Widget Profile] verändert werden. Insbesondere die Farben und die entsprechenden Felder sind dort anpassbar. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} </pre> |} b50f740c3378a0be82164a2987f7644422fbcce0 1569 1037 2014-02-08T18:12:15Z Karl Kirst 2 /* Google-Kalender */ 80% wikitext text/x-wiki === YouTube-Video === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:YouTube|id=3jjufIV8CpI}} | width="50%" | <pre>{{#widget:YouTube|id=3jjufIV8CpI}}</pre> |- | {{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}} | <pre>{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}}</pre> |} Die Daten: '''3jjufIV8CpI''' findet man bei YouTube unter: (More info) http://www.youtube.com/watch?v=Teil der YouTube URL → http://www.youtube.com/watch?v=3jjufIV8CpI === Google Maps === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Google Maps |key= |width=600 |height=400 |lat=50.0381 |lng=10.524731 }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Google Maps |key= |width=600 |height=400 |lat=50.0381 |lng=10.524731 }} </pre> |- | width="50%" | {{#widget:Google Maps |key= |maptype=satellite |width=650 |height=400 |lat=24.627045 |lng=29.157715 |maptypecontrol=yes |largemapcontrol=yes |overviewmapcontrol=yes |scalecontrol=yes |zoom=5 |hierarchicalmaptypecontrol=yes }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Google Maps |key= |maptype=satellite |width=650 |height=400 |lat=24.627045 |lng=29.157715 |maptypecontrol=yes |largemapcontrol=yes |overviewmapcontrol=yes |scalecontrol=yes |zoom=5 |hierarchicalmaptypecontrol=yes }} </pre> |} {{Siehe|:zum-wiki:Hilfe:Google Maps}} === Google-Kalender === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=80% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=80% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }} </pre> |} :{{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Google Kalender|Hilfe:Google Kalender - im RMG-Wiki]] :Ein erster Test im {{rmg-wiki}} [[:rmg:P-Seminar/Physik 2010-12|P-Seminar/Physik 2010-12 - im RMG-Wiki]] === Google-Document === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }} | width="50%" | <pre> {{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }} </pre> |- | {{#widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=650 }} | <pre> {{#widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=650 }} </pre> |} === Google - Picasa === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=350 |height=250 |captions=1 |autoplay=0 }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=350 |height=250 |captions=1 |autoplay=0 }} </pre> |} :{{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Picasa|Hilfe:Picasa - im RMG-Wiki]] :Erstellt mit: [http://picasaweb.google.com/home Google - Picasa Webalbum] === SlideShare === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:SlideShare|doc=zum2-131110083140-phpapp02}} | width="50%" | <pre>{{#widget:SlideShare|doc=zum2-131110083140-phpapp02}}</pre> |} ;Mehr: {{zum-wiki}} [[:zum-wiki:Hilfe:SlideShare|Hilfe:SlideShare - im ZUM-Wiki]] === Geogebra-Dateien === {| |width=500px| <ggb_applet width="350" height="274" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAKdWZT0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sxZhbc6M2FMefu59Cw0Mn2a2JLmCgtbOTZG+Z2XY9k7QPfcNGtmkweEEkeD99jyRksJM4vqQ1L4Akjo5+55w/oN77apage54XcZb2LWJjC/F0lEVxOulbpRh3fOv9+ZvehGcTPsxDNM7yWSj6FrOpJdvL+PzNT71imj2gMFFD/or5Q98ah0nBLVTMcx5GxZRzsdIellWcxGG++Db8h49E0XRoI9fpvIRZRF5C22gWfY0Lc3smJxxnqUCoiH9wcLor23pnypceL0dJHMVhKudTvsEghB7iSEzB7W5goSmPJ1MwRz2qrY2yLI9uFoXgM1T9zfMMjLqBTXHrcC20qLuob7usdcAyR2ECnjBmM7bas3i2S83M72+4EAC7QGHFC7PiSR5H7evr4jJLoiWkeRan4iqcizJXcWJ1041YyLkghrlc4UU6SXjdRgHjlI/uhll1o6kxbfp2MVePKHeGk6ssyXKUwwMurHhSn4f6rMZIP5ejsBqD1YjahjS67CcuUyPUeajPalQSp9q1et3ELBqbWeIC6Xsks8vQSMIhT/qWhco0Fl/NjYhHd/VCiR7/RzkbQla3c2ZpkrySyd7ZWrL17nie8kSnVAphLbOyQPdhYiKn/Ij4KJ7Bre4gtXMyVn+CA7o14pOcG791SWhaqhe307ZpJtop44T0oQBfRwJqG9Yj5Fpk6YlplsurKBSyRRZNBXVaSA3QNBA4DEJQzeF8Up2iPsI2QW/RSYXeIWqzU33dgWbqLm+o3Vw7cK3c4QmfcShWofJsXKbKnSX1sbWaDWIK3FPwpW9B3ol2ciqRyZRerIWuiTF0P5mbFDtSW+bTEFrs2mASLni+QlTZ+z2LVjmHKcRLQQSFmEsDMiPmnEe1Yho30RxMqopshXuLtUEiaUoqaLNZmEYoDWfQPZBlrRDFUhFRiCUyvdRSmJaBNlI/+gi60oYlrIG1P0xTxi7Zmua38bjgAlV9ywc17FvBbqQxJngH2KokCjlbh9o06KopO2CGMRKA6voucxxQc5DDH9qeekyrp3xRKG/czUG5hWLlj8IyACTkqeiEm6Mj82MJP3yNcmjxaIdQ1cCyIvYKoRtooMR7Mop0PQi+TT3mBMQPHBbAoVNAhVHiD2xMA8KwR33sdb3A2bpi4M35PdVjCi3SIFZJPIrFeujWpa1vXdTKdtI5oTY+/QWN66vTU2u1Yh7r12opXexVSl0dBnka6tPOcehQR5N0N1XTSjHgOnJ24DnMcwJzbCwE52Wal0uaYESxJBLljiQvj0WSKizU2ZIjMRyZDZ+BhDYcnUNBXhmQWHPEe2C8OhbG3dIRG4rY7jpd33MPZffBsKtzcJ8U/HC0YtaqyDZ+gzTwTAoSeL8F7HB2nww7qtnRPdh9Op4QEg1j42dFA8/oILYDB3db5XuwDn42GJnGyPbA+PnY7xPKtsPImtcJDhih7vI3mRzK8UvD0dMcvZ05fjkaR6LTkfrbcvSWr2Xfa+83sEM5fmwkkblaE5m7M8mP/y/JjbLH3Fr3HNdx2Cso37VB5OiSdfYo2etjpZpOnGc+xB/Rc5qC9Tzie68ofLe8ErQm+fP3MhO/1f9H/FeEdAN6h8KnUAp41Fq1sw9Ns1VltqH2zrZxXPFIt6xtNRY8j8fNrqbaQYNFF2aDSP+RiTAX6o8d6a8c1m3vIGKtDa58b7ePdgBeRs1WUA/K9E6gQZv0YCvS7AXSz/xD7r0N8N+zdp5g7djMb7fS51iftffK1GZyveF9/i9QSwcI1YLgqyQFAAAiFwAAUEsBAhQAFAAIAAgAp1ZlPdWC4KskBQAAIhcAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAABeBQAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/> |width=5px| |valign="top" | ggb hochladen, einbinden mit <pre><ggb_applet height="300" width="350" filename="Lokale Änderungsrate.ggb" /></pre> <u>oder</u> in GeoGebra: :--> Datei :--> Export :--> Dynamisches Arbeitsblatt als Webseite :--> Datei (Zwischenablage Media Wiki wählen) |} === Audio-Dateien === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | [[Datei:Ejemplos castellano.ogg]] | width="50%" | <pre>[[Datei:Ejemplos castellano.ogg]]</pre> |- | [[Datei:Ejemplos castellano.ogg]] *''español'' – Spanisch *''castellano'' – Kastilisch *''hola'' – hallo *''buenos días'' – guten Tag/Morgen (wörtlich: gute Tage) *''buenas tardes'' – guten Tag/Nachmittag (wörtlich: gute Nachmittage) *''buenas noches'' – guten Abend/Nacht (wörtlich: gute Nächte) *''adiós'' – auf Wiedersehen *''por favor'' – bitte (in einer Bitte) (wörtlich: aufgrund (eines) Gefallens) *''gracias'' – danke | <pre> [[Datei:Ejemplos castellano.ogg]] *''español'' – Spanisch *''castellano'' – Kastilisch *''hola'' – hallo *''buenos días'' – guten Tag/Morgen (wörtlich: gute Tage) *''buenas tardes'' – guten Tag/Nachmittag (wörtlich: gute Nachmittage) *''buenas noches'' – guten Abend/Nacht (wörtlich: gute Nächte) *''adiós'' – auf Wiedersehen *''por favor'' – bitte (in einer Bitte) (wörtlich: aufgrund (eines) Gefallens) *''gracias'' – danke </pre> |} {{Achtung|Im Browser Safari unter OS X können die OGG-Dateien aktuell (Februar 2014) nicht gehört werden. - Bitte einen anderen Browser benutzen!}} === Noten einbinden === ;Noten und Text: {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | <score> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> | width="50%" | <pre> <score> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> </pre> |} ;Noten, Text und Ton: {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | <score vorbis="1"> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> | width="50%" | <pre> <score vorbis="1"> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </score> </pre> |} ;Mehr: {{zum-wiki}} [[:zum-wiki:Hilfe:Notensatz|Hilfe:Notensatz - im ZUM-Wiki]] === Twitter === ;Twitter-Benutzer (user): {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} </pre> |} ;Suche (query): Das Aussehen kann unter [http://twitter.com/about/resources/widgets/widget_profile Widget Profile] verändert werden. Insbesondere die Farben und die entsprechenden Felder sind dort anpassbar. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} </pre> |} b50f740c3378a0be82164a2987f7644422fbcce0 1037 1036 2013-02-08T20:52:12Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki ===You-Tube Videos === {| |width=500px| {{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}} </pre> |} ;oder: {| |width=500px| {{#widget:YouTube|id=gsIEJZ72tVQ}} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#widget:YouTube|id=gsIEJZ72tVQ}} </pre> |} === Google-Maps === {| |width=500px| {{#widget:Google_Maps |key=ABQIAAAA1sGX8j2Q8wiPmw_8o7xh0BRMMibz5ldBmW2m950i7JAMePpV2RSxRzTREqZ17TS8TurP1YZ0ltVLnw |width=600 |height=400 |lat=50.038303 |lng=10.526361 |zoom=16 |static=yes |centermarker=yes }} |width=5px| |valign="top" | <pre> {{#widget:Google_Maps |key=... |width=600 |height=400 |lat=50.038303 |lng=10.526361 |zoom=16 |static=yes |centermarker=yes }}</pre> ACHTUNG: Neue Version! |} === Google-Kalender === {| |width=500px| {{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=70% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=100% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }}</pre> {{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Google Kalender|Hilfe:Google Kalender - im RMG-Wiki]] Ein erster Test im {{rmg-wiki}} [[:rmg:P-Seminar/Physik 2010-12|P-Seminar/Physik 2010-12 - im RMG-Wiki]] |} === Google-Document === {| |width=500px; valign="top"| {{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }}</pre> |} {| |width=500px; valign="top"| {{#widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=650 }} === Google - Picasa === {| |width=500px| {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=350 |height=250 |captions=1 |autoplay=0 }} |width=5px| |valign="top" | <pre> {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=300 |height=200 |captions=1 |autoplay=0 }}</pre> {{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Picasa|Hilfe:Picasa - im RMG-Wiki]] Erstellt mit: [http://picasaweb.google.com/home Google - Picasa Webalbum] |} === Slideshare === {| |width=500px; valign="top" | {{#slideshare:anneindenfngenderstasi-100303073700-phpapp01|350}} |width=5px| |valign="top"| <pre>{{#slideshare:anneindenfngenderstasi-100303073700-phpapp01|350}}</pre> {{zum-wiki}} [[:zum-wiki:Hilfe:SlideShare|Hilfe:SlideShare - 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im ZUM-Wiki]] |} === Twitter === {| |width=500px| {{#Widget:Twitter |user=ZUMTeam |count=3 }} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#Widget:Twitter |user=ZUMTeam |count=3 }} </pre> <!-- In der Wiki-Family --> [[zum-wiki:Hilfe:Spickzettel]] <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 1036 2013-01-08T20:48:21Z Maria Eirich 0 /* You-Tube Videos */ wikitext text/x-wiki ===You-Tube Videos === {| |width=500px| {{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#ev:youtube |Kl87tJcB4Io|350}} </pre> |} ;oder: {| |width=500px| {{#widget:YouTube|id=gsIEJZ72tVQ}} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#widget:YouTube|id=gsIEJZ72tVQ}} </pre> |} === Google-Maps === {| |width=500px| {{#widget:Google_Maps |key=ABQIAAAA1sGX8j2Q8wiPmw_8o7xh0BRMMibz5ldBmW2m950i7JAMePpV2RSxRzTREqZ17TS8TurP1YZ0ltVLnw |width=600 |height=400 |lat=50.038303 |lng=10.526361 |zoom=16 |static=yes |centermarker=yes }} |width=5px| |valign="top" | <pre> {{#widget:Google_Maps |key=... |width=600 |height=400 |lat=50.038303 |lng=10.526361 |zoom=16 |static=yes |centermarker=yes }}</pre> ACHTUNG: Neue Version! |} === Google-Kalender === {| |width=500px| {{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=70% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#widget:Google Calendar |id=si8ocqn3duj6f8int3h57jm8qeunplut@import.calendar.google.com |color=528800 |width=100% |id=p2m2av9dhrh4n1ub7jlsc68s7o@group.calendar.google.com |color=2952A3 |id=usa@holiday.calendar.google.com |color=B1440E |title=... }}</pre> {{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Google Kalender|Hilfe:Google Kalender - im RMG-Wiki]] Ein erster Test im {{rmg-wiki}} [[:rmg:P-Seminar/Physik 2010-12|P-Seminar/Physik 2010-12 - im RMG-Wiki]] |} === Google-Document === {| |width=500px; valign="top"| {{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#Widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=350 }}</pre> |} {| |width=500px; valign="top"| {{#widget:Google Document |id=1h-JpTUVx3YyOpuRQL8xEQMFDn1bN2slplukkAuAkAmI |height=300 |width=650 }} === Google - Picasa === {| |width=500px| {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=350 |height=250 |captions=1 |autoplay=0 }} |width=5px| |valign="top" | <pre> {{#widget:Picasa |user=RMG.Wiki |album=5535974178301413153 |width=300 |height=200 |captions=1 |autoplay=0 }}</pre> {{rmg-wiki}} [[:rmg:Hilfe:Picasa|Hilfe:Picasa - im RMG-Wiki]] Erstellt mit: [http://picasaweb.google.com/home Google - Picasa Webalbum] |} === Slideshare === {| |width=500px; valign="top" | {{#slideshare:anneindenfngenderstasi-100303073700-phpapp01|350}} |width=5px| |valign="top"| <pre>{{#slideshare:anneindenfngenderstasi-100303073700-phpapp01|350}}</pre> {{zum-wiki}} [[:zum-wiki:Hilfe:SlideShare|Hilfe:SlideShare - im ZUM-Wiki]] |} === Geogebra-Dateien === {| |width=500px| <ggb_applet width="350" height="274" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/> |width=5px| |valign="top" | ggb hochladen, einbinden mit <pre><ggb_applet height="300" width="350" filename="Lokale Änderungsrate.ggb" /></pre> <u>oder</u> in GeoGebra: :--> Datei :--> Export :--> Dynamisches Arbeitsblatt als Webseite :--> Datei (Zwischenablage Media Wiki wählen) |} === Audio-Dateien === {| |width=500px| [[Media:Ejemplos_castellano.ogg]] *''español'' – Spanisch *''castellano'' – Kastilisch *''hola'' – hallo *''buenos días'' – guten Tag/Morgen (wörtlich: gute Tage) *''buenas tardes'' – guten Tag/Nachmittag (wörtlich: gute Nachmittage) *''buenas noches'' – guten Abend/Nacht (wörtlich: gute Nächte) *''adiós'' – auf Wiedersehen *''por favor'' – bitte (in einer Bitte) (wörtlich: aufgrund (eines) Gefallens) *''gracias'' – danke .... |width=5px| |valign="top" | <pre>[[Media:Ejemplos_castellano.ogg]]</pre> |} '''NEU:''' Statt <tt>Media</tt> schreibt man <tt>Datei</tt> und es wird der Player mit angezeigt. <nowiki>[[Datei:Ejemplos_castellano.ogg]]</nowiki> [[Datei:Ejemplos_castellano.ogg]] === Noten einbinden === {| |width=700px| <music> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </music> |width=5px| |valign="top" | <pre><music> \relative c'' { g2 es8( c4.) f8 f es d c2 } \addlyrics { Li ly, got me on my knees } </music> </pre> {{zum-wiki}} [[:zum-wiki:Hilfe:Notensatz|Hilfe:Notensatz - im ZUM-Wiki]] |} === Twitter === {| |width=500px| {{#Widget:Twitter |user=ZUMTeam |count=3 }} |width=5px| |valign="top" | <pre>{{#Widget:Twitter |user=ZUMTeam |count=3 }} </pre> <!-- In der Wiki-Family --> [[zum-wiki:Hilfe:Spickzettel]] <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 12 305 1035 1034 2013-02-08T20:52:11Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki === Lückentext-Quiz === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> Andere Möglichkeit: <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> |} ;Beachte: Lücken werden durch die Formatierung als '''fett''' (<nowiki>''' '''</nowiki>) erzeugt. === Zuordnungs-Quiz === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz" > {| | < || 5m ... 5,50 m ||0, 8 cm ... 100 mm |- | > || 20 cm ... 20 mm || 700 cm ... 17 cm |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | < || 5m ... 5,50 m ||0, 8 cm ... 100 mm |- | > || 20 cm ... 20 mm || 700 cm ... 17 cm |} </div></pre> |} === Multiplechoice-Quiz === {| |width=500px| <div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div></pre> Beachte: Das "!" in den Klammern kennzeichnet die falschen Antworten. |} ===Schüttelwörter=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> </pre> |} === Kreuzworträtsel=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div></pre> |} ===Suchsel=== {| |width=500px; valign="top"| <div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div></pre> |} === Memo-Quiz === {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" lang="es"> {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div></pre> |} === Memo-Quiz mit Bildern (Formeldeditor)=== {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div></pre> |} === Ordne der Größe nach (Formeleditor) === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz" > ''' <math>\frac{6}{32}</math> ''' < ''' <math>\frac{7}{15}</math> ''' < ''' <math>\frac{3}{7} </math> ''' < ''' <math>\frac{18}{26}</math> ''' </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz" > '''<math>\frac{6}{32}</math>''' < '''<math>\frac{7}{15}</math>''' < '''<math>\frac{3}{7}</math>''' < '''<math>\frac{18}{26}</math>''' </div></pre> |} === Addieren und Multiplizieren von Brüchen (Formeleditor)=== {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> || <math>\frac{3}{4} </math> || <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{1}{4} </math> || <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> || <math>\frac{4}{2} </math> ||<math>\frac{6}{3} </math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> | | <math>\frac{3}{4} </math> | | <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> | | <math>\frac{1}{4} </math> | | <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> | | <math>\frac{4}{2} </math> | |<math>\frac{6}{3} </math> |} </div></pre> |} === Zuordnungs-Quiz mit Bildern === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div></pre> |} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 1034 2013-01-06T19:31:04Z Karl Kirst 2 /* Lückentext-Quiz */ wikitext text/x-wiki === Lückentext-Quiz === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> Andere Möglichkeit: <pre><div class="lueckentext-quiz"> Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren. </div></pre> |} ;Beachte: Lücken werden durch die Formatierung als '''fett''' (<nowiki>''' '''</nowiki>) erzeugt. === Zuordnungs-Quiz === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz" > {| | < || 5m ... 5,50 m ||0, 8 cm ... 100 mm |- | > || 20 cm ... 20 mm || 700 cm ... 17 cm |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | < || 5m ... 5,50 m ||0, 8 cm ... 100 mm |- | > || 20 cm ... 20 mm || 700 cm ... 17 cm |} </div></pre> |} === Multiplechoice-Quiz === {| |width=500px| <div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="multiplechoice-quiz"> Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3) Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene) </div></pre> Beachte: Das "!" in den Klammern kennzeichnet die falschen Antworten. |} ===Schüttelwörter=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="schuettel-quiz"> Finden Sie die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern! When I get up in the '''morning''' I love to drink '''coffee'''. My dad makes '''toast''' for me and then I go to '''school'''. </div> </pre> |} === Kreuzworträtsel=== {| |width=500px; valign="top" | <div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="kreuzwort-quiz"> {| |- | brother || My mother's son is my ... |- | chair || You sit on a ... when you are in the classroom. |- | black || opposite of "white" |- | winter|| ... is the opposite of summer |} </div></pre> |} ===Suchsel=== {| |width=500px; valign="top"| <div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="suchsel-quiz"> Finde die Wörter! ''(Waagrecht, senkrecht und schräg)'' {| |Musik |- |Mathe |- |Chemie |} </div></pre> |} === Memo-Quiz === {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" lang="es"> {| | Hund || dog |- | Katze || cat |- | Vogel ||bird |} </div></pre> |} === Memo-Quiz mit Bildern (Formeldeditor)=== {| |width=500px| <div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="memo-quiz" > {| |[[Bild:Deut.4.Armee-Abzeichen1941.gif|100px]] | | <math>A = \frac{g \cdot h}{2}</math> |- | [[Bild:Disc Plain yellow.svg|100px]] | | <math>A = r^2 \cdot \pi </math> |- | [[Bild:Wikijunior rectangle.svg|100px]] | | <math>A = a \cdot b</math> |} </div></pre> |} === Ordne der Größe nach (Formeleditor) === {| |width=500px; valign="top" | <div class="lueckentext-quiz" > ''' <math>\frac{6}{32}</math> ''' < ''' <math>\frac{7}{15}</math> ''' < ''' <math>\frac{3}{7} </math> ''' < ''' <math>\frac{18}{26}</math> ''' </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="lueckentext-quiz" > '''<math>\frac{6}{32}</math>''' < '''<math>\frac{7}{15}</math>''' < '''<math>\frac{3}{7}</math>''' < '''<math>\frac{18}{26}</math>''' </div></pre> |} === Addieren und Multiplizieren von Brüchen (Formeleditor)=== {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> || <math>\frac{3}{4} </math> || <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> || <math>\frac{1}{4} </math> || <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> || <math>\frac{4}{2} </math> ||<math>\frac{6}{3} </math> |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | <math>x \cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}</math> | | <math>\frac{3}{4} </math> | | <math>\frac{6}{8} </math> |- | <math>x +\frac{1}{2}=\frac{3}{4}</math> | | <math>\frac{1}{4} </math> | | <math>\frac{2}{8} </math> |- | <math>x\cdot\frac{2}{4}=\frac{8}{8}</math> | | <math>\frac{4}{2} </math> | |<math>\frac{6}{3} </math> |} </div></pre> |} === Zuordnungs-Quiz mit Bildern === {| |width=500px| <div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div> |width=5px| |valign="top" | <pre><div class="zuordnungs-quiz"> {| | [[Datei:Quader.svg|120px]] || Quader |- | [[Datei:Cylinder (geometry).png|120px]] || Zylinder |} </div></pre> |} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 12 409 1378 1377 2014-02-08T21:27:36Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Verhaltensregeln für Wiki-Autoren === Das ''{{SITENAME}}'' ist ein '''öffentliches Portal''' in der [[:wikis:|Wiki-Family auf ZUM.de]], das weltweit eingesehen werden kann. Es ist kein Diskussionsforum, kein Chat, kein Ort zur Selbstdarstellung, keine Plattform für Streitereien, Beleidigungen oder Mobbing, keine Tauschbörse. Jede Änderung oder Neuanlegung eines Beitrages wird protokolliert; es ist nachvollziehbar, '''Wer Was Wann''' geschrieben, geändert oder gelöscht hat. Rechtschreibfehler und Unwahrheiten können von den angemeldeten Benutzern korrigiert und Beiträge ergänzt werden. '''Beachte folgende Richtlinien''': <div style="padding:1px;background:#FFC125;border:0px groove;"> *'''Schreibe sachlich''': Zitiere Publikation(en), die deine Aussagen belegen. *'''Schreibe verständlich''': Versteht jeder deiner Bekannten deine Aussage sofort? *'''Schreibe in ganzen Sätzen''': Ein Satz enthält mindestens ein Subjekt und ein Prädikat. *'''Schreibe grammatikalisch richtig'''. *'''Achte auf die Rechtschreibung'''. </div> </td></tr></table></center> </div> <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Bildrechte/Urheberrecht === * Der einfachste Fall: das Bild wird selbst erstellt, fotografiert oder gezeichnet * Abgebildete Personen muss man fragen, ob sie mit der Veröffentlichung einverstanden sind * Stammt das Bild '''nicht von Dir''' (sondern z.B. aus dem Internet) oder hast Du etwas fotografiert, das jemand anderes hergestellt hat, muss der Rechteinhaber in die Veröffentlichung einwilligen * Dazu kann per E-Mail um Erlaubnis gefragt werden. Die erhaltene Genehmigung muss beim Hochladen der Abbildung mit angegeben werden (die E-Mail an die Administratoren weiterleiten!) *Bildrechte außer bei selbst erstellten Bildern immer im Einzelfall klären!''' *Es ist nicht erlaubt, Kopien aus Schulbüchern hochzuladen und darzustellen, weder als Bild noch innerhalb von Dateien. '''Beachte beim Hochladen von Dateien und Bildern: :Im Textfeld '''Beschreibung/Quelle''' müssen folgende Angaben gemacht werden: <div style="padding:1px;background:#FFC125;border:0px groove;"> * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? * '''Quelle''': Woher stammt die Datei? (URL angeben bwz. selbst fotografiert/erstellt/gezeichnet...) * '''Urheber''': Wer hat die Datei erstellt? * '''Datum''': Wann ist es entstanden und/oder erstveröffentlicht? (nicht das Datum eintragen, an dem das Bild hochgeladen wird!) *''' Genehmigung''' (auszufüllen, wenn du nicht der Urheber bist): Hat dir der Urheber die Nutzung explizit erlaubt? Wenn ja, wie/wo kann man das überprüfen? * '''Lizenzangabe:''' Unter welcher Lizenz wurde das Bild veröffentlicht (fremdes Bild) bzw. soll es jetzt veröffentlicht werden (eigenes Bild)? </div> '''ACHTUNG: Bei fehlenden Angaben wird das Bild von den Administratoren gelöscht. </td></tr></table></center> </div> <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Regelverstoß === Benutzer, die gegen die '''Wiki-Richtlinien''' verstoßen, werden vom Administrator gesperrt und können nicht mehr im ''{{SITENAME}}'' mitarbeiten. </td></tr></table></center> </div> [[Kategorie:Projekt-Regeln]] a4b098fcd378f6561be13ea353d14fe06782fa01 1377 2014-01-22T22:48:47Z Karl Kirst 2 Schützte „[[Hilfe:Richtlinien im Wiki]]“: Wichtig für die Projektorganisation ([Bearbeiten=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt) [Verschieben=Nur Administratoren erlauben] (unbeschränkt)) wikitext text/x-wiki <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Verhaltensregeln für Wiki-Autoren === Das ''{{SITENAME}}'' ist ein '''öffentliches Portal''' in der [[:wikis:|Wiki-Family auf ZUM.de]], das weltweit eingesehen werden kann. Es ist kein Diskussionsforum, kein Chat, kein Ort zur Selbstdarstellung, keine Plattform für Streitereien, Beleidigungen oder Mobbing, keine Tauschbörse. Jede Änderung oder Neuanlegung eines Beitrages wird protokolliert; es ist nachvollziehbar, '''Wer Was Wann''' geschrieben, geändert oder gelöscht hat. Rechtschreibfehler und Unwahrheiten können von den angemeldeten Benutzern korrigiert und Beiträge ergänzt werden. '''Beachte folgende Richtlinien''': <div style="padding:1px;background:#FFC125;border:0px groove;"> *'''Schreibe sachlich''': Zitiere Publikation(en), die deine Aussagen belegen. *'''Schreibe verständlich''': Versteht jeder deiner Bekannten deine Aussage sofort? *'''Schreibe in ganzen Sätzen''': Ein Satz enthält mindestens ein Subjekt und ein Prädikat. *'''Schreibe grammatikalisch richtig'''. *'''Achte auf die Rechtschreibung'''. </div> </td></tr></table></center> </div> <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Bildrechte/Urheberrecht === * Der einfachste Fall: das Bild wird selbst erstellt, fotografiert oder gezeichnet * Abgebildete Personen muss man fragen, ob sie mit der Veröffentlichung einverstanden sind * Stammt das Bild '''nicht von Dir''' (sondern z.B. aus dem Internet) oder hast Du etwas fotografiert, das jemand anderes hergestellt hat, muss der Rechteinhaber in die Veröffentlichung einwilligen * Dazu kann per E-Mail um Erlaubnis gefragt werden. Die erhaltene Genehmigung muss beim Hochladen der Abbildung mit angegeben werden (die E-Mail an die Administratoren weiterleiten!) *Bildrechte außer bei selbst erstellten Bildern immer im Einzelfall klären!''' *Es ist nicht erlaubt, Kopien aus Schulbüchern hochzuladen und darzustellen, weder als Bild noch innerhalb von Dateien. '''Beachte beim Hochladen von Dateien und Bildern: :Im Textfeld '''Beschreibung/Quelle''' müssen folgende Angaben gemacht werden: <div style="padding:1px;background:#FFC125;border:0px groove;"> * '''Beschreibung''': Was stellt die Datei dar? * '''Quelle''': Woher stammt die Datei? (URL angeben bwz. selbst fotografiert/erstellt/gezeichnet...) * '''Urheber''': Wer hat die Datei erstellt? * '''Datum''': Wann ist es entstanden und/oder erstveröffentlicht? (nicht das Datum eintragen, an dem das Bild hochgeladen wird!) *''' Genehmigung''' (auszufüllen, wenn du nicht der Urheber bist): Hat dir der Urheber die Nutzung explizit erlaubt? Wenn ja, wie/wo kann man das überprüfen? * '''Lizenzangabe:''' Unter welcher Lizenz wurde das Bild veröffentlicht (fremdes Bild) bzw. soll es jetzt veröffentlicht werden (eigenes Bild)? </div> '''ACHTUNG: Bei fehlenden Angaben wird das Bild von den Administratoren gelöscht. </td></tr></table></center> </div> <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #1874CD; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px" valign="top"> === Regelverstoß === Benutzer, die gegen die '''Wiki-Richtlinien''' verstoßen, werden vom Administrator gesperrt und können nicht mehr im ''{{SITENAME}}'' mitarbeiten. </td></tr></table></center> </div> [[Kategorie:Projekt-Regeln]] a4b098fcd378f6561be13ea353d14fe06782fa01 12 304 1576 1575 2014-02-08T21:50:26Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki === Positionierung von Text und Bild mit Hilfe einer Tabelle === {| |width=500px| {| |width="40%" |Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top" |[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| |width="40%"|Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top"|[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} </pre> |} ===Einfache Tabellen === {| |width=500px; | {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} </pre> |} === Zweizeilige Tabelle mit Rahmen und bestimmter Spaltenbreite === {| |width=500px; | {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} </pre> |} ===Tabelle mit Rahmen, Spaltenbreite, Hintergrundfarbe und Textfarbe=== {| |width=500px;| {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} </pre> |} ===2 Spalten === {| |width=500px; valign="top" | {| |width=200px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre>{| |width=400px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |}</pre> |} e1a301d9586cd18614c43ff4fcfd7df05e83abd8 1575 1033 2014-02-08T15:58:51Z Karl Kirst 2 - kat wikitext text/x-wiki === Positionierung von Text und Bild mit Hilfe einer Tabelle === {| |width=500px| {| |width="40%" |Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top" |[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| |width="40%"|Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top"|[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} </pre> |} ===Einfache Tabellen === {| |width=500px; | {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} </pre> |} === Zweizeilige Tabelle mit Rahmen und bestimmter Spaltenbreite === {| |width=500px; | {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} </pre> |} ===Tabelle mit Rahmen, Spaltenbreite, Hintergrundfarbe und Textfarbe=== {| |width=500px;| {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} </pre> |} ===2 Spalten === {| |width=500px; valign="top" | {| |width=200px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre>{| |width=400px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |}</pre> |} e1a301d9586cd18614c43ff4fcfd7df05e83abd8 1033 1032 2013-02-08T20:52:08Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki === Positionierung von Text und Bild mit Hilfe einer Tabelle === {| |width=500px| {| |width="40%" |Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top" |[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| |width="40%"|Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top"|[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} </pre> |} ===Einfache Tabellen === {| |width=500px; | {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} </pre> |} === Zweizeilige Tabelle mit Rahmen und bestimmter Spaltenbreite === {| |width=500px; | {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} </pre> |} ===Tabelle mit Rahmen, Spaltenbreite, Hintergrundfarbe und Textfarbe=== {| |width=500px;| {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} </pre> |} ===2 Spalten === {| |width=500px; valign="top" | {| |width=200px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre>{| |width=400px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |}</pre> |} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 1032 2013-01-05T22:50:27Z Karl Kirst 2 Kategorie:Hilfen-Export wikitext text/x-wiki === Positionierung von Text und Bild mit Hilfe einer Tabelle === {| |width=500px| {| |width="40%" |Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top" |[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| |width="40%"|Die verwendete Tabelle hat drei Spalten. Die erste Spalte nimmt 40% der Seitenbreite in Anspruch. Die mittlere Spalte ist leer und stellt der Abstand ( 3% ) zwischen Text und Bild sicher. In der rechten Spalte sitzt das Bild durch <nowiki>valign="top"</nowiki> oben. |width="3%"| |valign="top"|[[Datei:DBPB 1952 93 Walther Rathenau.jpg|100px]] |} </pre> |} ===Einfache Tabellen === {| |width=500px; | {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| | Spalte A *1.1 *1.2 | Spalte B *2.1 *2.2 | Spalte C *3.1 *3.2 |} </pre> |} === Zweizeilige Tabelle mit Rahmen und bestimmter Spaltenbreite === {| |width=500px; | {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {| border="1" cellspacing="0" valign="top" | width="5%" | A1 | width="10%" | B1 | width="20%" | C1 |-valign="top" | A2 | B2 | C3 |} </pre> |} ===Tabelle mit Rahmen, Spaltenbreite, Hintergrundfarbe und Textfarbe=== {| |width=500px;| {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} |width=5px| |valign="top" | <pre> {|style="background:#BFEFFF" border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" |style="vertical-align:top" ; width="50%"| <span style="color:#990000">Erste Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#009900">Zweite Spalte |style="vertical-align:top" ; width="25%"| <span style="color:#000099">Dritte Spalte |} </pre> |} ===2 Spalten === {| |width=500px; valign="top" | {| |width=200px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |} |width=5px| |valign="top" | <pre>{| |width=400px|Spalte 1 (die erste hat ein feste Breite 400px) |width=5px| |valign="top" | Spalte 2 |}</pre> |} <noinclude>[[Kategorie:Hilfen-Export]]</noinclude> 12 390 1345 1344 2014-01-09T21:47:38Z Karl Kirst 2 1 Version wikitext text/x-wiki <!--{{Erweiterungen}}--> '''Twitter'''-Meldungen können über ein so genanntes Widget in den [[:portal:|Wikis auf ZUM.de]] angezeigt werden. Als eine von zahlreichen anderen Möglichkeiten ermöglicht die '''MediaWiki-Extension:Widgets''' <!--(seit dem 31.10.2010) -->die Anzeige von Twitter-Meldungen. - In diesem Wiki ist hierfür auch das [[Widget:Twitter]] eingebunden. Dieses listet die Tweets eines Twitter-Users auf. == Twitter-Benutzer (user) == === Syntax === Generell gilt folgende Syntax: <pre> {{#widget:Twitter|user=<Twitter-Name>|id=<Nummer des Widgets>}} </pre> :<Twitter-Name> = z.B.: @ZUMTeam :Die Nummer des Widgets erhält man, wenn man unter der folgenden Adresse ein neues Widget anlegt: :https://twitter.com/settings/widgets/ :Die Nummer erscheint nach dem Anlegen des neuen Widgets in dessen URL. === Beispiel === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} </pre> |} Das Aussehen kann unter [http://twitter.com/about/resources/widgets/widget_profile Widget Profile] verändert werden. Insbesondere die Farben und die entsprechenden Felder sind dort anpassbar. == Twitter-Suche (query) == === Syntax === Generell gilt folgende Syntax: <pre> {{#widget:Twitter|query=<Twitter-Suche>|id=<Nummer des Widgets>}} </pre> :<Twitter-Suche> = z.B.: #OER :Die Nummer des Widgets erhält man, wenn man unter der folgenden Adresse ein neues Widget anlegt: :https://twitter.com/settings/widgets/ :Die Nummer erscheint nach dem Anlegen des neuen Widgets in dessen URL. === Beispiel === Da man den originalen Quellcode von Twitter nicht in diesem Wiki einbinden darf, muss man ein weiteres Widget einfügen. Dieses ist hier [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search Twitter Search]. ;Installation: Die Seite [[Widget:Twitter Search]] muss angelegt werden und mit dem Inhalt [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search von dort] gefüllt werden. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} </pre> |} == Siehe auch == * [[:zum-Wiki:Twitter|Twitter]] [[Kategorie:Hilfe]] f48725ba2ad664a1ea4b76fb66b960132f6852b9 1344 1323 2014-01-09T21:34:10Z Karl Kirst 2 wikitext text/x-wiki <!--{{Erweiterungen}}--> '''Twitter'''-Meldungen können über ein so genanntes Widget in den [[:portal:|Wikis auf ZUM.de]] angezeigt werden. Als eine von zahlreichen anderen Möglichkeiten ermöglicht die '''MediaWiki-Extension:Widgets''' <!--(seit dem 31.10.2010) -->die Anzeige von Twitter-Meldungen. - In diesem Wiki ist hierfür auch das [[Widget:Twitter]] eingebunden. Dieses listet die Tweets eines Twitter-Users auf. == Twitter-Benutzer (user) == === Syntax === Generell gilt folgende Syntax: <pre> {{#widget:Twitter|user=<Twitter-Name>|id=<Nummer des Widgets>}} </pre> :<Twitter-Name> = z.B.: @ZUMTeam :Die Nummer des Widgets erhält man, wenn man unter der folgenden Adresse ein neues Widget anlegt: :https://twitter.com/settings/widgets/ :Die Nummer erscheint nach dem Anlegen des neuen Widgets in dessen URL. === Beispiel === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=283915409315479553}} </pre> |} Das Aussehen kann unter [http://twitter.com/about/resources/widgets/widget_profile Widget Profile] verändert werden. Insbesondere die Farben und die entsprechenden Felder sind dort anpassbar. == Twitter-Suche (query) == === Syntax === Generell gilt folgende Syntax: <pre> {{#widget:Twitter|query=<Twitter-Suche>|id=<Nummer des Widgets>}} </pre> :<Twitter-Suche> = z.B.: #OER :Die Nummer des Widgets erhält man, wenn man unter der folgenden Adresse ein neues Widget anlegt: :https://twitter.com/settings/widgets/ :Die Nummer erscheint nach dem Anlegen des neuen Widgets in dessen URL. === Beispiel === Da man den originalen Quellcode von Twitter nicht in diesem Wiki einbinden darf, muss man ein weiteres Widget einfügen. Dieses ist hier [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search Twitter Search]. ;Installation: Die Seite [[Widget:Twitter Search]] muss angelegt werden und mit dem Inhalt [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search von dort] gefüllt werden. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|query=OER|id=421054040974192640}} </pre> |} == Siehe auch == * [[:zum-Wiki:Twitter|Twitter]] [[Kategorie:Hilfe]] f48725ba2ad664a1ea4b76fb66b960132f6852b9 1323 1322 2014-01-08T18:50:38Z Karl Kirst 2 1 Version: UploadWizard wikitext text/x-wiki {{Erweiterungen}} [[Twitter]]-Meldungen können über ein so genanntes Widget in den [[Wikis auf ZUM.de]] angezeigt werden. __TOC__ == Widget:Twitter == Als eine von zahlreichen anderen Möglichkeiten ermöglicht die '''MediaWiki-Extension:Widgets''' <!--(seit dem 31.10.2010) -->die Anzeige von Twitter-Meldungen. - In diesem Wiki ist hierfür auch das [[Widget:Twitter]] eingebunden. Dieses listet die Tweets eines Twitter-Users auf. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=278116667542867968}} }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=278116667542867968}} }} </pre> |} Das Aussehen kann unter [http://twitter.com/about/resources/widgets/widget_profile Widget Profile] verändert werden. Insbesondere die Farben und die entsprechenden Felder sind dort anpassbar. == Woher bekommt man die Twitter-Nummer? == Die Nummer 24522998 ist die eigene Twitternummer. Diese erhält man aus dem RSS-Feed auf der Twitter-Seite. '''Vergleiche:''' http://twitter.com/statuses/friends_timeline/24522998.rss 24522998 == Widget:Twitter Search == Da man den originalen Quellcode von Twitter nicht in diesem Wiki einbinden darf, muss man ein weiteres Widget einfügen. Dieses ist hier [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search Twitter Search]. ;Installation: Die Seite [[Widget:Twitter Search]] muss angelegt werden und mit dem Inhalt [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search von dort] gefüllt werden. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter Search |query=#zum11 |title=ZUM 11 |caption=ZUM-Treffen 2011 }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter Search |query=#OER |title=OER |caption=Open Educational Resources }} </pre> |} == Siehe auch == * [[Twitter]] [[Kategorie:Hilfe|Twitter]] 07a831a5318164442c601d7e8f7b2bebef353ec1 1322 2014-01-08T18:07:10Z Karl Kirst 2 Änderung 296877 von [[Benutzer:Karl Kirst|Karl Kirst]] ([[Spezial:Contributions/Karl Kirst|Beiträge]] | [[Benutzer Diskussion:Karl Kirst|Diskussion]]) wurde rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki {{Erweiterungen}} [[Twitter]]-Meldungen können über ein so genanntes Widget in den [[Wikis auf ZUM.de]] angezeigt werden. __TOC__ == Widget:Twitter == Als eine von zahlreichen anderen Möglichkeiten ermöglicht die '''MediaWiki-Extension:Widgets''' <!--(seit dem 31.10.2010) -->die Anzeige von Twitter-Meldungen. - In diesem Wiki ist hierfür auch das [[Widget:Twitter]] eingebunden. Dieses listet die Tweets eines Twitter-Users auf. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=278116667542867968}} }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter|user=ZUMTeam|id=278116667542867968}} }} </pre> |} Das Aussehen kann unter [http://twitter.com/about/resources/widgets/widget_profile Widget Profile] verändert werden. Insbesondere die Farben und die entsprechenden Felder sind dort anpassbar. == Woher bekommt man die Twitter-Nummer? == Die Nummer 24522998 ist die eigene Twitternummer. Diese erhält man aus dem RSS-Feed auf der Twitter-Seite. '''Vergleiche:''' http://twitter.com/statuses/friends_timeline/24522998.rss 24522998 == Widget:Twitter Search == Da man den originalen Quellcode von Twitter nicht in diesem Wiki einbinden darf, muss man ein weiteres Widget einfügen. Dieses ist hier [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search Twitter Search]. ;Installation: Die Seite [[Widget:Twitter Search]] muss angelegt werden und mit dem Inhalt [http://www.mediawikiwidgets.org/Twitter_Search von dort] gefüllt werden. {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{#widget:Twitter Search |query=#zum11 |title=ZUM 11 |caption=ZUM-Treffen 2011 }} | width="50%" | <pre> {{#widget:Twitter Search |query=#OER |title=OER |caption=Open Educational Resources }} </pre> |} == Siehe auch == * [[Twitter]] [[Kategorie:Hilfe|Twitter]] 07a831a5318164442c601d7e8f7b2bebef353ec1 12 410 1380 1379 2014-02-08T21:27:42Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki {{Vorlagen}}{{Unterricht}}{{Kurzinfo|Tutorial}} {{Diese Seite|listet Vorlagen (Bausteine) auf, die Teile einer Seite für die Verwendung in der Schule besonders kenntlich machen oder typisch sind für die Gestaltung von Arbeitsblättern und dergleichen. Vorlagen zur Hervorhebung eines Beitrags durch einen bestimmten Rahmen (Kasten) finden sich unter [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen]]. Vorlagen mit vorgefertigten Hinweisen finden sich unter [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Hinweise]].}} Mit '''ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen''' steht eine Reihe von Vorlagen (Bausteinen) zur Verfügung, die es ermöglicht, Beiträge durch eine bestimmte Umrahmung (durch einen Kasten) hervorzuheben. == Regeln für Vorlagen == # Die speziell für das ZUM-Wiki entwickelten Vorlagen sollten möglichst einheitlichen Gestaltungsrichtlinien folgen: ## Hervorhebung durch einen breiten Streifen am linken Rand in einer kräftigen Farbe.<ref>Vereinbarung auf dem [[ZUM-Wiki-Seminar 2009]]</ref> ## ... # Für Vorlagen, die aus anderen Wikis übernommen werden oder hier nach anderen Gestaltungsgrundsätzen entwickelt werden gilt: ## Vorlagen, die dieselbe Funktion wie eine vorhandene übernehmen, heißen auch gleich. Sie unterscheiden sich nur durch eine angehängte Bezeichnung. ### Vorlagen nach dem ZUM-Wiki-Standard: ohne zusätzliche Kennzeichnung (z.B. [[Vorlage:Merke]]) ### "-Mathe": Vorlagen aus dem Medienvielfalt-Wiki (z.B. [[Vorlage:Merke2]]) ### "-umrandet": Vorlagen mit schmalem umlaufenden Rand (z.B. [[Vorlage:Merke3]]) ### ... # Die Vorlagensyntax sollte einheitlich und so einfach und leicht zu merken wie möglich sein: ## In Vorlagen mit nur einer oder zwei Variablen wird <nowiki>{{{1}}}</nowiki> und <nowiki>{{{2}}}</nowiki> als Variable verwendet. Dies hat den Vorteil, dass der Platz für die jeweilige Variable direkt gefüllt werden kann (siehe z.B. <nowiki>{{Merke|<Merktext>}}</nowiki>). Lediglich in seltenen Fällen (wenn innerhalb des eingefügten Textes bestimmte Sonderzeichen vorhanden sind, insbesondere Gleichheitszeichen) muss die Bezeichnung Variable mit eingefügt werden (z.B. so: <nowiki>{{Merke|1=<Merktext>}}</nowiki>). ## ... == Bitte beachten == {{Achtung|1= Wenn der Inhalt einer Vorlage nicht angezeigt wird, dann muss in der Regel der Name des Platzhalters angegeben werden, meistens in der Form "1=" oder "2=". Dies gilt insbesondere dann, wenn im Text, den man in die Vorlage eingibt ein bestimmtes Sonderzeichen, insbesondere ein Gleichheitszeichen eingibt. - Siehe dazu die folgenden Beispiele.}} {| class = "wikitable center" !Das sieht man !Das schreibt man |- |{{Merke| a + b = c}} |<pre>{{Merke| a + b = c}}</pre> |- |{{Merke|1= a + b = c}} |<pre>{{Merke|1= a + b = c}}</pre> |- |} Die Schreibweise mit "1=" ist normalerweise überflüssig, aber immer dann notwendig, wenn es Darstellungsprobleme innerhalb der Vorlage gibt, wenn also etwas ohne dieses "1=" nicht angezeigt wird. == Anleitung == === [[Vorlage:Anleitung|Anleitung]] === :Kurze Anleitung zu einem Thema {{Beispiel|1={{Anleitung|<Thema>|<So geht das.>}}|2=<pre>{{Anleitung|<Thema>|<So geht das.>}}</pre>}} == Aufgaben - Übungen - Versuche == ;Funktion: Kennzeichnung einer Aufgabenstellung === [[Vorlage:Arbeiten|Arbeiten]] === :Aufgaben mit Nummerierung {{Beispiel|1={{Arbeiten|NUMMER=<Aufgabennummer>|ARBEIT=<Aufgabentext>}}|2=<pre>{{Arbeiten|NUMMER=<Aufgabennummer>|ARBEIT=<Aufgabentext>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgabe|Aufgabe]] === {{Beispiel|1={{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgaben|Aufgaben]] === {{Beispiel|1={{Aufgaben|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgaben|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgabe-M|Aufgabe-M]] === :wie [[Vorlage:Aufgaben-M]], aber ohne Nummerierung {{Beispiel|1={{Aufgabe-M|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgabe-M|<Text der Aufgabe>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgaben-M|Aufgaben-M]] === ;Funktion: Kennzeichnung (einer oder mehrerer) nummerierter Aufgaben; wie [[Vorlage:Aufgabe-M]], aber mit Nummerierung {{Beispiel|1={{Aufgaben-M|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgaben-M|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}} </pre>}} === [[Vorlage:Aufgaben-blau|Aufgaben-blau/olive]] === ;Funktion: Kennzeichnung (einer oder mehrerer) nummerierter Aufgaben mit Hilfe eines hellblauen Rahmens mit abgerundeten Ecken {{Beispiel|{{Aufgaben-blau|1=<Nummer der Aufgabe>|2=<Text der Aufgabe>}}|<pre>{{Aufgaben-blau|1=<Nummer der Aufgabe>|2=<Text der Aufgabe>}}</pre>}} Analog auch:[[Vorlage:Aufgaben-olive|Aufgaben-olive]] (Vorzugsweise für [[Ethik]]) === [[Vorlage:Übung|Übung]] === :Kennzeichnung einer Übungsaufgabe {{Beispiel|1={{Übung|<Aufgabentext>}}|2=<pre>{{Übung|<Aufgabentext>}}</pre>}} === [[Vorlage:Versuch|Versuch]] === :Kennzeichnung eines (z.B. physikalischen) Versuchs; nimmt die Breite der ganzen Seite ein {{Beispiel|1={{Versuch|<Versuchsbeschreibung>}}|2=<pre>{{Versuch|<Versuchsbeschreibung>}}</pre>}} === [[Vorlage:Versuch float|Versuch float]] === :Kennzeichnung eines (z.B. physikalischen) Versuchs; flexible Breite {{Beispiel|1={{Versuch float|<Versuchsbeschreibung>}}|2=<pre>{{Versuch float|<Versuchsbeschreibung>}}</pre>}} == Definition == === [[Vorlage:Definition|Definition]] === Kennzeichnung einer Definition {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Definition|Text der Definition}} | width="50%" | <pre>{{Definition|Text der Definition}}</pre> |} == Fragen und Antworten == === [[Vorlage:Frage|Frage]] === :Kennzeichnung einer Fragestellung {{Beispiel|1={{Frage|<Text der Frage(stellung)>}}|2=<pre>{{Frage|<Text der Frage(stellung)>}}</pre>}} === [[Vorlage:Antwort|Antwort]] === :Kennzeichnung einer Lösung bzw. Antwort {{Beispiel|1={{Antwort|<Text der Antwort bzw. Lösung>}}|2=<pre>{{Antwort|<Text der Antwort bzw. Lösung>}}</pre>}} == Idee == === [[Vorlage:Idee|Idee]] === Kennzeichnung einer Unterrichtsidee {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Idee|Text der Unterrichtsidee}} | width="50%" | <pre>{{Idee|Text der Unterrichtsidee}}</pre> |} === [[Vorlage:Idee float|Idee float]] === Kennzeichnung einer Unterrichtsidee - mit flexibler Seitenbreite {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Idee float|Text der Unterrichtsidee - mit flexibler Seitenbreite}} | width="50%" | <pre>{{Idee float|Text der Unterrichtsidee - mit flexibler Seitenbreite}}</pre> |} == Lernpfade == Kennzeichnungen von Lernpfaden und internen Links auf Lernpfade === [[Vorlage:Lernpfad|Lernpfad]] === Einleitung zu einem [[Lernpfad]]: {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Vorlage:Lernpfad|<Einleitender Text zum Lernpfad>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad|<Einleitender Text zum Lernpfad>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfad2|Lernpfad2]] === Einleitung zu einer Wiederholung oder Vertiefung - ähnlich einem [[Lernpfad]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfad2|<Einleitender Text zur Wiederholung und/oder Vertiefung>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad2|<Einleitender Text zur Wiederholung und/oder Vertiefung>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfad Ethik|Lernpfad Ethik]] === Einleitung zu einem [[Lernpfade Ethik|Lernpfad für Ethik und Philosophie]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfad Ethik|<Einleitender Text zum Lernpfad>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad Ethik|<Einleitender Text zum Lernpfad>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfad-M|Lernpfad-M]] === Einleitung zu einem [[Mathematik-digital/Lernpfade|Lernpfad bei Mathematik-digital]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfad-M|<Einleitender Text zum Lernpfad>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad-M|<Einleitender Text zum Lernpfad>}}</pre> |} == Lernpfadlinks - Links auf Lernpfade == === [[Vorlage:Lernpfadlink|Lernpfadlink]] === Hervorgehobener internen Link zu einem Lernpfad-Artikel {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfadlink|Katholische Religionslehre/Kinder in der einen Welt|Kinder in der einen Welt}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfadlink|Katholische Religionslehre/Kinder in der einen Welt|Kinder in der einen Welt}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfadlink-Ethik|Lernpfadlink-Ethik]] === Hervorgehobener internen Link zu einem [[Lernpfade Ethik|Ethik-Lernpfad]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfadlink-Ethik|Kinderrechte}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfadlink|Kinderrechte}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfadlink-M|Lernpfadlink-M]] === Hervorgehobener internen Link zu einem Lernpfad-Artikel bei [[Mathematik-digital]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfadlink-M|Römische Zahlen}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfadlink|Römische Zahlen}}</pre> |} == Lösungen == === [[Vorlage:Lösung|Lösung]] === Kennzeichnung einer Lösung {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lösung|<Text der Lösung>}} | width="50%" | <pre>{{Lösung|<Text der Lösung>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lösungen|Lösungen]] === Kennzeichnung einer Lösung mit Nummer der Lösung {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lösungen|<Nummer der Lösung>|<Text der Lösung>}} | width="50%" | <pre>{{Lösungen|<Nummer der Lösung>|<Text der Lösung>}}</pre> |} == Meinung == === [[Vorlage:Meinung|Meinung]] === ;Kennzeichnung einer Meinungsäußerung {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Meinung|Text der Meinungsäußerung}} | width="50%" | <pre>{{Meinung|Text der Meinungsäußerung}}</pre> |} === [[Vorlage:Meinung float|Meinung float]] === ;Kennzeichnung einer Meinungsäußerung - mit flexibler Seitenbreite {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Meinung|Text der Meinungsäußerung - mit flexibler Seitenbreite}} | width="50%" | <pre>{{Meinung|Text der Meinungsäußerung - mit flexibler Seitenbreite}}</pre> |} === [[Vorlage:Meinungsseite|Meinungsseite]] === ;Kennzeichnung einer Aufforderung zum Anlegen einer Meinungsseite {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Meinungsseite|Text der Aufforderung}} | width="50%" | <pre>{{Meinungsseite|Text der Aufforderung}}</pre> |} == Merken == ;Funktion: Kennzeichnung eines Merktextes oder Merksatzes === [[Vorlage:Merkbox|Merkbox]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Vorlage:Merkbox |titel=Titel |width=Breite ohne Einheit |inhalt=Inhalt }} | width="50%" | <pre>{{Vorlage:Merkbox |titel=Titel |width=Breite ohne Einheit |inhalt=Inhalt }}</pre> |} === [[Vorlage:Merke|Merke]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke float|Merke float]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke float|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke float|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke-M|Merke-M]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke-M|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke-M|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke-M float|Merke-M float]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke-M float|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke-M float|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merksatz|Merksatz]] === Im Ergebnis identisch mit [[Vorlage:Merke-M]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merksatz|MERK=<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merksatz|MERK=<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke-umrandet|Merke-umrandet]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke-umrandet|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke-umrandet|<Merktext>}}</pre> |} == Methode == === [[Vorlage:Methode|Methode]] === Methodenvorschläge, z.B. in Lehrplänen {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Methode|Methodenvorschlag}} | width="50%" | <pre>{{Methode|Methodenvorschlag}}</pre> |} == Stunde == === [[Vorlage:Stunde|Stunde]] === Vorschlag einer Unterrichtsstunde {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Stunde|Thema|Erläuterung|Lernziele}} | width="50%" | <pre>{{Stunde|Thema|Erläuterung|Lernziele}}</pre> |} === [[Vorlage:Stundenverlauf|Stundenverlauf]] === Die [[Vorlage:Stundenverlauf]] umschließt eine Reihe untergeordneter Vorlage und erlaubt so eine flexible Gestaltung von Seiten mit Stundenverläufen: {{Siehe|Vorlage:Stundenverlauf}} {{Stundenverlauf/Kopf}} {{Stundenverlauf/Zeile |t=10' |phase=Einstieg |step=Die Schüler schauen ein Bild an und äußern ihre Eindrücke. |form=Plenum |methode=Meldekette |medium=SB |medium1=Bild }} {{Stundenverlauf/Zeile |t=12' |phase=Erarbeitung |step=Die Schüler lesen einen Text aus einem Buch und machen sich Notizen zum Text. |form=Einzel |medium=Buch |medium1=Folder }} {{Stundenverlauf/Zeile |phase=Hinweis |step=Dieser Hinweis ist für den Lehrer gedacht }} {{Stundenverlauf/Zeile |t=10' |phase=Vertiefung |step=Es gibt schon eine ganze Menge Medien |form=Plenum |methode=Placemat |medium=Card |medium1=Computer |medium2=Flip |medium3=Tafel }} {{Stundenverlauf/Zeile |phase=PW }} {{Stundenverlauf/Zeile |step=Eine Bearbeitungshilfe findet sich in der ausklappbaren Tabelle }} {{Stundenverlauf/Zeile |phase=Pause }} {{Stundenverlauf/Zeile |step=Viele Bilder werden automatisch eingefügt. }} {{Stundenverlauf/Fuss}} == Weitere nützliche Vorlagen == === Kästen zur Hervorhebung === :→ ''[[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen]]'' :→ ''[[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen#Hervorhebung (Fächer)|ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen - zur Hervorhebung für Fächer]]'' === Zitat === :→ ''[[ZUM-Wiki:Vorlagen/Zitat]]'' == Einzelnachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Hilfe:Vorlagen]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Hinweise]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen]] [[Kategorie:Vorlagen für die Schule|!]] [[Kategorie:Hilfe|Vorlagen für die Schule]] e6c87f37341982ce121eac17e057ed8640469160 1379 2014-01-03T11:06:46Z Karl Kirst 2 Methode wikitext text/x-wiki {{Vorlagen}}{{Unterricht}}{{Kurzinfo|Tutorial}} {{Diese Seite|listet Vorlagen (Bausteine) auf, die Teile einer Seite für die Verwendung in der Schule besonders kenntlich machen oder typisch sind für die Gestaltung von Arbeitsblättern und dergleichen. Vorlagen zur Hervorhebung eines Beitrags durch einen bestimmten Rahmen (Kasten) finden sich unter [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen]]. Vorlagen mit vorgefertigten Hinweisen finden sich unter [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Hinweise]].}} Mit '''ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen''' steht eine Reihe von Vorlagen (Bausteinen) zur Verfügung, die es ermöglicht, Beiträge durch eine bestimmte Umrahmung (durch einen Kasten) hervorzuheben. == Regeln für Vorlagen == # Die speziell für das ZUM-Wiki entwickelten Vorlagen sollten möglichst einheitlichen Gestaltungsrichtlinien folgen: ## Hervorhebung durch einen breiten Streifen am linken Rand in einer kräftigen Farbe.<ref>Vereinbarung auf dem [[ZUM-Wiki-Seminar 2009]]</ref> ## ... # Für Vorlagen, die aus anderen Wikis übernommen werden oder hier nach anderen Gestaltungsgrundsätzen entwickelt werden gilt: ## Vorlagen, die dieselbe Funktion wie eine vorhandene übernehmen, heißen auch gleich. Sie unterscheiden sich nur durch eine angehängte Bezeichnung. ### Vorlagen nach dem ZUM-Wiki-Standard: ohne zusätzliche Kennzeichnung (z.B. [[Vorlage:Merke]]) ### "-Mathe": Vorlagen aus dem Medienvielfalt-Wiki (z.B. [[Vorlage:Merke2]]) ### "-umrandet": Vorlagen mit schmalem umlaufenden Rand (z.B. [[Vorlage:Merke3]]) ### ... # Die Vorlagensyntax sollte einheitlich und so einfach und leicht zu merken wie möglich sein: ## In Vorlagen mit nur einer oder zwei Variablen wird <nowiki>{{{1}}}</nowiki> und <nowiki>{{{2}}}</nowiki> als Variable verwendet. Dies hat den Vorteil, dass der Platz für die jeweilige Variable direkt gefüllt werden kann (siehe z.B. <nowiki>{{Merke|<Merktext>}}</nowiki>). Lediglich in seltenen Fällen (wenn innerhalb des eingefügten Textes bestimmte Sonderzeichen vorhanden sind, insbesondere Gleichheitszeichen) muss die Bezeichnung Variable mit eingefügt werden (z.B. so: <nowiki>{{Merke|1=<Merktext>}}</nowiki>). ## ... == Bitte beachten == {{Achtung|1= Wenn der Inhalt einer Vorlage nicht angezeigt wird, dann muss in der Regel der Name des Platzhalters angegeben werden, meistens in der Form "1=" oder "2=". Dies gilt insbesondere dann, wenn im Text, den man in die Vorlage eingibt ein bestimmtes Sonderzeichen, insbesondere ein Gleichheitszeichen eingibt. - Siehe dazu die folgenden Beispiele.}} {| class = "wikitable center" !Das sieht man !Das schreibt man |- |{{Merke| a + b = c}} |<pre>{{Merke| a + b = c}}</pre> |- |{{Merke|1= a + b = c}} |<pre>{{Merke|1= a + b = c}}</pre> |- |} Die Schreibweise mit "1=" ist normalerweise überflüssig, aber immer dann notwendig, wenn es Darstellungsprobleme innerhalb der Vorlage gibt, wenn also etwas ohne dieses "1=" nicht angezeigt wird. == Anleitung == === [[Vorlage:Anleitung|Anleitung]] === :Kurze Anleitung zu einem Thema {{Beispiel|1={{Anleitung|<Thema>|<So geht das.>}}|2=<pre>{{Anleitung|<Thema>|<So geht das.>}}</pre>}} == Aufgaben - Übungen - Versuche == ;Funktion: Kennzeichnung einer Aufgabenstellung === [[Vorlage:Arbeiten|Arbeiten]] === :Aufgaben mit Nummerierung {{Beispiel|1={{Arbeiten|NUMMER=<Aufgabennummer>|ARBEIT=<Aufgabentext>}}|2=<pre>{{Arbeiten|NUMMER=<Aufgabennummer>|ARBEIT=<Aufgabentext>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgabe|Aufgabe]] === {{Beispiel|1={{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgabe|<Text der Aufgabe>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgaben|Aufgaben]] === {{Beispiel|1={{Aufgaben|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgaben|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgabe-M|Aufgabe-M]] === :wie [[Vorlage:Aufgaben-M]], aber ohne Nummerierung {{Beispiel|1={{Aufgabe-M|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgabe-M|<Text der Aufgabe>}}</pre>}} === [[Vorlage:Aufgaben-M|Aufgaben-M]] === ;Funktion: Kennzeichnung (einer oder mehrerer) nummerierter Aufgaben; wie [[Vorlage:Aufgabe-M]], aber mit Nummerierung {{Beispiel|1={{Aufgaben-M|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}}|2=<pre>{{Aufgaben-M|<Nummer der Aufgabe>|<Text der Aufgabe>}} </pre>}} === [[Vorlage:Aufgaben-blau|Aufgaben-blau/olive]] === ;Funktion: Kennzeichnung (einer oder mehrerer) nummerierter Aufgaben mit Hilfe eines hellblauen Rahmens mit abgerundeten Ecken {{Beispiel|{{Aufgaben-blau|1=<Nummer der Aufgabe>|2=<Text der Aufgabe>}}|<pre>{{Aufgaben-blau|1=<Nummer der Aufgabe>|2=<Text der Aufgabe>}}</pre>}} Analog auch:[[Vorlage:Aufgaben-olive|Aufgaben-olive]] (Vorzugsweise für [[Ethik]]) === [[Vorlage:Übung|Übung]] === :Kennzeichnung einer Übungsaufgabe {{Beispiel|1={{Übung|<Aufgabentext>}}|2=<pre>{{Übung|<Aufgabentext>}}</pre>}} === [[Vorlage:Versuch|Versuch]] === :Kennzeichnung eines (z.B. physikalischen) Versuchs; nimmt die Breite der ganzen Seite ein {{Beispiel|1={{Versuch|<Versuchsbeschreibung>}}|2=<pre>{{Versuch|<Versuchsbeschreibung>}}</pre>}} === [[Vorlage:Versuch float|Versuch float]] === :Kennzeichnung eines (z.B. physikalischen) Versuchs; flexible Breite {{Beispiel|1={{Versuch float|<Versuchsbeschreibung>}}|2=<pre>{{Versuch float|<Versuchsbeschreibung>}}</pre>}} == Definition == === [[Vorlage:Definition|Definition]] === Kennzeichnung einer Definition {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Definition|Text der Definition}} | width="50%" | <pre>{{Definition|Text der Definition}}</pre> |} == Fragen und Antworten == === [[Vorlage:Frage|Frage]] === :Kennzeichnung einer Fragestellung {{Beispiel|1={{Frage|<Text der Frage(stellung)>}}|2=<pre>{{Frage|<Text der Frage(stellung)>}}</pre>}} === [[Vorlage:Antwort|Antwort]] === :Kennzeichnung einer Lösung bzw. Antwort {{Beispiel|1={{Antwort|<Text der Antwort bzw. Lösung>}}|2=<pre>{{Antwort|<Text der Antwort bzw. Lösung>}}</pre>}} == Idee == === [[Vorlage:Idee|Idee]] === Kennzeichnung einer Unterrichtsidee {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Idee|Text der Unterrichtsidee}} | width="50%" | <pre>{{Idee|Text der Unterrichtsidee}}</pre> |} === [[Vorlage:Idee float|Idee float]] === Kennzeichnung einer Unterrichtsidee - mit flexibler Seitenbreite {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Idee float|Text der Unterrichtsidee - mit flexibler Seitenbreite}} | width="50%" | <pre>{{Idee float|Text der Unterrichtsidee - mit flexibler Seitenbreite}}</pre> |} == Lernpfade == Kennzeichnungen von Lernpfaden und internen Links auf Lernpfade === [[Vorlage:Lernpfad|Lernpfad]] === Einleitung zu einem [[Lernpfad]]: {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Vorlage:Lernpfad|<Einleitender Text zum Lernpfad>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad|<Einleitender Text zum Lernpfad>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfad2|Lernpfad2]] === Einleitung zu einer Wiederholung oder Vertiefung - ähnlich einem [[Lernpfad]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfad2|<Einleitender Text zur Wiederholung und/oder Vertiefung>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad2|<Einleitender Text zur Wiederholung und/oder Vertiefung>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfad Ethik|Lernpfad Ethik]] === Einleitung zu einem [[Lernpfade Ethik|Lernpfad für Ethik und Philosophie]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfad Ethik|<Einleitender Text zum Lernpfad>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad Ethik|<Einleitender Text zum Lernpfad>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfad-M|Lernpfad-M]] === Einleitung zu einem [[Mathematik-digital/Lernpfade|Lernpfad bei Mathematik-digital]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfad-M|<Einleitender Text zum Lernpfad>}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfad-M|<Einleitender Text zum Lernpfad>}}</pre> |} == Lernpfadlinks - Links auf Lernpfade == === [[Vorlage:Lernpfadlink|Lernpfadlink]] === Hervorgehobener internen Link zu einem Lernpfad-Artikel {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfadlink|Katholische Religionslehre/Kinder in der einen Welt|Kinder in der einen Welt}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfadlink|Katholische Religionslehre/Kinder in der einen Welt|Kinder in der einen Welt}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfadlink-Ethik|Lernpfadlink-Ethik]] === Hervorgehobener internen Link zu einem [[Lernpfade Ethik|Ethik-Lernpfad]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfadlink-Ethik|Kinderrechte}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfadlink|Kinderrechte}}</pre> |} === [[Vorlage:Lernpfadlink-M|Lernpfadlink-M]] === Hervorgehobener internen Link zu einem Lernpfad-Artikel bei [[Mathematik-digital]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lernpfadlink-M|Römische Zahlen}} | width="50%" | <pre>{{Lernpfadlink|Römische Zahlen}}</pre> |} == Lösungen == === [[Vorlage:Lösung|Lösung]] === Kennzeichnung einer Lösung {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lösung|<Text der Lösung>}} | width="50%" | <pre>{{Lösung|<Text der Lösung>}}</pre> |} === [[Vorlage:Lösungen|Lösungen]] === Kennzeichnung einer Lösung mit Nummer der Lösung {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Lösungen|<Nummer der Lösung>|<Text der Lösung>}} | width="50%" | <pre>{{Lösungen|<Nummer der Lösung>|<Text der Lösung>}}</pre> |} == Meinung == === [[Vorlage:Meinung|Meinung]] === ;Kennzeichnung einer Meinungsäußerung {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Meinung|Text der Meinungsäußerung}} | width="50%" | <pre>{{Meinung|Text der Meinungsäußerung}}</pre> |} === [[Vorlage:Meinung float|Meinung float]] === ;Kennzeichnung einer Meinungsäußerung - mit flexibler Seitenbreite {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Meinung|Text der Meinungsäußerung - mit flexibler Seitenbreite}} | width="50%" | <pre>{{Meinung|Text der Meinungsäußerung - mit flexibler Seitenbreite}}</pre> |} === [[Vorlage:Meinungsseite|Meinungsseite]] === ;Kennzeichnung einer Aufforderung zum Anlegen einer Meinungsseite {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Meinungsseite|Text der Aufforderung}} | width="50%" | <pre>{{Meinungsseite|Text der Aufforderung}}</pre> |} == Merken == ;Funktion: Kennzeichnung eines Merktextes oder Merksatzes === [[Vorlage:Merkbox|Merkbox]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Vorlage:Merkbox |titel=Titel |width=Breite ohne Einheit |inhalt=Inhalt }} | width="50%" | <pre>{{Vorlage:Merkbox |titel=Titel |width=Breite ohne Einheit |inhalt=Inhalt }}</pre> |} === [[Vorlage:Merke|Merke]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke float|Merke float]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke float|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke float|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke-M|Merke-M]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke-M|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke-M|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke-M float|Merke-M float]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke-M float|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke-M float|<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merksatz|Merksatz]] === Im Ergebnis identisch mit [[Vorlage:Merke-M]] {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merksatz|MERK=<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merksatz|MERK=<Merktext>}}</pre> |} === [[Vorlage:Merke-umrandet|Merke-umrandet]] === {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Merke-umrandet|<Merktext>}} | width="50%" | <pre>{{Merke-umrandet|<Merktext>}}</pre> |} == Methode == === [[Vorlage:Methode|Methode]] === Methodenvorschläge, z.B. in Lehrplänen {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Methode|Methodenvorschlag}} | width="50%" | <pre>{{Methode|Methodenvorschlag}}</pre> |} == Stunde == === [[Vorlage:Stunde|Stunde]] === Vorschlag einer Unterrichtsstunde {| class="wikitable" width="100%" |- ! Das sieht man !! Das schreibt man |- | width="50%" | {{Stunde|Thema|Erläuterung|Lernziele}} | width="50%" | <pre>{{Stunde|Thema|Erläuterung|Lernziele}}</pre> |} === [[Vorlage:Stundenverlauf|Stundenverlauf]] === Die [[Vorlage:Stundenverlauf]] umschließt eine Reihe untergeordneter Vorlage und erlaubt so eine flexible Gestaltung von Seiten mit Stundenverläufen: {{Siehe|Vorlage:Stundenverlauf}} {{Stundenverlauf/Kopf}} {{Stundenverlauf/Zeile |t=10' |phase=Einstieg |step=Die Schüler schauen ein Bild an und äußern ihre Eindrücke. |form=Plenum |methode=Meldekette |medium=SB |medium1=Bild }} {{Stundenverlauf/Zeile |t=12' |phase=Erarbeitung |step=Die Schüler lesen einen Text aus einem Buch und machen sich Notizen zum Text. |form=Einzel |medium=Buch |medium1=Folder }} {{Stundenverlauf/Zeile |phase=Hinweis |step=Dieser Hinweis ist für den Lehrer gedacht }} {{Stundenverlauf/Zeile |t=10' |phase=Vertiefung |step=Es gibt schon eine ganze Menge Medien |form=Plenum |methode=Placemat |medium=Card |medium1=Computer |medium2=Flip |medium3=Tafel }} {{Stundenverlauf/Zeile |phase=PW }} {{Stundenverlauf/Zeile |step=Eine Bearbeitungshilfe findet sich in der ausklappbaren Tabelle }} {{Stundenverlauf/Zeile |phase=Pause }} {{Stundenverlauf/Zeile |step=Viele Bilder werden automatisch eingefügt. }} {{Stundenverlauf/Fuss}} == Weitere nützliche Vorlagen == === Kästen zur Hervorhebung === :→ ''[[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen]]'' :→ ''[[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen#Hervorhebung (Fächer)|ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen - zur Hervorhebung für Fächer]]'' === Zitat === :→ ''[[ZUM-Wiki:Vorlagen/Zitat]]'' == Einzelnachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Hilfe:Vorlagen]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Hinweise]] * [[ZUM-Wiki:Vorlagen/Kästen]] [[Kategorie:Vorlagen für die Schule|!]] [[Kategorie:Hilfe|Vorlagen für die Schule]] e6c87f37341982ce121eac17e057ed8640469160 14 308 1041 1040 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Dies ist die oberste Kategorie. <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1040 2012-10-01T21:56:54Z Karl Kirst 2 Kategorie:Kategorien-Export wikitext text/x-wiki Dies ist die oberste Kategorie. <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 14 321 1069 1068 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Hauptkategorie für Dateien [[Kategorie:!Hauptkategorie]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1068 2013-01-06T10:33:07Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „Hauptkategorie für Dateien [[Kategorie:!Hauptkategorie]] [[Kategorie:Kategorien-Export]]“ wikitext text/x-wiki Hauptkategorie für Dateien [[Kategorie:!Hauptkategorie]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 320 1067 1066 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Dateien unter der '''[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0/de|Lizenz CC-by-sa/3.0/de]]''' oder '''[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0|Lizenz CC-by-sa/3.0]]''' [[Kategorie:Datei:]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1066 2013-01-06T10:32:22Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „Dateien unter der '''[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0/de|Lizenz CC-by-sa/3.0/de]]''' oder '''[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0|Lizenz CC-by-sa/3.0]]''' [[Kategorie:Datei:]…“ wikitext text/x-wiki Dateien unter der '''[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0/de|Lizenz CC-by-sa/3.0/de]]''' oder '''[[Vorlage:Bild-CC-by-sa/3.0|Lizenz CC-by-sa/3.0]]''' [[Kategorie:Datei:]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 318 1063 1062 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki {{Achtung|1='''In diese Kategorie dürfen nur Bilder per Textbaustein eingetragen werden:''' * '''<nowiki>{{</nowiki>[[Vorlage:Bild-PD-§134|Bild-PD-§134]]<nowiki>}} oder {{</nowiki>[[Vorlage:Bild-PD-§134-KUG|Bild-PD-§134-KUG]]<nowiki>}}</nowiki>'''}} {{TOC Große Dateikategorie}} [[Kategorie:Datei:nach Lizenzierung|Public Domain]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1062 2013-01-03T14:04:48Z Karl Kirst 2 kat Kategorien-Export wikitext text/x-wiki {{Achtung|1='''In diese Kategorie dürfen nur Bilder per Textbaustein eingetragen werden:''' * '''<nowiki>{{</nowiki>[[Vorlage:Bild-PD-§134|Bild-PD-§134]]<nowiki>}} oder {{</nowiki>[[Vorlage:Bild-PD-§134-KUG|Bild-PD-§134-KUG]]<nowiki>}}</nowiki>'''}} {{TOC Große Dateikategorie}} [[Kategorie:Datei:nach Lizenzierung|Public Domain]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 315 1057 1056 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1056 2012-12-09T22:58:18Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „[[Kategorie:Kategorien-Export]]“ wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 7 47 46 2012-02-01T16:52:38Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Public Domain]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder]] 46 2008-02-03T14:33:07Z Karl Kirst 2 +kat Public Domain wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Public Domain]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder]] 14 411 1382 1381 2014-02-08T21:27:42Z Karl Kirst 2 1 Version: Aktualisierung wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Datei:]] d3747d04004576f82dcb103b8cb00e5b8ad4e479 1381 2014-01-09T10:55:34Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „[[Kategorie:Datei:]]“ wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Datei:]] d3747d04004576f82dcb103b8cb00e5b8ad4e479 14 311 1049 1048 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Artikelbausteine, also Bausteine für Inhaltsseiten im Hauptnamensraum. [[Kategorie:Vorlagen]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1048 2012-10-07T22:50:17Z Karl Kirst 2 Kategorie:Kategorien-Export wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Artikelbausteine, also Bausteine für Inhaltsseiten im Hauptnamensraum. [[Kategorie:Vorlagen]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 14 310 1045 1044 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Benutzerbausteine. [[Kategorie:Vorlagen]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1044 2012-10-07T22:49:08Z Karl Kirst 2 aus dem ZUM-Wiki wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Benutzerbausteine. [[Kategorie:Vorlagen]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 14 316 1059 1058 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Vorlagen]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1058 2013-01-03T13:57:15Z Karl Kirst 2 kat Kategorien-Export wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Vorlagen]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 322 1071 1070 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Vorlage:Datei:]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1070 2013-01-08T17:48:51Z Karl Kirst 2 Kategorie:Kategorien-Export wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Vorlage:Datei:]] [[Kategorie:Vorlage:Lizenz]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 314 1055 1054 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Vorlagen, die als Hinweise auf den Projektseiten oder auf anderen Seiten verwendet werden. <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Vorlagenbausteine]]</noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1054 2012-10-08T08:23:04Z Karl Kirst 2 katfix wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Vorlagen, die als Hinweise auf den Projektseiten oder auf anderen Seiten verwendet werden. <noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Vorlagenbausteine]]</noinclude> <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 14 8 1047 1046 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Bausteine (Vorlagen), die das Einfügen von [[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfos]] ermöglichen [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|!]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1046 49 2012-10-07T22:49:50Z Karl Kirst 2 Kategorie:Kategorien-Export wikitext text/x-wiki Bausteine (Vorlagen), die das Einfügen von [[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfos]] ermöglichen [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|!]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 49 48 2012-02-01T16:52:38Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki Bausteine (Vorlagen), die das Einfügen von [[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfos]] ermöglichen {{kat}} [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|!]] 48 2008-10-07T13:07:17Z ZUM-Wiki-Bot 0 angelegt wikitext text/x-wiki Bausteine (Vorlagen), die das Einfügen von [[Hilfe:Kurzinfo|Kurzinfos]] ermöglichen {{kat}} [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine|!]] [[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|!]] 14 317 1061 1060 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Vorlage:Lizenz|Bilder]] [[Kategorie:Urheberrecht]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1060 2013-01-03T13:57:41Z Karl Kirst 2 kat Kategorien-Export wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Vorlage:Lizenz|Bilder]] [[Kategorie:Urheberrecht]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 319 1065 1064 2013-02-08T20:52:25Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki {{SORTIERUNG:Logo-Link}} [[Kategorie:Logo]] [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine]] [[Kategorie:Vorlage:Linkbausteine]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 1064 2013-01-06T09:47:41Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „{{SORTIERUNG:Logo-Link}} [[Kategorie:Logo]] [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine]] [[Kategorie:Vorlage:Linkbausteine]] [[Kategorie:Kategorien-Export]]“ wikitext text/x-wiki {{SORTIERUNG:Logo-Link}} [[Kategorie:Logo]] [[Kategorie:Vorlage:Artikelbausteine]] [[Kategorie:Vorlage:Linkbausteine]] [[Kategorie:Kategorien-Export]] 14 313 1053 1052 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Vorlagen, die in Kategorie-Seiten verwendet werden. [[Kategorie:Vorlagen]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1052 2012-10-08T08:22:29Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „Diese Kategorie enthält Vorlagen, die in Kategorie-Seiten verwendet werden. [[Kategorie:Vorlagen]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude>“ wikitext text/x-wiki Diese Kategorie enthält Vorlagen, die in Kategorie-Seiten verwendet werden. [[Kategorie:Vorlagen]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 14 309 1043 1042 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Vorlagen (Bausteine) für das Einfügen von Zitaten [[Kategorie:Vorlagen]]<noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1042 2012-10-01T21:58:17Z Karl Kirst 2 Kategorie:Kategorien-Export wikitext text/x-wiki Vorlagen (Bausteine) für das Einfügen von Zitaten [[Kategorie:Vorlagen]]<noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 14 312 1051 1050 2013-02-08T20:52:24Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Projektwiki wikitext text/x-wiki Weiteres Material zur Artikelgestaltung: [[:Kategorie:Landkarte|Landkarten]] und [[:Kategorie:Satellitenbild|Satellitenbilder]]. [[Kategorie:!Hauptkategorie]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 1050 2012-10-07T22:50:39Z Karl Kirst 2 Kategorie:Kategorien-Export wikitext text/x-wiki Weiteres Material zur Artikelgestaltung: [[:Kategorie:Landkarte|Landkarten]] und [[:Kategorie:Satellitenbild|Satellitenbilder]]. [[Kategorie:!Hauptkategorie]] <noinclude>[[Kategorie:Kategorien-Export]]</noinclude> 14 354 1195 1194 2013-02-08T20:52:51Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Wiki-Family-Portal wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Zentraler Export in ein neues Wiki]] 1194 2013-01-05T23:01:09Z Karl Kirst 2 Die Seite wurde neu angelegt: „[[Kategorie:Zentraler Export in ein neues Wiki]]“ wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Zentraler Export in ein neues Wiki]] 14 353 1193 1192 2013-02-08T20:52:51Z Karl Kirst 2 1 Version: aktuelle Versionen aus dem Wiki-Family-Portal wikitext text/x-wiki Vorlagen, die aus der "Zentrale" der Wiki-Family exportiert werden sollen. [[Kategorie:Zentraler Export in ein neues Wiki]] 1192 2013-01-05T22:33:51Z Karl Kirst 2 katfix wikitext text/x-wiki Vorlagen, die aus der "Zentrale" der Wiki-Family exportiert werden sollen. [[Kategorie:Zentraler Export in ein neues Wiki]] 274 228 766 765 2012-10-16T13:35:57Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude>__NOTOC__ This widget allows you to add '''[http://documents.google.com/support/ Google Documents]''' to your wiki page. It was originally created by [[mediawikiwiki:User:Sergey Chernyshev|Sergey Chernyshev]] for [http://www.semanticcommunities.com/ Semantic Communities LLC.] To insert this widget, use the following code: <nowiki>{{#widget:</nowiki>{{PAGENAME}}<nowiki> |id=1hhpWRL4oyH6Aqf42laXo_lElObX_1JiaV4FMt8llA_U |width=500 |height=300 }}</nowiki> == Parameters == * '''width''' and '''height''' define document dimensions, 500x300 is default * '''id''' - id parameter used in the URL * '''key''' - docID parameter used in old document URL (use it instead of '''id''' to embed old document) ; Note: In order for your embedded Google Doc to be visible on your wiki, you must first '''publish it to the web'''. # Open your document. # From the document menu, choose File > Publish to the Web... # Click "Start publishing" button. # See also: [http://support.google.com/docs/bin/answer.py?hl=en&answer=183965 Publishing does not affect visibility options] == Sample result == {{#widget:{{PAGENAME}} |id=1hhpWRL4oyH6Aqf42laXo_lElObX_1JiaV4FMt8llA_U |width=500 |height=300 }} === Old document === Old document that has '''docID''' attribute in the URL instead of '''id'''. {{#widget:{{PAGENAME}} |key=dcn37mcz_34cvfjpmhf |width=500 |height=300 }} {{Template:Copy to your site}} == Related widgets == * [[Widget:Google Spreadsheet|Google Spreadsheet]] - for embedding spreadsheets * [[Widget:Google Form|Google Form]] - for embedding spreadsheet forms * [[Widget:Google Presentation|Google Presentation]] - for embedding presentations </noinclude><includeonly><iframe width="<!--{$width|escape:'html'|default:500}-->" height="<!--{$height|escape:'html'|default:300}-->" frameborder="1" src="http://docs.google.com/<!--{if isset($id)}-->document/pub?id=<!--{$id|escape:'urlpathinfo'}-->&amp;embedded=1<!--{elseif isset($key)}-->View?docID=<!--{$key|escape:'urlpathinfo'}-->&hgd=1<!--{/if}-->"></iframe></includeonly> 765 2012-10-16T02:50:04Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>__NOTOC__ This widget allows you to add '''[http://documents.google.com/support/ Google Documents]''' to your wiki page. It was originally created by …“ wikitext text/x-wiki <noinclude>__NOTOC__ This widget allows you to add '''[http://documents.google.com/support/ Google Documents]''' to your wiki page. It was originally created by [[mediawikiwiki:User:Sergey Chernyshev|Sergey Chernyshev]] for [http://www.semanticcommunities.com/ Semantic Communities LLC.] To insert this widget, use the following code: <nowiki>{{#widget:</nowiki>{{PAGENAME}}<nowiki> |id=1hhpWRL4oyH6Aqf42laXo_lElObX_1JiaV4FMt8llA_U |width=500 |height=300 }}</nowiki> == Parameters == * '''width''' and '''height''' define document dimensions, 500x300 is default * '''id''' - id parameter used in the URL * '''key''' - docID parameter used in old document URL (use it instead of '''id''' to embed old document) ; Note: In order for your embedded Google Doc to be visible on your wiki, you must first '''publish it to the web'''. # Open your document. # From the document menu, choose File > Publish to the Web... # Click "Start publishing" button. # See also: [http://support.google.com/docs/bin/answer.py?hl=en&answer=183965 Publishing does not affect visibility options] == Sample result == {{#widget:{{PAGENAME}} |id=1hhpWRL4oyH6Aqf42laXo_lElObX_1JiaV4FMt8llA_U |width=500 |height=300 }} === Old document === Old document that has '''docID''' attribute in the URL instead of '''id'''. {{#widget:{{PAGENAME}} |key=dcn37mcz_34cvfjpmhf |width=500 |height=300 }} {{Template:Copy to your site}} == Related widgets == * [[Widget:Google Spreadsheet|Google Spreadsheet]] - for embedding spreadsheets * [[Widget:Google Form|Google Form]] - for embedding spreadsheet forms * [[Widget:Google Presentation|Google Presentation]] - for embedding presentations </noinclude><includeonly><iframe width="<!--{$width|escape:'html'|default:500}-->" height="<!--{$height|escape:'html'|default:300}-->" frameborder="1" src="http://docs.google.com/<!--{if isset($id)}-->document/pub?id=<!--{$id|escape:'urlpathinfo'}-->&amp;embedded=1<!--{elseif isset($key)}-->View?docID=<!--{$key|escape:'urlpathinfo'}-->&hgd=1<!--{/if}-->"></iframe></includeonly> 274 182 413 412 2012-02-01T17:20:08Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude>__NOTOC__ This widget allows you to add '''[http://code.google.com/apis/maps/ Google Maps]''' widget to your wiki page. Created by [http://www.mediawikiwidgets.org/User:Sergey_Chernyshev Sergey Chernyshev] == Using this widget == For information on how to use this widget, see [http://www.mediawikiwidgets.org/Google_Maps widget description page on MediaWikiWidgets.org]. == Copy to your site == To use this widget on your site, just install [http://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Widgets MediaWiki Widgets extension] and copy [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} full source code] of this page to your wiki as '''{{FULLPAGENAME}}''' article. </noinclude><includeonly><!--{if not isset($static)}--><!--{counter name="mapDivID" assign="mapDivID"}--><script type="text/javascript" src="http://www.google.com/jsapi?key=<!--{$key|escape:'urlpathinfo'}-->"></script> <script type="text/javascript"> google.load("maps", "2.s"); // Call this function when the page has been loaded google.setOnLoadCallback(function() { if (google.maps.BrowserIsCompatible()) { var center = new GLatLng('<!--{$lat|escape:'quotes'}-->', '<!--{$lng|escape:'quotes'}-->'); // Create and Center a Map var map = new google.maps.Map2(document.getElementById("map<!--{$mapDivID|escape:'html'}-->"), {size: new google.maps.Size('<!--{$width|escape:'quotes'|default:'420'}-->', '<!--{$height|escape:'quotes'|default:350}-->')} ); map.setCenter(center, 13); map.setZoom(Number('<!--{$zoom|escape:'quotes'|default:16}-->')); map.enableScrollWheelZoom(); var createMarker = function(markerLatLng,MarkerTitle,markerIcon,markerPopup) { var marker=new google.maps.Marker(markerLatLng,{title:MarkerTitle,icon:markerIcon}); if (markerPopup) { GEvent.addListener(marker, "click", function() { marker.openInfoWindowHtml(markerPopup); }); } return marker; } <!--{foreach from=$marker item=m}--> var markerIcon=new GIcon(G_DEFAULT_ICON); <!--{if isset($m.letter)}-->markerIcon.image="http://www.google.com/mapfiles/marker<!--{$m.letter|escape:'urlpathinfo'}-->.png";<!--{/if}--> <!--{if isset($m.icon)}-->markerIcon.image='<!--{$m.icon|validate:url}-->';<!--{/if}--> var markerLatLng = new GLatLng('<!--{$m.lat|escape:'quotes'}-->', '<!--{$m.lng|escape:'quotes'}-->'); var markerPopup=""; <!--{if isset($m.text)}-->markerPopup='<!--{$m.text|escape:'quotes'}-->';<!--{/if}--> var marker = new createMarker(markerLatLng,'<!--{$m.title|escape:'quotes'}-->',markerIcon,markerPopup); map.addOverlay(marker); <!--{/foreach}--> <!--{if isset($xml)}-->map.addOverlay(new GGeoXml('<!--{$xml|escape:'quotes'}-->'));<!--{/if}--> <!--{if isset($centermarker)}-->map.addOverlay(new google.maps.Marker(center));<!--{/if}--> <!--{if isset($maptypecontrol)}-->map.addControl(new GMapTypeControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($largemapcontrol)}-->map.addControl(new GLargeMapControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($smallmapcontrol)}-->map.addControl(new GSmallMapControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($smallzoomcontrol)}-->map.addControl(new GSmallZoomControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($scalecontrol)}-->map.addControl(new GScaleControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($overviewmapcontrol)}-->map.addControl(new GOverviewMapControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($hierarchicalmaptypecontrol)}-->map.addControl(new GHierarchicalMapTypeControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($maptype)}-->map.setMapType(<!--{if $maptype eq 'satellite'}-->G_SATELLITE_MAP<!--{elseif $maptype eq 'hybrid'}-->G_HYBRID_MAP<!--{else}-->G_NORMAL_MAP<!--{/if}-->);<!--{/if}--> } }); </script> <div id="map<!--{$mapDivID|escape:'html'}-->" style="width: <!--{$width|escape:'html'|default:'420'}-->px; height: <!--{$height|escape:'html'|default:350}-->px"><!--{/if}--><img src="http://maps.google.com/staticmap?center=<!--{$lat|escape:'urlpathinfo'}-->,<!--{$lng|escape:'urlpathinfo'}-->&zoom=<!--{$zoom|escape:'urlpathinfo'|default:16}-->&size=<!--{$width|escape:'urlpathinfo'|default:'420'}-->x<!--{$height|escape:'urlpathinfo'|default:350}-->&markers=<!--{if isset($centermarker)}--><!--{$lat|escape:'urlpathinfo'}-->,<!--{$lng|escape:'urlpathinfo'}-->%7C<!--{/if}--><!--{foreach from=$marker item=m}--><!--{$m.lat|escape:'urlpathinfo'}-->,<!--{$m.lng|escape:'urlpathinfo'}-->%7C<!--{/foreach}-->&maptype=<!--{$maptype|escape:'urlpathinfo'|default:'roadmap'}-->&key=<!--{$key|escape:'urlpathinfo'}-->" width="<!--{$width|escape:'html'|default:'420'}-->" height="<!--{$height|escape:'html'|default:350}-->"><!--{if not isset($static)}--></div><!--{/if}--></includeonly> 412 2011-10-21T07:37:44Z A.Burgermeister 1 Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>__NOTOC__ This widget allows you to add '''[http://code.google.com/apis/maps/ Google Maps]''' widget to your wiki page. 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Created by [http://www.mediawikiwidgets.org/User:Sergey_Chernyshev Sergey Chernyshev] == Using this widget == For information on how to use this widget, see [http://www.mediawikiwidgets.org/Google_Maps widget description page on MediaWikiWidgets.org]. == Copy to your site == To use this widget on your site, just install [http://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Widgets MediaWiki Widgets extension] and copy [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} full source code] of this page to your wiki as '''{{FULLPAGENAME}}''' article. </noinclude><includeonly><!--{if not isset($static)}--><!--{counter name="mapDivID" assign="mapDivID"}--><script type="text/javascript" src="http://www.google.com/jsapi?key=<!--{$key|escape:'urlpathinfo'}-->"></script> <script type="text/javascript"> google.load("maps", "2.s"); // Call this function when the page has been loaded google.setOnLoadCallback(function() { if (google.maps.BrowserIsCompatible()) { var center = new GLatLng('<!--{$lat|escape:'quotes'}-->', '<!--{$lng|escape:'quotes'}-->'); // Create and Center a Map var map = new google.maps.Map2(document.getElementById("map<!--{$mapDivID|escape:'html'}-->"), {size: new google.maps.Size('<!--{$width|escape:'quotes'|default:'420'}-->', '<!--{$height|escape:'quotes'|default:350}-->')} ); map.setCenter(center, 13); map.setZoom(Number('<!--{$zoom|escape:'quotes'|default:16}-->')); map.enableScrollWheelZoom(); var createMarker = function(markerLatLng,MarkerTitle,markerIcon,markerPopup) { var marker=new google.maps.Marker(markerLatLng,{title:MarkerTitle,icon:markerIcon}); if (markerPopup) { GEvent.addListener(marker, "click", function() { marker.openInfoWindowHtml(markerPopup); }); } return marker; } <!--{foreach from=$marker item=m}--> var markerIcon=new GIcon(G_DEFAULT_ICON); <!--{if isset($m.letter)}-->markerIcon.image="http://www.google.com/mapfiles/marker<!--{$m.letter|escape:'urlpathinfo'}-->.png";<!--{/if}--> <!--{if isset($m.icon)}-->markerIcon.image='<!--{$m.icon|validate:url}-->';<!--{/if}--> var markerLatLng = new GLatLng('<!--{$m.lat|escape:'quotes'}-->', '<!--{$m.lng|escape:'quotes'}-->'); var markerPopup=""; <!--{if isset($m.text)}-->markerPopup='<!--{$m.text|escape:'quotes'}-->';<!--{/if}--> var marker = new createMarker(markerLatLng,'<!--{$m.title|escape:'quotes'}-->',markerIcon,markerPopup); map.addOverlay(marker); <!--{/foreach}--> <!--{if isset($xml)}-->map.addOverlay(new GGeoXml('<!--{$xml|escape:'quotes'}-->'));<!--{/if}--> <!--{if isset($centermarker)}-->map.addOverlay(new google.maps.Marker(center));<!--{/if}--> <!--{if isset($maptypecontrol)}-->map.addControl(new GMapTypeControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($largemapcontrol)}-->map.addControl(new GLargeMapControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($smallmapcontrol)}-->map.addControl(new GSmallMapControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($smallzoomcontrol)}-->map.addControl(new GSmallZoomControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($scalecontrol)}-->map.addControl(new GScaleControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($overviewmapcontrol)}-->map.addControl(new GOverviewMapControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($hierarchicalmaptypecontrol)}-->map.addControl(new GHierarchicalMapTypeControl());<!--{/if}--> <!--{if isset($maptype)}-->map.setMapType(<!--{if $maptype eq 'satellite'}-->G_SATELLITE_MAP<!--{elseif $maptype eq 'hybrid'}-->G_HYBRID_MAP<!--{else}-->G_NORMAL_MAP<!--{/if}-->);<!--{/if}--> } }); </script> <div id="map<!--{$mapDivID|escape:'html'}-->" style="width: <!--{$width|escape:'html'|default:'420'}-->px; height: <!--{$height|escape:'html'|default:350}-->px"><!--{/if}--><img src="http://maps.google.com/staticmap?center=<!--{$lat|escape:'urlpathinfo'}-->,<!--{$lng|escape:'urlpathinfo'}-->&zoom=<!--{$zoom|escape:'urlpathinfo'|default:16}-->&size=<!--{$width|escape:'urlpathinfo'|default:'420'}-->x<!--{$height|escape:'urlpathinfo'|default:350}-->&markers=<!--{if isset($centermarker)}--><!--{$lat|escape:'urlpathinfo'}-->,<!--{$lng|escape:'urlpathinfo'}-->%7C<!--{/if}--><!--{foreach from=$marker item=m}--><!--{$m.lat|escape:'urlpathinfo'}-->,<!--{$m.lng|escape:'urlpathinfo'}-->%7C<!--{/foreach}-->&maptype=<!--{$maptype|escape:'urlpathinfo'|default:'roadmap'}-->&key=<!--{$key|escape:'urlpathinfo'}-->" width="<!--{$width|escape:'html'|default:'420'}-->" height="<!--{$height|escape:'html'|default:350}-->"><!--{if not isset($static)}--></div><!--{/if}--></includeonly> 274 230 770 769 2012-10-16T13:35:57Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude> This widget allows you to add [http://picasaweb.google.com/ Picasa Web] albums to your wiki page. 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In order for this to work the Album must be set to public. *Start Picasa, go to Web albums (Top right) *Click into the album you want to show *Edit > Album Properties and change visibility to "Public on the Web" {{Template:Copy to your site}} == Sample result == {{#widget:Picasa |user=mverhaart |album=5534047443341151793 |width=300 |height=200 |captions=1 |autoplay=1 |interval=5 }} </noinclude><includeonly><embed type="application/x-shockwave-flash" src="http://picasaweb.google.com/s/c/bin/slideshow.swf" width="<!--{$width|default:600|escape:'html'}-->" height="<!--{$height|default:400|escape:'html'}-->" flashvars="host=picasaweb.google.com<!--{if isset($captions) and $captions}-->&captions=1<!--{/if}--><!--{if not isset($autoplay) or not $autoplay}-->&noautoplay=1<!--{/if}-->&interval=<!--{$interval|default:60|escape:'html'}-->&RGB=0x000000&feed=http%3A%2F%2Fpicasaweb.google.com%2Fdata%2Ffeed%2Fapi%2Fuser%2F<!--{$user|escape:'urlpathinfo'}-->%2Falbumid%2F<!--{$album|escape:'urlpathinfo'}-->%3Fkind%3Dphoto%26alt%3Drss<!--{if isset($authkey) and $authkey}-->%26authkey%3D<!--{$authkey|escape:'urlpathinfo'}--><!--{/if}-->" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer"></embed></includeonly> 769 2012-02-02T09:39:08Z A.Burgermeister 1 1 Version wikitext text/x-wiki <noinclude> This widget allows you to add [http://picasaweb.google.com/ Picasa Web] albums to your wiki page. 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